精品解析：四川省绵阳南山中学2026-2027学年高一上学期暑期综合素质测试数学试题

2026级新生暑期综合素质测试卷（数学） 试卷说明： 1．试卷分值：150分；建议时长：120分钟； 2．请将答案正确填写到相应的答题区域. 一、单选题（本题共12小题，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 的倒数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】两个互为倒数的数的乘积为1，所以的倒数为． 2. 据国内某平台统计，2026年基础设施支出预计达4500亿美元．将数据4500亿用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】4500亿，用科学记数法表示为：． 3. 绵阳是党中央、国务院批准建设的“中国唯一科技城”，其中的“中”如图所示，该几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由三视图可知，中字的俯视图为C选项． 4. 估计的计算结果在（　　） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】C 【解析】 【详解】， ∵，∴，∴． 5. 小明和小华参加有奖答题活动，每局共10个选择题，现将每局他们答对题目数整理成如下表所示的两组数据．那么下列说法中正确的是（　　） 小明 5 6 6 6 7 小华 7 7 6 7 8 A. 小明的平均数大于小华的平均数 B. 两人的中位数相同 C. 两人的众数相同 D. 小明的方差与小华的方差相同 【答案】D 【解析】 【分析】根据数据的平均数、中位数、众数、方差的计算方法求解即可. 【详解】对于A：小明的平均数为6，小华的平均数为7，故A错误； 对于B：小明的中位数为6，小华的中位数为7，故B错误； 对于C：小明的众数为6，小华的众数为7，故C错误； 对于D：小明的方差为， 小华的方差为，故D正确． 6. 一个圆锥形草垛高为米，底面圆的半径为2米，则该圆锥形草垛的侧面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出母线长，进而结合圆锥的侧面积公式求解. 【详解】如图所示，该圆锥的母线长为， 所以该圆锥的侧面积为． 7. 如图，在矩形纸片中，，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（　　） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用折叠的性质，得到对应边相等、对应角相等，设，则，用勾股定理列方程求解、的长度，作于，根据勾股定理即可计算的长度. 【详解】由折叠的性质可知，，， ∵四边形为矩形，∴，∴，∴， 设，则， 由勾股定理，得，即，解得，∴， 如图，作于，则四边形是矩形， ∴，，，∴， 由勾股定理，得． 8. 小明投篮投中与投不中的概率均为，且各次投中与否互不影响，现小明连续投篮3次，他恰好投中2次的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设“中”表示投中，“不”表示未投中，连续投篮3次，所有等可能的结果共有：种， 列举如下：（中、中、中），（中、中、不），（中、不、中），（不、中、中），（中、不、不），（不、中、不），（不、不、中），（不、不、不）， 其中恰好投中2次的情况有：（中、中、不），（中、不、中），（不、中、中），共有3种， 所以恰好投中次的概率为 9. 如图，为半圆的直径，为半圆上一点，，点在的延长线上，且．连接交半圆于点，过作交的延长线于点，则的长为（　　）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，得出，，，四点共圆，使用正切求解. 【详解】如图，连接，， ∵为直径，∴， ∵，∴， 则，，，四点共圆， ∴， ∵， ∴在中，． 10. 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”，的展开式中所有项的系数之和为（　　） A. 512 B. 1024 C. 2048 D. 4096 【答案】C 【解析】 【分析】由规律可知的展开式所有项的系数之和为，代入指数求解即可. 【详解】观察杨辉三角的规律可得： 的系数和为 的系数和为 的系数和为 以此类推，可得的展开式所有项的系数之和为， 代入，可得系数和为. 11. 如图，某种两端挂起的电缆下垂时的形状近似为抛物线，在一个坡度为的斜坡上架设两塔柱，塔柱之间的水平距离为50米，塔柱上固定电缆的位置到坡面上的点的距离均为20米，在此情况下，下垂的电缆的最低点与坡面的竖直距离为（　　） A. 12.75米 B. 13.75米 C. 14.75米 D. 16.75米 【答案】C 【解析】 【分析】以点为坐标原点，方向为轴正方向建立平面直角坐标系，根据已知条件得到抛物线方程为，根据坡度为，确定的长度，最终确定下垂的电缆的最低点与坡面的竖直距离为. 【详解】如图，以点为坐标原点，方向为轴正方向建立平面直角坐标系. 设此时抛物线的解析式为， 由于斜坡的坡度为，且米，∴米， 而米， ∴，又因为， 所以将，两点坐标分别代入解析式中， 得， 解得，故抛物线方程为， ∴抛物线的顶点的坐标为. 过点作轴于，交于， ∵坡度为，， ∴米， ∴米． 12. 已知三个关于的一元二次方程，，恰有一个公共实数根，则的值为（ ）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 设三个关于x的一元二次方程的公共实数根为t，代入三个方程得到a，b，c的关系，然后代入代数式求出代数式的值． 【详解】解：设三个关于x的一元二次方程的公共实数根为t， 则①，②，③ ∴①+②+③得： 而 原式 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次的解．也考查了分式的化简求值． 二、填空题（本题共6小题，共24分） 13. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】． 14. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为________． 【答案】且 【解析】 【详解】由方程有两个实数根，可得，解得且. 所以实数的取值范围为且. 15. 图①是我国传统中式建筑中较为常见的支摘窗，具有古朴的外观和实用的功能，窗户的上窗扇可绕窗顶的转轴向上推开，形成一个倾斜的角度，当关闭窗户时窗扇的边与窗框重合．如图②，，当窗户推开角度时，支撑窗扇的杆子长为________．（结果精确到0.1，，） 【答案】 【解析】 【详解】如图，过点作于点， 在中，∵，，，∴， 由勾股定理得， ∵，∴， 在中，由勾股定理得，∴． 16. 如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点，连接．若，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【详解】连接， ∵， ∴， 设，则， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， 由图可知， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， ∴. 17. 在一次奇妙的数学拼贴艺术中，艺术家发现外接圆半径为的正十二边形和边长为的小正方形的面积之间存在着一定的数量关系．记正十二边形的面积为，小正方形的面积为，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用正十二边形的性质，求正十二边形面积可以转化为求12个相同的三角形的面积之和，由平面几何知识可得一个三角形面积为，进而得到正十二边形的面积为，结合正方形的面积为，可得. 【详解】如图，过作于， 易知， ∵，∴，∴， ∴正十二边形的面积为， ∵正方形的面积为，∴． 18. 如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用图形旋转关系，结合圆的性质得到，，三点共线时的值最小，最后应用三角形三边关系列不等式求最小值. 【详解】如图，连接，将以为中心，逆时针旋转，得到， ∵的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， ∴的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当，，三点共线时，的值最小， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∴的最小值为. 三、解答题（本题共7小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19. （1）解关于的方程：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）设，利用完全平方公式将原方程化为关于的二次方程，分别验证两根对应方程有无实根； （2）由内向外逐层开平方，利用完全平方公式化简每一层根号，最终得到最简结果． 【详解】（1）由完全平方公式，可得， ∴原方程可化为， 设，则方程变形为，解得，， 当时，，即，，∴该方程无实数根； 当时，，即，解得， 经检验，是原方程的根，∴原方程的根是； （2） 20. 学校需要培养“德、智、体、美、劳”全面发展的学生．我区某学校提出一个前卫的办学理念“人人会”：“3”指的是该校师生必须会3个技能：“人人会演讲”、“人人会打球（篮球、足球、排球中一种）”、“人人会下棋（象棋、五子棋、围棋中一种）”，“”指的是在这三种必会技能基础上再学习其他技能．该校将课外活动分为四类：演讲、篮球、象棋、其他类，随机抽查了七年级部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）． 请根据图中信息解答下列问题： （1）被抽查的学生有_______人，在扇形统计图中的值为________； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校约有2800名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“篮球类”运动的学生人数． 【答案】（1）200，40； （2） （3）1120人． 【解析】 【分析】（1）先根据其他类人数和对应百分比求出抽查总人数，再算出篮球类人数占比得到； （2）用总人数减去其余三类人数得到象棋类人数补全条形图； （3）用样本中篮球类的占比估计全校人数. 【小问1详解】 被抽查总人数为人， 篮球类占比为，则； 【小问2详解】 由题意可得，象棋类的人数为：人， 则条形统计图如图所示： 【小问3详解】 估计全校最喜欢“篮球类”运动的学生人数为人． 21. 随着新能源汽车的推广，某市大力推进公共充电桩的建设．据最新资讯，目前该市有甲、乙两种型号的公共充电桩．已知安装3个甲型充电桩和2个乙型充电桩共需成本万元；安装2个甲型充电桩和3个乙型充电桩共需成本万元． （1）求每个甲型充电桩和乙型充电桩的安装成本分别是多少万元； （2）若该市计划安装甲、乙两种型号的充电桩共30个，且总成本不超过39万元，求最多能安装多少个甲型充电桩． 【答案】（1）每个甲型充电桩的安装成本为万元，每个乙型充电桩的安装成本为万元； （2）10个． 【解析】 【分析】（1）根据条件列二元一次方程组，解方程组可得结果. （2）根据题意列一元一次不等式，解不等式可得结果. 【小问1详解】 设每个甲型充电桩的安装成本为万元，每个乙型充电桩的安装成本为万元， 由题意知，解得， 所以每个甲型充电桩的安装成本为万元，每个乙型充电桩的安装成本为万元. 【小问2详解】 设安装甲型充电桩个，则安装乙型充电桩个， 所以，解得， 故最多能安装10个甲型充电桩． 22. 如图1，为平行四边形的边上一点，连接，，使，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接，交于点，再连接．若，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，，∴， ∵，∴，， ∵，∴，， ∴，∴， 在和中，， ∴； （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，∴， 由（1）知， ∵，， ∴，∴，∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的判定定理即可得证； （2）先证四边形是平行四边形，再证邻边相等即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，已知点，是在第一象限分支上的两点，点在轴正半轴上，为等腰直角三角形，，垂直于轴． （1）求点的坐标； （2）点为轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或或或． 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形性质求出点坐标，得到的横坐标，再代入反比例函数求； （2）在轴上，分三边两两相等三种情况分类讨论，列方程求坐标. 【小问1详解】 过点作于点， 是等腰直角三角形，， ， 点在第一象限，设， 点在上，，或（不合题意，舍去）， ，，轴，设， 点在上，，，； 【小问2详解】 ， 设，则，， 是等腰三角形，或或， 当时，，即， 解得或（与点重合，舍去），； 当时，，即， 解得或，或； 当时，，即， 解得，． 综上，点的坐标为或或或． 24. 如图，点，分别为矩形边，上的点，以为直径作交于点，且与相切，连接． （1）若，求证：； （2）若，，连接，若是以为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的长； （3）连接，若的延长线经过点，且，求的值． 【答案】（1）证明：∵为直径，∴， 在和中，，∴； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用圆的性质，利用证明两个直角三角形全等. （2）分，两种情况，利用直角三角形的边角关系求的长. （3）先用证明，再用证明，再证，利用相似三角形边的比例关系求的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵与相切，∴，∴，∴， ∵四边形为矩形，∴，∴， ∴，∵，∴，∴， 在中，∵，∴，∴， 由于是以为腰的等腰三角形，所以分两种情况： 1）当时，，∵， ∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴， 设，则，∴， ∵，∴，解得，∴； 2）当时，，∵， ∴，∵，， ∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 综上，若是以为腰的等腰三角形，则满足条件的的长为或. 【小问3详解】 ∵为圆的直径，∴， 在和中，，∴， ∴，，∵，， ∴，在和中，， ∴，∴，，∴， ∴，∵，∴，∴为的中位线， ∴，∴， 设，则，∴， 取的中点，连接，如图： 则为梯形的中位线，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标； （3）如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动的过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）或或或； （3）是定值，为6． 【解析】 【分析】（1）将抛物线与x轴的两个交点代入二次函数解析式，建立关于待定系数的方程组，求出抛物线的解析式。 （2）先由的坐标确定抛物线的对称轴。根据点在轴上方或下方，以及点、点在对称轴同侧或异侧分类讨论；同侧时作辅助线，利用等腰直角三角形的性质及三角形全等表示点的坐标，再由E在抛物线上求点；异侧时结合图形位置及等腰直角三角形的性质直接求点，最后汇总各情况。 （3）设的坐标，分别设直线的解析式，求出它们与轴的交点，从而表示；再利用在抛物线上得到坐标关系，代入并化简所求式，判断其是否为定值。 【小问1详解】 将点，代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵点，， ∴抛物线的对称轴为直线：， 如图所示，当点在轴上方，且点与点在直线同侧时， 设与轴交于点，过点作于点， ∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴，，设， 则，， ∴， ∵点在抛物线上， ∴，解得（舍去）或， ∴； 如图所示，当点在轴上方，且点与点在直线异侧时，此时点与点重合， 设直线与轴交于点， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴； 如图所示，当点在轴下方，且点与点在直线同侧时， 设与轴交于点，过点作于点， ∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则，， ∴， ∵点在抛物线上， ∴，解得（舍去）或， ∴； 如图所示，当点在轴下方，且点与点在直线异侧时，此时点与点重合， ∵，是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或或或； 【小问3详解】 设，直线的解析式为，的解析式为， ∵点，，， ∴，，解得，， ∴直线的解析式为，的解析式为， 对于，当时，，即， 对于，当时，，即， ∵在抛物线上，则， ∴， ∴为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级新生暑期综合素质测试卷（数学） 试卷说明： 1．试卷分值：150分；建议时长：120分钟； 2．请将答案正确填写到相应的答题区域. 一、单选题（本题共12小题，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 的倒数是（　　） A. B. C. D. 2. 据国内某平台统计，2026年基础设施支出预计达4500亿美元．将数据4500亿用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 绵阳是党中央、国务院批准建设的“中国唯一科技城”，其中的“中”如图所示，该几何体的俯视图是（　　） A. B. C. D. 4. 估计的计算结果在（　　） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 5. 小明和小华参加有奖答题活动，每局共10个选择题，现将每局他们答对题目数整理成如下表所示的两组数据．那么下列说法中正确的是（　　） 小明 5 6 6 6 7 小华 7 7 6 7 8 A. 小明的平均数大于小华的平均数 B. 两人的中位数相同 C. 两人的众数相同 D. 小明的方差与小华的方差相同 6. 一个圆锥形草垛高为米，底面圆的半径为2米，则该圆锥形草垛的侧面积为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形纸片中，，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（　　） A. 4 B. C. D. 8. 小明投篮投中与投不中的概率均为，且各次投中与否互不影响，现小明连续投篮3次，他恰好投中2次的概率为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，为半圆的直径，为半圆上一点，，点在的延长线上，且．连接交半圆于点，过作交的延长线于点，则的长为（　　）． A. B. C. D. 10. 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”，的展开式中所有项的系数之和为（　　） A. 512 B. 1024 C. 2048 D. 4096 11. 如图，某种两端挂起的电缆下垂时的形状近似为抛物线，在一个坡度为的斜坡上架设两塔柱，塔柱之间的水平距离为50米，塔柱上固定电缆的位置到坡面上的点的距离均为20米，在此情况下，下垂的电缆的最低点与坡面的竖直距离为（　　） A. 12.75米 B. 13.75米 C. 14.75米 D. 16.75米 12. 已知三个关于的一元二次方程，，恰有一个公共实数根，则的值为（ ）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本题共6小题，共24分） 13. 因式分解：________． 14. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为________． 15. 图①是我国传统中式建筑中较为常见的支摘窗，具有古朴的外观和实用的功能，窗户的上窗扇可绕窗顶的转轴向上推开，形成一个倾斜的角度，当关闭窗户时窗扇的边与窗框重合．如图②，，当窗户推开角度时，支撑窗扇的杆子长为________．（结果精确到0.1，，） 16. 如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点，连接．若，则的度数是________． 17. 在一次奇妙的数学拼贴艺术中，艺术家发现外接圆半径为的正十二边形和边长为的小正方形的面积之间存在着一定的数量关系．记正十二边形的面积为，小正方形的面积为，则________． 18. 如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，，则的最小值为________． 三、解答题（本题共7小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19. （1）解关于的方程：； （2）化简：． 20. 学校需要培养“德、智、体、美、劳”全面发展的学生．我区某学校提出一个前卫的办学理念“人人会”：“3”指的是该校师生必须会3个技能：“人人会演讲”、“人人会打球（篮球、足球、排球中一种）”、“人人会下棋（象棋、五子棋、围棋中一种）”，“”指的是在这三种必会技能基础上再学习其他技能．该校将课外活动分为四类：演讲、篮球、象棋、其他类，随机抽查了七年级部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）． 请根据图中信息解答下列问题： （1）被抽查的学生有_______人，在扇形统计图中的值为________； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校约有2800名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“篮球类”运动的学生人数． 21. 随着新能源汽车的推广，某市大力推进公共充电桩的建设．据最新资讯，目前该市有甲、乙两种型号的公共充电桩．已知安装3个甲型充电桩和2个乙型充电桩共需成本万元；安装2个甲型充电桩和3个乙型充电桩共需成本万元． （1）求每个甲型充电桩和乙型充电桩的安装成本分别是多少万元； （2）若该市计划安装甲、乙两种型号的充电桩共30个，且总成本不超过39万元，求最多能安装多少个甲型充电桩． 22. 如图1，为平行四边形的边上一点，连接，，使，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接，交于点，再连接．若，求证：四边形是菱形． 23. 如图，已知点，是在第一象限分支上的两点，点在轴正半轴上，为等腰直角三角形，，垂直于轴． （1）求点的坐标； （2）点为轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 24. 如图，点，分别为矩形边，上的点，以为直径作交于点，且与相切，连接． （1）若，求证：； （2）若，，连接，若是以为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的长； （3）连接，若的延长线经过点，且，求的值． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标； （3）如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动的过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $