第1章 三角形的初步知识 习题课件 2025-2026学年浙教版数学八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了三角形的初步知识，涵盖三角形的边与角关系、全等判定、尺规作图、几何证明等核心内容，通过基础选择、填空到综合解答题的递进设计，结合新考向题型构建知识网络，体现知识点间的逻辑联系。 其亮点在于融入生活实例如移动拒马护栏稳定性分析，培养数学眼光，设置★☆☆到★★★分层题型及折叠、动点等探究题，发展推理能力与创新意识，助力学生巩固知识，教师精准把握学情，提升复习效率。

第1章 三角形的初步知识 1. (2025金华月考,★☆☆)下列语句不是命题的有 ( ) ①全等三角形对应边相等;②过一点画已知直线的平行线;③ 同角的余角相等;④内错角相等吗? A.1个　　　    B.2个　　　    C.3个　　　    D.4个 　B     一、选择题(每题3分,共30分) 解析　②④不是命题,故选B. 2. (2025杭州十三中期中,★☆☆)已知三角形的三边长分别是 4,8,a+1,则a的值可能是 ( ) A.10　　　    B.11　　　    C.12　　　    D.13 　A     解析　由题意得8-4<a+1<8+4,解得3<a<11,选项中只有10符 合要求,故选A. 3. (2024湖南长沙期末,★☆☆)学校门口设置的移动拒马护栏 是由多个钢管焊接的三角形组成的,这里面蕴含的数学原理 是 ( ) A.两点之间,线段最短　    B.三角形的稳定性 C.三角形的任意两边之和大于第三边　     D.三角形的内角和等于180° 　B     4. (2025绍兴月考,★★☆)如图,小明家仿古家具的一块三角 形形状的玻璃坏了,需要重新配一块.小明通过语音电话给玻 璃店老板提供相关数据,为了方便表述,将该三角形记为△ ABC,提供下列各组元素的数据,配出来的玻璃不一定符合要 求的是 ( ) 　C     A.AB,BC,CA　　　    B.AB,BC,∠B　　　     C.AB,AC,∠B    　　    D.∠A,∠B,BC 解析    A.利用SSS可判定两个三角形全等,故能配出来符合要 求的玻璃;B.利用SAS可判定两个三角形全等,故能配出来符 合要求的玻璃;C.无法确定三角形的形状,故不一定能配出来 符合要求的玻璃;D.利用AAS可判定两个三角形全等,故能配 出来符合要求的玻璃.故选C. 5. 【新考向·尺规作图】(2024天津中考,★★☆)如图,直角△ ABC中,∠C=90°,∠B=40°,以点A为圆心,适当长为半径画弧,交 AB于点E,交AC于点F;再分别以点E,F为圆心,大于 EF的长为 半径画弧,两弧(所在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点 P;画射线AP,与BC相交于点D,则∠ADC的大小为 ( )   　B     A.60°　　　    B.65°　　　     C.70°　　　    D.75° 解析　∵∠C=90°,∠B=40°,∴∠BAC=180°-∠C-∠B=50°,由 作图知,AP平分∠BAC,∴∠BAD= ∠BAC= ×50°=25°,∴∠ ADC=∠B+∠BAD=40°+25°=65°,故选B. 6. (2025杭州期末,★★☆)有若干个三角形,这些三角形的所 有内角中,有2个直角,1个钝角,15个锐角,则在这些三角形中, 锐角三角形有 ( ) A.2个　　　    B.3个　　　    C.2个或3个　　　    D.4个 　B     解析　由题意得,共18个内角,∴有6个三角形.这些内角中,有2 个直角,1个钝角,∴有2个直角三角形,1个钝角三角形,∴有3个 锐角三角形,故选B. 7. 【新考向·操作实践题—折叠】(2025杭州期中,★★☆)如 图,把三角形纸片ABC折叠,使得点B,点C都与点A重合,折痕分 别为DE,MN,若∠BAC=110°,则∠DAM的度数为 ( ) A.40°　　　    B.60°　　　    C.70°　　　    D.80° 　A     解析　在△ABC中,∠BAC=110°,∴∠B+∠C=180°-110°=70°, 由翻折的性质得∠B=∠DAE,∠C=∠MAN,∴∠DAE+∠MAN =∠B+∠C=70°,∴∠DAM=110°-70°=40°,故选A.   8. (2024宁波期末,★★☆)如图,AD,BE是△ABC的高线,AD与 BE相交于点F.若AD=BD=6,且△ACD的面积为12,则AF的长 度为 ( ) A.1　　　    B. 　　　    C.2　　　    D.3   　C     解析　∵AD,BE是△ABC的高线, ∴∠ADB=∠ADC=∠AEB=90°, 又∵∠BFD=∠AFE,∴∠DBF=∠CAD, 在△ACD和△BFD中,  ∴△ACD≌△BFD(ASA),∴DC=DF, ∵△ACD的面积为12,∴ ×CD×6=12,解得CD=4,∴DF=4,∴ AF=AD-DF=2,故选C. 9. (2024宁波奉化期末,★★★)如图,AB⊥CD于点O,点E、F分 别是射线OA、OC上的动点(不与点O重合),延长FE至点G,∠ BOF的平分线及其反向延长线分别交∠FEO、∠GEO的平分 线于点M、N.若△MEN中有一个角的度数是另一个角的3倍, 则∠EFO= ( ) A.45°或30°　　　    B.30°或60°　　　     C.45°或60°　　     D.67.5°或45° 　C     解析　∵EM平分∠FEB,EN平分∠BEG,∴∠MEB=∠FEM,∠ NEB=∠NEG,∴∠MEB+∠NEB= (∠FEB+∠BEG)=90°,∴∠ MEN=90°. ①当∠MEN=3∠M时,∠M= ∠MEN=30°,∵OM平分∠BOC, ∴∠MOB=45°,∴∠MEO=45°-30°=15°,∴∠FEO=30°,∴∠E- FO=180°-90°-30°=60°; ②当∠MEN=3∠N时,∠N= ∠MEN=30°,∴∠M=180°-90°-30° =60°>45°,此种情况不成立; ③当∠N=3∠M时,设∠M=x°,则x+3x=90,解得x=22.5,∴∠ MEO=45°-22.5°=22.5°,∴∠FEO=45°,∴∠EFO=180°-90°-45° =45°; ④当∠M=3∠N时,设∠N=y°,∴y+3y=90,解得y=22.5,∴∠M=6 7.5°>45°,此种情况不成立. 综上,∠EFO的度数为60°或45°.故选C. 10. (2025杭州月考,★★★)如图,已知AC平分∠DAB,CE⊥AB 于点E,AB=AD+2BE,则下列结论:①AB+AD=2AE;②∠ADC+ ∠B=180°;③CD=CB;④S△ACE-S△BCE=S△ADC.其中正确结论的个数 是 ( ) A.1　　　    B.2　　　    C.3　　　    D.4 　D     解析　如图,作CF⊥AD交AD的延长线于点F,∵AC平分∠ DAB,CE⊥AB于点E,∴CF=CE,∠F=∠AEC=∠BEC=90°,∠ FAC=∠EAC.在△ACF和△ACE中, ∴△ACF ≌△ACE(AAS),∴AF=AE,∴AD+DF=AB-BE,∴AB=AD+DF+ BE,∵AB=AD+2BE,∴DF+BE=2BE,∴DF=BE,∴AB+AD=AE+ BE+AF-DF=AE+AF=2AE,故①正确; 在△DCF和△BCE中,    ∴△DCF≌△BCE(SAS),∴CD=CB,∠CDF=∠B,故③正确;∵ ∠ADC+∠CDF=180°,∴∠ADC+∠B=180°,故②正确; ∵AF=AE,DF=BE,CF=CE,∴S△ACE-S△BCE= CE·AE- CE·BE=  CE(AE-BE)= CF(AF-DF)= CF·AD=S△ADC,故④正确. 综上,正确的结论有4个,故选D. 11. 【新考向·结论开放题】(2025金华期中,★☆☆)要想说明 命题“对于任何实数a,都有|a|>-a”是假命题,只需举一个反 例,反例中a的值可以是________________________________ ____(填写一个即可). 　-2(答案不唯一,只要是负数或0即可) 二、填空题(每题3分,共18分) 解析　当a=-2时,|-2|=2,符合命题的条件,但不符合命题的结 论,故原命题是假命题.答案不唯一. 12. (2024陕西中考改编,★☆☆)如图,在△ABC中,∠BAC=90°, AD是BC边上的高,E是BC的中点,连结AE,则图中的直角三角 形共有_________个.     4     解析　∵∠BAC=90°,∴△ABC是直角三角形.∵AD是BC边上 的高,∴∠ADB=∠ADC=90°,∴△ABD、△AED、△ACD都是 直角三角形,∴题图中的直角三角形共有4个.   13. (2025杭州余杭月考,★★☆)如图,已知BE⊥AD,交AD的延 长线于E,CF⊥AD,且BE=CF.那么AD是△ABC的_______.(填 “中线”或“角平分线”) 　中线     解析　∵BE⊥AE,CF⊥AD,∴∠BED=∠CFD=90°, 在△BED和△CFD中, ∴△BED≌△CFD (AAS),∴BD=CD,∴AD是△ABC的中线.   14. (2025温州期中,★★☆)将一副三角尺按如图所示的方式 摆放,则∠1=__________度.     85     解析　∵∠D=30°,∴∠ECD=180°-90°-30°=60°, ∴∠BCD=60°-10°=50°,∴∠ACD=90°-50°=40°, ∴∠1=∠ACD+∠A=85°. 15. (★★☆)如图,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按 照图中所标注的数据,求图中实线所围成的图形的面积:______.     50 解析　∵∠EAF+∠BAG=90°,∠EAF+∠AEF=90°, ∴∠BAG=∠AEF, 在△AEF和△BAG中,  ∴△AEF≌△BAG(AAS),同理△BCG≌△CDH, ∴AF=BG=CH=3,AG=EF=6,GC=DH=4, ∵梯形DEFH的面积= (DH+EF)·FH= ×(4+6)×(3+6+4+3)=8 0,S△AEF=S△ABG= AF·EF= ×3×6=9,S△BCG=S△CDH= CH·DH= ×3× 4=6, ∴题图中实线所围成的图形的面积=80-2×9-2×6=50.   16. 【新考向·规律探究题】(2024四川达州中考,★★★)如图, 在△ABC中,AE1,BE1分别是内角∠CAB,外角∠CBD的三等分 线,且∠E1AD= ∠CAB,∠E1BD= ∠CBD,在△ABE1中,AE2,BE 2分别是内角∠E1AB,外角∠E1BD的三等分线,且∠E2AD= ∠ E1AB,∠E2BD= ∠E1BD,……,以此规律作下去,若∠C=m°,则 ∠En=__________度.      m     解析　∵∠E1AD= ∠CAB,∠E1BD= ∠CBD, ∴设∠E1AD=α,∠E1BD=β,则∠CAB=3α,∠CBD=3β,∵β=α+∠ E1,3β=3α+∠C,∴∠E1= ∠C, 同理可得∠E2= ∠E1= ∠C,……,∠En= ∠C,即∠En=  m°. 17. 【新考向·结论开放题】(2024杭州萧山月考,★☆☆)(8分) 如图,∠ACD是∠ACB的邻补角,请你从下面的三个条件中,选 出两个作为已知条件,另一个作为结论,得出一个真命题. ①CE∥AB;②∠A=∠B;③CE平分∠ACD. (1)由上述条件可得哪几个真命题?请按“⊗⊗⇒⊗”的形式 一一书写出来. (2)请根据(1)中的真命题,选择一个进行证明. 三、解答题(共72分) 解析    (1)有三个真命题. 命题1:①②⇒③;命题2:①③⇒②;命题3:②③⇒①. (2)答案不唯一.选择命题2:①③⇒②. 证明:∵CE∥AB,∴∠ACE=∠A,∠DCE=∠B. ∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE.∴∠A=∠B. 18. (2025杭州市公益中学月考,★☆☆)(8分)如图,已知△ABC ≌△DEB,点E在AB上,AC与BD交于点F,AB=6,BC=3,∠C=55°, ∠D=25°. (1)求AE的长度. (2)求∠AED的度数.   答案(1)3    (2)80° 解析    (1)∵△ABC≌△DEB,∴BC=BE=3, ∴AE=AB-BE=6-3=3. (2)∵△ABC≌△DEB,∴∠C=∠DBE=55°, ∴∠AED=∠DBE+∠D=55°+25°=80°. 19. 【新考向·尺规作图】(2025温州山海联盟协作学校期中, ★★☆)(8分)尺规作图(要求:不写作法,保留作图痕迹). (1)在如图所示的△ABC中,作AB边上的垂直平分线EF,交AB 于点E,交BC于点F. (2)在(1)的条件下,连结AF,若AE=3,△ABC的周长为18,求△ ACF的周长. 答案(1)见解析    (2)12     解析    (1)如图,EF为所求.   (2)∵EF垂直平分AB, ∴AF=BF,BE=AE=3,∴AB=6, ∵△ABC的周长为18,∴AB+AC+BC=18, ∴AC+BC=12,∴△ACF的周长=AF+CF+AC=BF+CF+AC=BC +AC=12. 20. (2025台州路桥期末,★★☆)(8分)尺规作图问题: 已知:∠AOB,求作:∠AOB的平分线. 小聪的作法:如图1,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交 OA,OB于点C,D,再以点O为圆心,大于OC长为半径画弧,分别 交OA,OB于点E,F.连结CF,DE,交于点M,画射线OM,则射线 OM即为所求. 小慧的作法:如图2,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交 OA,OB于点C,D,在OA上任取一点E,再以点C为圆心,DE长为 半径画弧,交OB于点F,连结CF,DE,交于点M,画射线OM,则射 线OM即为所求. 老师的观点:小聪的作法是正确的,小慧的作法不一定是正确 的. (1)如图1,证明OM平分∠AOB. (2)如图2,说明小慧的作法中可能存在的问题. 解析    (1)证明:由作图步骤可知OC=OD,OE=OF, 在△COF和△DOE中,  ∴△COF≌△DOE(SAS),∴∠OFC=∠OED, ∵OC=OD,OE=OF,∴OE-OC=OF-OD,∴CE=DF, 在△CME和△DMF中,  ∴△CME≌△DMF(AAS),∴ME=MF, 在△OME和△OMF中,  ∴△OME≌△OMF(SSS), ∴∠EOM=∠FOM,即OM为∠AOB的平分线. (2)如图,小慧的作法中,以点C为圆心,DE长为半径画弧,交OB 于点F,可能有两个交点F,F',得到的△COF不唯一,不能证明△ COF≌△DOE. 21. (2025金华义乌丹溪中学月考,★★☆)(8分)如图,AD为△ ABC的高,AE,BF为△ABC的角平分线,若∠CBF=32°,∠AFB=72°. (1)求∠DAE的度数. (2)若点G为线段BC上任意一点,当△GFC为直角三角形时,求 ∠BFG的度数.   答案(1)12°    (2)58°或18° 解析    (1)∵∠AFB=∠FBC+∠C,∴∠C=72°-32°=40°,∵BF平 分∠ABC,∴∠ABC=2∠CBF=64°,∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C =180°-64°-40°=76°,∵AE平分∠BAC,∴∠BAE= ∠BAC=38°, ∵AD为△ABC的高,∴∠BDA=90°,∴∠BAD=180°-∠ABD-∠ BDA=180°-64°-90°=26°,∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=38°-26°=12°. (2)分两种情况:①如图1,当∠FGC=90°时,∠BGF=90°,∴∠ BFG=180°-90°-∠FBC=180°-90°-32°=58°; ②如图2,当∠GFC=90°时,∠FGC=180°-90°-40°=50°,∴∠BFG =∠FGC-∠EBF=50°-32°=18°.   图1 综上,∠BFG的度数为58°或18°. 22. (2025杭州绿城育华学校月考,★★☆)(10分)如图,△ABC 的两条高AD,CE交于点F,AF=BC. (1)求证:△AEF≌△CEB. (2)若BE=4,CF=5,求AE的长度.   第22题图 答案(1)见解析    (2)9 解析    (1)证明:∵△ABC的两条高AD,CE交于点F,∴∠BEC= ∠AEF=90°,∴∠BCE+∠B=∠DAB+∠B=90°,∴∠BCE=∠ DAB, 在△AEF和△CEB中,  ∴△AEF≌△CEB(AAS). (2)∵△AEF≌△CEB,∴EF=BE=4,AE=CE, ∴AE=CE=CF+EF=5+4=9. 23. (2025金华义乌稠州中学月考,★★☆)(10分)已知将一块 直角三角尺DEF放置在△ABC上,使得该三角尺的两条直角 边DE、DF恰好分别经过点B、C. (1)∠DBC+∠DCB=_______度. (2)过点A作直线MN∥DE,若∠ACD=20°,试求∠CAM的大小.   答案(1)90    (2)110° 解析    (1)90.详解:∠DBC+∠DCB=180°-∠D=90°. (2)在△ABC中,∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°, ∴∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠BAC=180°, ∵∠DBC+∠DCB=90°,∴∠ABD+∠ACD+∠BAC=90°,∴∠ ABD+∠BAC=90°-∠ACD=70°. ∵MN∥DE,∴∠ABD=∠BAN.∵∠BAN+∠BAC+∠CAM=180 °,∴∠ABD+∠BAC+∠CAM=180°,∴∠CAM=180°-(∠ABD+ ∠BAC)=110°. 24. 【新考向·动点探究题】(2025杭州拱墅锦绣育才教育集 团月考,★★★)(12分)如图①,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=12 cm,BC=16 cm,AC=20 cm,现有一动点P,从点A出发,沿着三角 形的边AB→BC→CA运动,回到点A停止,速度为2 cm/s,设运动 时间为t秒. (1)如图①,当△ABP的面积等于△ABC面积的一半时,求t的值. (2)如图②,点D在BC边上且CD=4 cm,点E在AC边上且CE=5 cm,ED⊥BC,ED=3 cm,在△ABC的边上,若另外有一个动点Q 与点P同时从点A出发,且点Q沿着边AC→CB→BA运动,回到 点A停止.在两点运动过程中的某一时刻,以A,P,Q为顶点的三 角形恰好与△EDC全等,求点Q的运动速度.   第24题图 答案(1)10或19 (2)  cm/s或  cm/s或  cm/s或  cm/s 解析    (1)当点P在BC边上时,∵S△ABC= AB·BC,S△ABP= AB·BP, ∴当△ABP的面积等于△ABC面积的一半时,点P为BC的中 点, ∴t= =10; 同理当点P在AC边上运动,△ABP的面积等于△ABC面积的一 半时,点P为AC的中点, ∴t= =19. 综上,t的值为10或19. (2)设点Q的运动速度为x cm/s, 由题意得DC=4 cm,CE=5 cm,ED=3 cm, ①如图1,当点P在边AB上,点Q在边AC上,△APQ≌△EDC时, AP=DE=3 cm,AQ=EC=5 cm,∴t=3÷2= , ∴ x=5,解得x= ,即点Q的运动速度为  cm/s; ②如图2,当点P在边AB上,点Q在边AC上,△APQ≌△ECD时,   图1 图2 　　      AP=EC=5 cm,AQ=DE=3 cm,∴t=5÷2= , ∴ x=3,解得x= ,即点Q的运动速度为  cm/s;   图3 ③如图3,当点P在边AC上,点Q在边AB上,△APQ≌△EDC时, AP=ED=3 cm,AQ=EC=5 cm,∴点P运动的路程为AB+BC+PC= 12+16+(20-3)=45(cm),点Q运动的路程为AC+BC+BQ=20+16+ (12-5)=43(cm),∴t=45÷2= ,∴ x=43,解得x= ,即点Q的运 动速度为  cm/s;   图4 ④如图4,当点P在边AC上,点Q在边AB上,△APQ≌△ECD时, AP=EC=5 cm,AQ=ED=3 cm,∴点P运动的路程为AB+BC+PC= 12+16+(20-5)=43(cm),点Q运动的路程为AC+BC+BQ=20+16+ (12-3)=45(cm),∴t=43÷2= ,∴ x=45,解得x= ,即点Q的运 动速度为  cm/s. 综上,点Q的运动速度为  cm/s或  cm/s或  cm/s或  cm/s. $