18-5 分式方程 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦分式方程，包含概念、解法及应用。通过轮船顺逆流航行问题导入，对比整式方程引出分式方程概念，再讲解去分母转化整式方程、检验增根的解法，最后结合工程、行程问题学习应用，构建从具体到抽象再到应用的学习支架。 其亮点是以实际问题驱动，通过实例剖析和表格法梳理数量关系，培养抽象能力、运算能力与模型意识。如用表格分析工程问题中工作效率与总量的关系，帮助学生建立方程模型，学生能提升解决实际问题的能力，教师可借助清晰步骤和实例优化教学。

分式方程 模块一： 分式方程 一艘轮船在静水中的最大航速为20 km/h,它沿江以最大航速顺流航行100 km所用时间,与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等,江水的流速为多少? 解:设江水的流速为 v km/h， 根据题意，得 这样的方程与以前学过的方程一样吗？ 为要解决导入中的问题，我们得到了方程 ． 仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？ 分式方程的概念 　 方程 　　　　　　　　　　　 与上面的方程有什么共同特征？ 追问1： 分母中都含有未知数． 分式方程的概念： 　　分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的特征：分母中含有未知数. 注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中． 你能再写出几个分式方程吗？　　 追问2： 1.下列式子中，属于分式方程的是 ，属于整式方程的是 　 （填序号）． （2） （1） （3） 总结： 　　这些解法的共同特点是先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程． 你能试着解分式方程 吗？ 解分式方程 问题1： 这些解法有什么共同特点？ 问题2： （1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了． （2）利用等式的性质，可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母． 归纳总结： 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验． 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 例1 解方程 解： 方程两边乘x(x-3),得 2x=3x-9. 解得 x=9. 检验：当x=9时，x(x-3) ≠0. 所以，原分式方程的解为x=9. 例2 解方程 解： 方程两边乘(x-1)(x+2),得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3. 解得 x=1. 检验：当x=1时，(x-1)(x+2) =0,因此x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 解:(1)方程两边乘x(x-3),得 2x=3x-9. 解得：x=9. 检验：当x=9时,x(x-3)≠0. ∴原分式方程的解为x=9. 例3.解方程 (2)方程两边乘(x-1)(x+2),得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3. 解得：x=1. 检验：当x=1时,(x-1)(x+2)=0, ∴原分式方程无解. 例4.若关于的方程 有增根，求的值． 解：方程两边都乘以（x-2）得， 2-x-m=2（x-2）， ∵分式方程有增根， ∴x-2=0， 解得x=2， ∴2-2-m=2（2-2）， 解得m=0． 1.解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ） A.2（x-8)+5x=16(x-7) B.2(x-8)+5x=8 C.2(x-8)-5x=16(x-7) D.2(x-8)-5x=8 A 2.若关于x的分式方程 无解，则m的值为( ) A．－1，5 B．1 C．－1.5或2 D．－0.5或－1.5 D 3.解方程： 解：去分母，得 解得 检验：把 代入 所以原方程的解为 4.若关于x的分式方程 无解，求m的值． 解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)， 即(m－1)x＝－10. ①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1； ②方程有增根，则x＝2或x＝－2， 当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4； 当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10， 解得m＝6， ∴m的值是1，－4或6. 解分式方程的一般步骤： 分式方程 整式方程 x=a x=a是分式方程的解 x=a不是分式方程的解 最简公分母不为0 最简公分母为0 去分母 解整式方程 检验 模块二： 分式方程的应用 列分式方程解应用题的一般步骤： 1. 审:分析题意,找出数量关系和相等关系. 2. 设:选择恰当的未知数,注意单位统一. 3. 列:根据数量和相等关系,正确列出方程. 4. 解:解这个分式方程. 5. 验:检验.既要检验所求的解是不是分式方程的解，又要检验是否符合实际意义. 6. 答:注意单位和语言完整. 例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 表格法分析如下： 工作时间（月） 工作效率 工作总量（1） 甲队 乙队 设乙单独完成这项工程需要x个月. 等量关系： 甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1” 方程两边都乘以6x,得 解得 x=1. 检验：当x=1时，6x≠0. 所以，原分式方程的解为x=1. 由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快. 解：设乙单独 完成这项工程需要x个月.记工作总量为1. 例2 某次列车平均提速vkm/h,用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km,提速前列车的平均速度为多少km/h？ 路程 速度 时间 提速前 提速后 s+50 x x+v S 方程两边同乘x(x+v) , 得s(x+v)=x(s+50) 去括号， 得 sx+sv=xs+50x 移项、合并，得 50x=sv 解得 解：列轿车提速为x千米/小时， 依题意得 检验：由于都是正数， 时x(x+v)≠0 ， 是原分式方程的解. 答：提速前列车的平均速度为 千米/时. 1.农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度. 解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时，依题意得： 解得 x=15. 经检验，x=15是原方程的根. 由x＝15得3x=45. 答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时. 2.抗洪抢险时,需要在一定时间内筑起拦洪大坝,甲队单独做正好按期完成,而乙队由于人少,单独做则超期3个小时才能完成.现甲,乙两队合作2个小时后,甲队又有新任务,余下的由乙队单独做,刚好按期完成.求甲,乙两队单独完成全部工程各需多少小时? 解：设甲队单独完成需要x小时,则乙队需要(x＋3)小时. 由题意得 . 解得x＝6. 经检验x＝6是方程的解．∴x＋3＝9. 答：甲单独完成全部工程需6小时,乙单独完成全部工程需9小时. 3.某工程队准备修建一条长3 000m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成任务。原计划每天修盲道多少米？ 解：设原计划每天修建盲道x m. 依题意得： 解得x=300 检验：当x=300时，1.25x≠0 所以，原分式方程的解为x=300 答：原计划每天修建盲道300m. 4.一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/小时，求轮船在静水中的速度. x=－18（不合题意，舍去）， 解：设船在静水中的速度为x千米/小时,根据题意得 解得 x=±18. 检验得：x=18. 答：船在静水中的速度为18千米/小时. 列分式方程解应用题的一般步骤 1.审:清题意，并设未知数； 2.找:相等关系； 3.列:出方程； 4.解:这个分式方程； 5.验:根（包括两方面 :(1)是否是分式方程的根； (2)是否符合题意）； 6.答:作答. $