18.5.1分式方程及其解法-课件-2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦分式方程及其解法，涵盖定义、解法（去分母转化整式方程、四步解题法）、增根等核心知识点。通过轮船顺逆流航行情境导入，引导学生从实际问题抽象等量关系，建立与整式方程的联系，搭建学习支架帮助理解分式方程本质。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光（抽象能力），对比整式方程解法渗透转化思想（数学思维中的推理意识），检验环节强调严谨性，易错总结针对性强。如航行问题抽象分式方程，例题中增根判断，助力学生形成有条理的思维，教师可利用系统练习和解析提升教学效率。

人教版（新教材）数学八年级上册 第十八章 分式 18.5.1分式方程及其解法 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/2 人教版八年级上册18.5.1分式方程及其解法专项练习 一、核心知识点梳理 1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。区别于整式方程，整式方程分母不含未知数，这是判断分式方程的核心依据。 2. 分式方程解法核心思想：去分母，将分式方程转化为熟悉的整式方程求解。先找出方程中所有分母的最简公分母，方程两边同时乘以最简公分母，消去分母。 3. 标准解题步骤：一找（确定最简公分母）；二乘（两边同乘公分母去分母）；三解（解所得整式方程）；四验（检验根的有效性）。检验是分式方程必不可少的步骤。 4. 增根概念：整式方程的解使原分式方程的分母为0，导致分式无意义，这样的解叫做增根，含增根的分式方程无解。 二、基础巩固练习（每题6分，共30分） 1. 判断下列方程是否为分式方程：（1）$$\frac{x}{2}+1=0$$ （2）$$\frac{1}{x}+2=3$$ 2. 解方程：$$\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}$$ 3. 解方程：$$\frac{3}{x-1}=\frac{4}{x}$$ 4. 解方程：$$\frac{2}{x}=\frac{3}{x+2}$$ 5. 解方程：$$\frac{1}{x-2}=\frac{3}{x}$$ 三、能力提升练习（每题10分，共40分） 6. 解方程：$$\frac{x}{x-1}-1=\frac{3}{(x-1)(x+2)}$$ 7. 解方程：$$\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-1}=\frac{6}{x^2-1}$$ 8. 已知分式方程$$\frac{x}{x-3}=2+\frac{a}{x-3}$$有增根，求$$a$$的值。 9. 解方程并检验：$$\frac{3}{x}-\frac{1}{x+2}=0$$ 四、综合应用练习（15分） 10. 某班级整理图书，人工整理每小时整理$$x$$本，机器每小时整理的数量是人工的3倍。人工整理60本图书比机器整理60本图书多用2小时，根据题意列出分式方程并求解人工每小时整理的图书数量。 五、参考答案与详细解析 1. 解析：（1）分母无未知数，是整式方程；（2）分母含未知数$$x$$，是分式方程。 2. 解析：最简公分母为$$x(x+1)$$，两边同乘公分母得：$$x+1=2x$$，解得$$x=1$$。检验：$$x=1$$时，分母不为0，方程成立，故解为$$x=1$$。 3. 解析：两边同乘$$x(x-1)$$得：$$3x=4(x-1)$$，展开化简得$$3x=4x-4$$，解得$$x=4$$。检验合格，方程解为$$x=4$$。 4. 解析：去分母得$$2(x+2)=3x$$，展开得$$2x+4=3x$$，解得$$x=4$$，检验分母不为零，解有效。 5. 解析：去分母得$$x=3(x-2)$$，化简得$$x=3x-6$$，解得$$x=3$$，检验合格，方程解为$$x=3$$。 6. 解析：最简公分母$$(x-1)(x+2)$$，去分母得$$x(x+2)-(x-1)(x+2)=3$$，展开化简得$$x+2=3$$，$$x=1$$。检验：$$x=1$$时分母为0，是增根，方程无解。 7. 解析：公分母$$(x+1)(x-1)$$，去分母得$$2(x-1)+3(x+1)=6$$，化简得$$5x+1=6$$，$$x=1$$。检验：$$x=1$$使分母为0，是增根，方程无解。 8. 解析：分式方程增根为$$x=3$$，去分母得$$x=2(x-3)+a$$，将$$x=3$$代入整式方程，解得$$a=3$$。 9. 解析：去分母得$$3(x+2)-x=0$$，化简得$$2x+6=0$$，解得$$x=-3$$。检验：$$x=-3$$时分母不为0，方程解为$$x=-3$$。 10. 解析：根据时间差列方程：$$\frac{60}{x}-\frac{60}{3x}=2$$，最简公分母$$3x$$，去分母得$$180-60=6x$$，解得$$x=20$$。检验合格。答：人工每小时整理20本图书。 六、易错总结 1. 解分式方程忘记检验，将增根当作有效解，是最高频易错点；2. 去分母时，常数项漏乘最简公分母，导致整式方程求解错误；3. 分母为多项式未因式分解，找错最简公分母；4. 混淆增根与无解的概念，有增根则分式方程无解，但整式方程一定有解；5. 列分式方程应用题时，忽略实际问题取值范围，未检验解的实际意义。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 能从实际情境中抽象出分式方程，了解分式方程的概念，并会正确识别分式方程. 经历解分式方程基本思路的探究过程，了解需要对分式方程的解进行检验的原因 能解可化为一元一次方程的分式方程，体会转化和化归思想. 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用的时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？ 等量关系 v顺流 = v静水 + v水流 v逆流 = v静水 – v水流 情境导入 如果设江水的流速为 v km / h： 速度(km/h) 路程(km) 时间(h) 等量关系式 顺流 逆流 30 + v 30 – v 90 60 仔细观察这个方程，其未知数的位置有什么特点？ 情境导入 像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程. 我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中. 动手写几个分式方程吧！ 分式方程 探究点一：分式方程的概念 探究新知 【针对训练】 1. 下列式子中，属于分式方程的是________； 属于整式方程的是_______. ②③ ① 探究点一：分式方程的概念 探究新知 1.下列式子中，属于分式方程的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 7 2. 请利用式子1，， ，5组成一个分式方程： ________________________. (每个式子都要用上) （答案不唯一） 返回 举一反三 8 3.化分式方程 为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母是 ( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 9 探究点二：分式方程的解法 解：去分母得 2×(2＋3x)－6×2＝x＋2 4＋6x－6×2＝x＋2 5x＝10 去括号得 移项合并得 解得 x＝2 类比解整式方程 如何转化？ 去分母 探究：如何解分式方程 动手解一解！ 探究新知 【合作探究】 方程的最简公分母是：(30 + v)(30 - v). 解：方程两边同乘 (30 + v)(30 - v)，得 90(30 - v) = 60(30 + v)， 解得 v = 6. x = 6 是原分式方程的解吗？ 检验：将 v = 6 代入①中，左边 = ，右边 = ， 这时左、右两边的值相等，因此 v = 6 是分式方程 ① 的解. ① 探究点二：分式方程的解法 探究新知 【归纳总结】 解分式方程的基本思路： 整式方程 去分母 分式方程 (方程两边同乘 最简公分母) 探究点二：分式方程的解法 探究新知 【合作探究】下面我们再解一个分式方程： 解：方程两边乘最简公分母 (x + 5)(x - 5)，得整式方程 x + 5 = 10. 解得 x = 5. x = 5 是原分式方程的解吗？ 探究点二：分式方程的解法 探究新知 检验： x = 5 代入 分式无意义 x - 5 = 0 x2 - 25 = 0 分母 分式方程无解 x = 5 是整式方程的解 不是分式方程的解 探究点二：分式方程的解法 探究新知 【想一想】 上面两个分式方程中，为什么 ① 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解， 而 ② 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 探究点二：分式方程的解法 探究新知 【对比探究】 x + 5 = 10 两边同乘(x + 5)(x - 5) 90(30-x)=60(30+x) 两边同乘(30+x)(30-x) 当x=6时，(30+x)(30-x)≠0 当 x=5 时，(x + 5)(x - 5)=0 区别 ？ 整式方程的解是否使最简公分母为0 ① ② 探究点二：分式方程的解法 探究新知 用图框的方式总结为： 当 x = m 时 最简公分母是 否为零 x = m 检验 x = m 是分式 方程的解 否 x = m 不是 分式方程的解 是 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验. 【归纳总结】 探究点二：分式方程的解法 探究新知 例1 解方程： 解： 方程两边同乘 x(x - 3)，得 2x = 3x - 9. 解得 x = 9. 检验：当 x = 9 时， x(x - 3)≠0， 所以，原分式方程的解为 x = 9. ①将分式方程转化为整式方程 ②求整式方程的解 ③把解代入到最简公分母中，看是否为零 探究点二：分式方程的解法 探究新知 返回 A 举一反三 19 返回 x＝2 举一反三 20 6.［怀化期末］若关于的分式方程的解是，则 ___. 1 返回 举一反三 21 例2 解方程： 解：方程两边同乘 (x - 1)(x + 2)，得 x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3. 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时， (x - 1)(x + 2) = 0， 因此 x = 1 不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. ①化整式方程 ②求解 ③检验 探究点二：分式方程的解法 探究新知 举一反三 23 解：方程两边乘(x－1)(x＋1)，得 3(x－1)－(x＋1)＝0， 去括号，得3x－3－x－1＝0， 移项，合并同类项，得2x＝4， 系数化为1，得x＝2， 检验，当x＝2时，(x－1)(x＋1)≠0， ∴原分式方程的解是x＝2. 举一反三 （3） . 解：方程两边乘 ， 得 ， 解得 ， 检验：当时， ， 不是原分式方程的解. 原分式方程无解. 返回 举一反三 25 举一反三 26 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 举一反三 27 返回 1－x＝－1－2(x－2) 1－x＝－1－2x＋4 －x＋2x＝－1＋4－1， 解得x＝2， 检验：当x＝2时，x－2＝0， ∴x＝2不是原方程的根， ∴原方程无解．   举一反三 解分式方程的一般步骤如下： 分式方程 去分母 整式方程 x = m 解整式方程 x = m 是分式 方程的解 最简公分母不为0 最简公分母为0 x = m 不是分式方程的解 检验 目标 课堂小结 谢谢观看 THANKS 4．湖南中考将分式方程＝去分母后得到的整式方程为(　　) A．x＋1＝2x B．x＋2＝1 C．1＝2x D．x＝2(x＋1) 5．北京中考方程＋＝0的解为________． 7．教材P166练习变式解分式方程： (1)镇江中考＝； 解: 方程两边乘2(4＋x)，得2(3－x)＝4＋x，去括号，得6－2x＝4＋x， 移项，得－2x－x＝4－6，合并同类项，得－3x＝－2， 系数化为1，得x＝，检验：当x＝时，2(4＋x)≠0， ∴原分式方程的解为x＝. (2)浙江中考－＝0； 第一步：·(x－2)＝－·(x－2)－2， 第二步：1－x＝－1－2， 第三步：－x＝－1－2－1， 第四步：x＝4. 第五步：检验：当x＝4时，x－2≠0. 第六步：∴原分式方程的解为x＝4. 8．广东中考在解分式方程＝－2时，小李的解法如下： 解：第一步是去分母．去分母的依据是等式两边同时乘一个不为0的数(或式子)，等式仍然成立． 小李的解答过程不正确，正确解答如下： ＝－2， $