精品解析：四川自贡市蜀光中学2026-2027学年高一上学期开学考试数学试题

高2026级高一开学考试数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 若全集，集合，则（    ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，关于的不等式的解集为，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 6. “赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为1，，则正方形的面积为（ ） A. 25 B. 36 C. 49 D. 64 7. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一条直线与反比例函数的图象交于、两点，分别与轴、轴交于、两点．若，，则的值是（ ） A. 3 B. C. 7 D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 10. 随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（ ） A. 10月测试成绩为“优秀”的学生人数为40人 B. 9月体育测试中学生的不及格率为18% C. 从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D. 12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若关于的分式方程无解，则________． 13. 如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则________． 14. 实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 已知，， （1）当a＝1时，求和； （2）若，求实数的取值范围． 16. 阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立． 示例：当时，求的最小值． 解：，当，即时，的最小值为6． （1）尝试：当时，求的最小值． （2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用）？最少年平均费用为多少万元？ 17. 设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 18. 如图，是的直径，点、在圆上，是的中点，于点，交于点，、交于点，在延长线上且． （1）求证：为的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 19. 如图，抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，． （1）求抛物线表达式； （2）点是第三象限内抛物线上一点，过作轴交直线于．求的最大值； （3）抛物线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2026级高一开学考试数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合A，依次判断各选项. 【详解】因为，所以. 对于A：不成立，A错误； 对于B：成立，B正确； 对于C：成立，C错误； 对于D：成立，D错误. 2. 已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】至多一个解，当时，无解，故， 当时，，解得， 当时，， 故所有的取值构成的集合为. 3. 若全集，集合，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，， ． 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由于，取特殊值验证，令， 计算可得此时，不满足； 对于B，由，不等式两边同时乘，不等式方向改变， 得与对应相乘，得，则， 对于C.取上述A中特殊值验证选项C，， 此时不满足题意大小关系，排除C； 对于D，由，不等式两边同时加,不等式方向不变，得， 由，不等式两边同时加，不等式方向不变，可得， 联立两个不等式得，因此 5. 已知，关于的不等式的解集为，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系，求出、的值，进而求出的值. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以和2是方程的两个根， 所以，，所以，. 所以. 故选：C. 6. “赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为1，，则正方形的面积为（ ） A. 25 B. 36 C. 49 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据勾股定理得，根据中间最小的正方形的面积为1得，从而求得，即可得解. 【详解】中，设，则由题意， 则中间小正方形的边长为，因为， 所以，所以，所以， 即正方形的面积为49. 7. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为不等式满足，所以， 所以，即，解得. 所以不等式的解集为. 8. 如图，一条直线与反比例函数的图象交于、两点，分别与轴、轴交于、两点．若，，则的值是（ ） A. 3 B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将现有条件转化为与有关的形式，联立方程即可解得. 【详解】设为，则有； 因为在直线上，不妨设， 又因为在上， 所以联立得：， 由图像可知方程有两个不同的根，由韦达定理得：； 所以； 又因为， 所以， 即， 化简得， 两边同时消去得， 去绝对值得， 通过化简得， 代入得； 又因为，所以； 所以. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【详解】，，，A错误； 为的真子集，故，B错误，D正确；，C正确. 10. 随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（ ） A. 10月测试成绩为“优秀”的学生人数为40人 B. 9月体育测试中学生的不及格率为18% C. 从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D. 12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多 【答案】BCD 【解析】 【详解】全体学生有人， 10月测试成绩为“优秀”的学生占，即有人，故A错误； 9月体育测试中学生的不及格人数为90人，占比为，即不及格率为，故B正确； 由折线图可知，从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长， 且12月比11月增长，11月比10月增长，故C、D正确. 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得、、间关系，即可判断B；利用、、间关系，计算即可判断C、D. 【详解】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对于选项C：，由，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若关于的分式方程无解，则________． 【答案】 【解析】 【详解】方程两边同时乘，得； 整理得；解得； 因为原方程无解，所以，即； 可得， 解得. 13. 如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则________． 【答案】5 【解析】 【详解】在中，，则， ， 在中，． 14. 实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件求出，进而求出，再利用高次幂尾数规律求解． 【详解】已知，则，故， 所以，故，解得， ，的末尾两位数为， 的末尾两位数为， 的末尾两位数为 之后每次乘以，末两位恒为， 故的末尾两位数为， 从而所求的末尾两位数为． 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 已知，， （1）当a＝1时，求和； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），或 （2）或 【解析】 【分析】（1）先化简集合，再根据并集和补集的概念直接求解即可； （2）由，可得，利用集合的包含关系列不等式组求解即可. 【小问1详解】 由解得：，故， 当时，， 所以，或. 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，解得，满足； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为或. 16. 阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立． 示例：当时，求的最小值． 解：，当，即时，的最小值为6． （1）尝试：当时，求的最小值． （2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用）？最少年平均费用为多少万元？ 【答案】（1）3； （2）10年，最少年平均费用为2.5万元． 【解析】 【分析】（1）将分式变形，直接利用题中给的结论求最小值； （2）表示出年平均费用，化简后用材料的不等式求最小值，确定取等条件. 【小问1详解】 ， ∴当，即时，的最小值为3； 【小问2详解】 年平均费用 ， ∴当，即时，最少年平均费用为2.5万元． 17. 设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2）当时，解集为；时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】（1）将问题转化为对一切实数恒成立，再分和两种情况讨论求解即可； （2）将问题转化为，再分，，三种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 解：因为对一切实数恒成立， 所以对一切实数恒成立， 所以，当时，，不满足成立； 当时，需满足，即，解得， 综上，实数的取值范围为 【小问2详解】 解：， ， 因为的实数根为， 所以，当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为. 综上，时，解集为；时，解集为；当时，解集为. 18. 如图，是的直径，点、在圆上，是的中点，于点，交于点，、交于点，在延长线上且． （1）求证：为的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图所示： 是的直径，，， ，， ，，，即，， 是的半径，为的切线． （2）证明：是的中点，，， ，是的直径，， ，，． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用角等量代换，证，证得切线； （2）由弧中点得圆周角相等，结合直角互余倒角，证两角相等，得； （3）证，利用对应线段成比例计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，，， ，，，， ，． 19. 如图，抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，． （1）求抛物线表达式； （2）点是第三象限内抛物线上一点，过作轴交直线于．求的最大值； （3）抛物线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）4 （3）存在，点坐标为或． 【解析】 【分析】（1）先由抛物线解析式得到与y轴交点C，求出长度，利用已知条件求出，求出坐标，代入解析式求出，进而求出抛物线表达式； （2）求出解析式，设点，计算线段的代数表达式，利用相似三角形，转化，合并得到目标函数，整理成二次函数顶点式，结合自变量范围求最大值； （3）先求抛物线对称轴，得点坐标，分两种情况讨论得出相应，汇总两种情况符合条件的坐标． 【小问1详解】 与轴交于点，，． ，，， 将代入中，得， 抛物线的表达式为． 【小问2详解】 由（1）知：，， 设直线：，将，代入， 得，解得．． 设，则． ， 过点作于点，则，， ，， ， 又， ，， ． ，， 当时，有最大值，最大值是4． 【小问3详解】 存在，，抛物线的对称轴是直线， ，点关于对称轴的对称点为． ①如图1，由，可知点关于的对称点为点，． ②如图2，设，作轴，则，． ，，， 解得（舍），． ， 综上所述，点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $