5.2.2 同角三角函数的基本关系专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以同角三角函数基本关系为核心，通过知识点梳理与题型突破构建“概念-变形-应用”逻辑体系，培养运算推理与符号应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|2个核心知识点（含5个变形公式）|平方关系与商数关系及符号规则|从基本关系到变形公式的推导拓展| |题型突破|2类题型（5例+6跟踪+16练习）|求值（已知单三角函数/和差/正切）、化简证明（表达式化简/恒等式证明）|以基本关系为工具，通过象限分析实现从已知到未知的转化|

5.2.2同角三角函数的基本关系 知识点梳理-夯实基础 知识点一、同角三角函数的基本关系 1.平方关系：sina十cos2a=1,同一个角Q的正弦、余弦的平方和等于1，适应于任意角， 即a∈R 2.商数关系： sin=an&,同一个角a的正弦、余弦的商等于角ac的正切，适用于终边不 cosa 在y 轴上的角，即α≠+k,k∈Z. 知识点二、同角三角函数的基本关系的变形 1.平方关系sin2a十cos2a=1的变形 (1)sina=1-cosa:cosa=1-sin2a. (2)s血。±1-cosa:co。±1一5ina(根号前面的符号由角。终边的位置确 定). 2.商数关系5nC=tana的变形 cos a (1)sina=cosa.tana; sina (2)cosa= tan x 典例-探究重点 题型一：利用同角三角函数的基本关系求值 例11为△c的肉角，已知cosA-2要，求4.m4的白， 4 (2)已知cosC=- a在第二象限，求sina,tana的值； 例2.(1)已知tana=-2,求sina+cosa的值. sina -3cosa (2)已知cosa=号sina,求sina+2 2sincosf的值. 3 2 例3.己知sinx+cosx=3,xe(0,D)，求simr-cosr的值. 跟踪训练： 1.(1)己知sina+3cosa=0,求sima,cosa的值. (2)已知a是第二象限的角，若cosc=-号，求sima,tama的值； 2.已知tana=2,求3sinc-osa的值. 2sina+3 cosa 3.己知点P(3,-m)(m≠0)为角a终边上一点. (1)求tan的值： (2)求snC+cosC的值： sina -cosa (3)求2sin2a-sinacosa-3cos2a的值. 4.已知sima<0,cosa>0,且sinc+cosa= :求sima-cosa的值. 1 题型二：利用同角三角函数的基本关系化简、证明 例1.化简下列各式： (1)/1-2sin10°cos10g sin10°-/1-sin210° 1-sina (2) +口1+sina 1+sina 1-sina 其中singtano<0, tana sinatana+sina 例2.求证： tana-sina tana sina 跟踪训练： 1.化简下列各式. V1+2sin10°c0s10° (1) c0s10°+/1-c0s210° sin a (2) tan a-sina 1-cosa tana+sina 2.求证： 4 (1)1+sina=sina-cosa+1 cosa sina+cosa-1i (2)sincsincnc 1+sina+cosa 随堂演练-基础巩固 12 1.若c0s= 13' 且a为第一象限角，则tana的值为() 12 B.、2 5 C.2 2sina-cos a 2.若tana=2,则 sina+2cosa 的值为( B.4 C.1 A.0 D.4 3.已知sina+cosa=V2,则sina-cosa=( ) A.2 2 B.1 C.0 D. 2 3 4.已知sina= 3， o是第二象限角，则cos=() 3 A·3 B. 3 c.-3 6 3 D. 3 7π COS 5.化简： 的值为() 1-sin2 3 5 5 3π COS 3π 5 A.tan 5 B.- 3π C.1 D.-1 sin 5 sinacosa 6.已知sina+3cosa=0,则 的值为 sina+2 sinacosa sina 7.若2sima十cosa=0,则1+sina sina 1-sina 8.a是第三象限角且cosa= 3,则sina= tan a= 课后练习-巩固加强 5 1.已知c0SC= 13’ 且a为第二象限角，则sina=() A.-2 B.- 5 2 12 13 13 c D. V5 2.若sina= 5 则sin2a-cos2a的值为() B.-5 3 3.若a是第四象限角，ana=- 12，则sina等于( A B 5 D. 13 4.化简sina十cosa十sinacos2a的结果是( A号 B 2 C.1 1 1 5.化简： (1一cos)的结果是( ) sina tan a A.sin a B.cos a C.1+sin a D.1+cos a 17 6.(多选)已知a是三角形内角，若sina十cosa=13,则sima-cosa的值为） 6 太品 B石 7 12 C.13 D13 7.己知tana=3,则4 sina-3cosa 3sing+2 cosa 8.已知 2sing+3cosa_1 sina-2cosa 4 ,则tana的值为 9.已知cos8=3,则sin0tan6+ tan 的值为 10.己知tana=cosa,那么sina= 11已知2n<a< 3 则，cosa+sina= 1 π，cosa-sina= 1-cosa-sin"a 12.化简： 1+cosa-sina 13.(1)已知c0sC=- 亏，且a为第三象限角，求sina的值： 4 (2)已知tama=3,计算4sna-2cosC的值. 5cosa+3sina 14.已知角a的终边经过点P(a,3a)(a≠0)， 1)求sinC二Cosc的值： sina+cosa (2)若sina,cosa是方程x2-x+n=0的两个根，求m2+n的值. 1-cosa 1+cosa 15.己知f(a)=7 其中Q是第三象限角. 1+cosa (1)化简f(a): (2)若f()=4,求sina,cosa. 1 16.己知sin0+cos0= ·(0<0<π)，求下列各式的值： (1)sine-cos; (2)sin30-cos30: 8 (3) sine-4 cos0 5sin0+2cos0 5.2.2 同角三角函数的基本关系 知识点一、同角三角函数的基本关系 1.平方关系：sin2＋cos2＝1，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，适应于任意角， 即∈R. 2.商数关系：，同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切，适用于终边不在y 轴上的角，即. 知识点二、同角三角函数的基本关系的变形 1.平方关系sin2＋cos2＝1的变形 （1）sin2＝1－cos2；cos2＝1－sin2. （2）sin＝；cos＝（根号前面的符号由角终边的位置确定）. 2.商数关系的变形 （1）sin＝cos·； （2）cos＝. 题型一：利用同角三角函数的基本关系求值 例1.（1）A为△ABC的内角，已知，求sinA，tanA的值； （2）已知，α在第二象限，求sinα，tanα的值； 解：（1）因为A为三角形ABC内角，则0＜A＜π， 又cosA0，则0，sinA＞0，tanA＞0， 所以sinA，tanA； （2）∵，α在第二象限， ∴，； 例2.（1）已知tanα＝﹣2，求的值． （2）已知，求sin2α+2sinαcosα的值． 解：（1）由，∴． （2）由已知可得tanα＝3， 则sin2α+2sinαcosα． 例3.已知，x∈（0，π），求sinx﹣cosx的值． 解：将两边平方得， 因为sin2α+cos2α＝1，所以，所以， 所以， 又x∈（0，π），sinxcosx＜0，所以sinx＞0，cosx＜0，sinx﹣cosx＞0， 所以. 跟踪训练： 1.（1）已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值． （2）已知α是第二象限的角，若，求sinα，tanα的值； 解：（1）∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α. 又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cos α＝. 又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号，∴角α的终边在第二或第四象限． 当角α的终边在第二象限时，cos α＝－，sin α＝； 当角α的终边在第四象限时，cos α＝，sin α＝－. （2），α是第二象限的角，故sinα＞0，因为sin2α+cos2α＝1， 所以，. 2.已知tanα＝2，求的值． 解：因为tanα＝2，所以． 3.已知点P（3m，﹣m）（m≠0）为角α终边上一点． （1）求tanα的值； （2）求的值； （3）求2sin2α﹣sinαcosα﹣3cos2α的值． 解：（1）由点P（3m，﹣m），根据三角函数的定义，可得； （2）由（1）知，则； （3）由（1）知，则2sin2α﹣sinαcosα﹣3cos2α ． 4.已知sinα＜0，cosα＞0，且，求sinα﹣cosα的值． 解：因为sinα＜0，cosα＞0，且sinα+cosα，所以sin2α+cos2α+2sinαcosα， 所以2sinαcosα1， 所以（sinα﹣cosα）2＝sin2α+cos2α﹣2sinαcosα＝1﹣（）， 所以sinα﹣cosα． 题型二：利用同角三角函数的基本关系化简、证明 例1.化简下列各式： （1）； （2），其中sinα•tanα＜0． 解：由三角函数公式化简可得 （1）原式1； （2）原式 ||+||， ∵sinα•tanα＜0，∴α为第二或第三象限角，cosα＜0， ∴原式＝||+||． 例2.求证：. 证明：因为右边＝＝ ＝＝＝＝左边． 所以原等式成立． 跟踪训练： 1.化简下列各式． （1）； （2）. 解：（1）原式＝. （2）原式＝. 2.求证： （1）； （2）. 证明：（1）因为右边 .所以原等式成立. （2）因为， 所以左边右边. 所以. 1.若，且α为第一象限角，则tanα的值为（　　） A． B． C． D． 解：因为，且α为第一象限角，所以， 则．故选：C． 2.若tan α＝2，则的值为(　　) A．0 B. C．1 D. 解：.故选：B. 3.已知，则sinα﹣cosα＝（　　） A． B．1 C．0 D． 解：因为，两边平方得1+2sinαcosα＝2，即2sinαcosα＝1， 则（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝0．故sinα﹣cosα＝0．故选：C． 4.已知，α是第二象限角，则cosα＝（　　） A． B． C． D． 解：∵，α是第二象限角，∴cosα． 故选：D． 5.化简：的值为(　　) A.tan  B. C.1 D.－1 解：原式＝＝＝－1.故选：D. 6.已知sinα+3cosα＝0，则的值为　 　． 解：由sinα+3cosα＝0，得tanα＝﹣3，∴． 故答案为：﹣1． 7.若2sin α＋cos α＝0，则＝　 　． 解：2sin α＋cos α＝0，∴tan α＝， 原式＝＝－2tan2α＝.故答案为：. 8.α是第三象限角且cos α＝，则sin α＝ 　，tan α＝ 　. 解：∵α是第三象限角且cos α＝，∴sin α＝－ ＝，∴tan α＝＝. 故答案为：，. 1.已知，且α为第二象限角，则sinα＝（　　） A． B． C． D． 解：因为，所以，因为α为第二象限角，所以． 故选：C． 2.若sin α＝，则sin2α－cos2α的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 解：因为sin α＝，所以cos2α＝1－sin2α＝，则原式＝－＝－.故选：B. 3.若α是第四象限角，tan α ＝，则sin α等于(　　) A. B． C. D． 解：因为tan α＝＝，sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝±. 因为α是第四象限角，所以sin α＝.故选：D. 4.化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(　　) A. B. C．1 D. 解：原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.故选：C. 5.化简：(1－cos α)的结果是(　　) A．sin α B．cos α C．1＋sin α D．1＋cos α 解：原式＝(1－cos α)＝(1－cos α)＝＝sin α.故答案为：A. 6.(多选)已知α是三角形内角，若sin α＋cos α＝，则sin α－cos α的值为(　　) A． B． C. D. 解：∵α是三角形内角，∴α∈(0，π)， 又∵(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋2sin αcos α＝， 解得2sin αcos α＝ ，∵sin αcos α>0且α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α>0， ∴sin α－cos α符号不确定，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－＝， ∴sin α－cos α＝±.故选：BC. 7.已知tanα＝3，则　 　． 解：.故答案为：． 8.已知，则tanα的值为 　． 解：由，得，解得tanα＝﹣2．故答案为：﹣2． 9.已知cos θ＝，则sin θ的值为 　． 解：原式＝sin θ＝sin θ·＝＝3.故答案为：3. 10.已知tan α＝cos α，那么sin α＝ 　． 解：由于tan α＝＝cos α，则sin α＝cos2α，所以sin α＝1－sin2α，解得sin α＝. 又sin α＝cos2α>0，所以sin α＝.故答案为：. 11.已知，，则，cosα+sinα＝ 　． 解：因为，， 则两边平方可得，1﹣2sinαcosα，即2sinαcosα0， ∴sinα＞0，cosα＞0，可得：2π＜α， ∴cosα+sinα．故答案为：． 12.化简：＝ 　． 解：原式＝ ＝sin2α.故答案为：sin2α. 13.（1）已知，且α为第三象限角，求sinα的值； （2）已知tanα＝3，计算的值． 解：（1）∵cos2α+sin2α＝1，α为第三象限角， ∴； （2）显然cosα≠0，∵tanα＝3，∴． 14.已知角α的终边经过点P（a，3a）（a≠0）， （1）求的值； （2）若sinα，cosα是方程x2﹣mx+n＝0的两个根，求m2+n的值． 解：（1）因为角α的终边经过点P（a，3a）（a≠0），所以， 则． （2）因为sinα，cosα是方程x2﹣mx+n＝0的两个根， 所以sinα+cosα＝m，sinαcosα＝n，且Δ＝m2﹣4n＞0， 则 ． 15.已知，其中α是第三象限角． （1）化简f（α）； （2）若f（α）＝4，求sinα，cosα． 解：（1）∵α是第三象限角，∴sinα＜0，1﹣cosα＞0，1+cosα＞0， ∴ ， 即f（α）； （2）∵f（α），∴sin， 则cos． 16.已知sinθ+cosθ（0＜θ＜π），求下列各式的值： （1）sinθ﹣cosθ； （2）sin3θ﹣cos3θ； （3）． 解：（1）将sinθ+cosθ，两边平方得：（sinθ+cosθ）2＝1+2sinθcosθ， 即2sinθcosθ0， ∴（sinθ﹣cosθ）2＝1﹣2sinθcosθ， ∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，cosθ＜0，即sinθ﹣cosθ＞0， 则sinθ﹣cosθ； （2）∵由（1）可得sinθ+cosθ（0＜θ＜π），sinθ﹣cosθ； ∴解得sinθ，cosθ， ∴sin3θ﹣cos3θ（）； （3）由（2）可得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $