专题01 有理数（期末复习知识清单，8知识&9题型&3易错&3方法清单）七年级数学上学期新教材苏科版

专题01 有理数（8知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】正数与负数 1. 正数：像+3、+1.5、+这样大于0的数叫做正数，“+”号通常可以省略不写。 2. 负数：像-3、-1.5、-这样在正数前面加上“-”号的数叫做负数，“-”号不能省略。 3. 0的意义：0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界点。0还可以表示一个具体的数量，如0℃表示一个特定的温度。 4. 相反意义的量：在生活和生产中，存在着大量具有相反意义的量，如收入与支出、上升与下降、向东与向西等。对于具有相反意义的量，我们可以用正数和负数来表示其中一种意义的量，另一种意义的量用负数表示。例如，规定向东为正，那么向西就为负；规定收入为正，那么支出就为负。 【清单02】有理数 1. 有理数的概念：整数和分数统称为有理数。 2. 整数的分类：整数包括正整数、0和负整数。例如，1、2、3等是正整数；-1、-2、-3等是负整数。 3. 分数的分类：分数包括正分数和负分数。正分数如、3.5（可化为）等；负分数如-、-2.2（可化为-）等。 【清单03】数轴 1. 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2. 数轴的三要素：原点（表示数0的点）、正方向（通常规定向右为正方向）和单位长度（数轴上相邻两个刻度之间的距离，其长度可根据实际情况任意选取，但同一数轴上的单位长度必须统一）。 3. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的点不一定都表示有理数，还可以表示无理数。 4. 利用数轴比较有理数的大小：在数轴上，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。因此，正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 【清单04】绝对值与相反数 1. 相反数的概念：像2和-2、和-这样，只有符号不同的两个数互为相反数。0的相反数是0。 2. 相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点（0除外）分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 3. 绝对值的定义：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作|a|。 4. 绝对值的性质： 正数的绝对值是它本身，即当a>0时，|a|=a； 负数的绝对值是它的相反数，即当a<0时，|a|=-a； 0的绝对值是0，即当a=0时，|a|=0。 所以，任何一个数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。 5. 利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。例如，比较-3和-5的大小，因为|-3|=3，|-5|=5，3<5，所以-3>-5。 【清单05】有理数的加法与减法 1. 有理数的加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。例如，(+5)+(+3)=+(5+3)=8，(-5)+(-3)=-(5+3)=-8。 异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。例如，(+5)+(-5)=0，(+5)+(-3)=+(5-3)=2，(-5)+(+3)=-(5-3)=-2。 一个数同0相加，仍得这个数。例如，0+(-8)=-8，5+0=5。 2. 有理数加法的运算律： 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即a+b=b+a。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即(a+b)+c=a+(b+c)。利用加法运算律可以使一些加法运算简便，例如，计算(+15)+(-20)+(+25)+(-30)，可以利用加法交换律和结合律将其变形为[(+15)+(+25)]+[(-20)+(-30)]=(40)+(-50)=-10。 3. 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。例如，5-3=5+(-3)=2，5-(-3)=5+3=8，-5-3=-5+(-3)=-8。 4. 有理数加减混合运算：可以利用减法法则将加减混合运算统一成加法运算，写成省略加号和括号的形式，再进行计算。例如，(-8)-(-10)+(-6)-(+4)可以转化为(-8)+(+10)+(-6)+(-4)，进一步写成-8+10-6-4，然后按照从左到右的顺序计算：-8+10=2，2-6=-4，-4-4=-8。 【清单06】 有理数的乘法与除法 1. 有理数的乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。例如，(+3)×(+4)=12，(-3)×(-4)=12，(+3)×(-4)=-12，(-3)×(+4)=-12。 任何数同0相乘，都得0。例如，0×(-5)=0，7×0=0。 几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数，并把绝对值相乘。例如，(-2)×(-3)×(-4)=-(2×3×4)=-24（负因数个数为3，奇数），(-2)×(-3)×4=24（负因数个数为2，偶数）。 2. 有理数乘法的运算律： 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即a×b=b×a。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即(a×b)×c=a×(b×c)。 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即a×(b+c)=a×b+a×c。例如，5×(2+(-3))=5×2+5×(-3)=10-15=-5。 3. 有理数的除法法则： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×（b≠0）。例如，6÷2=6×=3，(-6)÷2=(-6)×=-3，，。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。例如，12÷4=3，(-12)÷(-4)=3，12÷(-4)=-3，(-12)÷4=-3，0÷(-5)=0。 4. 有理数乘除混合运算：可以先将除法转化为乘法，再按照乘法法则进行计算。例如，(-18)÷3×(-2)=(-18)××(-2)=(-6)×(-2)=12。 【清单07】有理数的乘方 1. 乘方的概念：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数，aⁿ读作“a的n次方”或“a的n次幂”。例如，2⁵中，底数是2，指数是5，2⁵表示5个2相乘，即2×2×2×2×2=32。 2. 有理数乘方的符号法则： 正数的任何次幂都是正数。例如，3²=9，2³=8。 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。例如，(-3)³=-27（指数3是奇数），(-3)²=9（指数2是偶数）。 0的任何正整数次幂都是0。例如，0⁴=0，0⁷=0。 3. 有理数的混合运算顺序： 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 同级运算，从左到右依次进行； 如果有括号，先算括号里面的（按小括号、中括号、大括号的顺序依次计算）。例如，计算18-3×(-2)³+(-5)，先算乘方：(-2)³=-8，然后算乘法：3×(-8)=-24，接着进行加减运算：18-(-24)+(-5)=18+24-5=37。 4. 科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式（其中1≤a<10，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。例如，1300000000可以表示为1.3×10⁹（因为1300000000=1.3×1000000000=1.3×10⁹）。确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值大于1时，n是正数。 【清单08】 近似数 1. 准确数与近似数的概念：与实际完全符合的数叫做准确数；与实际接近但存在一定偏差的数叫做近似数。例如，教室里有45名学生，这里的45是准确数；我国的人口约为14亿，这里的14亿是近似数。 2. 精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度来表示。一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。例如，近似数3.14精确到百分位（或精确到0.01），它表示实际值在3.135到3.145之间（包括3.135，不包括3.145）；近似数1.8精确到十分位（或精确到0.1），表示实际值在1.75到1.85之间（包括1.75，不包括1.85）。 3. 按要求取近似数：根据题目要求的精确度，对一个数进行四舍五入取近似数。例如，将3.1415926精确到0.001，即保留三位小数，看小数点后第四位数字是5，根据四舍五入法，向前进1，所以3.1415926≈3.142；将2.718精确到个位，看十分位数字是7，向前进1，所以2.718≈3。 【题型一】最大、最小的数 【例1】下列各数中，最大的数是（    ） A． B．0 C． D．1 【变式1-1】在，3.5，0，这四个数中，最大的数是（  ） A． B．3.5 C．0 D． 【变式1-2】已知数表示的是的倒数，数表示的是最小的正整数，数表示的是的绝对值，则数，，的大小关系为 （用“>”符号连接） 【题型二】科学记数法与正反意义的量 【例2】2025年电影总票房破400亿元，暂居票房十强的都是清一色国产电影：哪吒之魔童闹海、唐探1900、南京照相馆、浪浪山小妖怪等等，其中哪吒之魔童闹海累计票房达154.5亿元，创造了新的票房纪录．其中数据154.5亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列选项中，具有相反意义的量的是（   ） A．气温上升了6摄氏度和水位下降了7米 B．水果店卖出10斤苹果和盈利20元 C．微信群抢红包收入20元与支出30元 D．小高向东行40米和向南行40米 【变式2-2】春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》票房表现亮眼，截止到3月20日，累计票房已达  152亿元，将数据“152亿”用科学记数法表示为 【题型三】相反数、倒数、绝对值 【例3】的倒数是（   ） A．2027 B． C． D． 【变式3-1】的相反数是（　　） A． B． C． D．4 【变式3-2】的相反数是它本身，的相反数是最大的负整数，的绝对值等于2，则的值是 ． 【题型四】数轴中的（比较大小） 【例4】如图，数轴上点A和点B分别表示数a和b，则下列式子正确的是（   ）    A． B． C． D． 【变式4-1】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】比较大小： （填“”或“”）． 【题型五】新定义运算 【例5】定义一种新运算符号“”，满足：，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．1 【变式5-1】现定义一种新运算：，如：，则等于（    ） A．15 B． C．3 D． 【变式5-2】在有理数范围内，定义一种新运算“”：，例如：，则 ． 【题型六】程序流程图 【例6】如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为81，则第2025次输出的结果为（   ） A．27 B．9 C．3 D．1 【变式6-1】如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，第一次输出的结果是1，返回进行第二次运算则输出的是8，…，则第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式6-2】按如图所示的流程图操作，若输入x的值是，则输出的结果是 ． 【题型七】进制问题 【例7】区别于十进制，古巴比伦使用的是60进制，这与他们独特的计数方式有关．如图，右手4根手指的12个指关节表示1~12，左手的五根手指表示1~5倍．如：当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第8指关节时，表示的十进制数字是；当左手伸出2根手指，右手掐住第10指关节时，表示的十进制数字是．若当其左手伸出4根手指，右手掐住第5指关节时，表示的十进制数字是（    ） A．37 B．35 C．41 D．53 【变式7-1】如图，是我们列竖式进行十进制加法运算的过程，十进制运算要注意满十进一，而七进制加法运算要注意满七进一，则七进制下的（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】我们平常生活中用的是进制进行计算，如，在进行计算时两数最右边对齐，，满后留在最右边，向左进一，从而结果为；在计算减法时，最右边一位对齐，向左借位，借一得十，结果为17．在古代，有个部落采用的是五进制，满五进一．即当数字为时，记做，那么类比十进制的加减法，在计算时，它的结果为 （答案也记录为五进制）． 【题型八】有理数的混合运算 【例8】计算： (1) (2) 【变式8-1】计算： (1)； (2)． 【变式8-2】计算： (1) (2) (3) 【题型九】有理数的实际应用 【例9】随着网络时代的到来，很多农产品改变了原来的销售模式，实行了网上销售．小明把自家的冬枣产品放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖千克冬枣，但由于种种原因，实际每天的销量与计划量相比有出入，下表是某星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：千克）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 千克． (2)本星期实际销量是否达到了计划销量?请说明理由． (3)若每千克冬枣按元出售，每千克冬枣需要小明支付的平均运费是元，则小明本星期销售冬枣实际共得多少元？ 【变式9-1】某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负．某天自地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：． (1)收工时距地多远？ (2)若每千米路程耗油升，则从地出发到收工共耗油多少升？ 【变式9-2】东北的冬天来的早，进入十一月份老百姓就开始准备冬菜，大白菜以汁白、味鲜甜、纤维少、营养丰富、产量高等特点而倍受老百姓的喜爱，小张种植了很多大白菜．计划每天销售100千克，但每天实际销售量与计划销售量相比有出入．若超过计划销售量记为正，不足计划销售量记为负．下表是小张第一周白菜的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 白菜销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小张第一周销售白菜最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)小张第一周白菜的平均每天销量是多少千克？ (3)若小张按2.5元/千克进行白菜销售，白菜的种植成本和运费等共计为1元/千克，则小张第一周销售白菜获利多少元？ 【题型一】有理数的概念辨析 【例1】对于数2.4，，，，0，1，下列说法中正确的是（     ） A．是负数但不是负整数 B．有理数有5个 C．非负数有3个 D．是以上数中最大的数 【变式1-1】下列说法正确的是（） A．所有的整数都是正数 B．是最大的负整数 C．0是最小的有理数 D．整数、0和分数统称为有理数 【变式1-2】列关于有理数的描述 ①有限小数和无限循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数有 个． 【题型二】数轴上的点与数轴的对应关系 【例2】如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（    ） A． B． C．0 D．1 【变式2-1】如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-2】小明不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，被盖住的整数有 个． 【题型三】绝对值的性质应用 【例3】已知，且，则的值是（   ） A．6或 B．6或 C．10或 D．6或10 【变式3-1】将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则为（    ） A．10 B．9 C．7或9 D．9或10 【变式3-2】已知，，并且，求 ， ． 【题型一】绝对值的最值问题 方法技巧 一、形如|x-a|的最值理解 1. 几何意义分析：|x-a|表示数轴上点x到点a的距离。在数轴上，点x可以任意移动，当x取遍所有有理数时，这个距离没有最大值（可以无限远），但有最小值0，此时x=a。 2. 代数角度验证：因为绝对值具有非负性，即|x-a|≥0，当且仅当x-a=0，即x=a时，等号成立，所以最小值为0，无最大值。 二、形如|x-a|+|x-b|（a < b）的最值求解 1. 几何模型构建：该式表示数轴上点x到点a和点b的距离之和。在数轴上，点a和点b固定且a在b左侧。 2. 分段讨论推理： · 当x < a时，|x-a|+|x-b|=(a-x)+(b-x)=a+b-2x，随着x的减小，该式值增大，无最大值； · 当a ≤ x ≤ b时，|x-a|+|x-b|=(x-a)+(b-x)=b-a，此时距离之和为定值b-a； · 当x > b时，|x-a|+|x-b|=(x-a)+(x-b)=2x-(a+b)，随着x的增大，该式值增大，无最大值。 3. 结论总结：当x在[a,b]之间（包括端点）时，原式取得最小值b-a，无最大值。 三、形如|x-a|-|x-b|（a < b）的最值探究 1. 几何意义解读：表示数轴上点x到点a的距离与到点b的距离之差。 2. 分类讨论分析： · 当x ≤ a时，|x-a|-|x-b|=(a-x)-(b-x)=a-b，此时差值为定值a-b（因为a < b，所以a-b为负数）； · 当a < x < b时，|x-a|-|x-b|=(x-a)-(b-x)=2x-(a+b)，x取值在(a,b)之间，所以2x取值在(2a,2b)，2x-(a+b)取值在； · 当x ≥ b时，|x-a|-|x-b|=(x-a)-(x-b)=b-a，此时差值为定值b-a（正数）。 3. 最值确定：综合可得，原式最大值为b-a，最小值为a-b。 四、含有多个绝对值相加的最值问题（以三个为例：|x-a|+|x-b|+|x-c|，a < b < c） 1. 逐步分析思路：先将前两个绝对值|x-a|+|x-c|看作一个整体，由前面结论可知，当x在[a,c]之间时，其最小值为c-a。此时原式变为(c-a)+|x-b|。 2. 进一步优化：要使(c-a)+|x-b|最小，需使|x-b|最小，因为|x-b|≥0，当x=b时，|x-b|=0。而b在[a,c]之间，满足前两个绝对值取最小值的条件。 3. 结论得出：当x=b时，原式取得最小值(c-a)+0=c-a，即三个点时，取中间点b，最小值为两端点距离c-a。 4. 推广规律：多个绝对值相加时，若有奇数个绝对值，取中间点对应的数时，原式取得最小值；若有偶数个绝对值，取中间两个点之间（包括端点）的任意数时，原式取得最小值，最小值为两端点距离之和（或通过具体计算得出）。 【例1】学了数轴都知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：． 利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示3和7的两点的距离是_________， 数轴上表示3和的两点的距离是_________， 数轴上表示和4的两点之间的距离是____________， 数轴上表示和的两点之间的距离是____________； (2)写出时的取值范围是_______________； (3)当的取值范围为多少时，有最小值？并求出最小值． 【变式1—1】阅读下面材料：如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，则A、B两点之间的距离可以表示为． 根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示8与－2的两点之间的距离是 ； (2)若，则 ；若，则 ； (3)表示数轴上有理数x所对的点到1和－3所对的两点距离之和，请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得． (4)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请直接写出最小值．若没有，说出理由． 【变式1—2】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【知识储备】同学们都知道，表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离（如图）． 请你利用数形结合的思想探究下列问题： 【探究规律】 (1)求代数式的最小值； (2)代数式的最小值为_____________； (3)代数式的最小值为_____________． 【题型二】绝对值化简与分类讨论 方法技巧 一、绝对值的代数意义与核心化简法则 绝对值的本质是表示数轴上某点到原点的距离，具有非负性（即|a|≥0）。其代数定义为： 1. 当a>0时，|a|=a（正数的绝对值是它本身） 2. 当a=0时，|a|=0（零的绝对值是零） 3. 当a<0时，|a|=-a（负数的绝对值是它的相反数） 核心法则：去绝对值符号前必须判断绝对值内代数式的符号，再根据定义去掉绝对值符号。 二、绝对值化简的基本步骤 1. 定零点：令绝对值内的代数式等于0，求解得到的x值称为"零点"（使绝对值内式子为0的未知数的值） 2. 分区间：将零点在数轴上标注，把数轴分成若干个区间（区间数量=零点个数+1） 3. 判正负：在每个区间内，判断绝对值内代数式的正负性（可代入区间内任意具体数值辅助判断） 4. 去符号：根据代数定义去掉绝对值符号，正数和零直接去掉，负数去掉绝对值后变为其相反数 5. 合并同类项：对去绝对值后的式子进行化简，整理成最简形式 三、单重绝对值化简的分类讨论模型 类型1：含一个绝对值的整式化简 示例：化简|x-3| · 定零点：x-3=0 → x=3 · 分区间：①x<3；②x=3；③x>3 · 分类讨论： · 当x<3时，x-3<0，原式=-(x-3)=-x+3 · 当x=3时，x-3=0，原式=0 · 当x>3时，x-3>0，原式=x-3 类型2：含两个绝对值的整式化简 示例：化简|x+1|+|x-2| · 定零点：x+1=0→x=-1；x-2=0→x=2 · 分区间：①x<-1；②-1≤x≤2；③x>2 · 分类讨论： · 当x<-1时，x+1<0且x-2<0，原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1 · 当-1≤x≤2时，x+1≥0且x-2≤0，原式=(x+1)-(x-2)=3 · 当x>2时，x+1>0且x-2>0，原式=(x+1)+(x-2)=2x-1 四、多重绝对值化简的处理策略 1. 从内向外逐层去绝对值：先处理内层绝对值，再处理外层绝对值，每一层都需进行分类讨论 2. 利用整体代换思想：将内层绝对值的化简结果视为整体，再对外部绝对值进行讨论 示例：化简| |x-1| - 2 | · 先令y=|x-1|，转化为|y-2|的化简 · 内层化简|x-1|得： · 当x<1时，y=1-x；当x≥1时，y=x-1 · 外层化简|y-2|： · 当x<1时，y=1-x，再分1-x<2（x>-1）和1-x≥2（x≤-1） · x≤-1时，原式=|(1-x)-2|=|-x-1|=-x-1 · -1<x<1时，原式=|(1-x)-2|=| -x-1 |=x+1 · 当x≥1时，y=x-1，再分x-1<2（x<3）和x-1≥2（x≥3） · 1≤x<3时，原式=|(x-1)-2|=|x-3|=3-x · x≥3时，原式=|(x-1)-2|=x-3 五、含字母系数的绝对值化简技巧 关键要点： 1. 明确字母的取值范围（题目给定或隐含条件） 2. 区分"常数项"与"变量项"的符号判断 3. 利用数轴辅助分析多个字母的大小关系 示例：已知a<0<b，化简|a-b|+|ab| · 符号判断：a-b<0（负数减正数），ab<0（异号相乘） · 化简过程：原式=-(a-b)+(-ab)=-a+b-ab 【例2】已知有理数、满足，，且，求的值． 【变式2—1】已知：，，…，都是不等于的有理数，请你探究以下问题： (1)若，则共有______个不同的值，它们分别是______； (2)若，则共有______个不同的值，它们分别是______； (3)若，则共有______个不同的值，它们分别是______； (4)若，求的值； (5)由以上探究可知，， 则共有______个不同的值，它们分别是______； 在这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于______， 的这些所有的不同的值的绝对值的和等于______． 【变式2—2】（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题． ①x满足______时，式子的值最______，为______； ②x满足______时，式子的值最______，为______； （2）已知若，则，即，若，则，即，如果x、y、z是有理数，且，时，直接写出的值为______． 【题型三】数轴动点求t 方法技巧 一、核心步骤解析 1. 设点表示 · 设动点起始位置对应的数为a，运动速度为v（单位长度/单位时间），运动时间为t，则运动后点表示的数为： · 向右运动： · 向左运动： · 关键：明确方向对符号的影响，速度与时间的乘积需带单位（如“个单位长度”）。 2. 列等量关系 · 根据题目条件（如两点距离、中点、相遇、追击等）建立方程： · 距离公式：若两点表示的数为、，则距离（d为已知距离）。 · 中点公式：两点中点表示的数为，若与某定点重合，可列等式。 · 相遇/追击：两点表示的数相等（相遇）或距离为定值（追击）。 3. 解方程求t · 去绝对值时需分情况讨论（如或），避免漏解。 · 验证解的合理性：t必须为非负数（时间不能为负），且结果需符合数轴范围（如点不能超出给定线段）。 二、典型题型与技巧 1. 单点运动求位置 · 例：点A从表示-3的点出发，以2个单位/秒向右运动，求t秒后点A表示的数。 · 解：直接套用公式 ( -3 + 2t )。 2. 两点距离问题 · 例：点P从1出发向左运动（速度1单位/秒），点Q从-5出发向右运动（速度3单位/秒），几秒后PQ=4？ · 步骤： ① 设t秒后，P：( 1 - t )，Q：( -5 + 3t )； ② 列方程 → ； ③ 分情况：( 6 - 4t = 4 )（t=0.5）或 ( 6 - 4t = -4 )（t=2.5）； ④ 验证：t=0.5和2.5均非负，均符合题意。 3. 中点问题 · 例：点M从原点出发向右运动（速度2单位/秒），点N从4出发向左运动（速度1单位/秒），t为何值时，MN中点为1？ · 步骤： ① M：( 2t )，N：( 4 - t )； ② 中点公式：→ ( t + 4 = 2 ) → ( t = -2 )（舍去，时间不能为负），故无解。 4. 相遇与追击 · 相遇：两点表示的数相等 →； · 追击：快者追上慢者时，两点重合（如同向运动）。 【例3】在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且满足． (1)求出的值． (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与表示数____________的点重合；若此数轴上、两点之间的距离为2025（在的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，则点表示的数是____________． (3)点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，点从出发以每秒1个单位长度的速度运动，假设秒钟过后，请问：是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【变式3—1】定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 【变式3—2】如图将一条数轴在原点 ，点 ，点 ，点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点 表示 ，点表示 ，点表示，点表示，点 表示 ，我们称点 和点 在数轴上相距 个长度单位．动点从点出发，以单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点 从点 出发，以 单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，两点上坡时速度均变为初始速度的一半，下坡时速度均变为初始速度的两倍，平地则保持初始速度不变．当点 运动至点 时则两点停止运动，设运动的时间为 秒．问：      (1)动点 从点 运动至 点需要 秒，此时点 对应的点是 ． (2)， 两点在点 处相遇，求出相遇点 所对应的数是多少？ (3)求当 为何值时，， 两点在数轴上相距的长度与 ， 两点在数轴上相距的长度相等． 学科网（北京）股份有限公1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（8知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】正数与负数 1. 正数：像+3、+1.5、+这样大于0的数叫做正数，“+”号通常可以省略不写。 2. 负数：像-3、-1.5、-这样在正数前面加上“-”号的数叫做负数，“-”号不能省略。 3. 0的意义：0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界点。0还可以表示一个具体的数量，如0℃表示一个特定的温度。 4. 相反意义的量：在生活和生产中，存在着大量具有相反意义的量，如收入与支出、上升与下降、向东与向西等。对于具有相反意义的量，我们可以用正数和负数来表示其中一种意义的量，另一种意义的量用负数表示。例如，规定向东为正，那么向西就为负；规定收入为正，那么支出就为负。 【清单02】有理数 1. 有理数的概念：整数和分数统称为有理数。 2. 整数的分类：整数包括正整数、0和负整数。例如，1、2、3等是正整数；-1、-2、-3等是负整数。 3. 分数的分类：分数包括正分数和负分数。正分数如、3.5（可化为）等；负分数如-、-2.2（可化为-）等。 【清单03】数轴 1. 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2. 数轴的三要素：原点（表示数0的点）、正方向（通常规定向右为正方向）和单位长度（数轴上相邻两个刻度之间的距离，其长度可根据实际情况任意选取，但同一数轴上的单位长度必须统一）。 3. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的点不一定都表示有理数，还可以表示无理数。 4. 利用数轴比较有理数的大小：在数轴上，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。因此，正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 【清单04】绝对值与相反数 1. 相反数的概念：像2和-2、和-这样，只有符号不同的两个数互为相反数。0的相反数是0。 2. 相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点（0除外）分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 3. 绝对值的定义：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作|a|。 4. 绝对值的性质： 正数的绝对值是它本身，即当a>0时，|a|=a； 负数的绝对值是它的相反数，即当a<0时，|a|=-a； 0的绝对值是0，即当a=0时，|a|=0。 所以，任何一个数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。 5. 利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。例如，比较-3和-5的大小，因为|-3|=3，|-5|=5，3<5，所以-3>-5。 【清单05】有理数的加法与减法 1. 有理数的加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。例如，(+5)+(+3)=+(5+3)=8，(-5)+(-3)=-(5+3)=-8。 异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。例如，(+5)+(-5)=0，(+5)+(-3)=+(5-3)=2，(-5)+(+3)=-(5-3)=-2。 一个数同0相加，仍得这个数。例如，0+(-8)=-8，5+0=5。 2. 有理数加法的运算律： 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即a+b=b+a。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即(a+b)+c=a+(b+c)。利用加法运算律可以使一些加法运算简便，例如，计算(+15)+(-20)+(+25)+(-30)，可以利用加法交换律和结合律将其变形为[(+15)+(+25)]+[(-20)+(-30)]=(40)+(-50)=-10。 3. 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。例如，5-3=5+(-3)=2，5-(-3)=5+3=8，-5-3=-5+(-3)=-8。 4. 有理数加减混合运算：可以利用减法法则将加减混合运算统一成加法运算，写成省略加号和括号的形式，再进行计算。例如，(-8)-(-10)+(-6)-(+4)可以转化为(-8)+(+10)+(-6)+(-4)，进一步写成-8+10-6-4，然后按照从左到右的顺序计算：-8+10=2，2-6=-4，-4-4=-8。 【清单06】 有理数的乘法与除法 1. 有理数的乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。例如，(+3)×(+4)=12，(-3)×(-4)=12，(+3)×(-4)=-12，(-3)×(+4)=-12。 任何数同0相乘，都得0。例如，0×(-5)=0，7×0=0。 几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数，并把绝对值相乘。例如，(-2)×(-3)×(-4)=-(2×3×4)=-24（负因数个数为3，奇数），(-2)×(-3)×4=24（负因数个数为2，偶数）。 2. 有理数乘法的运算律： 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即a×b=b×a。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即(a×b)×c=a×(b×c)。 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即a×(b+c)=a×b+a×c。例如，5×(2+(-3))=5×2+5×(-3)=10-15=-5。 3. 有理数的除法法则： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×（b≠0）。例如，6÷2=6×=3，(-6)÷2=(-6)×=-3，，。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。例如，12÷4=3，(-12)÷(-4)=3，12÷(-4)=-3，(-12)÷4=-3，0÷(-5)=0。 4. 有理数乘除混合运算：可以先将除法转化为乘法，再按照乘法法则进行计算。例如，(-18)÷3×(-2)=(-18)××(-2)=(-6)×(-2)=12。 【清单07】有理数的乘方 1. 乘方的概念：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数，aⁿ读作“a的n次方”或“a的n次幂”。例如，2⁵中，底数是2，指数是5，2⁵表示5个2相乘，即2×2×2×2×2=32。 2. 有理数乘方的符号法则： 正数的任何次幂都是正数。例如，3²=9，2³=8。 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。例如，(-3)³=-27（指数3是奇数），(-3)²=9（指数2是偶数）。 0的任何正整数次幂都是0。例如，0⁴=0，0⁷=0。 3. 有理数的混合运算顺序： 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 同级运算，从左到右依次进行； 如果有括号，先算括号里面的（按小括号、中括号、大括号的顺序依次计算）。例如，计算18-3×(-2)³+(-5)，先算乘方：(-2)³=-8，然后算乘法：3×(-8)=-24，接着进行加减运算：18-(-24)+(-5)=18+24-5=37。 4. 科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式（其中1≤a<10，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。例如，1300000000可以表示为1.3×10⁹（因为1300000000=1.3×1000000000=1.3×10⁹）。确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值大于1时，n是正数。 【清单08】 近似数 1. 准确数与近似数的概念：与实际完全符合的数叫做准确数；与实际接近但存在一定偏差的数叫做近似数。例如，教室里有45名学生，这里的45是准确数；我国的人口约为14亿，这里的14亿是近似数。 2. 精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度来表示。一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。例如，近似数3.14精确到百分位（或精确到0.01），它表示实际值在3.135到3.145之间（包括3.135，不包括3.145）；近似数1.8精确到十分位（或精确到0.1），表示实际值在1.75到1.85之间（包括1.75，不包括1.85）。 3. 按要求取近似数：根据题目要求的精确度，对一个数进行四舍五入取近似数。例如，将3.1415926精确到0.001，即保留三位小数，看小数点后第四位数字是5，根据四舍五入法，向前进1，所以3.1415926≈3.142；将2.718精确到个位，看十分位数字是7，向前进1，所以2.718≈3。 【题型一】最大、最小的数 【例1】下列各数中，最大的数是（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了有理数比大小，正确的比较大小是解题的关键． 根据有理数的大小关系进行判断． 【详解】解：∵， ∴最大的数为：， 故选：D． 【变式1-1】在，3.5，0，这四个数中，最大的数是（  ） A． B．3.5 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的大小比较．掌握绝对值定义，有理数的大小比较法则，是解题的关键． 根据绝对值定义，有理数的大小比较法则解答． 【详解】解：∵，且， ∴． 最大的数是． 故选：B． 【变式1-2】已知数表示的是的倒数，数表示的是最小的正整数，数表示的是的绝对值，则数，，的大小关系为 （用“>”符号连接） 【答案】 【分析】本题考查了整数、绝对值、倒数、有理数大小比较．先分别求出，，，然后比较三者的大小关系． 【详解】解：∵数表示的是的倒数，数表示的是最小的正整数，数表示的是的绝对值， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型二】科学记数法与正反意义的量 【例2】2025年电影总票房破400亿元，暂居票房十强的都是清一色国产电影：哪吒之魔童闹海、唐探1900、南京照相馆、浪浪山小妖怪等等，其中哪吒之魔童闹海累计票房达154.5亿元，创造了新的票房纪录．其中数据154.5亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【分析】解：亿． 故选：C． 【变式2-1】下列选项中，具有相反意义的量的是（   ） A．气温上升了6摄氏度和水位下降了7米 B．水果店卖出10斤苹果和盈利20元 C．微信群抢红包收入20元与支出30元 D．小高向东行40米和向南行40米 【答案】C 【分析】本题考查了对正负数概念的理解，关键明确正负数是表示一对意义相反的量． 根据相反意义的量的概念，逐项判断分析即可解题． 【详解】解：A.不是一对具有相反意义的量，不符合题意； B.不是一对具有相反意义的量，不符合题意； C.是一对具有相反意义的量，符合题意； D.不是一对具有相反意义的量，不符合题意； 故选：C． 【变式2-2】春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》票房表现亮眼，截止到3月20日，累计票房已达  152亿元，将数据“152亿”用科学记数法表示为 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较大的数，熟记科学记数法的表示方法是解题的关键．将“152亿”转换为具体数值，再根据科学记数法的定义，表示为 的形式，其中 ， 为整数． 【详解】解：152亿 ． 故答案为 ． 【题型三】相反数、倒数、绝对值 【例3】的倒数是（   ） A．2027 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查倒数的定义，熟练掌握倒数定义是问题求解的关键． 根据倒数的定义，互为倒数的两个数的乘积为，可完成求解． 【详解】解：由，可得． 故选：B． 【变式3-1】的相反数是（　　） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查相反数的定义．根据相反数的定义，一个数的相反数是符号不同的数，解答即可． 【详解】解：∵ 相反数的定义是：数的相反数为， ∴ ， ∴的相反数是， 故选：B． 【变式3-2】的相反数是它本身，的相反数是最大的负整数，的绝对值等于2，则的值是 ． 【答案】或1 【分析】此题考查了相反数的定义，负整数的定义，绝对值的定义，有理数的减法运算． 利用相反数的定义，最大的负整数为，它的相反数为1，绝对值等于2的数是2或，求出a、b、c的值，代入原式计算即可得到结果； 【详解】解：根据题意得，，或， 当时，， 当时，， 故的值是：或1， 故答案为：或1． 【题型四】数轴中的（比较大小） 【例4】如图，数轴上点A和点B分别表示数a和b，则下列式子正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了数轴以及有理数混合运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键． 利用的位置，进而得出：，即可分析得出答案． 【详解】解：根据题意可得：，故选项A错误； ，故选项B正确； ，故选项C错误； 异号，，故选项D错误； 故选：B． 【变式4-1】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，弄清题中数轴上a与b表示点的位置是解本题的关键． 根据、的位置，，，即可作出判断． 【详解】解：根据数轴上的位置，可得，， ，， 故选：C． 【变式4-2】比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，先分别求出两个数的绝对值，然后进行比较即可．解题的关键是掌握：比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值较大的负数反而较小． 【详解】解：∵，，且， ∴． 故答案为：． 【题型五】新定义运算 【例5】定义一种新运算符号“”，满足：，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义下的有理数的混合运算，求一个数的绝对值，解题的关键是掌握新定义法则． 根据新运算“Θ”的定义，先计算内部运算，再计算结果． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， 故选：D． 【变式5-1】现定义一种新运算：，如：，则等于（    ） A．15 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】此题考查了新定义，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据新运算的定义，先计算括号内的运算，再计算括号外的即可． 【详解】解：∵ ，   ∴ ，   ∴ ．   故选：A． 【变式5-2】在有理数范围内，定义一种新运算“”：，例如：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，有理数的混合运算，熟练掌握新运算的法则是解题的关键，根据新运算的法则列式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型六】程序流程图 【例6】如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为81，则第2025次输出的结果为（   ） A．27 B．9 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了程序图的计算，数字的变化规律． 根据程序图计算出部分数值，找出变化规律，再根据规律解答问题即可． 【详解】解：第一次输出为：； 第二次输出为：； 第三次输出为：； 第四次输出为：； 第五次输出为：； 第六次输出为：； 第七次输出为：； ……， 从第二次输出开始以9，3，1循环， ， ∴第2025次输出结果为3． 故选：C． 【变式6-1】如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，第一次输出的结果是1，返回进行第二次运算则输出的是8，…，则第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题．先根据数据运算程序计算出前几次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1次运算输出的结果为， 第2次运算输出的结果为， 第3次运算输出的结果为， 第4次运算输出的结果为， 第5次运算输出的结果为， 第6次运算输出的结果为， 第7次运算输出的结果为， 第8次运算输出的结果为， 归纳类推得：运算结果以1、8、4、2为周期，每4次循环一次， ，余数为1， 所以第2025次运算输出的结果与第1次输出的结果相同， 即为1， 故选：A． 【变式6-2】按如图所示的流程图操作，若输入x的值是，则输出的结果是 ． 【答案】49 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，根据流程图，列出算式，进行计算，直至结果大于5即可． 【详解】解：输入的x的值是， 则，返回继续运算； ，输出结果； 故答案为： 【题型七】进制问题 【例7】区别于十进制，古巴比伦使用的是60进制，这与他们独特的计数方式有关．如图，右手4根手指的12个指关节表示1~12，左手的五根手指表示1~5倍．如：当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第8指关节时，表示的十进制数字是；当左手伸出2根手指，右手掐住第10指关节时，表示的十进制数字是．若当其左手伸出4根手指，右手掐住第5指关节时，表示的十进制数字是（    ） A．37 B．35 C．41 D．53 【答案】D 【分析】主要考查了有理数的四则混合计算，根据题意用左手的手指数乘以12加上右手的关节数字即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 【变式7-1】如图，是我们列竖式进行十进制加法运算的过程，十进制运算要注意满十进一，而七进制加法运算要注意满七进一，则七进制下的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是新定义运算，根据七进制加法运算满七进一的法则计算即可. 【详解】解：. 故选：D 【变式7-2】我们平常生活中用的是进制进行计算，如，在进行计算时两数最右边对齐，，满后留在最右边，向左进一，从而结果为；在计算减法时，最右边一位对齐，向左借位，借一得十，结果为17．在古代，有个部落采用的是五进制，满五进一．即当数字为时，记做，那么类比十进制的加减法，在计算时，它的结果为 （答案也记录为五进制）． 【答案】 【分析】本题考查进制运算，读懂题意，理解进制运算方法是解决问题的关键． 直接进行五进制减法运算，从右向左逐位相减，需要借位时借一当五，即可得到答案． 【详解】解：由阅读材料中的方法可知，， 故答案为：． 【题型八】有理数的混合运算 【例8】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握相关运算法则和运算顺序，正确的计算是解题的关键． （1）先算绝对值，去括号，最后算加减； （2）先进行乘方运算，再去括号，再进行乘法运算，最后算加减． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式8-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据乘法分配律计算，再计算加法即可； （2）先计算乘方，绝对值，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式8-2】计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法法则计算； （2）根据乘法分配律计算； （3）先算乘方，同时去掉绝对值，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【题型九】有理数的实际应用 【例9】随着网络时代的到来，很多农产品改变了原来的销售模式，实行了网上销售．小明把自家的冬枣产品放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖千克冬枣，但由于种种原因，实际每天的销量与计划量相比有出入，下表是某星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：千克）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 千克． (2)本星期实际销量是否达到了计划销量?请说明理由． (3)若每千克冬枣按元出售，每千克冬枣需要小明支付的平均运费是元，则小明本星期销售冬枣实际共得多少元？ 【答案】(1) (2)达到了计划销量，理由见解析 (3)元 【分析】（）用最大数减去最小数即可求解； （）把所有数相加求出结果，再根据正负数的意义即可判断求解； （）根据题意求出总销售量，再乘以每千克收入即可求解； 本题考查了正负数的实际应用，有理数加减和混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵（千克）， ∴销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售千克， 故答案为：； （2）解：本星期实际销量达到了计划销量，理由如下： ∵（千克）， ∴本星期实际销量达到并超过了计划销量； （3）解：（元）， 答：小明本星期销售冬枣实际共得元． 【变式9-1】某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负．某天自地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：． (1)收工时距地多远？ (2)若每千米路程耗油升，则从地出发到收工共耗油多少升？ 【答案】(1)收工时距地36千米 (2)从地出发到收工共耗油升 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）把记录的数据相加，根据结果可得答案． （2）计算各里程的绝对值的和，再乘以单位耗油量即可． 【详解】（1）解：（千米）． 答：收工时距地36千米． （2）解：由题意得 （升）. 答：从地出发到收工共耗油升． 【变式9-2】东北的冬天来的早，进入十一月份老百姓就开始准备冬菜，大白菜以汁白、味鲜甜、纤维少、营养丰富、产量高等特点而倍受老百姓的喜爱，小张种植了很多大白菜．计划每天销售100千克，但每天实际销售量与计划销售量相比有出入．若超过计划销售量记为正，不足计划销售量记为负．下表是小张第一周白菜的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 白菜销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小张第一周销售白菜最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)小张第一周白菜的平均每天销量是多少千克？ (3)若小张按2.5元/千克进行白菜销售，白菜的种植成本和运费等共计为1元/千克，则小张第一周销售白菜获利多少元？ 【答案】(1)31 (2)105 (3)1102.5 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，有理数减法的实际应用，正负数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意得，星期六的销售量最多，星期四的销售量最少，据此列式求解即可； （2）将表格中七天的超过或不足计划量求和后除以7，再加上100即可得到答案； （3）根据（2）所求求出这七天的总销售量，再乘以每千克的利润即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，星期六的销售量最多，星期四的销售量最少，据此列式可得： ， 答：小张第一周销售白菜最多的一天比最少的一天多销售31千克； （2）解： ， 答：小张第一周白菜的平均每天销量是105千克； （3）解： 元， 答：小张第一周销售白菜获利1102.5元． 【题型一】有理数的概念辨析 【例1】对于数2.4，，，，0，1，下列说法中正确的是（     ） A．是负数但不是负整数 B．有理数有5个 C．非负数有3个 D．是以上数中最大的数 【答案】A 【详解】本题考查有理数的概念与分类，包括负数、负整数、非负数的定义，以及有理数的大小比较．通过直接验证每个选项即可得出答案． 【分析】解：∵在数2.4，，，， 0， 1中， 是负数，但不是整数，故不是负整数，故A正确； 所有数都是有理数，共6个，故B错误； 非负数有2.4，，0，1，共4个，故C错误； 是负数，小于其他正数，故不是最大的数，故D错误， 故选：A． 【变式1-1】下列说法正确的是（） A．所有的整数都是正数 B．是最大的负整数 C．0是最小的有理数 D．整数、0和分数统称为有理数 【答案】B 【分析】本题考查有理数的基本概念，需熟练掌握整数的分类和有理数的定义． 根据有理数的定义和性质，逐一判断选项的正误． 【详解】解：∵整数包括正整数、负整数和0，故A错误； ∵是最大的负整数，故B正确； ∵有理数包括负数，负数小于0，故C错误； ∵有理数是整数和分数的统称，整数已包含0，故D错误． 故选：B． 【变式1-2】列关于有理数的描述 ①有限小数和无限循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了有理数的定义，0的意义，有理数分为正有理数，0和负有理数，有理数又分为整数和分数，0既不是正数，也不是负数，据此逐一判断即可． 【详解】解：①有限小数和无限循环小数都是有理数，原说法正确； ②0是非负有理数，原说法正确； ③0既不是正数，也不是负数，但0是有理数，原说法错误； ④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数，原说法正确． ∴说法正确的有①②④，共3个， 故答案为：3． 【题型二】数轴上的点与数轴的对应关系 【例2】如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查在数轴上表示有理数，关键是掌握数轴的三要素．由数轴的概念即可求解． 【详解】解：∵和刻度分别与数轴上表示和的两点对齐， ∴数轴的单位长度是， ∴原点对应的刻度， ∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是， 故选：B． 【变式2-1】如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题综合考查了数轴、循环的有关知识，关键是把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来． 圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答． 【详解】解：圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次， 则与圆周上的0重合的数是，，…，即， 同理与3重合的数是：， 与2重合的数是， 与1重合的数是，其中n是正整数． 而， ∴数轴上的数将与圆周上的数字2重合． 故选：C． 【变式2-2】小明不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，被盖住的整数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，通过数轴上的标记，确定墨迹覆盖的整数范围，然后计算这些整数的总数． 【详解】解：由图可知，墨迹覆盖的范围是：到之间和到之间， 所以整数有：， 一共有个． 故答案为：． 【题型三】绝对值的性质应用 【例3】已知，且，则的值是（   ） A．6或 B．6或 C．10或 D．6或10 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 先根据，得到p与q的值，然后结合，选取满足条件的p，q的值，分别计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴或， ∴当时，； 当时，； ∴的值为10或． 故选：C． 【变式3-1】将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则为（    ） A．10 B．9 C．7或9 D．9或10 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．分种情况讨论，再进行计算求值；每种情况交换两组数，m的值仍不变，由此即可确定答案． 【详解】解：若取6，7，8，取5，4，3， ∴； 若取5，6，7；取8，4，3， ∴； 若取4，5，6；取8，7，3， ∴； 若取3，4，6；取8，7，5， ∴； 若取3，4，7；取8，6，5， ∴； 若取4，7，8；取6，5，3， ∴； 若取3，5，8；取7，6，4， ∴； 若取3，6，8；取7，5，4， ∴； 若取4，6，8；取7，5，3， ∴； 若取4，5，8；取7，6，3， ∴； 以上每种情况交换两组数，即，，分别变为，，；，，分别变为，，，则，结果不变；如取4，5，8；取7，6，3，交换两组数，即取3，6，7；取8，5，4，此时； 综上所述，m为9． 故选：B． 【变式3-2】已知，，并且，求 ， ． 【答案】 5 【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值的性质求出a、b的可能值，再结合条件确定a和b的值． 【详解】解：∵，， ∴或，或5， ∵， ∴，． 故答案为：，5． 【题型一】绝对值的最值问题 方法技巧 一、形如|x-a|的最值理解 1. 几何意义分析：|x-a|表示数轴上点x到点a的距离。在数轴上，点x可以任意移动，当x取遍所有有理数时，这个距离没有最大值（可以无限远），但有最小值0，此时x=a。 2. 代数角度验证：因为绝对值具有非负性，即|x-a|≥0，当且仅当x-a=0，即x=a时，等号成立，所以最小值为0，无最大值。 二、形如|x-a|+|x-b|（a < b）的最值求解 1. 几何模型构建：该式表示数轴上点x到点a和点b的距离之和。在数轴上，点a和点b固定且a在b左侧。 2. 分段讨论推理： · 当x < a时，|x-a|+|x-b|=(a-x)+(b-x)=a+b-2x，随着x的减小，该式值增大，无最大值； · 当a ≤ x ≤ b时，|x-a|+|x-b|=(x-a)+(b-x)=b-a，此时距离之和为定值b-a； · 当x > b时，|x-a|+|x-b|=(x-a)+(x-b)=2x-(a+b)，随着x的增大，该式值增大，无最大值。 3. 结论总结：当x在[a,b]之间（包括端点）时，原式取得最小值b-a，无最大值。 三、形如|x-a|-|x-b|（a < b）的最值探究 1. 几何意义解读：表示数轴上点x到点a的距离与到点b的距离之差。 2. 分类讨论分析： · 当x ≤ a时，|x-a|-|x-b|=(a-x)-(b-x)=a-b，此时差值为定值a-b（因为a < b，所以a-b为负数）； · 当a < x < b时，|x-a|-|x-b|=(x-a)-(b-x)=2x-(a+b)，x取值在(a,b)之间，所以2x取值在(2a,2b)，2x-(a+b)取值在； · 当x ≥ b时，|x-a|-|x-b|=(x-a)-(x-b)=b-a，此时差值为定值b-a（正数）。 3. 最值确定：综合可得，原式最大值为b-a，最小值为a-b。 四、含有多个绝对值相加的最值问题（以三个为例：|x-a|+|x-b|+|x-c|，a < b < c） 1. 逐步分析思路：先将前两个绝对值|x-a|+|x-c|看作一个整体，由前面结论可知，当x在[a,c]之间时，其最小值为c-a。此时原式变为(c-a)+|x-b|。 2. 进一步优化：要使(c-a)+|x-b|最小，需使|x-b|最小，因为|x-b|≥0，当x=b时，|x-b|=0。而b在[a,c]之间，满足前两个绝对值取最小值的条件。 3. 结论得出：当x=b时，原式取得最小值(c-a)+0=c-a，即三个点时，取中间点b，最小值为两端点距离c-a。 4. 推广规律：多个绝对值相加时，若有奇数个绝对值，取中间点对应的数时，原式取得最小值；若有偶数个绝对值，取中间两个点之间（包括端点）的任意数时，原式取得最小值，最小值为两端点距离之和（或通过具体计算得出）。 【例1】学了数轴都知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：． 利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示3和7的两点的距离是_________， 数轴上表示3和的两点的距离是_________， 数轴上表示和4的两点之间的距离是____________， 数轴上表示和的两点之间的距离是____________； (2)写出时的取值范围是_______________； (3)当的取值范围为多少时，有最小值？并求出最小值． 【答案】(1)4，，，； (2)； (3)取值范围为，最小值为． 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，解题的关键是理解绝对值的几何意义，掌握数轴上两点之间的距离公式． （1）根据数轴上两点之间的距离公式列式计算得出答案； （2）当、、时，分别讨论求解即可； （3）表示的几何意义，数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵两点之间的距离为：． ∴数轴上表示3和7的两点之间的距离是， 数轴上表示3和的两点之间的距离是， 数轴上表示和4的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是． 故答案为：4，，，； （2）解：当时，； 当时，； 当时，． ∴当代数式时，的取值范围是， 故答案为：． （3）解：∵表示的几何意义是：数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和， ∴当时，代数式取最小值，最小值为． 【变式1—1】阅读下面材料：如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，则A、B两点之间的距离可以表示为． 根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示8与－2的两点之间的距离是 ； (2)若，则 ；若，则 ； (3)表示数轴上有理数x所对的点到1和－3所对的两点距离之和，请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得． (4)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请直接写出最小值．若没有，说出理由． 【答案】(1)10． (2)或；． (3)． (4)2023． 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离以及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点的距离公式和绝对值的几何意义，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）根据题意可得8与的两点之间的距离是，计算即可． （2）表示x到的距离为3，由数轴可解；表示x到1的距离和到的距离相等，由数轴可解． （3）根据绝对值的意义可知表示x到1的距离与x到的距离之和，根据点在数轴上的位置求解即可． （4）根据绝对值的意义可知表示x到的距离，x到的距离与x到的距离之和，根据点在数轴上的位置求解即可． 【详解】（1）∵， ∴数轴上表示8与的两点之间的距离是， 故答案为：． （2）表示x到的距离为3， 根据数轴可得，到数轴上表示的数距离为3的点表示的数为或， 故答案为：或． 表示x到1的距离和到的距离相等， 根据数轴上点的位置可得到1的距离和到的距离相等的点表示的数为， 即， 故答案为：． （3） 表示x到1的距离与x到的距离之和， ， 由数轴可知的整数符合题意， ∴使得成立的所有符合条件的整数x为． （4）如图， 根据绝对值的意义可知表示x到的距离，x到的距离与x到1011的距离之和， ∵表示的数与表示1011的数之间的距离为， 根据数轴可知，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，当时，有最小值为． 故答案为：． 【变式1—2】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【知识储备】同学们都知道，表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离（如图）． 请你利用数形结合的思想探究下列问题： 【探究规律】 (1)求代数式的最小值； (2)代数式的最小值为_____________； (3)代数式的最小值为_____________． 【答案】(1)1 (2)2 (3)2024 【分析】此题考查了运用数形结合思想进行实数运算的能力． （1）根据题目中的几何意义进行求解． （2）根据题目中的几何意义进行求解． （3）根据题目中的几何意义进行求解． 【详解】（1）解：表示在数轴上表示数x的点到表示1的点与表示2的点的距离之和， ∴当时，代数式的值最小，最小值为； （2）解：表示在数轴上表示数x的点到表示1的点，表示2的点，表示3的点的距离之和， ∴当时，代数式的值最小，最小值为； 故答案为：2 （3）解：表示在数轴上表示数x的点到表示1的点，表示2的点，表示3的点，……，表示2025的点的距离之和， ∴当时，代数式的值最小，最小值为． 故答案为：2024 【题型二】绝对值化简与分类讨论 方法技巧 一、绝对值的代数意义与核心化简法则 绝对值的本质是表示数轴上某点到原点的距离，具有非负性（即|a|≥0）。其代数定义为： 1. 当a>0时，|a|=a（正数的绝对值是它本身） 2. 当a=0时，|a|=0（零的绝对值是零） 3. 当a<0时，|a|=-a（负数的绝对值是它的相反数） 核心法则：去绝对值符号前必须判断绝对值内代数式的符号，再根据定义去掉绝对值符号。 二、绝对值化简的基本步骤 1. 定零点：令绝对值内的代数式等于0，求解得到的x值称为"零点"（使绝对值内式子为0的未知数的值） 2. 分区间：将零点在数轴上标注，把数轴分成若干个区间（区间数量=零点个数+1） 3. 判正负：在每个区间内，判断绝对值内代数式的正负性（可代入区间内任意具体数值辅助判断） 4. 去符号：根据代数定义去掉绝对值符号，正数和零直接去掉，负数去掉绝对值后变为其相反数 5. 合并同类项：对去绝对值后的式子进行化简，整理成最简形式 三、单重绝对值化简的分类讨论模型 类型1：含一个绝对值的整式化简 示例：化简|x-3| · 定零点：x-3=0 → x=3 · 分区间：①x<3；②x=3；③x>3 · 分类讨论： · 当x<3时，x-3<0，原式=-(x-3)=-x+3 · 当x=3时，x-3=0，原式=0 · 当x>3时，x-3>0，原式=x-3 类型2：含两个绝对值的整式化简 示例：化简|x+1|+|x-2| · 定零点：x+1=0→x=-1；x-2=0→x=2 · 分区间：①x<-1；②-1≤x≤2；③x>2 · 分类讨论： · 当x<-1时，x+1<0且x-2<0，原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1 · 当-1≤x≤2时，x+1≥0且x-2≤0，原式=(x+1)-(x-2)=3 · 当x>2时，x+1>0且x-2>0，原式=(x+1)+(x-2)=2x-1 四、多重绝对值化简的处理策略 1. 从内向外逐层去绝对值：先处理内层绝对值，再处理外层绝对值，每一层都需进行分类讨论 2. 利用整体代换思想：将内层绝对值的化简结果视为整体，再对外部绝对值进行讨论 示例：化简| |x-1| - 2 | · 先令y=|x-1|，转化为|y-2|的化简 · 内层化简|x-1|得： · 当x<1时，y=1-x；当x≥1时，y=x-1 · 外层化简|y-2|： · 当x<1时，y=1-x，再分1-x<2（x>-1）和1-x≥2（x≤-1） · x≤-1时，原式=|(1-x)-2|=|-x-1|=-x-1 · -1<x<1时，原式=|(1-x)-2|=| -x-1 |=x+1 · 当x≥1时，y=x-1，再分x-1<2（x<3）和x-1≥2（x≥3） · 1≤x<3时，原式=|(x-1)-2|=|x-3|=3-x · x≥3时，原式=|(x-1)-2|=x-3 五、含字母系数的绝对值化简技巧 关键要点： 1. 明确字母的取值范围（题目给定或隐含条件） 2. 区分"常数项"与"变量项"的符号判断 3. 利用数轴辅助分析多个字母的大小关系 示例：已知a<0<b，化简|a-b|+|ab| · 符号判断：a-b<0（负数减正数），ab<0（异号相乘） · 化简过程：原式=-(a-b)+(-ab)=-a+b-ab 【例2】已知有理数、满足，，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的意义、有理数的加法、有理数的乘法，由绝对值的意义可得或，或，再结合得出，或，，再分两种情况，分别结合有理数的乘法法则计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， ∴或，或， ∵， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值为或． 【变式2—1】已知：，，…，都是不等于的有理数，请你探究以下问题： (1)若，则共有______个不同的值，它们分别是______； (2)若，则共有______个不同的值，它们分别是______； (3)若，则共有______个不同的值，它们分别是______； (4)若，求的值； (5)由以上探究可知，， 则共有______个不同的值，它们分别是______； 在这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于______， 的这些所有的不同的值的绝对值的和等于______． 【答案】(1)； (2)；或 (3)；或 (4)或或 (5) 【分析】本题主要考查了有理数运算，绝对值运算以及分类讨论思想，正确进行分类讨论是解题的关键． () 根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案； () 根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案； ()根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案； ()根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案； ()根据上面的结果进行仔细观察，归纳，发现规律，即可到得答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 综上，共有个不同的值，它们分别是； 故答案为：；； （2）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，共有个不同的值，它们分别是或； 答案为：；或； （3）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，共有个不同的值，它们分别是或； 答案为：；或； （4）当时，， 当时，， 当时，， 当时， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，分别是或或； （5）由以上探究可知，的不同值的个数为个， 的不同值的个数为个， 的不同值的个数为个， 的不同值的个数为个， 对于，， 每一个的值为或， 由此可知的不同值的个数为个，值为； 当时，共有个不同的值， 的取值为； 当所有的都为时，取得最大值， 最大值为， 当所有的都为时，取得最小值， 最小值为， 则最大值与最小值的差为：， 的取值为，这些数是关于对称的， 则的这些所有的不同的值的和为： ∴的这些所有的不同的值的和的绝对值为． 故答案为：． 【变式2—2】（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题． ①x满足______时，式子的值最______，为______； ②x满足______时，式子的值最______，为______； （2）已知若，则，即，若，则，即，如果x、y、z是有理数，且，时，直接写出的值为______． 【答案】（1）①，小，；②，大，5；（2）或 【分析】本题考查了绝对值的非负性质，绝对值的意义，分类讨论等知识与方法，掌握这些知识与方法是解题的关键； （1）①由绝对值的非负性质即可求解； ②由绝对值的非负性质即可求解； （2）由可得，则原式可化为；不妨假设，分两种情况：；，即可求解． 【详解】解：（1）①由于，则， 当时，， 此时当时，的值最小，最小值为； 故答案为：，小，； ②由于，则，， 当时，， 此时当时，的值最大，最大值为； 故答案为：，大，5； （2）由，得， 原式； 不妨假设， 由于，则，， 分两种情况： 当时； 原式 ； 当时， 原式 ； 综上，的值为或． 【题型三】数轴动点求t 方法技巧 一、核心步骤解析 1. 设点表示 · 设动点起始位置对应的数为a，运动速度为v（单位长度/单位时间），运动时间为t，则运动后点表示的数为： · 向右运动： · 向左运动： · 关键：明确方向对符号的影响，速度与时间的乘积需带单位（如“个单位长度”）。 2. 列等量关系 · 根据题目条件（如两点距离、中点、相遇、追击等）建立方程： · 距离公式：若两点表示的数为、，则距离（d为已知距离）。 · 中点公式：两点中点表示的数为，若与某定点重合，可列等式。 · 相遇/追击：两点表示的数相等（相遇）或距离为定值（追击）。 3. 解方程求t · 去绝对值时需分情况讨论（如或），避免漏解。 · 验证解的合理性：t必须为非负数（时间不能为负），且结果需符合数轴范围（如点不能超出给定线段）。 二、典型题型与技巧 1. 单点运动求位置 · 例：点A从表示-3的点出发，以2个单位/秒向右运动，求t秒后点A表示的数。 · 解：直接套用公式 ( -3 + 2t )。 2. 两点距离问题 · 例：点P从1出发向左运动（速度1单位/秒），点Q从-5出发向右运动（速度3单位/秒），几秒后PQ=4？ · 步骤： ① 设t秒后，P：( 1 - t )，Q：( -5 + 3t )； ② 列方程 → ； ③ 分情况：( 6 - 4t = 4 )（t=0.5）或 ( 6 - 4t = -4 )（t=2.5）； ④ 验证：t=0.5和2.5均非负，均符合题意。 3. 中点问题 · 例：点M从原点出发向右运动（速度2单位/秒），点N从4出发向左运动（速度1单位/秒），t为何值时，MN中点为1？ · 步骤： ① M：( 2t )，N：( 4 - t )； ② 中点公式：→ ( t + 4 = 2 ) → ( t = -2 )（舍去，时间不能为负），故无解。 4. 相遇与追击 · 相遇：两点表示的数相等 →； · 追击：快者追上慢者时，两点重合（如同向运动）。 【例3】在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且满足． (1)求出的值． (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与表示数____________的点重合；若此数轴上、两点之间的距离为2025（在的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，则点表示的数是____________． (3)点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，点从出发以每秒1个单位长度的速度运动，假设秒钟过后，请问：是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2； (3)存在，或 【分析】本题考查数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间距离的表示方法，涉及非负数和为零的条件，熟记数轴相关定义与性质是解决问题的关键． （1）由题意，结合非负数和为零的条件列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中得到的，先求出对称中心，再结合数轴上两点之间距离的表示方法即可得到答案； （3）根据题意，分别得到经秒后对应的数是；经过秒后对应的数是，分两种情况，结合数轴上两点之间距离列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是最小的正整数， ； 将代入，则， ，且， ，， 解得：； 综上所述，； （2）解：由（1）知， 将数轴折叠，使得点与点重合时，对称中心表示的数是， ， 与点重合的点表示的数是； 设点表示的数是为， 数轴上、两点之间的距离为2025（在的左侧）， 点表示的数是， 当点与点重合时，点与点也恰好重合， ， 解得； 故答案为：2；； （3）解：存在， 经秒后对应的数是；经过秒后对应的数是， ， 分两种情况： ①点向左运动经过秒后对应的数是，则， ， 当，即时，的值是定值，为； ②点向右运动经过秒后对应的数是，则， ， 当，即时，的值是定值，为； 综上所述：当或时，的值为定值． 【变式3—1】定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 【答案】(1)点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是 (2)①，；②当M点在N点的左侧时，；当点M在N点的右侧时， (3)9秒或13秒 【分析】（1）根据，，，，推出， ，得到，得到在数轴上点H表示的数是15，点A表示的数是； （2）①根据长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ， ，得到x秒后，M点表示的数：， N点表示的数：；②当M点在N点的左侧时，，当点M在N点的右侧时，； （3）根据两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12，得到重叠部分的长为4个单位长度，当点D运动到E点右边4个单位时，长方形运动的时间为9秒；当点A运动到H点左边4个单位时，长方形运动的时间为13秒． 【详解】（1）由题意得：，，，， ∴，∴， ∴， ∴点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是； （2）①∵，， ∴， ， ∵，， ∴，， ∵长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ∴M点表示的数为：， N点表示的数为：； 故答案为：，； ②当M点在N点的左侧时，， 当点M在N点的右侧时，； （3）∵两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12， ∴重叠部分的长为4个单位长度， 当点D运动到E点右边4个单位时， ； 当点A运动到H点左边4个单位时， ， 综上，长方形运动的时间为9秒或13秒时，两个长方形重叠部分的面积为12． 【点睛】本题主要考查了数轴动点问题，熟练掌握数轴上的点表示的数，数轴上两点间的距离，路程、速度和时间的关系，长方形面积公式等知识点，求数轴上两点间的距离用右边点对应的数减左边对应的数；路程等于速度乘时间；熟记长方形的面积是长乘宽是解题的关键． 【变式3—2】如图将一条数轴在原点 ，点 ，点 ，点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点 表示 ，点表示 ，点表示，点表示，点 表示 ，我们称点 和点 在数轴上相距 个长度单位．动点从点出发，以单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点 从点 出发，以 单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，两点上坡时速度均变为初始速度的一半，下坡时速度均变为初始速度的两倍，平地则保持初始速度不变．当点 运动至点 时则两点停止运动，设运动的时间为 秒．问：      (1)动点 从点 运动至 点需要 秒，此时点 对应的点是 ． (2)， 两点在点 处相遇，求出相遇点 所对应的数是多少？ (3)求当 为何值时，， 两点在数轴上相距的长度与 ， 两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度，分成三部分进行求解即可； （2）先求出点到达点时，的位置，再求出两者还需要经过多长时间相遇，以及这段时间点的路程，即可得出结论； （3）分点分别在段时，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：点上坡时速度为单位/秒，下坡时速度为单位/秒，点上坡时速度为单位/秒，下坡时速度为单位/秒，，，，，， ∴点从点 运动至 点需要（秒）； 点从点运动到点需要（秒），从点运动到点需要：（秒） ∴当点从点 运动至 点时，点运动到点； 故答案为：； （2）由（）可知，， 两点在 处相遇时，点 在 段， 点 由 到 点用时为 秒， 点 从 到 用时为 秒， 从 又运动了： 秒， 当点 到达点 时，点 距离 点 单位长度， 再经过 秒，相遇， 点经过的路程为： 单位长度， 点 为 ，故点 对应数为 ． （3）当点 在 段时，点 在 段，此时 大于 ， 小于 ； 当点 在 段时，点 在 段， 若 ，则 ，， ，解得： 秒； 当点 在 段时，点 在 段，，， ，解得： 秒； 当点 在 段或 段时， 大于 ， 小于 ． 综上所述，当 或 秒时，， 两点在数轴上相距的长度与 ， 两点在数轴上相距的长度相等． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握时间等于路程除以速度，正确的列出方程． 学科网（北京）股份有限公1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $