《1.7 角平分线的性质》课件 2026--2027学年浙教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“角平分线的性质”，通过工人师傅用角尺平分角的实际操作导入，联系课前复习的全等三角形判定方法（SSS），引导学生探究操作原理，再通过尺规作图实践，构建从现实操作到理论证明的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”观察现实操作（如角尺平分角），用“数学思维”推理证明性质定理（AAS证全等得距离相等），结合例题变式（面积法求AB长）培养应用意识。小结整合知识体系，助学生形成几何研究路径，教师可提升教学效率，学生能发展探究与逻辑能力。

1.7 角平分线的性质 第1章 三角形 2024浙教版 八年级上册 课前复习 【1】判定两个三角形全等的方法: （1）三角形全等的定义：能完全重合的两个三角形是全等三角形. （2）三角形全等的基本事实1： 三边分别相等的两个三角形全等（简称“SSS”）. A B C A′ B′ C′ （3）三角形全等的基本事实2： 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简称“SAS”）. （4）三角形全等的基本事实3： 两个角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简称“ASA”）. 学习新知 【2】线段的垂直平分线： 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 【3】线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. A B l P1 P2 P3 学习新知 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下: 已知∠AOB是一个任意角，在边OA,OB上分别取OM=ON，移动角尺两边相同的刻度分别与M，N重合。过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线。 【问题一】工人师傅为什么通过“OM=ON，相同刻度重合”就能画出角平分线？ 【思考】这一操作背后的数学原理是什么？ 由此你想到怎样作一个角的角平分线？ △OMC≌△ONC(SSS) OM=ON,MC=NC,OC=OC ∠MOC＝∠NOC 学习新知 例1 已知∠BAC,用直尺和圆规作∠BAC的角平分线AD。 已知端点A，再确定射线上一点D。 E F 圆规截取等长线段 构造△AED≌△AFD来证明角相等 如何确定角平分线这条射线？ 【问题二】 如何用圆规实现AE=AF,ED=FD？ 【追问】 角尺操作对我们作图有什么启发？ 【思考】 学习新知 例1 已知∠BAC,用直尺和圆规作∠BAC的角平分线AD。 【作法】 1.以点A为圆心,适当的长为半径作圆弧,与角 的两边分别交于E、F两点。 3.过点A、D作射线AD。 ∴射线AD为所求∠BAC的平分线。 E F D 2. 分别以E,F为圆心,大于 EF长为半径作圆弧, 两条圆弧交于∠BAC内一点D。 E F E F E F D 学习新知 证明：因为PB⊥AB，PC⊥AC(已知）， 所以∠ABP=∠ACP=Rt∠(垂线的定义）. ∠PAB＝∠PAC, ∠ABP＝∠ACP ， AP＝AP(公共边) 所以△APB≌△APC(AAS)。 在△APB和△APC中， PB=PC △APB≌△APC 【想一想】这一结论对于在角平分线上的任意点都成立吗？ 所以PB=PC. 任意作一个角，记为∠BAC，P 是∠BAC的平分线上的一点，PB⊥AB于点B，PC⊥AC 于点C。 测量PB和PC的长度，你发现了什么？ 【问题三】 角平分线上的点到角两边的距离相等。 【猜想】 学习新知 角平分线上的点到角两边的距离相等. 【新知1】角平分线的性质定理： 且PB⊥AB，PC⊥AC ∴PB=PC （角平分线的性质定理） ∵AP是∠BAC的角平分线 几何语言： A B C P 学习新知 例2 已知：如图，AB∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB， AD过点P，且与AB垂直.求证：PA=PD。 AB∥CD AD且与AB垂直 ∠BAD+∠CDA= 180° ∠BAD= 90° ∠CDA= 90° BP平分∠ABC PA ⊥ BA CP平分∠DCB PD⊥ CD PA =PE PD=PE E 【辅助线】过点P作PE⊥BC于点E。 【分析】 PA =PD 【问题四】如何证明PA=PD？ 【追问】本题的关键辅助线是什么？ 学习新知 【例2 】已知：AB//CD,PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点 P，且与AB垂直.求证：PA=PD. 作PE⊥BC于点E ∵ AB//CD ∴∠BAD+∠CDA=180° ∴PA=PE 证明： ∵AD⊥AB ∴∠BAD=90° ∵PB平分∠ABC （ 角平分线的性质定理 ） (已知) (已知) (垂直的定义) (已知) (两直线平行，同旁内角互补) 同理， A B C P D E PD=PE ∴PA=PD ∴∠CDA=180°-∠BAD=180°-90°=90° ∴AD⊥CD (垂直的定义) 学习新知 变式 如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，△ABC的面积为21，AC=6，DE=3，求AB的长。 S△ABC=S△ABD+S△ACD AB=8 【分析】 【问题五】如何利用角平分线和面积公式求AB？ 【想一想】面积法在解决线段长度问题中有何优势？ 【我的收获】通过图形的面积关系来建立线段之间的数量关系， 实现了“形”与“数”的完美结合。 学习新知 【练习】如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BAC＝∠D，∠B+∠AEC＝180°，BC＝CE．求证：AC＝DC． 课堂小结 回顾这节课，请思考： 1.对于“角平分线的性质”， 你有哪些新的认识？ 2.我们是按照怎样的思路研究的？ 3.研究过程中我们应用了哪些 思想和方法？ 课堂小结 线段的垂直平分线 全等三角形 角平分线 定义 性质 判定 应用 轴对称图形 等腰三角形…… 角平分线上的点到 角两边的距离相等。 定义 判定定理？ 证明等线段、等角，解决面积等问题。 几何研究的路径方法 尺规作图 观察 实验 猜想 证明 实验发现 论证说理 转化 类比 $