第三章 代数式（12考点+18易错+易错训练）（知识清单）数学新教材苏科版七年级上册

该初中数学“代数式”单元知识清单系统涵盖代数式的概念、表示方法、整式运算及应用，包含用字母表示数、代数式书写、整式加减等核心范畴，搭建从概念理解到运算技能再到实际应用的递进式学习支架。 清单通过12个知识点分类呈现知识体系，18个易错点分级标注重难点，如“合并同类项四步法”培养运算能力，“整体代入法”训练数学思维，“列代数式解决实际问题”强化模型意识，助力学生自主梳理知识，教师精准教学，提升学习效率与课堂实效。

第三章 代数式 知识点一、用字母表示数 用字母表示数，使得字母和数一样可以参与运算，用式子把数量关系简明地表示出来. 1.用字母表示数的特点： （1）任意性：字母可以表示任意的数或式子； （2）限制性：字母的取值应使式子有意义； （3）确定性：字母的取值一旦确定了，式子的值也会随之确定； （4）一般性：用字母表示数可以反映出事物的规律，更具有一般性. 2.用字母表示数的注意点： （1）同一个问题中，相同的字母必须表示相同的量，不同的量必须用不同的字母表示； （2）用字母表示数时，某些特定的字母只能表示特定的数，如“π”表示圆周率； （3）用字母表示数时，数字与字母或字母与字母相乘，通常将乘号写成“·”或直接省略不写（数字要写在字母的前面）； （4）当“1”与任何字母相乘时，“1”可以省略不写； （5）用含字母的式子表示问题的最终答案时，除数一般写成分母，若式子是和或差的形式，要用括号把含有字母的式子括起来，再在括号的后面写上单位. 知识点二、用字母表示数的常见应用 1.用字母表示运算律 用字母表示运算律，说明运算律不是针对某一个具体的数的运算，使得运算律更具有代表性和一般性，如果用a、b、c表示任意三个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为a＋b＝b＋a，加法结合律可以用字母标书为（a＋b＋c）＝a＋（b＋c）. 2.用字母表示公式 对于任意一个三角形，我们可以用S表示三角形的面积，用a表示三角形的底，用h表示对应底边上的高，则，除此之外，如长方形面积公式可以用表示，长方体的体积公式可以用表示. 3.用字母表示各种数 当n为整数时，我们可以用2n表示任意一个偶数，可以用2n＋1表示任意一个奇数等. 4.用字母表示数量关系 如小明有a颗糖果，小红的糖果比小明的2倍还多3颗，则小红的糖果数为（2a＋3）颗. 知识点三、代数式 1.代数式的定义：用运算符号把数和式子连接而成的式子叫做代数式，像16n ，2a+3b ，34 ，，等，这样的式子都是代数式，单独的一个数或字母也是代数式. 带等号（＝）或不等号（≠、＜、＞、≤、≥）的都不是代数式. 知识点四、代数式的书写要求 （1）数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （3）如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写； （4）带分数与字母相乘时，要将带分数转化成假分数； （5）除法运算要用分数线； （6）若式子后面有单位且式子是和或差的形式，式子应看作是一个整体，要用括号括起来，再在括号后面写上单位. 知识点五、列代数式 1. 把问题中的数量关系用代数式表示出来，及列代数式. 2. 列代数式常用的方法： （1） 抓关键性词语，如“大”、“小”、“多”、“少”、“差”、“积”、“商”、“倍”等； （2） 在具体情境中，运用公式或数量关系列代数式. 知识点六、代数式的实际意义 明白每个符号代表的意义以及整个式子所表示的数量关系，用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同的实际问题中的数量关系. 描述一个代数式的意义的三种途径： （1） 从代数式本身出发来描述字母之间的数量关系； （2） 联系生活实际赋予字母一定的实际意义； （3） 联系几何背景赋予字母一定的几何意义. 知识点七、代数式的值 1. 代数式的值的定义：根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值. 代数式的值并不是固定的，它会随着代数式中字母取值的变化而变化. 代数式中的字母取值并不是任意的，主要限制条件有：①必须使代数式有意义，如中的a不能取1；②实际问题中的字母取值要符合实际意义，比如小明买了b支铅笔，这里的b只能是0或正整数，不能取小数或者负数. 2. 求代数式的值的步骤 （1）代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原； （2）计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的. 知识点八、整式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 4.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 5.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 6.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 7.整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 知识点九、合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 知识点十、去括号 1.去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. （1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； （2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号； （3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 2.添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 知识点十一、整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 知识点十二、代数式的化简求值 1.求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 易错点1 代数式的概念辨析 易错提醒 区分代数式与等式、不等式，含有等号、不等号的不是代数式。注意单独的数或字母属于代数式。识别时不要被形式迷惑，看清是否仅由运算符号连接。做题易误把方程、不等式归为代数式，判断概念抓住核心，不含关系符号，再结合定义仔细甄别。 【对点训练】1．下列选项中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的定义，需依据代数式的概念判断各选项，代数式是不含等号、不等号等关系符号的式子． 【详解】解：∵代数式是由数、字母和运算符号组成的式子，且不包含等号、不等号等关系符号， ∴选项A是等式，含有等号，不属于代数式， 选项B是单独的数，属于代数式， 选项C、D是由数、字母和运算符号组成的式子，属于代数式， ∴不是代数式的是A选项， 故选：A． 【对点训练】2．下列式子：①1；②2a；③；④；⑤；⑥，其中代数式有（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【分析】本题考查代数式的判断，代数式是指用运算符号连接数或字母的式子，或单独的数或字母；含有等号或不等号的式子不是代数式，据此进行判断即可． 【详解】解：①1；②2a；③；④；⑤；⑥中，①②④为代数式；③⑤⑥中的式子含有等号或不等号，不是代数式； 故选B． 【对点训练】3．下列说法中，正确的是（   ） A．表示，，的积的代数式为 B．的意义是减去3的差除以的商 C．1不是代数式 D．、两数平方的和的4倍用代数式表示为 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式的定义，列代数式，解题的关键在于能够熟练掌握代数式的相关知识． 根据代数式的定义，以及代数式的书写，然后进行判断即可． 【详解】解：A，应写为假分数，代数式书写不规范，该选项不符合题意； B，表示除以的商，描述正确，该选项符合题意； C，1是单独的数，属于代数式，该选项不符合题意； D，“平方的和”指，其4倍应为，而非，该选项不符合题意． 故选B． 易错点2 代数式的书写方法 易错提醒 书写代数式注意省略乘号时数字放在字母前，带分数必须化成假分数。除法改用分数形式，不写除号。系数为 1、‑1 时省略 1，只保留符号。含有加减关系且带单位，整体要加括号。考试常出现顺序颠倒、带分数直接书写、漏加括号等低级错误。 【对点训练】4．下列书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式的书写规范，需依据代数式书写的相关规则逐一判断各选项． 代数式书写规范要求：数字与字母相乘时乘号可省略或用、带分数需化为假分数、除法运算要写成分数形式、字母相乘可直接书写． 【详解】A选项应写成或，故该选项不符合题意； C选项应写成，故该选项不符合题意； D选项应写成，故该选项不符合题意； B选项符合字母相乘的书写规范，故该选项符合题意； 故答案为：B． 【对点训练】5．下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查代数式的书写规范，包括乘号省略、数字与字母的位置、带分数化假分数、除法写成分数等． （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写，数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （2）带分数要写成假分数的形式； （3）1通常省略不写； （4）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写． 【详解】（1）解：不规范，数字应写在字母前面，乘号省略，应写为． 故答案为：． （2）解：不规范，带分数应写成假分数，即． 故答案为：． （3）解：不规范，1应省略不写，应写为或． 故答案为：或． （4）解：不规范，除法应写成分数形式，即． 故答案为：． 【对点训练】6．下列代数式中，符合代数式书写要求的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦千米． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查代数式的书写习惯，掌握代数式的书写习惯是解题的关键． 根据代数式书写规则，检查每个式子是否符合要求，如不使用带分数、除号，数字应在字母前，单位需加括号等． 【详解】解：∵①应写成，不符合书写要求； ②是加法运算，符合书写要求； ③是分数形式，符合书写要求； ④是分数形式，符合书写要求； ⑤数字在括号前，符合书写要求； ⑥应写成，不符合书写要求； ⑦千米应写成千米，不符合书写要求. ∴符合要求的是②③④⑤，共4个， 故选：C． 易错点3 代数式表示的实际意义 易错提醒 描述代数式实际意义，要分清运算顺序，不要颠倒运算逻辑。解读时注意括号改变运算优先级，避免文字表述与式子不符。结合实际情境，取值要符合现实，不能出现负数数量。答题忌笼统表述，尽量贴合生活实例，防止题意理解偏差。 【对点训练】7．下列说法中，不能表示代数式“”意义的是（ ）． A．的倍 B．与的积 C．个相加的和 D．个相乘 【答案】D 【详解】解：对于选项A：的倍，即，可以表示的意义，不符合题意； 对于选项B：与的积，直接表示为，可以表示的意义，不符合题意； 对于选项C：个相加的和，即，可以表示的意义，不符合题意； 对于选项D：个相乘，即，不能表示代数式的意义，符合题意． 【对点训练】8．下列语句用代数式表示正确的是（　　） A．比的倍大的数： B．的相反数与的一半的差： C．与的差的平方： D．的平方除以的商： 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的书写规范，关键是熟练应用知识点判断；逐一分析每个选项的代数式是否准确描述语句即可． 【详解】解∵ 选项A：比的倍大的数：，正确； 选项B：的相反数与b的一半的差应为：，错误； 选项C：与的差的平方应为，错误； 选项D：的平方除以的商应为，错误； ∴ 故答案为：A． 【对点训练】9．某中学为丰富学生体育活动，决定购置一批篮球．计划每个班级分配4个篮球，学校另外留存10个篮球用于校级比赛和公共借用．设全校班级总数为（为正整数）． (1)请用含的代数式表示学校需要购置的篮球总数； (2)现学校有18个班级，需要购置多少个篮球？（请写出计算过程） (3)请结合题意，说明（1）中代数式的数字4和10在实际问题中分别表示什么含义． 【答案】(1) (2)82个 (3) 解：数字4表示：每个班级分配到的篮球个数（或每班分配4个篮球）； 数字10表示：学校额外留存的篮球个数（或学校另留10个篮球作为公用）． 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）用班级数乘以每个班级分配的数量，再加上10即可得到答案； （2）把代入（1）所求的式子中计算求解即可． （3）数字4表示：每个班级分配到的篮球个数；数字10表示：学校额外留存的篮球个数． 【详解】（1）解：学校需要购置的篮球总数为：个． （2）解：当时， ． 答：需要购置82个篮球． （3）略 易错点4 代数式的求值问题 易错提醒 代入数值时，负数、分数乘方代入要记得添加括号，防止符号出错。分清 “当… 时” 直接代入与整体代入两种题型。替换字母时不要漏代、错代，运算严格遵循运算顺序。求出结果后简单验算，整体代入注意式子变形，避免直接拆开破坏整体结构。 【对点训练】10．填表： x 0 1 2 【答案】 x 0 1 2 5 3 1 3 0 0 3 【分析】将表格中给出的每个的值分别代入两个代数式，按有理数运算法则计算即可得到对应结果． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 填表见答案． 【对点训练】11．若、互为相反数，、互为倒数，则 =___________． 【答案】 【分析】由、互为相反数，、互为倒数，得，整体代入求值即可． 【详解】解：、互为相反数，、互为倒数， ， 原式． 【对点训练】12．当时，代数式的值为2026，当时，这个代数式的值为（     ） A． B． C． D．2019 【答案】B 【分析】先将代入代数式求出的值，再将代入代数式，利用整体代入法计算求值． 【详解】解：当时，代数式的值为， ， 当时，， 把代入，则， ∴当时，这个代数式的值为． 易错点5 单项式的相关概念 【对点训练】13．关于代数式，下列说法正确的是（     ） A．它的系数是3 B．它是单项式 C．它的次数是6 D．它不是整式 【答案】B 【详解】解：． ∵该式的数字因数为9， ∴系数为9，故A选项错误； ∵该代数式是数字与字母的乘积， ∴它是单项式，属于整式，故B选项正确，D选项错误； ∵所有字母的指数和为， ∴次数为4，故C选项错误． 【对点训练】14．判断下列代数式是不是单项式： (1)a； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)是单项式 (2)是单项式 (3)不是单项式 (4)是单项式 (5)是单项式 【分析】由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 （5）略 【对点训练】15．下列说法不正确的是（    ） A．数字1是单项式 B．是二次单项式 C．单项式的系数和次数都是1 D．的系数是 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，单项式的系数和次数的概念．单项式的系数是数字因数（包括符号），次数是所有字母的指数和，常数项的次数为0．由此逐项判断即可． 【详解】解：A．数字1是常数项，是单项式，故该选项说法正确，不符合题意； B．中，是常数，字母x和y的指数均为1，次数为2，是二次单项式，故该选项说法正确，不符合题意； C．单项式的系数是，次数是1，故该选项说法不正确，符合题意； D．的系数是，故该选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 易错点6 多项式的相关概念 【对点训练】16．指出下列整式中的单项式和多项式：①；②；③；④；⑤． 【答案】①②③是单项式；④⑤是多项式 【分析】本题考查单项式与多项式的识别，解题的关键是掌握单项式和多项式的定义．数与字母乘积的代数式叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式．单独的一个数或一个字母也叫做单项式．根据单项式和多项式的定义解答即可． 【详解】解：①是单独的一个数，是单项式； ②是单独的一个字母，是单项式； ③是数与字母的积，是单项式； ④是几个单项式的和，是多项式； ⑤是几个单项式的和，是多项式； 则①②③是单项式；④⑤是多项式． 【对点训练】17．已知多项式是关于x的二次多项式，求a的值． 【答案】a的值为0． 【分析】本题考查多项式的相关概念，掌握概念是解题的关键． 根据多项式是关于x的二次多项式即可求解． 【详解】解：多项式是关于x的二次多项式， 三次项的系数必须为0，即， a的值为0． 【对点训练】18．在式子，，，，，，中，多项式有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的识别，根据多项式是几个单项式的和一一判断即可． 【详解】解：是两个单项式的和，是多项式；是常数，为单项式，不是多项式；是两个单项式的和，是多项式；是常数，为单项式，不是多项式；可化为，是两个单项式的和，是多项式；分母含有字母，不是整式，因此不是多项式；是单项式，不是多项式． 所以多项式有、、，共3个． 故选：C． 易错点7 多项式的字母求值问题多项式的升降幂排列 易错提醒 升降幂排列只看指定字母的次数，移动项时连同前面符号一起迁移，不要丢掉负号。求值先看清哪个是主元，区分系数与次数。排列不要遗漏常数项，求值代入负数勿忘括号，注意题目指定字母，不要混淆其他字母的次数。 【对点训练】19．把多项式重新排列： (1)按x的升幂排列； (2)按x的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按x的指数从小到大的顺序排列即可； （2）按x的指数从大到小的顺序排列即可． 【详解】（1）解：按x的升幂排列如下：； （2）解：按x的降幂排列如下：． 【对点训练】20．将下列多项式按x的降幂排列： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】先分清多项式的各项，然后按多项式降幂排列的定义排列即可得. 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【对点训练】21．将多项式按x的降幂排列为 ____________________ ． 【答案】 【分析】把多项式各项按x的指数从大到小的顺序排列． 【详解】解：多项式按x的降幂排列为． 易错点8 整式的判断 易错提醒 判断整式注意分母中不能含有字母，分母含字母为分式，不属于整式。分清单项式、多项式概念，π 是常数不是字母。注意多项式是几个单项式的和，识别时不要被表面形式干扰。做题容易混淆整式、分式，重点查看分母，区分常数与字母再做判定。 【对点训练】22．下列说法中，正确的个数：（   ） ①单项式与多项式统称为整式； ②单项式的系数是1； ③是二次三项式； ④x的次数是0； ⑤是多项式的项 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】只需逐一判断每个说法的正误，统计正确说法的个数即可． 【详解】我们逐个判断每个说法： ① 根据整式的定义，单项式与多项式统称为整式，故①说法正确； ② 单项式的数字因数为，因此它的系数是，故②说法正确； ③ 多项式中，最高次项的次数为，该多项式共有个项，因此是二次三项式，故③说法正确； ④ 的次数是，不是，故④说法错误； ⑤ 多项式的项为，，，故⑤说法错误； 综上，故选：C． 【对点训练】23．有四种说法：①表示负数；②单项式的系数是，次数是4；③多项式是三次三项式；④在中，整式有2个：其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数，单项式，多项式，本题需根据正负数定义、单项式的系数与次数、多项式的次数与项数、整式的定义，逐一分析每个说法的正误，再统计正确的个数。 【详解】解：①∵当a为负数或0时，不是负数，∴①说法错误． ②∵单项式的系数是，次数是1+2=3，∴②说法错误． ③∵多项式的最高次项是，次数为3，且有三项，∴③说法正确． ④∵是分式，,,是整式，共3个，∴④说法错误． 综上，正确的只有1个， 故选：A． 【对点训练】24．把下列各代数式的序号填在相应的位置： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨中． (1)单项式有：____________； (2)多项式有：____________； (3)整式有：____________； (4)代数式有：____________． 【答案】(1)④⑤⑥⑧ (2)①②③⑦ (3)①②③④⑤⑥⑦⑧ (4)①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 【分析】此题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式的定义．单项式及相关概念：数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）多项式及相关概念：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称为整式． 根据单项式，多项式，整式，代数式的定义即可求解． 【详解】（1）解：单项式有：④⑤⑥⑧； （2）解：多项式有：①②③⑦； （3）解：整式有：①②③④⑤⑥⑦⑧； （4）解：代数式有：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨； 易错点9 合并同类项的计算 【对点训练】25．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项即可得出结果； （2）先去括号，再合并同类项即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【对点训练】26．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【对点训练】27．化简： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） （6） 易错点10 去括号与添括号 【对点训练】28．下面是小红同学进行化简的过程，请认真阅读并完成填空：    第一步    第二步                第三步 (1)以上步骤第一步是进行___________． (2)以上步骤第___________步出现错误，错误的原因是___________； (3)请写出正确的计算过程． 【答案】(1)去括号 (2)一；去括号时漏乘且去括号后有一项没变号 (3) 解： ． 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号，合并同类项是解题的关键． （1）根据去括号法则进行解答即可； （2）根据整式的运算法则，去括号进行判断即可； （3）根据整式的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：以上步骤第一步是进行去括号； 故答案为：去括号； （2）解：以上步骤第一步开始出现错误， 去括号时弄成了，去括号时漏乘且去括号后有一项没变号； 故答案为：一；去括号时漏乘且去括号后有一项没变号； （3）略 【对点训练】29．已知多项式，求． 老师展示了一位同学的作业： 解：第一步 第二步 …第三步 (1)这位同学从第_____步开始出现错误； (2)请你写出正确的解答过程； (3)若，求的值． 【答案】(1)二 (2) 解： ． (3)7 【分析】本题考查了多项式的化简求值． （1）掌握去括号法则和合并同类项法则，观察解题步骤发现错误即可； （2）先根据去括号法则去掉括号，再根据合并同类项法则合并同类项即可； （3）将代入化简后的式子求值即可． 【详解】（1）解：观察这位同学的解题过程，从第一步到第二步时，去括号出现错误，根据去括号法则：当括号前是“−”号时，去掉括号后，括号里的各项都要变号，该同学在去括号时，括号内的项和项没有正确变号，所以从第二步开始出现错误， 故答案为：二． （2）略 （3）解：当时， 原式． 【对点训练】30．在下列各式的括号内填上恰当的项： （1）( )； （2）( )； （3）( )． 【答案】 【分析】本题考查了添括号． （1）（2）（3）添括号时，括号前面为加号，则括号内各项不变号，括号前面是减号，则括号内各项均变为原来的相反数，据此即可依次作答． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 易错点11 整式的加减计算问题 易错提醒 合并同类项只合并系数，字母和指数保持不变，不要改动字母次数。去括号注意符号变化，括号前是负号，括号内各项全部变号。非同类项不能合并，不要强行化简。计算时容易漏项、错号，做完后检查同类项是否找全，杜绝出现乱合并的错误。 【对点训练】31．化简：． 【答案】 【分析】根据去括号的规则先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： 原式 ． 【对点训练】32．以下是一道习题及嘉嘉的解答过程： 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)上述解答过程，嘉嘉是从第______步开始出错的，请你给出正确的解答过程； (2)当时，求此代数式的值． 【答案】(1)一；过程见解析 (2) 【分析】（1）观察嘉嘉的解答过程，可知第一步去括号错误，根据去括号合并同类项的步骤写出正确的步骤； （2）把代入（1）中化简的结果计算即可． 【详解】（1）解：嘉嘉是从第一步开始出错的， 正确解答过程如下： 原式 ． （2）解：当时，原式 ． 【对点训练】33．已知关于的代数式：，，且代数式． (1)若时，化简代数式； (2)若代数式是关于的一次多项式，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简代数式，再把代入即可； （2）依据一次多项式指的是最高次为一次的多项式求解可得值，代入即可求解． 【详解】（1）解： 把代入上式得： ； （2）解：由（1）可知：， 由题意是关于的一次多项式得：，， 解得：，， 将，代入 易错点12 整式加减中的无关型问题 易错提醒 与字母取值无关时，先合并同类项，令对应项系数等于 0 求解参数。容易忽略先化简直接列式，也常搞错哪一项系数为零。求出参数后记得回代检验，注意区分系数为 0，不要把常数项也置零，看清题目是和哪个字母无关。 【对点训练】34．已知： (1)化简． (2)若无论取何数值，（1）中代数式的值均为一个定值，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． （1）代入数据，对去括号，合并同类项化简即可； （2）由（1）知根据题意使即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：由（1）知， ∵当取任何数值，的值是一个定值， ∴， 解得． 【对点训练】35．已知整式，． (1)若，求的值． (2)若代数式的值与字母b的取值无关，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，非负数的性质及代数式的值与字母取值无关的条件． （1）先通过去括号、合并同类项化简的表达式，得到最简整式，再根据非负数的性质（平方数和绝对值均为非负数，和为0则各自为0），求出a和b的具体数值，最后将a、b的值代入化简后的整式，计算得出结果； （2）将的表达式整理为“不含b的项+含b的项”的形式，提取含b项的公因式，由于代数式的值与b无关，含b项的系数必须为0，据此建立方程求解a的值． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， 解得，， ∴ ， 将，代入上式得：． （2）解：∵代数式的值与字母b的取值无关， ∴， ∴含b的项的系数为， 解得． 【对点训练】36．设，． (1)当时，求的值． (2)当时，若代数式的值与y的取值无关，求实数a，b满足的条件． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，整式的加减—无关题型，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据整式的加减运算法则，先计算出，再整体代入计算即可得出结果； （2）先求出代数式，再根据代数式的值与y的取值无关，得出． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解： ， 由于代数式的值与y的取值无关，且， 所以． 易错点13 整式加减中的整体性思维 易错提醒 整体代入要把括号内式子看作整体，不要随意拆开展开。替换时注意符号，整体为负要添加括号。做题常直接求值，忽视整体变形条件。不会对已知式子灵活变形，构造出目标代数式，代入后遵循运算顺序，避免符号失误，做完简单验证。 【对点训练】37．我们知道：，同理，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查合并同类项，代数式的恒等变形，代数式的加减代换，掌握整体思想是解题关键． （1）把看作一个整体，直接合并同类项的系数，得到简化结果； （2）将代数式变形为，再把整体代入求值； （3）把已知的、、看作整体，通过加减组合出和，再代入目标式计算． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ． （3）解：，，， ， ， ． 【对点训练】38．整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，例如：已知，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，求代数式的值． 【答案】(1)2028 (2)15 (3) 【分析】此题考查了代数式求值，整式的加减运算，解题的关键是将代数式正确变形． （1）由得到，然后整体代入求解即可； （2）将整体代入求解即可； （3）由，，得到，整理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，， 由得：， 整理得：， ∴． 【对点训练】39．“整体思想”是数学中的重要思想，官从全局着眼，通过整体代入、整体构造等方式，使问题化繁为简，化难为易．这种方法也可以应用在多项式的化简与求值中，例如：我们把看成一个整体，则． 请你尝试应用整体思想解决下列问题： (1)求代数式的值：，其中； (2)若，则代数式的值为______． (3)当时，，则当时，求的值． 【答案】(1) (2)6 (3)23 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握整体代入法，是解题的关键： （1）整体代入法进行计算即可； （2）利用整体代入法进行计算即可； （3）整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴； （3）∵当时，， ∴， ∴， ∴当时， 原式 ． 易错点14 整式加减的应用 【对点训练】40．某中学七年级一班在一次活动中要分为四个组，其中第一组有x人，第二组人数比第一组人数的少5人，第三组人数比第一、二组人数的和少15人，第四组人数与第一组人数的2倍的和是34人． (1)用含x的代数式分别表示第二组、第三组、第四组的人数； (2)求七年级一班的总人数． 【答案】(1)第二组人数：（人）．第三组人数：（人）．第四组人数：（人） (2)人 【分析】（1）分别用代数式表示出各组的人数即可； （2）将各组的人数相加，再合并同类项可得总人数． 【详解】（1）解：第二组人数：（人）． 第三组人数：（人）．                  第四组人数：（人）； （2）解： （人）， 故七年级一班的总人数是人． 【对点训练】41．如图，光明中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形草坪，草坪的周围修建等宽的小路，路宽为a米． (1)草坪的周长为多少米（含a的代数式表示）； (2)当米时，求草坪的周长． 【答案】(1) (2)35.6米 【分析】（1）列出长和宽，然后再根据周长公式计算即可 （2）把代入（1）中的周长表示式计算，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：长为：（米）， 宽为：（米） 草坪的周长： （2）解：当时，． 故当米时，草坪的周长为35.6米． 【对点训练】42．小亮房间窗户的窗帘如图1所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)用代数式表示图1窗户能射进阳光的面积．（结果保留） (2)当，米时，求图1窗户能射进阳光的面积是多少?（取） (3)小亮又设计了如图2的窗帘（由一个半圆和两个等腰直角三角形组成，直角边与半径相同），请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积是否更大?如果更大，那么大多少?（结果保留） 【答案】(1)（平方米） (2)（平方米） (3)此时窗户能射进阳光的面积更大，大平方米 【分析】（1）用长方形的面积减去两个四分之一圆的面积即可得窗户能射进阳光的面积； （2）把、的值代入（1）得出的式子即可求出； （3）用长方形的面积减去一个半圆和两个等腰直角三角形面积列代数式表示此时窗户能射进阳光的面积，再用作差法和（1）比较大小即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当，米时，（平方米）； （3）解：如图②，窗户能射进阳光的面积（平方米）， ∵ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴此时窗户能射进阳光的面积更大，大平方米． 【点睛】比较两个代数式大小时，可用作差法． 易错点15 数字类规律探究 【对点训练】43．第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)探寻上述等式规律，写出第5个等式：_________； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察所给的式子即可求出； （2）根据题意把原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：第5个等式为 （2）解： 【对点训练】44．设是一个两位数，其中是十位上的数字．例如，当时，表示的两位数是45． 当时，； 当时，； 当时，； …… (1)依据上述算式写出当时，______． (2)归纳出一般表达式，______． (3)这种简便计算也可以推广应用到个位数字是5的三位数的平方（即），请写出的简便计算过程及结果． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 则当时，； （2）解：由（1）可知； （3）解：当时，． 【对点训练】45．在数学活动中，小明为了求的值，写出下列解题过程． 设：① 两边同乘以2得： ② 由得： (1)应用结论：______； (2)拓展探究： ①求：的值； ②求：的值． 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）将代入中即可得解； （2）①模仿题目中的算法计算即可； ②模仿题目中的算法计算即可. 【详解】（1）解：由题干得：， 将代入得：； （2）解：①设， 两边同乘得：， 由得：， ∴； ②设， 两边同乘2得：， 由得：． 易错点16 图形类规律探究 【对点训练】46．某商业街的人行道由3块矩形地砖组成的基本图形排列而成，图1表示此基本图形中的地砖排列方式．将图1这个基本图形不断复制（即向前铺地砖），得到图2，图3，…（如图所示）． 显然，图1中共有6个矩形，图2中共有18个矩形，图3中共有36个矩形，…，按照以上规律，解决下列问题： (1)图4中共有________个矩形； (2)图n中共有________个矩形（用含n的式子表示）； (3)已知图1的面积为，若该人行道的面积，求该人行道图案上共有多少个矩形？ 【答案】(1)60 (2) (3)481200个 【分析】（1）根据，推出图4中的矩形个数即可； （2）由（1）推导出规律即可； （3）观察可知图的面积是图1面积的倍，进而求出的值，代入（2）中规律进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴图4中的矩形个数为（个）； （2）解：由（1）可知，图n中共有个矩形； （3）解：观察可知，图的面积是图1面积的倍， ∴当时，， 当时，， 故该人行道图案上共有个矩形. 【对点训练】47．【综合实践】 观察下列式子和对应图形中小黑点的个数之和 探究1 如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次为1，2，3，…，个小黑点排列组成的，斜线右边的倒三角形图案是由上到下每层依次为，，…，3，2，1个小黑点排列组成的，而组成整个图形的小黑点个数恰为式子的值，如图组成的整个图形恰好是一个“菱形”．则 ① （为正整数）； 探究2 如图，斜线左边的图案是由左到右每列依次为2，3，…，个小黑点排列组成的，斜线右边的图案是由左到右每列依次为，，…，3，2个小黑点排列组成的，而组成整个图形的小黑点个数恰为式子的值，如图在两端加入两个小圆圈，可将整个图案补成“菱形”，则 ② （为正整数） 【规律发现】 根据探究1和探究2中的规律，完成下列问题： (1)填空： ①______；②______；③______（为正整数）． 【规律总结】 (2)猜想： ______，（，均为正整数，且），并证明你的猜想． 【答案】(1)①；②；③； (2)，证明见解析 【分析】（1）①观察图形规律即可求解；②观察图形规律即可求解；③利用①的计算结论即可求解； （2）利用①的计算结论即可求解． 【详解】（1）解：①观察图形知，，， ……， 一般地：， 故答案为：； ②，，，……， 一般地：， 故答案为：； ③ ； 故答案为：； （2）略 【对点训练】48．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】小明同学经过一番思考后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为， 计算时，小彬同学是这样思考的：设① 将等式两边同时乘得② 将①减去②得，即， 即， (1)【过程思考】图中阴影部分的面积是____； (2)根据以上规律，可得_____；____；（为正整数） (3)【知识迁移】请你借助小彬同学的方法，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积，设，则，用即可求解； （2）根据示范的例子求解即可； （3）根据示范的例子求解即可． 【详解】（1）解：由题知，正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， ∴图中阴影部分的面积与第⑥部分的面积相等． 又∵第①部分的面积为：， 第②部分的面积为：， 第③部分的面积为：， …， 依次类推，第n部分的面积为． 当时，． ∴阴影部分的面积为； （2）解：设， ∴， ∴，即； 设， 将等式两边同时乘以得：②， 将①减去②得， 即，即； （3）解：令①， 将等式两边同时乘以2得：②， 将②式减去①式得， 即． 易错点17 错位加减法与裂项相消法 易错提醒 错位相减注意对齐同次项，相减时后面各项要全部变号，不要漏变符号。裂项相消看清拆分形式，注意系数倍数，避免直接照搬公式。消项时分清剩余首尾项，防止多消、漏消。最后别忘记整理化简结果，很多失误出在符号和剩余项判断上。 【对点训练】49．【情景创设】 ，，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 我们思考并发现：，，，那么： （1）根据规律可知：第7个数是 ，是第 个数； （2）根据规律填空：第个数是 ； 【方法展示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算：． 【答案】（1），11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第n个数为是解题的关键． （1）观察可知，这列数的分子是1，分母是从1开始的两个连续的正整数的乘积，据此规律求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据题意可得规律，将所给算式中的每一项进行裂项，再利用裂项相消法进行计算即可． 【详解】解：（1）第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， ……， 以此类推，可知，第n个数为 ∴第7个数为 ∵， ∴是第11个数； （2）由（1）可得第个数是； （3），，， ……， 以此类推，可知， ∴ 1．．． 1 ． 【对点训练】50．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 我们思考并发现：，，……，那么： （1）根据规律可知：第6个数是______，是第______个数； （2）根据规律填空：______； 【方法展示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： ． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第n个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）将所给算式中的每一项进行裂项，再利用裂项相消法进行计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴第6个数是， ， ∴是第11个数； （2）观察所给式子的等号左右两边的数字，可得到如下规律：； （3） ． 【对点训练】51．我们可运用一些有规律的式子进行裂项，从而简化计算，如有下列一个有规律的式子： ， ， (1)写出第个式子：__________________； (2)写出第个式子：_______________； (3)运用规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）从①②③的式子中得到一般性规律，写出第4个式子即可； （2）按照（1）得到的规律写出第个式子即可； （2）根据规律，利用裂项相消法即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∴第个式子：； 故答案为：； （2）解：第个式子：； 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查了整式和数字规律探索的知识；解题的关键是熟练掌握整式运算的性质，并且从等式运算中找到规律，通过计算即可得到答案． 易错点18 整式加减的新定义问题 【对点训练】52．对于两个整式A和B，我们定义一种新运算“@”：．例如：若，，则．根据以上定义，解答下列问题： (1)若，求． (2)若（其中k为常数），且的运算结果不含x的一次项，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算及解一元一次方程， （1）根据新定义运算进行整式的加减运算求解即可； （2）根据新定义运算，以及整式加减运算进行化简，然后求解解一元一次方程即可． 【详解】（1）解： ， （2）解：， 因为运算结果不含x的一次项，则x的一次项系数为零，即， 解得 所以，k的值为． 【对点训练】53．学习完整式的加减后，王老师给出一个新定义：、是两个整式，如果，那么叫做的“长征式”． (1)若，，当时，求，的值，并判断这时是否为的“长征式”； (2)若，是的“长征式”，求整式． 【答案】(1)，，是的“长征式” (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，求代数式的值，理解“长征式”的定义是解题的关键． （1）将，代入代数式求值，根据“长征式”的定义，进行判断即可； （2）利用“长征式”的定义，列式计算即可． 【详解】（1）解：当时， ， ， ， 是的“长征式”； （2）解：是的“长征式”， ， ． 【对点训练】54．定义：若，则称a与b是关于的平衡数． (1)7与________是关于的平衡数，与________是关于的平衡数（用含x的多项式表示）； (2)若，，则a与b是否关于的平衡数吗？并说明理由． 【答案】(1)，； (2) 与是关于的平衡数，理由如下： ， ， ， 与是关于的平衡数． 【分析】此题考查了利用整式加减解决新定义问题的能力，关键是能根据题目定义准确列式、计算． （1）根据题目定义进行整式运算即可； （2）通过计算的值与进行比较即可． 【详解】（1）解：设7的关于的平衡数为， 则， 解得， 与是关于的平衡数， 设的关于的平衡数为，则，解得， 与是关于的平衡数， 故答案为：，； （2）略 31．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）用黑白两色棋子按下图的方式摆放，依此规律，第10个图形中白色棋子的个数为（   ） A．31 B．69 C．90 D．100 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形规律的探索与代数式求值，熟练通过观察每个图形的算式形式总结通项公式是解题的关键． 直接观察每个图形白色棋子数的算式形式，总结出第个图形的通项公式，再代入计算． 【详解】解：第1个图形白色棋子：， 第2个图形白色棋子：， 第3个图形白色棋子：， 第4个图形白色棋子：， ， ∴第个图形白色棋子数为， 当时，， 故选：． 32．（25-26七年级上·江苏·期末）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：数轴上表示数与3两点间的距离是．若．则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握数轴上点的特点，能够根据数的范围准确去掉绝对值符号是解题的关键． 利用数轴上两点距离的几何意义，确定x和y的取值范围，再求的最大值即可． 【详解】解：由题意得，表示点x到3和的距离和， 当时，最小值为5； 表示点y到1和5的距离和， 当时，最小值为4； 又∵， ∴且， 即，， ∵取最大值， ∴y取最大值，x取最小值，即， ∴的最大值为7． 故选C． 33．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法：①为任意有理数，总是负数；②如果，则是负数；③单项式的系数与次数分别为和4；④代数式都是整式．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数的性质、绝对值、单项式的系数与次数以及整式的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据有理数的性质、绝对值、单项式的系数与次数以及整式的定义逐一判断各说法的正确性即可． 【详解】解：对于①： ∵对于任意有理数成立， ∴， ∴， 因此总是负数， 故结论①正确； 对于②： 当时，， 但不是负数， 因此说法错误， 故结论②错误； 对于③： 单项式的系数为（包括），不是， 次数为字母指数之和， 因此说法错误， 故结论③错误； 对于④： 代数式和的分母为数字，是整式， 但的分母含字母，不是整式， 因此说法错误， 故结论④错误； 综上，只有①正确， 故选A． 34．（25-26七年级上·江苏南通·期中）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图是其中一类：1，5，12，22称为五边形数，请你根据其中数排列的规律计算第101个五边形数与第100个五边形数的差是（    ） A．199 B．201 C．290 D．301 【答案】D 【分析】找出五边形数变化的规律，依据规律解答即可． 本题考查了数字类变化规律，根据所给五边形数准确找出数字的规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得：第二个五边形数比第一个五边形数多， 第三个五边形数比第二个五边形数多， 第四个五边形数比第三个五边形数多， ， 第101个五边形数比第100个五边形数多 故选：． 35．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）若关于x的方程的解是整数，且关于y的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．0 B． C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，多项式的定义． 先解方程得到，由解为整数知是4的因数，即、、；再根据多项式是二次三项式，要求二次项系数且一次项系数，排除和，得到满足条件的值，最后求这些值的和． 【详解】解：， 化简得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵解是整数， ∴是4的因数，即、、， ∵多项式是二次三项式， ∴且， ∴且， ∴满足条件的值为、、、、， ∴这些值之和为． 故选：B． 36．（25-26七年级上·江苏南通·期末）若有理数a，b满足，，则代数式的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了代数式求值． 将，相加后得到，即可求出代数式的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 即 两边同时除以， 得． 故答案为：3． 37．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）已知有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了绝对值的化简与数轴上数的大小关系，解题的关键是根据数轴判断出、、的符号及大小关系，进而确定绝对值内表达式的正负，去掉绝对值符号后进行化简． 由数轴可知，因此，，；根据绝对值的性质去掉绝对值符号，得到，合并同类项后得到结果． 【详解】解：由数轴可知，， ，，． ． 故答案为：． 38．（25-26七年级上·河南郑州·期末）当时，整式的值为2026，则当时，整式的值是__． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 由已知条件代入，求出的值，再代入时的整式进行计算，即可解答． 【详解】解：当时，， 所以． 当时， ． 故答案为：． 39．（25-26七年级上·四川南充·期末）观察下列等式：根据这个规律，则的末位数字是__________． 【答案】6 【分析】本题考查数字的变化类规律探究，解答本题的关键是明确题意，发现所求式子的末位数字变化特点是解题的关键． 根据，，，，，，…．可以得到，，，，的末位数字，从而可以分析末位数字的变化特点，得到答案． 【详解】解：∵，，，，，，…． ∴的末尾规律为，4，8，6循环， ∴的末位数字和是，即末位数字是2， 的末位数字和是，即末位数字是6， 的末位数字和是，即末位数字是， 的末位数字和是，即末位数字是， 的末位数字和是，即末位数字是， …， 即末位数字每个一循环，依次为：，，，； ∵， ∴的末位数字是6， 故答案为：6． 40．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）一列数，，，…满足条件：，（，且n为整数），则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，计算出这列数的前几个数，可得这列数每3个数为一个循环，依次为、、，且，据此求出2629除以3的商和余数即可得到答案． 【详解】解：∵，（，且n为整数）， ∴， ， ， ……， ∴，，，…这列数每3个数为一个循环，依次为、、，且． ∵， ∴ ， 故答案为：． 41．（25-26七年级上·江苏南京·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式加减中的化简求值．先根据整式加减运算法则进行化简，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， 把，代入得： 原式． 42．（25-26七年级上·内蒙古兴安·期末）已知多项式． (1)若多项式的值与字母的取值无关，求，的值； (2)在（1）的条件下，先化简多项式，再求它的值． 【答案】(1)， (2)，16 【分析】本题考查的是整式的加减，熟知去括号法则与合并同类项是解答此题的关键． （1）先把原式去括号，合并同类项，根据的系数为0，求出，的值即可； （2）先去括号合并，进一步代入数值求得答案即可． 【详解】（1）解：原式 ， ∵多项式的值与字母的取值无关， ，． ，． （2）解：原式 ， 当，时， 原式． 43．（25-26七年级上·全国·寒假作业）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③；④；… (1)写出第5个等式： ． (2)写出第n（n为正整数）个等式： ． (3)请利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意写出第5个等式即可； （2）观察可知，相差为2的两个正整数的积与1的和等于较小的正整数与1的和的平方，据此可得答案； （3）先把每个小括号内的式子通分，再根据（2）所求把对应分数的分子进行替换，进行约分即可得到答案． 【详解】（1）解：依照上述规律，第5个式子为， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④； ……， 以此类推可知，第n个式子为， 故答案为：； （3）解：原式 ． 44．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图为世界最大跨度斜拉桥“常泰长江大桥”，“常泰长江大桥”将常州与泰州两市紧密相连，不仅对完善区域路网布局、促进扬子江城市群协调发展具有重要作用，更是对服务长江经济带建设和长三角一体化发展等国家战略具有重大意义．“常泰长江大桥”的主体结构由三部分组成，第一部分主跨钢桁梁斜拉桥长度为米，第二部分两座钢桁拱桥每座长度为米，第三部分连续钢桁梁桥比第二部分每座钢桁梁桥少米． (1)求第三段连续钢桁梁桥的长度（用含x的代数式表示）； (2)经查阅资料，当时和实际长度相同，求主体结构总长度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查的知识点围绕代数式的运算与求值展开，具体包括整式的加减运算(去括号、合并同类项)，根据实际问题中的数量关系列代数式的能力，以及将具体数值代入代数式进行有理数混合运算的技能，同时结合实际工程背景，考查对文字信息的理解和数学建模的基础能力． （）根据“第三段比第二段每座钢桁梁少米”的数量关系，用第二段的长度代数式减去米，再通过去括号、合并同类项化简，得到第三段长度的代数式； （）先将三段结构的长度代数式相加，合并同类项得到总长度的代数式；再把代入总长度代数式，通过有理数的混合运算求出实际总长度． 【详解】（1）解：∵第二段每座长度为米，第三段比第二段每座少米， ∴第三段长度为： ， 答案：第三段连续钢桁梁的长度为米． （2）解：主体结构总长度： 将代入上式： ． 答案：主体结构总长度为米． 45．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图1，用四种大小不同的五个正方形和一个长方形（阴影部分）无重叠地拼成长方形，其中，最小的正方形的边长为x． (1) ， （用含x的代数式表示）； (2)用含x的代数式表示长方形的周长，并求当时，该周长的值； (3)如图2，将正方形沿方向向右平移，得到两块阴影部分．若x为定值，则图中两块阴影部分的周长之差是否为定值，若是用含x的代数式表示该定值，若不是请说明理由． 【答案】(1)， (2)166 (3)两块阴影部分的周长之差为定值 【分析】本题考查了几何图形中的代数关系及周长计算，关键在于通过图形中正方形边长的关联，准确表示各线段长度，进而利用周长公式进行计算，并通过代数运算判断两块阴影部分周长之差是否为定值． （1）通过观察图形中正方形边长的关系，结合已知和最小正方形边长，推导和的表达式； （2）先确定长方形的长和宽，再利用周长公式计算并代入求值； （3）设定平移距离，分别表示两块阴影部分的周长，再求其差判断是否为定值． 【详解】（1）解：∵最小的正方形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴长方形的周长为：， 当时， ， ∴长方形的周长为166； （3）解：两块阴影部分的周长之差为定值，理由如下： 设正方形沿方向向右平移，则， ∴左上角阴影部分的周长为：， ∵右下角阴影部分的邻边长为和， ∴右下角阴影部分的周长为：， 则， ∴图中两块阴影部分的周长之差为定值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 代数式 知识点一、用字母表示数 用字母表示数，使得字母和数一样可以参与运算，用式子把数量关系简明地表示出来. 1.用字母表示数的特点： （1）任意性：字母可以表示任意的数或式子； （2）限制性：字母的取值应使式子有意义； （3）确定性：字母的取值一旦确定了，式子的值也会随之确定； （4）一般性：用字母表示数可以反映出事物的规律，更具有一般性. 2.用字母表示数的注意点： （1）同一个问题中，相同的字母必须表示相同的量，不同的量必须用不同的字母表示； （2）用字母表示数时，某些特定的字母只能表示特定的数，如“π”表示圆周率； （3）用字母表示数时，数字与字母或字母与字母相乘，通常将乘号写成“·”或直接省略不写（数字要写在字母的前面）； （4）当“1”与任何字母相乘时，“1”可以省略不写； （5）用含字母的式子表示问题的最终答案时，除数一般写成分母，若式子是和或差的形式，要用括号把含有字母的式子括起来，再在括号的后面写上单位. 知识点二、用字母表示数的常见应用 1.用字母表示运算律 用字母表示运算律，说明运算律不是针对某一个具体的数的运算，使得运算律更具有代表性和一般性，如果用a、b、c表示任意三个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为a＋b＝b＋a，加法结合律可以用字母标书为（a＋b＋c）＝a＋（b＋c）. 2.用字母表示公式 对于任意一个三角形，我们可以用S表示三角形的面积，用a表示三角形的底，用h表示对应底边上的高，则，除此之外，如长方形面积公式可以用表示，长方体的体积公式可以用表示. 3.用字母表示各种数 当n为整数时，我们可以用2n表示任意一个偶数，可以用2n＋1表示任意一个奇数等. 4.用字母表示数量关系 如小明有a颗糖果，小红的糖果比小明的2倍还多3颗，则小红的糖果数为（2a＋3）颗. 知识点三、代数式 1.代数式的定义：用运算符号把数和式子连接而成的式子叫做代数式，像16n ，2a+3b ，34 ，，等，这样的式子都是代数式，单独的一个数或字母也是代数式. 带等号（＝）或不等号（≠、＜、＞、≤、≥）的都不是代数式. 知识点四、代数式的书写要求 （1）数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （3）如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写； （4）带分数与字母相乘时，要将带分数转化成假分数； （5）除法运算要用分数线； （6）若式子后面有单位且式子是和或差的形式，式子应看作是一个整体，要用括号括起来，再在括号后面写上单位. 知识点五、列代数式 1. 把问题中的数量关系用代数式表示出来，及列代数式. 2. 列代数式常用的方法： （1） 抓关键性词语，如“大”、“小”、“多”、“少”、“差”、“积”、“商”、“倍”等； （2） 在具体情境中，运用公式或数量关系列代数式. 知识点六、代数式的实际意义 明白每个符号代表的意义以及整个式子所表示的数量关系，用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同的实际问题中的数量关系. 描述一个代数式的意义的三种途径： （1） 从代数式本身出发来描述字母之间的数量关系； （2） 联系生活实际赋予字母一定的实际意义； （3） 联系几何背景赋予字母一定的几何意义. 知识点七、代数式的值 1. 代数式的值的定义：根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值. 代数式的值并不是固定的，它会随着代数式中字母取值的变化而变化. 代数式中的字母取值并不是任意的，主要限制条件有：①必须使代数式有意义，如中的a不能取1；②实际问题中的字母取值要符合实际意义，比如小明买了b支铅笔，这里的b只能是0或正整数，不能取小数或者负数. 2. 求代数式的值的步骤 （1）代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原； （2）计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的. 知识点八、整式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 4.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 5.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 6.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 7.整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 知识点九、合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 知识点十、去括号 1.去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. （1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； （2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号； （3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 2.添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 知识点十一、整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 知识点十二、代数式的化简求值 1.求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 易错点1 代数式的概念辨析 易错提醒 区分代数式与等式、不等式，含有等号、不等号的不是代数式。注意单独的数或字母属于代数式。识别时不要被形式迷惑，看清是否仅由运算符号连接。做题易误把方程、不等式归为代数式，判断概念抓住核心，不含关系符号，再结合定义仔细甄别。 【对点训练】1．下列选项中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． 【对点训练】2．下列式子：①1；②2a；③；④；⑤；⑥，其中代数式有（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【对点训练】3．下列说法中，正确的是（   ） A．表示，，的积的代数式为 B．的意义是减去3的差除以的商 C．1不是代数式 D．、两数平方的和的4倍用代数式表示为 易错点2 代数式的书写方法 易错提醒 书写代数式注意省略乘号时数字放在字母前，带分数必须化成假分数。除法改用分数形式，不写除号。系数为 1、‑1 时省略 1，只保留符号。含有加减关系且带单位，整体要加括号。考试常出现顺序颠倒、带分数直接书写、漏加括号等低级错误。 【对点训练】4．下列书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【对点训练】5．下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【对点训练】6．下列代数式中，符合代数式书写要求的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦千米． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 易错点3 代数式表示的实际意义 易错提醒 描述代数式实际意义，要分清运算顺序，不要颠倒运算逻辑。解读时注意括号改变运算优先级，避免文字表述与式子不符。结合实际情境，取值要符合现实，不能出现负数数量。答题忌笼统表述，尽量贴合生活实例，防止题意理解偏差。 【对点训练】7．下列说法中，不能表示代数式“”意义的是（ ）． A．的倍 B．与的积 C．个相加的和 D．个相乘 【对点训练】8．下列语句用代数式表示正确的是（　　） A．比的倍大的数： B．的相反数与的一半的差： C．与的差的平方： D．的平方除以的商： 【对点训练】9．某中学为丰富学生体育活动，决定购置一批篮球．计划每个班级分配4个篮球，学校另外留存10个篮球用于校级比赛和公共借用．设全校班级总数为（为正整数）． (1)请用含的代数式表示学校需要购置的篮球总数； (2)现学校有18个班级，需要购置多少个篮球？（请写出计算过程） (3)请结合题意，说明（1）中代数式的数字4和10在实际问题中分别表示什么含义． 易错点4 代数式的求值问题 易错提醒 代入数值时，负数、分数乘方代入要记得添加括号，防止符号出错。分清 “当… 时” 直接代入与整体代入两种题型。替换字母时不要漏代、错代，运算严格遵循运算顺序。求出结果后简单验算，整体代入注意式子变形，避免直接拆开破坏整体结构。 【对点训练】10．填表： x 0 1 2 【对点训练】11．若、互为相反数，、互为倒数，则 =___________． 【对点训练】12．当时，代数式的值为2026，当时，这个代数式的值为（     ） A． B． C． D．2019 易错点5 单项式的相关概念 【对点训练】13．关于代数式，下列说法正确的是（     ） A．它的系数是3 B．它是单项式 C．它的次数是6 D．它不是整式 【对点训练】14．判断下列代数式是不是单项式： (1)a； (2)； (3)； (4)； (5)． 【对点训练】15．下列说法不正确的是（    ） A．数字1是单项式 B．是二次单项式 C．单项式的系数和次数都是1 D．的系数是 易错点6 多项式的相关概念 【对点训练】16．指出下列整式中的单项式和多项式：①；②；③；④；⑤． 【对点训练】17．已知多项式是关于x的二次多项式，求a的值． 【对点训练】18．在式子，，，，，，中，多项式有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错点7 多项式的字母求值问题多项式的升降幂排列 易错提醒 升降幂排列只看指定字母的次数，移动项时连同前面符号一起迁移，不要丢掉负号。求值先看清哪个是主元，区分系数与次数。排列不要遗漏常数项，求值代入负数勿忘括号，注意题目指定字母，不要混淆其他字母的次数。 【对点训练】19．把多项式重新排列： (1)按x的升幂排列； (2)按x的降幂排列． 【对点训练】20．将下列多项式按x的降幂排列： (1)； (2)； (3)； (4)． 【对点训练】21．将多项式按x的降幂排列为 ____________________ ． 易错点8 整式的判断 易错提醒 判断整式注意分母中不能含有字母，分母含字母为分式，不属于整式。分清单项式、多项式概念，π 是常数不是字母。注意多项式是几个单项式的和，识别时不要被表面形式干扰。做题容易混淆整式、分式，重点查看分母，区分常数与字母再做判定。 【对点训练】22．下列说法中，正确的个数：（   ） ①单项式与多项式统称为整式； ②单项式的系数是1； ③是二次三项式； ④x的次数是0； ⑤是多项式的项 A．1 B．2 C．3 D．4 【对点训练】23．有四种说法：①表示负数；②单项式的系数是，次数是4；③多项式是三次三项式；④在中，整式有2个：其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【对点训练】24．把下列各代数式的序号填在相应的位置： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨中． (1)单项式有：____________； (2)多项式有：____________； (3)整式有：____________； (4)代数式有：____________． 易错点9 合并同类项的计算 【对点训练】25．计算： (1)； (2)． 【对点训练】26．计算： (1)． (2)． 【对点训练】27．化简： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 易错点10 去括号与添括号 【对点训练】28．下面是小红同学进行化简的过程，请认真阅读并完成填空：    第一步    第二步                第三步 (1)以上步骤第一步是进行___________． (2)以上步骤第___________步出现错误，错误的原因是___________； (3)请写出正确的计算过程． 【对点训练】29．已知多项式，求． 老师展示了一位同学的作业： 解：第一步 第二步 …第三步 (1)这位同学从第_____步开始出现错误； (2)请你写出正确的解答过程； (3)若，求的值． 【对点训练】30．在下列各式的括号内填上恰当的项： （1）( )； （2）( )； （3）( )． 易错点11 整式的加减计算问题 易错提醒 合并同类项只合并系数，字母和指数保持不变，不要改动字母次数。去括号注意符号变化，括号前是负号，括号内各项全部变号。非同类项不能合并，不要强行化简。计算时容易漏项、错号，做完后检查同类项是否找全，杜绝出现乱合并的错误。 【对点训练】31．化简：． 【对点训练】32．以下是一道习题及嘉嘉的解答过程： 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)上述解答过程，嘉嘉是从第______步开始出错的，请你给出正确的解答过程； (2)当时，求此代数式的值． 【对点训练】33．已知关于的代数式：，，且代数式． (1)若时，化简代数式； (2)若代数式是关于的一次多项式，求的值． 易错点12 整式加减中的无关型问题 易错提醒 与字母取值无关时，先合并同类项，令对应项系数等于 0 求解参数。容易忽略先化简直接列式，也常搞错哪一项系数为零。求出参数后记得回代检验，注意区分系数为 0，不要把常数项也置零，看清题目是和哪个字母无关。 【对点训练】34．已知： (1)化简． (2)若无论取何数值，（1）中代数式的值均为一个定值，求的值． 【对点训练】35．已知整式，． (1)若，求的值． (2)若代数式的值与字母b的取值无关，求a的值． 【对点训练】36．设，． (1)当时，求的值． (2)当时，若代数式的值与y的取值无关，求实数a，b满足的条件． 易错点13 整式加减中的整体性思维 易错提醒 整体代入要把括号内式子看作整体，不要随意拆开展开。替换时注意符号，整体为负要添加括号。做题常直接求值，忽视整体变形条件。不会对已知式子灵活变形，构造出目标代数式，代入后遵循运算顺序，避免符号失误，做完简单验证。 【对点训练】37．我们知道：，同理，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【对点训练】38．整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，例如：已知，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，求代数式的值． 【对点训练】39．“整体思想”是数学中的重要思想，官从全局着眼，通过整体代入、整体构造等方式，使问题化繁为简，化难为易．这种方法也可以应用在多项式的化简与求值中，例如：我们把看成一个整体，则． 请你尝试应用整体思想解决下列问题： (1)求代数式的值：，其中； (2)若，则代数式的值为______． (3)当时，，则当时，求的值． 易错点14 整式加减的应用 【对点训练】40．某中学七年级一班在一次活动中要分为四个组，其中第一组有x人，第二组人数比第一组人数的少5人，第三组人数比第一、二组人数的和少15人，第四组人数与第一组人数的2倍的和是34人． (1)用含x的代数式分别表示第二组、第三组、第四组的人数； (2)求七年级一班的总人数． 【对点训练】41．如图，光明中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形草坪，草坪的周围修建等宽的小路，路宽为a米． (1)草坪的周长为多少米（含a的代数式表示）； (2)当米时，求草坪的周长． 【对点训练】42．小亮房间窗户的窗帘如图1所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)用代数式表示图1窗户能射进阳光的面积．（结果保留） (2)当，米时，求图1窗户能射进阳光的面积是多少?（取） (3)小亮又设计了如图2的窗帘（由一个半圆和两个等腰直角三角形组成，直角边与半径相同），请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积是否更大?如果更大，那么大多少?（结果保留） 易错点15 数字类规律探究 【对点训练】43．第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)探寻上述等式规律，写出第5个等式：_________； (2)求的值． 【对点训练】44．设是一个两位数，其中是十位上的数字．例如，当时，表示的两位数是45． 当时，； 当时，； 当时，； …… (1)依据上述算式写出当时，______． (2)归纳出一般表达式，______． (3)这种简便计算也可以推广应用到个位数字是5的三位数的平方（即），请写出的简便计算过程及结果． 【对点训练】45．在数学活动中，小明为了求的值，写出下列解题过程． 设：① 两边同乘以2得： ② 由得： (1)应用结论：______； (2)拓展探究： ①求：的值； ②求：的值． 易错点16 图形类规律探究 【对点训练】46．某商业街的人行道由3块矩形地砖组成的基本图形排列而成，图1表示此基本图形中的地砖排列方式．将图1这个基本图形不断复制（即向前铺地砖），得到图2，图3，…（如图所示）． 显然，图1中共有6个矩形，图2中共有18个矩形，图3中共有36个矩形，…，按照以上规律，解决下列问题： (1)图4中共有________个矩形； (2)图n中共有________个矩形（用含n的式子表示）； (3)已知图1的面积为，若该人行道的面积，求该人行道图案上共有多少个矩形？ 【对点训练】47．【综合实践】 观察下列式子和对应图形中小黑点的个数之和 探究1 如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次为1，2，3，…，个小黑点排列组成的，斜线右边的倒三角形图案是由上到下每层依次为，，…，3，2，1个小黑点排列组成的，而组成整个图形的小黑点个数恰为式子的值，如图组成的整个图形恰好是一个“菱形”．则 ① （为正整数）； 探究2 如图，斜线左边的图案是由左到右每列依次为2，3，…，个小黑点排列组成的，斜线右边的图案是由左到右每列依次为，，…，3，2个小黑点排列组成的，而组成整个图形的小黑点个数恰为式子的值，如图在两端加入两个小圆圈，可将整个图案补成“菱形”，则 ② （为正整数） 【规律发现】 根据探究1和探究2中的规律，完成下列问题： (1)填空： ①______；②______；③______（为正整数）． 【规律总结】 (2)猜想： ______，（，均为正整数，且），并证明你的猜想． 【对点训练】48．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】小明同学经过一番思考后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为， 计算时，小彬同学是这样思考的：设① 将等式两边同时乘得② 将①减去②得，即， 即， (1)【过程思考】图中阴影部分的面积是____； (2)根据以上规律，可得_____；____；（为正整数） (3)【知识迁移】请你借助小彬同学的方法，求的值． 易错点17 错位加减法与裂项相消法 易错提醒 错位相减注意对齐同次项，相减时后面各项要全部变号，不要漏变符号。裂项相消看清拆分形式，注意系数倍数，避免直接照搬公式。消项时分清剩余首尾项，防止多消、漏消。最后别忘记整理化简结果，很多失误出在符号和剩余项判断上。 【对点训练】49．【情景创设】 ，，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 我们思考并发现：，，，那么： （1）根据规律可知：第7个数是 ，是第 个数； （2）根据规律填空：第个数是 ； 【方法展示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算：． 【对点训练】50．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 我们思考并发现：，，……，那么： （1）根据规律可知：第6个数是______，是第______个数； （2）根据规律填空：______； 【方法展示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： ． 【对点训练】51．我们可运用一些有规律的式子进行裂项，从而简化计算，如有下列一个有规律的式子： ， ， (1)写出第个式子：__________________； (2)写出第个式子：_______________； (3)运用规律计算：． 易错点18 整式加减的新定义问题 【对点训练】52．对于两个整式A和B，我们定义一种新运算“@”：．例如：若，，则．根据以上定义，解答下列问题： (1)若，求． (2)若（其中k为常数），且的运算结果不含x的一次项，求k的值． 【对点训练】53．学习完整式的加减后，王老师给出一个新定义：、是两个整式，如果，那么叫做的“长征式”． (1)若，，当时，求，的值，并判断这时是否为的“长征式”； (2)若，是的“长征式”，求整式． 【对点训练】54．定义：若，则称a与b是关于的平衡数． (1)7与________是关于的平衡数，与________是关于的平衡数（用含x的多项式表示）； (2)若，，则a与b是否关于的平衡数吗？并说明理由． 31．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）用黑白两色棋子按下图的方式摆放，依此规律，第10个图形中白色棋子的个数为（   ） A．31 B．69 C．90 D．100 32．（25-26七年级上·江苏·期末）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：数轴上表示数与3两点间的距离是．若．则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 33．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法：①为任意有理数，总是负数；②如果，则是负数；③单项式的系数与次数分别为和4；④代数式都是整式．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．（25-26七年级上·江苏南通·期中）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图是其中一类：1，5，12，22称为五边形数，请你根据其中数排列的规律计算第101个五边形数与第100个五边形数的差是（    ） A．199 B．201 C．290 D．301 35．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）若关于x的方程的解是整数，且关于y的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．0 B． C．10 D．12 36．（25-26七年级上·江苏南通·期末）若有理数a，b满足，，则代数式的值为______． 37．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）已知有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为______． 38．（25-26七年级上·河南郑州·期末）当时，整式的值为2026，则当时，整式的值是__． 39．（25-26七年级上·四川南充·期末）观察下列等式：根据这个规律，则的末位数字是__________． 40．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）一列数，，，…满足条件：，（，且n为整数），则______． 41．（25-26七年级上·江苏南京·期末）先化简，再求值：，其中，． 42．（25-26七年级上·内蒙古兴安·期末）已知多项式． (1)若多项式的值与字母的取值无关，求，的值； (2)在（1）的条件下，先化简多项式，再求它的值． 43．（25-26七年级上·全国·寒假作业）先观察下列等式，再回答问题： ①；②；③；④；… (1)写出第5个等式： ． (2)写出第n（n为正整数）个等式： ． (3)请利用上述规律计算：． 44．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图为世界最大跨度斜拉桥“常泰长江大桥”，“常泰长江大桥”将常州与泰州两市紧密相连，不仅对完善区域路网布局、促进扬子江城市群协调发展具有重要作用，更是对服务长江经济带建设和长三角一体化发展等国家战略具有重大意义．“常泰长江大桥”的主体结构由三部分组成，第一部分主跨钢桁梁斜拉桥长度为米，第二部分两座钢桁拱桥每座长度为米，第三部分连续钢桁梁桥比第二部分每座钢桁梁桥少米． (1)求第三段连续钢桁梁桥的长度（用含x的代数式表示）； (2)经查阅资料，当时和实际长度相同，求主体结构总长度． 45．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图1，用四种大小不同的五个正方形和一个长方形（阴影部分）无重叠地拼成长方形，其中，最小的正方形的边长为x． (1) ， （用含x的代数式表示）； (2)用含x的代数式表示长方形的周长，并求当时，该周长的值； (3)如图2，将正方形沿方向向右平移，得到两块阴影部分．若x为定值，则图中两块阴影部分的周长之差是否为定值，若是用含x的代数式表示该定值，若不是请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $