5.2.2 同角三角函数的基本关系 题型专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.2.2 同角三角函数的基本关系 题型专项训练 2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 题型一、利用同角三角函数的基本关系计算求值 题型二、利用平方关系求参数 题型三、和的关系 题型四、正余弦齐次式的计算 题型五、利用同角三角函数的基本关系进行恒等式证明 题型六、同角三角函数基本关系的综合运用 题型一、利用同角三角函数的基本关系计算求值 1．已知，且为锐角，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知为第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选）下列说法中正确的有（ 　 ） A．若，则 B．已知角，若，则 C．已知角，若，则 D．对于任意角都有 5．（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D．为第四象限角 6．（1）已知，在第四象限，求，的值； （2）已知，在第二象限，求，的值； （3）已知，求，的值； （4）已知，求，的值． 7．如图，在平面坐标系xOy中，第二象限角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为. (1)求的值； (2)求的值. 题型二、利用平方关系求参数 1．是第二象限角，则（    ） A．1 B． C．1或 D． 2．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．若，且的终边不落在坐标轴上，则的值为（    ） A． B．或0 C．0 D．以上答案都不对 4．已知且α为第二象限角，则m的允许值为（    ） A． B． C． D．或 5．已知，，则 ． 6． ． 7．函数的最小值为 ． 题型三、和的关系 1．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如果角满足，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．2 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4．若，且，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 7．已知，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 8．已知是一元二次方程的两根． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 题型四、正余弦齐次式的计算 1．已知，求下列各式的值. (1)； (2). 2．已知，求下列各式的值： (1)；(2)；(3). 3．. (1)求； (2)求. 4．已知，.求: (1); (2). 5．已知，求： (1)； (2). 6．已知． (1)求的值； (2)求的值． 题型五、利用同角三角函数的基本关系进行恒等式证明 1．求证：. 2．若<α<2π，求证：＋＝－. 3．求证：. 4．求证： (1)； (2)； (3)． 题型六、同角三角函数基本关系的综合运用 1．（1）已知，求和的值； （2）从以下两问任选一问作答，其中选①满分为5分，选②满分7分，若两问都作答则只计第①问得分 ①已知且，求和的值. ②已知为第二象限角. （i）化简（ii）若，求的值. 2．已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； (3). 3．已知为第一象限的角，终边经过点，且. (1)求的值； (2)求的值. 4．（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值. 5．已知. (1)求； (2)若是第一象限角，求的值. 6．已知是关于的方程的两个根． (1)求实数的值； (2)求的值． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2.2 同角三角函数的基本关系 题型专项训练 2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 题型一、利用同角三角函数的基本关系计算求值 1．已知，且为锐角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角平方关系求解. 【详解】因为，且为锐角， 所以. 故选：A 2．已知为第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各象限三角函数的符号，结合同角三角函数的基本关系求值. 【详解】因为为第三象限角，且， 所以，且. 所以. 故选：B. 3．已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意设，结合平方关系求出即可得解. 【详解】因为为第二象限角，，所以设， 所以，解得，所以. 故选：B. 4．（多选）下列说法中正确的有（ 　 ） A．若，则 B．已知角，若，则 C．已知角，若，则 D．对于任意角都有 【答案】ABC 【分析】利用同角三角函数的基本关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，若，则，A对； 对于B选项，因为，， 则，解得，B对； 对于C选项，因为，若， 则且， 所以，，C对； 对于D选项，当时，，此时，不存在，D错. 故选：ABC. 5．（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D．为第四象限角 【答案】ACD 【分析】利用同角三角函数的关系及三角函数的符号一一判定选项即可. 【详解】，， ，，故A正确； ，故C正确； ，故B错误； 因为，且，所以为第四象限角，故D正确. 故选:ACD. 6．（1）已知，在第四象限，求，的值； （2）已知，在第二象限，求，的值； （3）已知，求，的值； （4）已知，求，的值． 【答案】见解析 【分析】利用同角三角函数的基本关系代值计算即可. 【详解】（1），在第四象限， ； （2），在第二象限， ； （3）， ， 当为第二象限角时，， 当为第四象限角时，， （4）， 当为第一象限角时，，， 当为第四象限角时，时，． 7．如图，在平面坐标系xOy中，第二象限角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再利用同角三角函数关系结合角的范围，求出； （2）在第一问的基础上，代入求解即可. 【详解】（1）由题知，，因为， 所以，又为第二象限角， 所以，即 （2）. 题型二、利用平方关系求参数 1．是第二象限角，则（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系化简可得所求代数式的值. 【详解】因为是第二象限角，则， 所以，. 故选：B. 2．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在所求分式的分子和分母中同时乘以化简后可得结果. 【详解】由同角三角函数关系式及题意可得且， 所以，. 故选：A. 3．若，且的终边不落在坐标轴上，则的值为（    ） A． B．或0 C．0 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】先根据同角三角函数的平方关系，求出；进而可求出正弦和余弦，从而可得正切. 【详解】，， 由， 解得或； 因为的终边不落在坐标轴上，所以，解得：且， 所以； ，，. 故选：A. 【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系的应用，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型. 4．已知且α为第二象限角，则m的允许值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据平方关系列方程解得m的值，再根据象限角范围确定选项. 【详解】或 因为α为第二象限角，所以，因此 故选：C 【点睛】本题考查同角三角函数关系以及三角函数符号，考查基本分析求解能力，属中档题. 5．已知，，则 ． 【答案】或 【分析】利用平方关系列方程求参数，再由参数值求对应正弦值. 【详解】由，可得或， 当时，，，故； 当时，，，故. 故答案为：或 6． ． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】解： 故答案为： 7．函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据，并结合基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】解：因为， 所以 ，当且仅当时，等号成立． 故函数的最小值为. 故答案为： 题型三、和的关系 1．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件利用完全平方公式以及同角三角函数关系式平方和为1求出的值，再结合，解得即可得出的值. 【详解】， ， ， ， 从而， ，可得， ，则且， ，与联解， 可得， 因此. 故选：B. 2．如果角满足，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】将给定等式切化弦，再利用同角三角函数的基本关系计算即可. 【详解】，，即， 那么，即D正确. 故选：D． 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用平方关系，得，再结合条件，即可求解. 【详解】因为， 又，则， 又因为，则，所以， 故选：B. 4．若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知条件两侧平方整理得，结合求出，即可得. 【详解】由题设， 所以，即， 而，则， 所以，即. 故选：A 5．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平方关系先求出，结合的范围判断正弦值余弦值的符号，从而求解. 【详解】因， 则， 又时，，故是第四象限角，则. 则. 故选：A 6．（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据同角三角函数的基本关系判断选项. 【详解】对于A，因为，所以， ， 所以，故A正确； 对于B，由已知可得， 因为， 所以，故B错误； 对于C，D，由， 可得，所以，故C，D都正确． 故选：ACD 7．已知，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)－. (2) (3) 【分析】（1）将等式两边平方，结合即可求解； （2）利用立方和公式求值即可. （3）利用平方差公式及象限角的正余弦值求值即可. 【详解】（1） ，，即. ，. （2） . （3） 因为，，所以正余弦值异号，即为第二象限角， 所以. 8．已知是一元二次方程的两根． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用因式分解来求一元二次方程的两根，再结合，即可求得； （2）利用题意可知，，即可求. 【详解】（1）因为方程可以变形为， 所以方程两根为， 又因为是方程的两根，且， 所以有，即． （2）由（1）可知， ， 因为，所以， 又因为，所以，，即，． 所以 题型四、正余弦齐次式的计算 1．已知，求下列各式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的商数关系，利用正余弦的齐次式化为的代数式，计算求值； （2）利用同角三角函数的商数关系和平方关系，构造正余弦的齐次式计算求值. 【详解】（1）因为，所以的终边不在轴上，故. 所以； （2） . 2．已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用弦化切可化简得所求代数式的值； （2）将所求代数式化为，再利用弦化切可得出所求代数式的值； （3）将所求代数式化为，再利用弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式. 3．. (1)求； (2)求. 【答案】(1)2 (2)2 【分析】（1）应用齐次式弦化切计算求解； （2）应用同角三角函数关系结合齐次式弦化切计算求解； 【详解】（1）因为，所以， 化简得，故； （2）因为， 所以. 4．已知，.求: (1); (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 利用弦化切得到解得；（2）进行弦化切后代入求解. 【详解】（1） 所以，解得或. ∵，∴，∴. （2）原式. 5．已知，求： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式化简式子，然后“1”的代换变成分式，再同除即可求解； （2）先把分母变为，然后对分式同除即可求解. 【详解】（1） ； （2） =. 6．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用“1”的代换及弦切互化可求. （2）利用“1”的代换及弦切互化可求三角函数式的值. 【详解】（1）解法一：∵，， ∴， 分子分母同时除以，得， 即，解得． 解法二：∵，∴， 即，∴ ∴． （2）∵，∴． 题型五、利用同角三角函数的基本关系进行恒等式证明 1．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】从左向右证，先对左边分母中的1进行常值代换，然后再化弦为切即可得证. 【详解】左边 右边. ∴原等式成立. 2．若<α<2π，求证：＋＝－. 【答案】证明见解析. 【分析】结合同角的平方关系从左往右化简即可证出结论. 【详解】∵<α<2π，∴sin α<0. 左边＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝－－ ＝－＝右边． ∴原等式成立． 3．求证：. 【答案】证明见解析 【解析】利用同角三角函数的商数关系和平方关系化简计算可证得原等式成立. 【详解】. 故原式得证. 【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式，考查计算能力，属于基础题. 4．求证： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）左边==右边，故得证， （2）左边==右边，故得证， （3）左边==右边，故得证 题型六、同角三角函数基本关系的综合运用 1．（1）已知，求和的值； （2）从以下两问任选一问作答，其中选①满分为5分，选②满分7分，若两问都作答则只计第①问得分 ①已知且，求和的值. ②已知为第二象限角. （i）化简 （ii）若，求的值. 【答案】（1）；（2）①答案见解析；②（i）；（ii） 【分析】（1）根据正弦余弦的关系结合平方关系代入可求答案； （2）①把平方可得，结合角的范围和可求；②（i）利用平方关系，去掉根号可化简；（ii）由已知求出，结合角的范围和可求. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，即， 所以. （2）①因为，所以； 因为，所以，所以. 而，所以. ②（i）为第二象限角，则. . （ii）因为， 所以，因为为第二象限角，所以. 所以. 2．已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）根据齐次式及同角的三角函数基本关系式求解即可； （2）根据齐次式及同角的三角函数基本关系式求解即可； （3）根据同角的三角函数基本关系式求出，，进而求解即可； 【详解】（1）由，为第三象限角， 则； （2）由，为第三象限角， 则； （3）由，则， 因为，则，即， 则， 又为第三象限角，所以， 则. 3．已知为第一象限的角，终边经过点，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义求解； （2）由（1）得到，代入求解. 【详解】（1）因为为第一象限的角，终边经过点，且， 所以，解得， （2）由（1）知：， 所以， . 4．（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值. 【答案】（1）（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由同角三角函数的平方关系代入计算即可得到，从而得到； （2）将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果； （3）结合同角三角函数关系解出方程即可. 【详解】（1）在第二象限， ， . （2）由， 所以. （3）因为，且， 解得或（舍去）， 则. 5．已知. (1)求； (2)若是第一象限角，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）配凑分母，根据正余弦齐次式的求法可构造方程求得结果； （2）利用同角三角函数关系化简所求式子，并求得的值，代入即可得到结果. 【详解】（1）， ，解得：或. （2）， 是第一象限角，，， 由（1）知：，由得：， . 6．已知是关于的方程的两个根． (1)求实数的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算，根据韦达定理结合同角三角函数的关系式，可得，求解可得答案； （2）根据同角三角函数的关系式化简，代入数据计算即可． 【详解】（1）∵是关于的方程的两个根， ∴，解得或， 由韦达定理得， ∵， 解得或（舍）， 故． （2） ． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $