2027届高考物理人教版一轮复习-重难突破4 圆周运动

该高中物理高考复习讲义聚焦圆周运动专题，涵盖运动学量关系、向心力来源、水平与竖直面内圆周运动及离心运动综合等核心考点，按“基础描述—受力分析—场景应用—综合拓展”逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导和分考向真题训练，系统突破重难。 讲义以科学思维为引领，创新设计绳杆模型对比表、向心力来源分类解析等教学活动，通过“建模—推理—应用”三步法培养学生模型建构与科学推理能力，设置基础到综合分层练习，配合即时反馈，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供精准指导。

重难突破4　圆周运动 1. 理解描述圆周运动的线速度、角速度、周期、频率、转速等物理量，掌握 v=ωr 等关系及同轴、同缘传动的规律。 2. 理解向心加速度和向心力的意义与公式，能正确分析向心力来源，解决圆锥摆、转盘、车辆转弯等水平面内圆周问题。 3. 掌握竖直面内绳模型、杆模型的临界条件，会用“供需”关系判断离心运动，并能解决圆周运动的综合问题。 【思维导图】 考点一　圆周运动的运动学描述 1．圆周运动：质点运动的轨迹是圆（或一段圆弧）的运动。 2．线速度 v：描述质点沿圆弧运动的快慢，大小 v=Δs/Δt（Δt 足够小时为瞬时速率），方向沿圆弧在该点的切线方向；由于速度方向时刻改变，圆周运动一定是变速运动。 3．（25-26高一下·赤峰新城红旗中学·月考）角速度 ω：连接质点与圆心的半径转过的角度 Δθ 与所用时间之比，ω=Δθ/Δt，单位为弧度每秒（rad/s）；匀速圆周运动中角速度恒定。 4．周期 T、频率 f、转速 n：周期为转一周所用的时间，频率 f=1/T；转速 n 表示单位时间内转过的圈数，n 以 r/s 为单位时 f=n，且 ω=2πf=2πn=2π/T。 5．各物理量关系：v=ωr=2πr/T，ω=2π/T=2πf，线速度与角速度通过半径相联系。 常见的传动方式及其规律 传动类型 相同的物理量 其余量关系 同轴转动（同一刚体、同一转轴上各点） 角速度 ω 相同 线速度与半径成正比：v1∶v2=r1∶r2 皮带（链条）传动、齿轮啮合（不打滑） 轮缘线速度大小相同 角速度与半径成反比：ω1∶ω2=r2∶r1 摩擦传动（接触处不打滑） 接触处线速度大小相同 规律同皮带传动 重难诠释　① v=ωr 只对同一圆周（半径 r 确定）成立，比较两点时先判断是“同轴（ω 等）”还是“同缘（轮缘 v 等）”，再据此推导其余量。②转速 n 若以 r/min 给出，必须先除以 60 化为 r/s 后代入 ω=2πn。③皮带（齿轮）传动不打滑时轮缘线速度大小相等，但交叉皮带传动两轮转向相反；同轴转动各点转向相同。 考点二　向心加速度与向心力 1．向心加速度：方向始终指向圆心、与线速度方向垂直，只改变速度方向而不改变速度大小；大小 a=v²/r=ω²r=ωv=4π²r/T²。 2．向心力：使物体维持圆周运动、方向指向圆心的合力，Fn=mv²/r=mω²r=mωv=m·4π²r/T²。 3．向心力是效果力（按作用效果命名），并不是物体额外受到的一种力；它由重力、弹力、摩擦力等其中某一个力、某几个力的合力或某个力的分力提供，受力分析时不得将向心力与性质力重复列出。 4．匀速圆周运动的合外力大小不变、方向始终指向圆心，全部用来提供向心力，物体速率不变；变速圆周运动的合外力一般不指向圆心，可分解为法向分力（指向圆心，即向心力，改变速度方向）和切向分力（沿切线，改变速度大小）。 向心力的常见来源 典型情景 向心力的来源 圆锥摆、车辆在倾斜路面转弯 重力与绳拉力（支持力）的合力（水平分量） 物体随水平转盘一起转动 转盘对物体的静摩擦力 绳拴小球在竖直面内转动 重力与绳拉力的合力沿径向的分量 天体环绕、带电粒子绕核运动 万有引力、库仑力 重难诠释　①向心力始终与速度垂直，故向心力不做功，只改变速度方向。②列方程前先“定圆心、定半径、定轨道平面”，沿指向圆心方向列 Fn=mv²/r，垂直圆心方向再按平衡或相应运动规律列方程。③匀速圆周运动的合力必过圆心且大小恒定；若分析出合力不指向圆心，则该运动一定不是匀速圆周运动。 考点三　水平面内的圆周运动 1．圆锥摆：长为 L 的轻绳拴住质量为 m 的小球，绳与竖直方向夹角为 θ，小球在水平面内做匀速圆周运动，轨道半径 r=Lsinθ。由 mgtanθ=mω²r 得 ，周期 。 2．水平转盘上的物体：由静摩擦力提供向心力，需满足 μmg≥mω²r，刚要滑动时临界角速度 ；在同一转盘上，离轴越远（r 越大）的物体越先滑动。 3．水平路面上汽车（自行车）转弯：由侧向静摩擦力提供向心力，μmg≥mv²/r，即安全车速 ，速度过大将发生侧滑。 4．倾斜路面（铁路外轨超高、公路弯道超高）：路面倾角为 θ，当 时恰由重力与支持力的合力提供向心力，轮缘（侧向摩擦）不受力；v>v0 时有向外滑动趋势，v<v0 时有向内滑动趋势。 重难诠释　①水平面圆周问题的核心是找准“由谁提供向心力”，一般沿水平方向、指向圆心列方程。②圆锥摆周期 ，其中 h=Lcosθ 是悬点到圆周轨道平面的竖直高度，周期只与 h 有关而与绳长、质量无直接关系，这一推论常考。③临界问题（恰好不滑动、恰好不侧翻）要抓住“静摩擦力达到最大值”或“一侧支持力恰好为零”的临界条件列式。 考点四　竖直面内的圆周运动 1．轻绳模型（绳拴球、内轨道、水流星）：绳（轨道内侧）只能提供指向圆心的拉力（压力）。最高点至少由重力提供向心力，由 mg=mv²/R 得最高点临界（最小）速度 ；只有 才能通过最高点，否则会在到达最高点之前脱离轨道。 2．轻杆模型（杆拴球、圆管、内外双轨道）：约束既可拉也可推，最高点速度可以为零。最高点 v=0 时杆对球为向上的支持力且 N=mg； 时杆（轨道）对球恰好无作用力； 时杆对球为拉力。 3．最低点：绳拉力（轨道支持力）与重力的合力向上提供向心力，F−mg=mv²/R；此处约束对物体的作用力最大，绳最容易断裂、物体对轨道压力最大。 绳模型与杆模型最高点比较 比较项 轻绳模型（内轨道） 轻杆模型（管形轨道） 最高点约束作用力 只能指向圆心（拉/压） 可指向圆心，也可背离圆心（支持） 最高点最小速度 0 v=0 能否通过最高点 不能 能 v=√(gR) 时 时 杆（轨道）作用力恰为零 重难诠释　①两类模型的本质区别在于最高点约束能否提供“背离圆心”的支持力：能则为杆模型（最高点速度可为零），不能则为绳模型（最高点速度必有下限 ）。②用“供需”理解最高点：维持圆周需要 mv²/R，重力能提供 mg；速度越大越需要约束额外向下拉，速度越小重力越“供过于求”，绳模型无法提供向上的支持，只能靠足够速度通过。③求绳的最大拉力、物体对轨道的最大压力通常出现在最低点，且要用机械能守恒把最高点与最低点速度联系起来。 考点五　离心运动与圆周运动综合 1．离心运动：做圆周运动的物体，当所受合力突然消失，或合力不足以提供所需向心力（F供<F需=mω²r）时，物体做逐渐远离圆心的运动。 2．三种情形：F供=F需 时做匀速圆周运动；F供<F需（或合力突然消失）时做离心运动；F供>F需 时做近心（向心）运动。 3．离心运动是物体惯性的表现，并不是因为受到了“离心力”（惯性系中不存在真实的离心力）。离心干燥器、脱水筒、棉花糖机、离心机是其应用；转弯限速、外轨超高等则是为防止离心带来的危害。 4．圆周运动还常与机械能守恒、动能定理、万有引力定律及板块、传送带等综合：沿半径方向列向心力方程，沿切线方向（或全过程）列运动学、能量方程，两条主线结合求解。 重难诠释　①判断离心还是近心，只需比较“外界实际能提供的径向合力 F供”与“按当前 ω、r 做圆周运动所需要的 F需=mω²r”，切勿把 mv²/r 当成一个独立存在的力。②当半径发生变化（绳被收短、物体相对滑动）时，v、ω、r 会同时改变，要结合约束条件分析，如绳不可伸长则沿绳方向速度分量相等。③“离心力”只是非惯性系中的惯性力，在地面惯性系列方程时不能把它计入受力。 考向1　圆周运动的描述与传动问题 一、单选题 1．（25-26高一下·赤峰新城红旗中学·月考）关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（     ） A．线速度方向沿半径 B．半径一定时，线速度大小与角速度大小成反比 C．匀速圆周运动是线速度不变的运动 D．周期T是做匀速圆周运动的物体运动一周所用时间 【答案】D 【详解】A．匀速圆周运动的线速度方向沿圆周切线方向，与半径垂直，故A错误； B．根据线速度与角速度的关系有 半径一定时，线速度大小与角速度大小成正比，故B错误； C．线速度是矢量，匀速圆周运动线速度大小不变，但方向时刻发生变化，因此线速度是变化的，故C错误； D．周期的定义为做圆周运动的物体运动一周所用时间，故D正确。 故选D。 2．（25-26高一下·天津河北区·期末）如图所示，为人形机器人首次在春晚舞台上表演扭秧歌、转手绢等复杂动作的情景。机器人转动八角形手帕绕其中心O点做匀速圆周运动，A、B、C为手帕上的三个点。各点到O点的距离关系为OA=OB>OC，则（　　） A．A点的线速度大于C点的线速度 B．A点的角速度大于C点的角速度 C．A点的向心加速度小于C点的向心加速度 D．A、B两点的线速度、角速度、周期均相同 【答案】A 【详解】A．手帕绕中心O点做匀速圆周运动，属于同轴转动，各点角速度ω相等。根据线速度公式v=ωr，已知rA>rC，所以vA>vC，故A正确； B．同轴转动，手帕上各点的角速度相等，即ωA=ωC，故B错误； C．根据向心加速度公式an=ω2r，由于ωA=ωC且rA>rC，所以anA>anC，故C错误； D．A、B两点角速度、周期相同。线速度大小v=ωr，因rA=rB，故线速度大小相等，但线速度是矢量，方向沿圆周切线方向，A、B两点位置不同，切线方向不同，故线速度不同，故D错误。 故选A。 3．（25-26高二上·涟水一中·月考）石磨是劳动人民智慧的结晶。如图所示，M、N为石磨推柄上的两点，在石磨绕竖直轴转动的过程中，下列说法正确的是（     ） A．M点的角速度比N点的角速度小 B．M点的角速度与N点的角速度相等 C．M点的角速度比N点的角速度大 D．无法确定 【答案】B 【详解】因M、N两点为同轴转动，可知M点的角速度与N点的角速度相等。 故选B。 二、填空题 4．（24-25高三上·漳平一中&德化一中·联考）如图所示，甲、乙两水平圆盘紧靠在一块，甲圆盘为主动轮，乙靠摩擦随甲转动且无相对滑动。甲圆盘与乙圆盘的半径之比为r甲:r乙=3:1，两圆盘和小物体m1、m2之间的动摩擦因数相同，m1距O点为2r，m2距O′点为r，m1=3m2，当甲缓慢转动起来且转速慢慢增加时，在m1、m2与盘发生相对滑动前的过程中，m1、m2的角速度之比ω1:ω2=_____，向心加速度之比a1:a2=_____。 【答案】 1:3 2:9 【详解】[1]甲、乙两水平圆盘边缘的线速度v相等，根据 可得，甲圆盘与乙圆盘的角速度之比为 则m1、m2的角速度之比为1:3； [2]根据向心加速度公式 可得，m1、m2的向心加速度之比为2:9。 考向2　向心力的来源与受力分析 一、单选题 1．（25-26高一下·西安周至六中·期中）一种叫“飞椅”的游乐设施的示意图如图所示。长为L的钢绳一端系着座椅（视为质点），另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，且钢绳与竖直方向的夹角为θ。已知座椅（包括人）的质量为m，重力加速度为g，不计钢绳的重力。下列说法正确的是（     ） A．座椅的线速度大小为 B．钢绳的拉力大小为 C．角速度越大，钢绳的拉力越小 D．质量m越大，钢绳与竖直方向的夹角越大 【答案】A 【详解】A．座椅做匀速圆周运动的实际圆周半径是转盘边缘到转轴的距离，加上钢绳在水平方向的投影长度，即 匀速圆周运动的线速度与角速度满足关系 可得座椅的线速度，故A正确； B．对座椅（包括人）进行受力分析，得 整理可得拉力，故B错误； C．当角速度增大时，钢绳与竖直方向的夹角会随之增大，的数值减小，因此拉力的数值会变大，而非变小，故C错误； D．结合水平方向合力提供向心力的规律可知拉力的水平分量提供向心力，即 整理可得 说明夹角的大小和座椅的质量无关，故D错误。 故选A。 2．（26-27高一上·浙江Z20联盟·开学）一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图所示，曲线上的点的曲率圆定义为通过点和曲线上紧邻点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做点的曲率圆，其半径叫做点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成角的方向以速度抛出，不计空气阻力，重力加速度取，则在其轨迹最高点处的曲率半径是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可知，物体在轨迹最高点处的速度为 在点，由牛顿第二定律有 联立解得 故选A。 二、多选题 3．（25-26高一上·江西师大附中·期末）下列对物理必修2教材中出现的四幅图分析正确的是（　　） A．图1：小球在水平面做匀速圆周运动时，向心力由细线拉力的水平分力提供 B．图2：物体随水平圆盘一起做匀速圆周运动时，摩擦力提供向心力 C．图3：汽车过拱桥最高点时，处于超重状态 D．图4：轿车在水平路面上转弯时由支持力和摩擦力的合力提供向心力 【答案】AB 【详解】A．小球受重力和细线的拉力作用，细线拉力竖直向上的分力与重力平衡，水平分力提供向心力，故A正确； B．物体受到重力、支持力和摩擦力三个力作用，重力和支持力平衡，摩擦力提供向心力，故B正确； C．汽车过凸形桥最高点时，加速度向下，处于失重状态，故C错误； D．汽车在水平路面转弯时，受到重力、支持力、摩擦力三个力的作用，重力和支持力平衡，摩擦力提供向心力，故D错误。 故选AB。 三、实验题 4．（25-26高一上·武汉二中·期末）用如图所示的实验装置研究影响向心力大小的因素。长槽上的挡板到转轴的距离是挡板的2倍，，长槽上的挡板和短槽上的挡板C到各自转轴的距离相等，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动，挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，根据标尺上的等分格可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。 (1)当传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，套有皮带的塔轮边缘处的_______（填“线速度”或“角速度”或“向心加速度”）大小相等。 (2)若仅改变皮带位置，通过对比皮带位置轮盘半径之比和向心力大小之比，可以发现向心力与_______成正比。 (3)若将传动皮带套在两半径之比等于3：2的左右轮盘上，将质量相同的小球分别放在挡板和挡板处，则标尺露出红白相间的等分格数的比值约为________。 【答案】(1)线速度 (2)角速度的平方 (3)8:9 【详解】（1）皮带连接的塔轮边缘处对应点在相同时间转动的路程相等，则可知线速度大小相等。 （2）若仅改变皮带位置，半径之比发生变化，则由可知角速度之比发生改变，由于，则通过对比不同的角速度之比下向心力大小关系，可以发现向心力F与角速度的平方成正比。 （3）B、C处半径之比为2:1，传动皮带套在两半径之比等于3：2的左右轮盘上，两轮盘边缘线速度相等，由可知小球的角速度之比为2:3，小球质量相等，则由可知所受向心力之比为8:9，则标尺露出红白相间的等分格数的比值约为8:9。 考向3　水平面内圆周运动的临界问题 一、单选题 1．（26-27高一下·湖北恩施·期末）如图，主动轮大圆盘与从动轮小圆盘通过皮带（不打滑）连接，大圆盘与小圆盘的半径之比为3∶1，质量分别为、的两物体A、B分别放在两圆盘上，它们到各自转轴的距离相等，且与圆盘间的动摩擦因数相同。现让圆盘缓慢加速转动，直至两物体中的一个开始滑动。下列说法正确的是（     ） A．两物体相对圆盘滑动前，向心加速度大小之比为 B．两物体相对圆盘滑动前，角速度之比为 C．若增大主动轮转速，则物体A先相对圆盘滑动 D．两物体中有一个刚要滑动时，A、B所受摩擦力大小之比为 【答案】B 【详解】A．皮带不打滑时，边缘线速度相等，由，，得 因此。物体A、B到转轴的距离，可得，故A错误； B．由上述推导可知，两物体相对圆盘滑动前，角速度之比，故B正确； C．物体刚要相对圆盘滑动时，最大静摩擦力提供向心力，近似认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，即 可得，由于主动轮增大转速时，，先达到临界值，故物体B先相对圆盘滑动，故C错误； D．两物体相对圆盘滑动前，静摩擦力提供向心力。静摩擦力之比：，故D错误。 故选B。 2．（25-26高一上·石家庄一中·期末）“转碟”是传统的杂技项目，如图，质量为m的发光物体放在半径为R的碟子上，距碟子中心的距离为r，杂技演员用杆顶住碟子中心，使发光物体随碟子一起在水平面内绕A点做匀速圆周运动。当角速度为时，碟子边缘看似一个光环。设发光物体与碟子间动摩擦因数为，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。则下列说法正确的是（   ） A．发光物体的线速度大小为，受到的静摩擦力大小为 B．发光物体的线速度大小为，受到的静摩擦力大小为 C．发光物体与碟子不发生相对滑动碟子转动的最大线速度为 D．发光物体与碟子不发生相对滑动碟子转动的最大角速度为 【答案】B 【详解】AB．由题意可知，发光物体做圆周运动的半径为，所以发光物体的线速度大小为 静摩擦力提供向心力，所以发光物体受到的静摩擦力大小为，故A错误，B正确； CD．设发光物体与碟子不发生相对滑动碟子转动的最大角速度为，则 解得 则最大的线速度为，故CD错误。 故选B。 二、多选题 3．（25-26高一上·武昌实验中学·期末）如图所示，水平圆盘绕过圆心的竖直轴以角速度匀速转动，三个木块放置在圆盘上面的同一条直径上。已知A的质量为，A与圆盘间的动摩擦因数为；B和C的质量均为，B和C与圆盘间的动摩擦因数均为。之间的距离均为，开始时，圆盘匀速转动时的角速度比较小，均和圆盘保持相对静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为，则下列说法正确的是（　　） A．圆盘转动的角速度缓慢增大的过程中，C最先发生滑动 B．圆盘转动的角速度缓慢增大的过程中，同时发生滑动 C．若之间用一根长为的轻绳连接，当圆盘转动的角速度缓慢增大时，B在滑动前与圆盘间的静摩擦力先增大后减小 D．若之间用一根长的轻绳连接，则当圆盘转动的角速度时，可与圆盘保持相对静止 【答案】AD 【详解】AB．三个物体恰好滑动时的角速度分别是：，， 解得，， 可知，圆盘转动的角速度缓慢增大的过程中，C最先发生滑动，B比A先滑动，故A正确，B错误； C．角速度较小时，B、C的静摩擦力各自提供向心力，均未达最大值，绳无张力； 当 后，C的静摩擦力已达最大值，继续增大角速度，绳开始产生拉力 对C： 对B： 联立得 可见随着增大，B的静摩擦力是持续增大的，直到B的静摩擦力也达到最大值时整体滑动，故C错误； D．A、B转动半径均为，初始时各自静摩擦力提供向心力，绳无张力； 当 后，B的静摩擦力先达到最大值，继续增大角速度，绳产生拉力，当恰好滑动时 对B， 对A， 解得临界角速度 因此当 时，A、B可与圆盘保持相对静止，故D正确。 故选AD。 4．（25-26高一上·荆州中学·期末）如图所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置物体A和B，mA=4kg，mB=1kg它们分居在圆盘的圆心两侧，与圆心距离为rA=0.1m，rB=0.2m，中间用细线相连。A、B与盘间的动摩擦因数均为μ=0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若圆盘从静止开始绕中心转轴非常缓慢地加速转动，直到A、B刚要与圆盘发生相对滑动。g=10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．A物体所受摩擦力的方向一直指向圆心 B．B物体所受摩擦力的方向一直指向圆心 C．当ω=rad/s时，绳子出现张力 D．当ω=rad/s时，A、B两物体出现滑动 【答案】ACD 【详解】C．在较小时，绳子无张力，向心力完全由静摩擦力提供，A、B达到最大静摩擦力时的临界角速度满足， 解得， 当B的静摩擦力达到最大静摩擦力时，再增加，绳子出现张力，即当ω=rad/s时，绳子出现张力，故C正确； ABD．在时，A和B的向心力完全由静摩擦力提供，方向始终指向圆心。后，继续增大，A所受的静摩擦力逐渐增大，设角速度增加到时，A所受的静摩擦力达到最大静摩擦力，A由指向圆心的最大静摩擦力和绳子拉力的合力提供向心力，有 B由指向圆心的最大静摩擦力和绳子拉力的合力提供向心力，有 联立可得 解得 后，继续增大，B所受的静摩擦力逐渐减小，设角速度增加到时，B所受的静摩擦力减小到0，A由指向圆心的最大静摩擦力和绳子拉力的合力提供向心力，有 B由绳子拉力提供向心力，有 联立可得 解得 后，继续增大，B所受的静摩擦力背离圆心逐渐增大，设角速度增加到时，B所受的静摩擦力达到最大静摩擦力，此时A、B两物体出现滑动。A由指向圆心的最大静摩擦力和绳子拉力的合力提供向心力，有 B由背离圆心的最大静摩擦力和绳子拉力的合力提供向心力，有 联立可得 解得 综上可知，A物体所受摩擦力的方向一直指向圆心；后，B物体所受摩擦力的方向背离圆心；当ω=rad/s时，A、B两物体出现滑动，故AD正确，B错误。 故选ACD。 5．（26-27高二上·信阳高级中学·开学）如图，铁路在弯道处的内、外轨道高低是不同的，已知内、外轨道连线与水平面倾角为，弯道处的圆弧半径为，则关于质量的火车转弯时的描述，正确的是（     ） A．当速度时，火车所需要的向心力为 B．当速度时，火车所需要的向心力为 C．当速度时，铁轨对火车的支持力大于 D．当速度时，铁轨对火车的支持力小于 【答案】BC 【详解】AB．临界速度对应无摩擦转弯，竖直方向平衡有 水平方向由向心力关系有 联立得 该临界速度就是题干各选项中的分界速度。由向心力公式，火车所需的向心力为。当速度为时，代入得，故A错误，B正确； CD．当速度超过临界速度时，火车有沿轨面向外上方滑动的趋势，摩擦力沿轨面向内下方。竖直方向平衡有 由上式可得，故C正确，D错误。 故选BC。 6．（25-26高一上·湖南衡阳一中·入学考试）2025年11月福建舰在三亚正式入列，标志着我国正式进入三航母时代。如图，福建舰在海上转弯，设其绕点做匀速圆周运动，速度大小约为，转弯半径约为，质量约为，则（　　） A．舰受到的合力始终指向O点 B．舰所需的向心力大小约为 C．水对舰的作用力方向指向点 D．水对舰的作用力大小约为 【答案】AD 【详解】A．舰绕O点做匀速圆周运动，其合力提供向心力，所以舰受到的合力始终指向圆心O点，故A正确； B．舰所需的向心力大小为，故B错误； CD．水对舰的作用力包含两个部分：一是提供舰做匀速圆周运动的向心力，其方向始终指向圆心O点；二是水的浮力，其方向竖直向上，大小等于舰的重力。所以水对舰的作用力方向应斜向上且指向O点的一侧，其大小为，故C错误，D正确。 故选AD。 考向4　竖直面内圆周运动的绳杆模型 一、单选题 1．（26-27高二上·重庆第一中学·开学考试）如图所示，长为的轻杆一端固定在光滑的水平轴上，另一端固定一质量为的小球。给小球一垂直于轻杆方向的初速度，使小球在竖直平面内做完整的圆周运动，空气阻力可忽略，重力加速度为。下列说法正确的是（     ） A．小球在速度增大的过程中，向心力一定增大 B．小球在整个运动过程中，加速度方向始终指向圆心 C．小球过最高点时，速度至少为 D．小球过最高点时，杆对小球的弹力一定随小球速度的增大而增大 【答案】A 【详解】A．根据向心力公式可知，当小球速度增大时，由于、不变，向心力一定增大，A正确； B．小球在竖直平面内做变速圆周运动，除最高点和最低点外，小球受竖直向下的重力和杆的弹力作用，合力不指向圆心，即加速度方向不指向圆心，B错误； C．由于是轻杆模型，杆既能提供拉力也能提供支持力，小球过最高点的临界速度为零，即速度至少为，C错误； D．在最高点，根据牛顿第二定律有 当时，杆的弹力表现为支持力，方向向上，大小为，随增大，减小； 当时，杆的弹力表现为拉力，方向向下，大小为，随增大，增大。 所以杆对小球的弹力大小随速度增大先减小后增大，故D错误。 故选A。 2．（26-27高三上·河南濮阳第一高级中学·开学）如图所示，在竖直面内有一半径为的四分之三圆形光滑轨道，以轨道圆心为坐标原点，建立坐标系。将一质量为的小球从点正上方处静止释放，从点进入圆轨道。小球经过轨道最低点时，对轨道的压力大小为，到达点时的速度大小为，且恰好脱离轨道。下列说法错误的是（     ） A．小球在点的速度大小为 B．小球在点所受合力竖直向下 C．点的坐标为 D．脱离圆轨道后，小球运动的最高点与点的竖直高度差为 【答案】C 【详解】A．小球在点时，由牛顿第二定律得 其中，解得，故A正确； B．小球在点恰好脱离轨道，说明轨道对小球的弹力为零，小球只受重力作用，所受合力竖直向下，故B正确； C．设与轴负方向夹角为，在点由重力沿半径方向的分力提供向心力，有 代入解得，则。点坐标，，即点坐标为 ，故C错误； D．脱离圆轨道后，小球做斜抛运动，在点速度方向与水平方向夹角为，竖直分速度，最高点与点的竖直高度差，故D正确。 本题选错误的，故选C。 3．（25-26高一上·灌南惠泽·月考）如图，竖直平面内的半圆形轨道下端与水平面相切，B、C分别为半圆形轨道的最低点和最高点。一质量m的小滑块（可视为质点）在水平面上由A点向左运动，到达轨道最低点B时的速度vB，随后沿半圆轨道运动，通过C点后恰好落在A点。已知半圆形轨道半径R，A、B间距离为2.5R，重力加速度为g，则（     ） A．滑块运动到B点时对轨道的压力大小为mg B．滑块运动到C点时速度的大小为 C．滑块从C点水平飞出后在空中运动时间为 D．滑块通过C点后落回到A点的速度大小为 【答案】B 【详解】A．在B点，由牛顿第二定律有 可得轨道对滑块的支持力 根据牛顿第三定律，滑块对轨道的压力为，故A错误； C．滑块从C点飞出后做平抛运动，C点到水平面的竖直高度为，竖直方向有 解得运动时间，故C错误； B．由题意，平抛的水平位移为，水平方向匀速运动，则 代入、 解得，故B正确； D．滑块落到A点时，竖直分速度 因此合速度为，故D错误。 故选B。 二、多选题 4．（25-26高一上·荆州中学·期末）如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，小球半径比R小很多，当小球通过最高点时速率为v0，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．若，则小球对管内下壁有压力 B．若，则小球对管内下壁有压力 C．若，则小球对管内上壁有压力 D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力 【答案】AC 【详解】A．小球通过最高点时，由重力和管内壁对小球的弹力的合力提供向心力，有 若，解得 管内壁对小球的弹力向上，由牛顿第三定律可知，小球对管内下壁有压力，故A正确； B．若，解得 管内壁对小球没有弹力作用，由牛顿第三定律可知，小球对管内下壁没有压力，故B错误； C．若，解得 管内壁对小球的弹力向下，由牛顿第三定律可知，小球对管内上壁有压力，故C正确； D．由上述分析可知，当时，小球只对上壁有压力，对下壁无压力，故D错误。 故选AC。 5．（26-27高三上·长沙一中·开学）如图所示，内半径的空心圆柱体固定在水平地面上，一小滑块紧贴内壁从O点以的初速度沿切向水平滑入，旋转一周经过点。取重力加速度，下列说法正确的是（     ） A．若圆柱体与小滑块间光滑，则滑块对圆柱体的压力大小逐渐增大 B．若圆柱体与小滑块间光滑，则滑块在点时速度方向与竖直方向的夹角为 C．若圆柱体与小滑块间的动摩擦因数为，某时刻滑块在水平方向速度为，竖直方向为，则小滑块在水平面内加速度大小为 D．若圆柱体与小滑块间的动摩擦因数为，某时刻滑块在水平方向速度为，竖直方向为，则小滑块在水平面内加速度大小为 【答案】BD 【详解】A．光滑时，水平方向做匀速圆周运动，竖直方向做自由落体运动。水平方向向心力，因不变，故压力大小保持不变，A错误。 B．光滑时，旋转一周的时间 到达点时，水平速度 竖直速度 设速度方向与竖直方向夹角为，，，故B正确。 CD．有摩擦时，滑块受支持力和摩擦力 支持力提供水平圆周运动向心力 合速度大小 摩擦力方向与合速度反向，其水平切向分量 水平面内加速度有两个分量：向心加速度（法向） 切向加速度 水平面内合加速度 故C错误，D正确。 故选BD。 三、解答题 6．（26-27高三上·哈尔滨第六中学·阶段性测试（一））如图所示，质量为1.6kg、半径为0.5m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B（均可视为质点）的直径略小于细圆管的内径（内径远小于细圆管半径）。小球A、B的质量分别为mA=1kg、mB=2kg。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小为vA=3m/s，此时杆对圆管的弹力大小为60N，取g=10m/s2，求此时B球的速度大小vB。 【答案】1m/s或 【详解】设球A和球B与管之间作用力的大小分别为NA和NB，根据牛顿第二定律可得 解得 由于管处于平衡状态，当杆对管的作用力方向向上、B对管的力向下，有， 解得， 当杆对管的作用力方向向下、B对管的力向上，有， 解得， 7．（25-26高一上·石家庄二中教育集团·期末）如图所示为某滑雪运动员运动的示意图，运动员站在运动雪橇上从A点受到恒力作用从静止开始加速，到达B点后撤去恒力，从C点水平冲出，恰好从D点切入飞进半径为R的圆形光滑轨道。已知人和雪橇的总质量为70kg，恒力F=350N，水平面与雪橇间动摩擦因数为0.1，AB=40m，BC=32m，OD与竖直线夹角为37°，圆形轨道半径R=40m，人和雪橇在运动中可以视为质点，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力。求： (1)运动员达到C点时的速度大小； (2)C、D两点间竖直距离； (3)运动员和雪橇在D点受到的弹力大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）已知人和雪橇的总质量为，动摩擦因数，由牛顿第二定律，在AB阶段有 解得人和雪橇在AB阶段的加速度 从A到B点的距离，由匀变速直线运动速度与位移的关系，得 解得 由牛顿第二定律，在BC阶段有 解得人和雪橇在BC阶段的加速度 从B到C点距离，由匀变速直线运动速度与位移的关系，得 解得 （2）从D点切入飞进圆形轨道，所以在D点速度与水平线夹角为37°，作出速度三角形，如图所示 水平速度为，得在D点的竖直向下的速度为 从C到D经历时间 所以C、D间的竖直距离 （3）由速度三角形，在D点人和雪橇的合速度 在D点受力分析如图所示 分解重力到沿半径方向和垂直于半径方向，沿半径方向由弹力和重力沿半径方向的分力的合力提供向心力，有 得 8．（26-27高一上·浙江Z20联盟·开学）如图所示，竖直平面内倾角的直轨道AB，其末端B与水平传送带左端平滑连接。传送带转轮半径，转轴间距，以恒定线速度逆时针转动，转轮最低点距地面高度。将小物块从直轨道上距传送带高处由静止释放，物块经B点滑至传送带左端点时，速度大小不变，方向变为水平向右。已知物块与直轨道及传送带间的动摩擦因数均为。 (1)若，求小物块到达B端时速度的大小； (2)要使小物块从D点恰好水平抛出，求h需要满足的条件？ (3)小滑块自不同高度处由静止下滑，到达传送带右端转轮最高点D点后水平抛出，最终落于以D为圆心的四分之一圆弧轨道EF上，其中F为D点正下方的地面位置。求下落高度y为何值时，滑块落到圆弧轨道上速度最小，并求D点速度大小（结果可用根号表示）。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）物块从到的过程中，根据牛顿第二定律有 因为 代入数据，联立解得 （2）恰好从D点水平抛出，则有 解得 从C到D减速，根据牛顿第二定律有 因为， 联立解得 （3）设D点速度为，平抛的水平距离为，竖直高度为，最小速度为，有， 因为， 解得 可知时v有最小值，即 代入，联立解得 考向5　离心运动及圆周运动综合问题 一、单选题 1．（25-26高一上·武昌实验中学·期末）如图所示为旋转脱水拖把结构图，旋转杆上有长度为的螺杆，螺杆的螺距（相邻螺纹之间的距离）为，固定套杆内部有与旋转杆的螺纹相配套的凹纹，如果旋转杆不动，固定杆可以在旋转杆上沿其轴线旋转上行或下行。把拖把头放置于脱水桶中，手握固定套杆向下运动，固定套杆就会给旋转杆施加驱动力，驱动旋转杆使拖把头和脱水桶一起转动，把拖把上的水甩出去。拖把头的托盘半径为，拖布条的长度为，脱水桶的半径为。某次脱水时，固定套杆在内匀速下压了，该过程中拖把头匀速转动，则下列说法正确的是（　　） A．紧贴脱水桶壁的拖布条上附着的水最不容易甩出 B．旋转时脱水桶壁与托盘边缘处的点向心加速度之比为2：1 C．拖把头转动的周期为 D．拖把头转动的角速度为 【答案】D 【详解】A．拖布条上的水滴做圆周运动，其向心力由拖布条对水滴的拉力提供。水滴要被甩出，需要克服拖布条的拉力。根据向心力公式 在角速度 一定的情况下，半径 越大，所需向心力越大，水滴越容易被甩出。紧贴脱水桶壁的拖布条上的水滴，其旋转半径最大，因此它们受到的向心力最大，最容易被甩出，故A错误。 B．拖把头和脱水桶一起转动，说明它们具有相同的角速度。根据向心加速度的公式为   向心加速度之比为 ，故B错误。 C．固定套杆在 内匀速下压了 。螺杆的螺距 。 固定套杆每下压一个螺距 ，旋转杆就转动一圈。 旋转杆转动的圈数 圈 拖把头转动的周期 ，故C错误。 D． 角速度 ，故D正确。 故选D。 2．（25-26高一上·武汉二中·期末）下列有关生活中的圆周运动的实例分析，正确的是（　　） A．图甲所示为汽车通过凹形桥最低点的情境，此时汽车处于失重状态 B．图乙所示为演员表演“水流星”的情境，当小桶刚好能通过最高点时，小桶处于完全失重状态，不受重力作用 C．图丙所示为火车转弯的情境，火车超过规定速度转弯时，车轮会挤压外轨 D．图丁所示为洗衣机脱水桶脱水的情境，其脱水原理是水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而被甩出 【答案】C 【详解】A．汽车通过凹形桥最低点时，加速度方向向上（指向圆心），汽车处于超重状态，而非失重状态。故A错误； B．小桶刚好通过最高点时，重力完全提供向心力，小桶处于完全失重状态，但重力依然存在，只是对支持物的压力为零，故B错误； C．火车转弯时，规定速度由重力和支持力的合力提供向心力。当火车速度超过规定速度时，所需向心力增大，重力与支持力的合力不足，车轮会挤压外轨，由外轨的弹力补充向心力，故C正确； D．水滴所需向心力大于其与衣物间的附着力时，水滴做离心运动被甩出。不存在 “离心力大于向心力” 的说法，故D错误。 故选C。 3．（25-26高一下·深圳第二高级中学·期末）如图所示，半径为R的洗衣机滚筒绕竖直轴转动，衣服紧贴筒壁随洗衣机一同转动且不与筒底接触，已知衣服与筒壁间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，衣服与筒壁始终保持相对静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（     ） A．衣服受到重力、摩擦力、筒壁施加的压力和向心力四个力 B．洗衣机转动的角速度至少为 C．增大洗衣机的转速，衣服受到的摩擦力也随之增大 D．衣服在转动过程中脱水是因为衣服提供给水滴的向心力不足 【答案】D 【详解】A．衣服受到重力、筒壁施加的弹力（压力）和静摩擦力三个力作用，向心力是这三个力中弹力提供的效果力，不是物体实际受到的力，故A错误； B．衣服在竖直方向上受力平衡，则有 在水平方向上由弹力提供向心力，有 要使衣服不下滑，需满足 联立解得 可知洗衣机转动的角速度至少为，故B错误； C．衣服在竖直方向上始终处于平衡状态，受到的静摩擦力始终与衣服重力等大，与转速无关，增大转速，摩擦力不变，故C错误； D．衣服在转动过程中脱水，是因为衣服对水滴的附着力不足以提供所需的向心力，水滴做离心运动从而脱离衣服，故D正确。 故选D。 4．（26-27高三上·四川·学情检测）游乐场有一种叫“魔盘”的娱乐设施，简化模型如图，魔盘侧面与水平面的夹角为。质量分别为M和m（）的大人和小朋友随魔盘一起转动，其轨道半径分别为R、r（），动摩擦因数相同。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，则（     ） A．大人受到的摩擦力可能小于 B．大人受到魔盘的支持力一定比小朋友大 C．大人受到魔盘的作用力一定比小朋友大 D．大人一定比小朋友后发生相对滑动 【答案】C 【详解】A．大人和小朋友随魔盘做匀速圆周运动，受重力（其中大人为，小朋友为）、支持力和静摩擦力作用。合力提供向心力，方向水平指向转轴。 设角速度为，轨道半径为（其中大人为，小朋友为）。 加速度 水平指向轴，加速度大小 沿斜面和垂直斜面方向建立坐标系，垂直斜面向上为正方向，可得 解得 沿斜面向上为正方向，可得 解得 大人受到的摩擦力大小 显然，故A错误。 B．大人支持力 小朋友支持力 虽然，但由于，比小。无法比较两个支持力的大小，故B错误。 C． 魔盘对人的作用力是支持力 和摩擦力的合力。 根据牛顿第二定律，人受重力和魔盘作用力，合力为向心力。 可得 大人 小朋友 因为 且，所以恒成立。 故C正确。 D．根据，可得发生相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值 。可得 解得 因为，所以大人的临界角速度小于小朋友的临界角速度 即随着转速增加，大人先达到临界状态，先飞离发生滑动，D错误。 故选C。 5．（25-26高一下·长沙麓山外国语实验中学·期末）如图，在倾角为的锥体表面上对称地放着可视为质点的、两个物体，用一轻绳跨过固定在顶部的光滑的定滑轮连接在一起，开始时轻绳绷直但无张力。已知、两个物体的质量分别为和，它们到竖直轴的距离均为 ，两物体与锥体表面的动摩擦因数均为，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，某时刻起，锥体绕竖直轴缓慢加速转动，加速转动过程中、两物体始终与锥体保持相对静止，，则（     ） A．轻绳有张力之前，物体受到的静摩擦力一直不变 B．轻绳即将有张力时，转动的角速度 C．在、滑动前所受的静摩擦力一直增大 D．在、即将滑动时，转动的角速度 【答案】B 【详解】A．绳子无张力前，对受力分析，水平方向有 竖直方向有 其中沿锥面向上。解得 可见随增大而增大，故A错误； B．绳子刚要产生张力时，且的静摩擦力达到最大值。由水平方向和竖直方向方程可得、 令，得到 即进入张力状态的临界关系。代入、、、、 整理得，故B正确； C．绳子产生张力后，较重，沿锥面向下的趋势更强，故其静摩擦力保持为沿锥面向上的最大值。 由受力平衡可得 即 按沿锥面向上为正，随增大而减小，故其大小不可能一直增大，故C错误； D．、即将滑动时，有沿锥面向下的趋势，有沿锥面向上的趋势，故摩擦力方向分别为沿锥面向下、沿锥面向上。设、 对有、 对有、 消去，得，得到临界条件。 代入数据得= 所以，故D错误。 故选B。 6．在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且它和O点的连线与之间的夹角为，重力加速度为g。下列说法正确的是（     ） A．此时转台转动的角速度ω= B．此时小物块所需向心力大小为 C．若将角速度减小为原来的一半，小物块仍能与陶罐相对静止在原来的位置，则小物块受到的摩擦力大小为 D．若将角速度减小为原来的一半，小物块仍能与陶罐相对静止在原来的位置，则小物块受到的摩擦力方向沿陶罐内壁切线向下 【答案】C 【详解】不受摩擦力时受力分析如图 A．当小物块受到的摩擦力恰好为0时，对小物块受力分析，小物块受到重力mg和陶罐的支持力，根据牛顿第二定律有 解得，故A错误； B．由对A选项的分析可知此时小物块所需向心力大小为，故B错误； C．若将角速度减小为原来的一半，小物块仍随陶罐一起转动且相对静止在原来位置，其圆周运动半径不变，向心力变为原来的四分之一，即 由于所需向心力减小，小物块有沿罐壁向下滑动的趋势，故受到沿陶罐内壁切线向上的静摩擦力，设此时小物块受到的支持力为，静摩擦力为，在竖直方向和水平方向根据牛顿第二定律分别有， 联立解得，故C正确； D．由对C选项的分析可知，小物块受到的摩擦力方向沿陶罐内壁切线向上，故D错误。 故选C。 二、多选题 7．（26-27高二上·三河光大实验学校·开学）如图所示，小球（视为质点）由两根轻绳和分别系于轻质细杆的点和点，小球的质量为。当轻杆绕轴以角速度缓慢加快转动时，小球跟着一起做圆周运动，当绳被拉直时，轻绳与水平方向夹角为，轻绳与轻杆垂直、绳长为。重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．当角速度时，轻绳刚被拉直 B．当角速度时，轻绳松弛 C．当角速度时，轻绳的弹力随的增大而增大 D．当角速度匀速转动时，剪断轻绳后，小球的高度会下降 【答案】AC 【详解】A．当轻绳刚被拉直时，绳张力为零，小球只受重力和绳拉力 竖直方向；水平方向提供向心力 联立解得角速度，故A正确； B．角速度增大时，所需向心力增大，绳必须提供额外向心力，因此绳被拉紧，张力为正，不会松弛，故B错误； C．当角速度时，绳拉紧，两绳均有弹力，小球半径仍为，绳与水平夹角仍为，竖直方向仍有；水平方向 变形有，则轻绳的弹力随的增大而增大，故C正确； D．当轻绳剪断后，轻绳在水平方向分力小于小球此时做圆周运动需要的向心力，小球会做离心运动，位置会上升，故D错误。 故选AC。 8．（25-26高一下·临沂第十八中学·第二次调研）如图所示，两个套在一起的光滑漏斗固定，其内壁有质量相同的A、B两个小球，它们正在相同高度处做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是（     ） A．A的角速度大于B的角速度 B．A的线速度大于B的线速度 C．A的向心加速度大于B的向心加速度 D．漏斗壁对它们的支持力大小相同 【答案】AC 【详解】AB．小球的受力分析，如图所示 小球受重力、漏斗的支持力，竖直方向合力为零，则有 水平方向合力提供匀速圆周运动的向心力，由牛顿第二定律，则有 联立解得 其中 则有， 则它们的角速度不等，A的角速度大，线速度相等，故A正确，B错误； C．向心加速度，则A球的加速度大，故C正确； D．支持力，则A球受到的支持力大，故D错误。 故选AC。 9．（25-26高一下·湖南岳阳·期末）鹰潭方特东方神话中的旋风飞椅项目因可体验高空旋转离心快感和飞一般的感觉，广受游客喜爱。旋风飞椅简化示意图如图所示：一根长度为L的轻绳，一端固定在半径为r0的圆盘上的P点，另一端系着一个质量为m的小球（可视为质点）。小球随圆盘绕其竖直中心轴OO'在水平面内做角速度为ω的匀速圆周运动，绳子张紧并与竖直方向保持一个稳定的夹角θ。已知重力加速度为g，忽略空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．小球受到重力、绳子拉力和向心力三个力的作用 B．小球做圆周运动的角速度ω C．绳子拉力 D．若增大小球的质量，夹角θ变小 【答案】BC 【详解】A．小球受重力、绳子拉力两个力作用，向心力是这两个力的合力，效果是改变速度方向，不是物体实际受到的力，故A错误； B．小球做圆周运动的半径 根据牛顿第二定律，合外力提供向心力，有 解得，故B正确； C．在竖直方向上，小球受力平衡，有 解得绳子张力，故C正确； D．根据牛顿第二定律，有 可知，等式两边质量m消去，夹角与小球的质量m无关，若增大小球的质量，夹角不变，故D错误。 故选BC。 三、解答题 10．（25-26高一上·湖北襄阳襄城四中·期末）如图所示，套在粗糙细直杆上的小球，随杆一起以角速度绕竖直轴匀速转动，且相对于杆静止。已知球的质量为，到点距离为，转动过程中杆与间的夹角为，重力加速度为。 (1)求小球加速度的大小； (2)若，与杆间的动摩擦因数，与杆间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，求题干中角速度的取值范围。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意可知，小球做圆周运动的半径 小球匀速转动，可知小球加速度的大小等于向心加速度，由向心加速度公式有 （2）小球随杆一起做匀速圆周运动，根据 若小球受到的弹力垂直于杆向上时，可得 即 小球一定会下滑，故小球受到的弹力只能垂直于杆向下，当摩擦力达到最大值时，有最小的角速度维持小球相对杆静止，水平方向 竖直方向 代入数据解得 所以角速度的取值范围 一、单选题 1．（26-27高三上·内蒙古呼和浩特·一检）如图，观光摩天轮匀速转动，摩天轮边缘质点（　　） A．转动速度不变 B．受到的合力恒定不变 C．转动越快，向心加速度越小 D．每转完整一圈，平均速度为零 【答案】D 【详解】A．速度是矢量，包含大小和方向。摩天轮匀速转动时的线速度大小不变，但运动方向时刻沿圆周切线变化，因此转动速度（线速度）是变化的，故A错误； B．匀速圆周运动的合力提供向心力，向心力始终指向圆心，方向时刻发生变化，因此合力是变力，并非恒定不变，故B错误； C．根据向心加速度公式 摩天轮半径固定，转动越快则角速度越大，向心加速度也越大，故C错误； D．平均速度的定义是位移与时间的比值。每转完整一圈后，初末位置重合，位移为零，因此平均速度为零，故D正确。 故选D。 2．（25-26高三上·陕西安康·二调）如图所示，一水平放置的木板上放有一质量的砝码，现让木板在竖直平面内做半径，速度大小的匀速圆周运动，运动中木板始终保持水平，砝码相对木板始终保持静止，取，则下列说法正确的是（　　） A．砝码运动到最高点时受到木板的摩擦力为零 B．砝码运动到与圆心等高位置时受到木板的摩擦力大小为 C．砝码运动到最低点时对木板的压力大小为 D．砝码运动到最低点时对木板的摩擦力大小为 【答案】A 【详解】A．砝码随木板一起做匀速圆周运动，向心加速度大小；砝码质量，所需向心力大小 最高点向心加速度竖直向下，水平方向无加速度分量，所以摩擦力，故A正确； B．此时向心加速度水平指向圆心，竖直方向无加速度。水平方向只有摩擦力提供向心力，故B错误； C．最低点向心加速度竖直向上，设支持力为，方向向上，有 解得 由牛顿第三定律，砝码对木板的压力大小等于支持力，为，故C错误； D．最低点向心加速度竖直向上，水平方向无加速度分量，所以摩擦力，故D错误。 故选A。 3．（2026·驻马店经济开发区高级中学·质量检测）如图所示，一半径为R的光滑圆环在竖直面内，O为圆心，轻绳一端固定在圆环的最低点A，另一端连接套在圆环上的小球。当圆环绕竖直直径AB以角速度匀速转动、小球相对圆环静止时，小球、圆心连线与直径AB的夹角。已知小球质量为m，轻绳能承受的最大拉力为2mg，重力加速度大小为g。则（     ） A．圆环的角速度大小可能为 B．当圆环的角速度时，细绳即将断裂 C．当圆环的角速度时，小球受到3个力的作用 D．当圆环的角速度时，小球圆周运动的半径为 【答案】C 【详解】当圆环绕竖直直径AB以角速度匀速转动、小球相对圆环静止时，小球、圆心连线与直径AB的夹角，球做圆周运动的半径为 在水平方向上，由牛顿第二定律有 在竖直方向上，由平衡条件有 当＝0时，解得 当＝2mg时，解得。 A．圆环的角速度大小为时，，细绳处于松弛状态，A错误； B．当圆环的角速度时，，细绳没有断裂，B错误； C．当圆环角速度时，，小球受到重力、圆环支持力和细绳拉力的作用，C正确； D．圆环角速度大于时，细绳断开，小球圆周运动的半径大于，D错误。 故选C。 4．（2026·湖北武昌·供题）如图（a）所示，“筋膜枪”利用高速电机带动枪头，产生的高频振动可以作用到肌肉深层，以达到缓解疼痛的作用。如图（b）所示为某款筋膜枪的内部结构简化图，连杆以角速度绕垂直于纸面的轴匀速转动，带动连杆，使套在横杆上的滑块左右滑动。已知连杆长为，连杆长为，下列说法正确的是（     ） A．当时，滑块的速度最大，且为 B．当时，滑块的速度最大，且为 C．当时，滑块的速度最大，且为 D．当时，滑块的速度最大，且为 【答案】D 【详解】当时，点速度方向沿杆方向的分量不是最大，滑块速度不是最大；当时，点线速度的方向与杆平行，沿杆方向的分速度最大。根据关联速度关系 在中 解得 此时滑块速度最大。 故选D。 5．（2026·延边第二中学·三诊）如图所示，圆心为，半径的粗糙圆盘平行于水平地面放置，到地面的高度为，在圆盘边缘放置一可看成质点的物块a。物块与圆盘间的动摩擦因数，重力加速度取。圆盘的角速度从零开始缓慢增大，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（     ） A．a随圆盘转动线速度的最大值为 B．a落地点到转轴的水平距离为 C．若增大极快，a离开圆盘时的速度增大 D．若增大极快，a离开圆盘时的速度不变 【答案】B 【详解】A．物块随圆盘做圆周运动时，静摩擦力提供向心力。由牛顿第二定律得 物块即将相对圆盘滑动时有 解得，故A错误； B．物块离开圆盘后做平抛运动，由竖直方向的运动规律得 物块沿圆盘切线方向的水平位移为 该位移与圆盘半径垂直，故落地点到转轴的水平距离为，故B正确； CD．若圆盘角速度增大较快，物块既有指向圆心的向心加速度，又有沿切线方向的切向加速度。设物块的切向加速度为，则向心加速度为 由牛顿第二定律得静摩擦力沿径向、切向的分力大小分别为， 由于径向与切向垂直，静摩擦力的大小为 物块即将相对圆盘滑动时，静摩擦力达到最大值，即 故有 角速度增大越快，切向加速度越大，由上式可知物块离开圆盘时的速度越小，故CD错误。 故选B。 6．（25-26高三下·合肥皖智高级中学·阶段性检测三）如图所示，一半径为R的光滑圆环竖直放置，AB为其竖直直径。一根细绳一端固定在A点，另一端连接一个质量为m的小球，小球套在圆环上并处于静止状态，细绳与AB夹角为30°。圆环现以角速度绕AB轴匀速转动，重力加速度为g，则（     ） A．小球一定受三个力的作用 B．绳中拉力为0时， C．圆环对小球的弹力为0时， D．若小球不相对圆环滑动，则不超过 【答案】B 【详解】ABC．初始状态时，小球受重力、拉力和圆环弹力的作用，当圆环以角速度ω匀速转动时，由正交分解可知 水平方向有 竖直方向有 解得 ， 当时，圆环对小球的弹力 当时，细绳拉力 可见小球不是一定受三个力作用的。故A、C错误，B正确； D．由以上可知，小球做圆周运动的向心力是由和的合力来提供的，当较小时，所需向心力也较小，则和方向相反，由于绳上只要有拉力，拉力方向就不变，始终沿绳指向，故弹力方向应沿半径向外；当时，恰好为圆周运动提供向心力，此时，弹力正好为零。若继续增大，所需向心力也要继续增大，则和方向相同，即弹力方向应沿半径向内。若再进一步增大，小球就要上滑。因此，当 ，小球不滑动。 ，支持力沿半径向外； ，支持力沿半径向内。故B正确。 故选B。 7．（2026·菏泽单县二中·模拟）图甲所示为球形铁笼内进行摩托车特技表演的场景，图乙所示为骑手驾驶摩托车在笼内分别沿水平面内轨道1和轨道2做匀速圆周运动的简化图。已知球心到骑手的连线与竖直方向的夹角分别为α、β，不计空气阻力，骑手及车视为质点，则骑手分别在轨道1和2做匀速圆周运动的线速度大小之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在轨道1上线速度为v，对摩托车受力分析，根据牛顿第二定律可 又 联立解得 同理可得在轨道2上线速度为 则骑手分别在轨道1和轨道2做匀速圆周运动的线速度之比为 故选A。 二、多选题 8．（2026·广州天河·学情自测）图甲是某自行车采用的无链传动系统，利用圆锥齿轮90°轴交，将动力传至后轴，驱动后轮转动，杜绝了传统自行车“掉链子”问题。图乙是圆锥齿轮90°轴交示意图，其中A是圆锥齿轮转轴上的点，B、C分别是两个圆锥齿轮边缘上的点，两个圆锥齿轮中心轴到A、B、C三点的距离分别记为rA、rB和rC（rA<rB=rC）。下列说法正确的是（     ） A．A点与B点的线速度大小满足 B．A点与C点的角速度大小满足ωA=ωC C．A点与B点具有相同的向心加速度 D．B点与C点具有相同的向心加速度 【答案】AB 【详解】A．A、B两点同轴转动，角速度相等，即 由线速度公式 得， 联立得：，A正确。 B．圆锥齿轮啮合传动，啮合点处线速度大小相等，即 已知，由 可得 又因为A、B同轴，，因此，B正确。 C．向心加速度公式 A、B角速度相同，，因此： 可得，两点向心加速度大小不同，C错误。 D．B、C线速度大小相等、转动半径相等，向心加速度大小相等，但向心加速度方向不同，因此向心加速度不相同，D错误。 故选AB。 9．（2026·大庆一中·一模）如图所示的传送装置由同一竖直面内的轨道和传送带组成，包括固定在水平地面上倾角的直轨道AB、半径的圆弧轨道BCD、倾角的传送带。装置除传送带外均光滑，且各处平滑连接。质量的小物块P从AB上处的A点由静止释放，下滑到底端C点时的速度，首次到达传送带D点的速度，传送带保持顺时针匀速转动，最终小物块P以最小速度到达E点。由特殊材料制成的传送带DE长，小物块P相对传送带上行时动摩擦因数为，相对传送带下行时动摩擦因数为，小物块P与传送带间最大静摩擦力和滑动摩擦力大小相等。若不计小物块P的大小和空气阻力。已知，，取。则下列说法正确的是（　　） A．小物块P经过C点时对轨道的压力为 B．传送带的速度大小为 C．小物块P从D运动到E的总时间为 D．小物块P在传送带上留下的划痕长度为 【答案】ABC 【详解】A．小物块P经过C点时根据 解得 根据牛顿第三定律可知，小物块P对轨道的压力为19.5N，A正确； B．假设刚滑上传送带时传送带的速度小于物块P的速度，则物块先做减速运动，加速度大小为 共速后继续减速运动，加速度大小为 由题意可知 解得传送带的速度大小为，假设成立，即传送带的速度大小为1m/s，B正确； C．小物块P从D运动到E的第一阶段运动的时间 第二阶段运动时间 总时间为，C正确； D．小物块P在上滑的第一阶段在传送带上留下的划痕长度为 在上滑的第二阶段在传送带上留下的划痕长度为； 由于与重叠，可知总的划痕长度为，D错误。 故选ABC。 10．（2026·长沙大学附属中学·二模）如图，靠轮传动装置中右轮半径为，为它边缘上的一点，为轮上的一点，距轴为；左侧为一轮轴，大轮的半径为，为它边缘上的一点；小轮半径为，为它边缘上的一点．若传动中靠轮不打滑，则下列说法正确的是（     ） A．点与点的周期之比为 B．点与点的线速度之比为 C．点与点的角速度之比为 D．点与点的向心加速度大小之比为 【答案】ABC 【详解】ABC．因为、两点靠摩擦传动，则、两点的线速度之比为，、两点同轴转动，则角速度相等，根据知，、的角速度之比为，、两点同轴转动，则角速度相等，所以、的角速度之比为，点与点的角速度之比为，由知，、周期之比为，故ABC正确； D．因为、的角速度之比为，、的角速度相等，所以、的角速度之比为，又有、的半径之比为，根据知， 、的向心加速度之比为，故D错误。 故选ABC。 三、实验题 11．如图所示，实验小组用向心力演示仪探究影响向心力大小的因素。 (1)本实验采取的主要研究方法是______。 A．控制变量法 B．等效替代法 (2)已知小球在槽中、位置做圆周运动的半径相等，现把两个质量相等的小球分别放入、位置，左右变速塔轮的半径之比为2∶1，则左右两球做圆周运动的角速度之比为______，向心力之比为______。 【答案】(1)A (2) 1：2 1：4 【详解】（1）实验目的是探究影响向心力大小的因素，在研究向心力与其中一个物理量的关系时，需要确保其它物理量一定，可知，本实验采取的主要研究方法是控制变量法。 故选A。 （2）[1]皮带传动时，与皮带接触边缘的各质点的线速度大小相等，则有 解得 [2]已知两个质量相等的小球在槽中、位置做圆周运动的半径相等，即， 左右两个球的向心力分别为， 解得 四、解答题 12．（25-26高三上·陕西安康·二调）如图甲所示，小球（视为质点）穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心点做半径为的圆周运动，球运动到最高点时，圆环对小球的弹力大小为，小球在最高点的速度大小为，其图像如图乙所示。取重力加速度大小，不计空气阻力。求： (1)小球的质量和圆环的半径； (2)小球在最高点受到弹力大小为时的速度大小。（结果可保留根式） 【答案】(1)， (2)弹力方向向上时，；弹力方向向下时， 【详解】（1）对小球在最高点进行受力分析，速度为零时， 由图乙，此时 解得小球的质量 当时，由向心力公式有 由图乙，此时 解得固定圆环的半径 （2）若小球在最高点受到的弹力方向向上，则有 解得 若小球在最高点受到的弹力方向向下，则有 解得 综上：弹力方向向上时，；弹力方向向下时， 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难突破4　圆周运动 1. 理解描述圆周运动的线速度、角速度、周期、频率、转速等物理量，掌握 v=ωr 等关系及同轴、同缘传动的规律。 2. 理解向心加速度和向心力的意义与公式，能正确分析向心力来源，解决圆锥摆、转盘、车辆转弯等水平面内圆周问题。 3. 掌握竖直面内绳模型、杆模型的临界条件，会用“供需”关系判断离心运动，并能解决圆周运动的综合问题。 【思维导图】 考点一　圆周运动的运动学描述 1．圆周运动：质点运动的轨迹是圆（或一段圆弧）的运动。 2．线速度 v：描述质点沿圆弧运动的快慢，大小 v=Δs/Δt（Δt 足够小时为瞬时速率），方向沿圆弧在该点的切线方向；由于速度方向时刻改变，圆周运动一定是变速运动。 3．（25-26高一下·赤峰新城红旗中学·月考）角速度 ω：连接质点与圆心的半径转过的角度 Δθ 与所用时间之比，ω=Δθ/Δt，单位为弧度每秒（rad/s）；匀速圆周运动中角速度恒定。 4．周期 T、频率 f、转速 n：周期为转一周所用的时间，频率 f=1/T；转速 n 表示单位时间内转过的圈数，n 以 r/s 为单位时 f=n，且 ω=2πf=2πn=2π/T。 5．各物理量关系：v=ωr=2πr/T，ω=2π/T=2πf，线速度与角速度通过半径相联系。 常见的传动方式及其规律 传动类型 相同的物理量 其余量关系 同轴转动（同一刚体、同一转轴上各点） 角速度 ω 相同 线速度与半径成正比：v1∶v2=r1∶r2 皮带（链条）传动、齿轮啮合（不打滑） 轮缘线速度大小相同 角速度与半径成反比：ω1∶ω2=r2∶r1 摩擦传动（接触处不打滑） 接触处线速度大小相同 规律同皮带传动 重难诠释　① v=ωr 只对同一圆周（半径 r 确定）成立，比较两点时先判断是“同轴（ω 等）”还是“同缘（轮缘 v 等）”，再据此推导其余量。②转速 n 若以 r/min 给出，必须先除以 60 化为 r/s 后代入 ω=2πn。③皮带（齿轮）传动不打滑时轮缘线速度大小相等，但交叉皮带传动两轮转向相反；同轴转动各点转向相同。 考点二　向心加速度与向心力 1．向心加速度：方向始终指向圆心、与线速度方向垂直，只改变速度方向而不改变速度大小；大小 a=v²/r=ω²r=ωv=4π²r/T²。 2．向心力：使物体维持圆周运动、方向指向圆心的合力，Fn=mv²/r=mω²r=mωv=m·4π²r/T²。 3．向心力是效果力（按作用效果命名），并不是物体额外受到的一种力；它由重力、弹力、摩擦力等其中某一个力、某几个力的合力或某个力的分力提供，受力分析时不得将向心力与性质力重复列出。 4．匀速圆周运动的合外力大小不变、方向始终指向圆心，全部用来提供向心力，物体速率不变；变速圆周运动的合外力一般不指向圆心，可分解为法向分力（指向圆心，即向心力，改变速度方向）和切向分力（沿切线，改变速度大小）。 向心力的常见来源 典型情景 向心力的来源 圆锥摆、车辆在倾斜路面转弯 重力与绳拉力（支持力）的合力（水平分量） 物体随水平转盘一起转动 转盘对物体的静摩擦力 绳拴小球在竖直面内转动 重力与绳拉力的合力沿径向的分量 天体环绕、带电粒子绕核运动 万有引力、库仑力 重难诠释　①向心力始终与速度垂直，故向心力不做功，只改变速度方向。②列方程前先“定圆心、定半径、定轨道平面”，沿指向圆心方向列 Fn=mv²/r，垂直圆心方向再按平衡或相应运动规律列方程。③匀速圆周运动的合力必过圆心且大小恒定；若分析出合力不指向圆心，则该运动一定不是匀速圆周运动。 考点三　水平面内的圆周运动 1．圆锥摆：长为 L 的轻绳拴住质量为 m 的小球，绳与竖直方向夹角为 θ，小球在水平面内做匀速圆周运动，轨道半径 r=Lsinθ。由 mgtanθ=mω²r 得 ，周期 。 2．水平转盘上的物体：由静摩擦力提供向心力，需满足 μmg≥mω²r，刚要滑动时临界角速度 ；在同一转盘上，离轴越远（r 越大）的物体越先滑动。 3．水平路面上汽车（自行车）转弯：由侧向静摩擦力提供向心力，μmg≥mv²/r，即安全车速 ，速度过大将发生侧滑。 4．倾斜路面（铁路外轨超高、公路弯道超高）：路面倾角为 θ，当 时恰由重力与支持力的合力提供向心力，轮缘（侧向摩擦）不受力；v>v0 时有向外滑动趋势，v<v0 时有向内滑动趋势。 重难诠释　①水平面圆周问题的核心是找准“由谁提供向心力”，一般沿水平方向、指向圆心列方程。②圆锥摆周期 ，其中 h=Lcosθ 是悬点到圆周轨道平面的竖直高度，周期只与 h 有关而与绳长、质量无直接关系，这一推论常考。③临界问题（恰好不滑动、恰好不侧翻）要抓住“静摩擦力达到最大值”或“一侧支持力恰好为零”的临界条件列式。 考点四　竖直面内的圆周运动 1．轻绳模型（绳拴球、内轨道、水流星）：绳（轨道内侧）只能提供指向圆心的拉力（压力）。最高点至少由重力提供向心力，由 mg=mv²/R 得最高点临界（最小）速度 ；只有 才能通过最高点，否则会在到达最高点之前脱离轨道。 2．轻杆模型（杆拴球、圆管、内外双轨道）：约束既可拉也可推，最高点速度可以为零。最高点 v=0 时杆对球为向上的支持力且 N=mg； 时杆（轨道）对球恰好无作用力； 时杆对球为拉力。 3．最低点：绳拉力（轨道支持力）与重力的合力向上提供向心力，F−mg=mv²/R；此处约束对物体的作用力最大，绳最容易断裂、物体对轨道压力最大。 绳模型与杆模型最高点比较 比较项 轻绳模型（内轨道） 轻杆模型（管形轨道） 最高点约束作用力 只能指向圆心（拉/压） 可指向圆心，也可背离圆心（支持） 最高点最小速度 0 v=0 能否通过最高点 不能 能 v=√(gR) 时 时 杆（轨道）作用力恰为零 重难诠释　①两类模型的本质区别在于最高点约束能否提供“背离圆心”的支持力：能则为杆模型（最高点速度可为零），不能则为绳模型（最高点速度必有下限 ）。②用“供需”理解最高点：维持圆周需要 mv²/R，重力能提供 mg；速度越大越需要约束额外向下拉，速度越小重力越“供过于求”，绳模型无法提供向上的支持，只能靠足够速度通过。③求绳的最大拉力、物体对轨道的最大压力通常出现在最低点，且要用机械能守恒把最高点与最低点速度联系起来。 考点五　离心运动与圆周运动综合 1．离心运动：做圆周运动的物体，当所受合力突然消失，或合力不足以提供所需向心力（F供<F需=mω²r）时，物体做逐渐远离圆心的运动。 2．三种情形：F供=F需 时做匀速圆周运动；F供<F需（或合力突然消失）时做离心运动；F供>F需 时做近心（向心）运动。 3．离心运动是物体惯性的表现，并不是因为受到了“离心力”（惯性系中不存在真实的离心力）。离心干燥器、脱水筒、棉花糖机、离心机是其应用；转弯限速、外轨超高等则是为防止离心带来的危害。 4．圆周运动还常与机械能守恒、动能定理、万有引力定律及板块、传送带等综合：沿半径方向列向心力方程，沿切线方向（或全过程）列运动学、能量方程，两条主线结合求解。 重难诠释　①判断离心还是近心，只需比较“外界实际能提供的径向合力 F供”与“按当前 ω、r 做圆周运动所需要的 F需=mω²r”，切勿把 mv²/r 当成一个独立存在的力。②当半径发生变化（绳被收短、物体相对滑动）时，v、ω、r 会同时改变，要结合约束条件分析，如绳不可伸长则沿绳方向速度分量相等。③“离心力”只是非惯性系中的惯性力，在地面惯性系列方程时不能把它计入受力。 考向1　圆周运动的描述与传动问题 一、单选题 1．（25-26高一下·赤峰新城红旗中学·月考）关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（     ） A．线速度方向沿半径 B．半径一定时，线速度大小与角速度大小成反比 C．匀速圆周运动是线速度不变的运动 D．周期T是做匀速圆周运动的物体运动一周所用时间 2．（25-26高一下·天津河北区·期末）如图所示，为人形机器人首次在春晚舞台上表演扭秧歌、转手绢等复杂动作的情景。机器人转动八角形手帕绕其中心O点做匀速圆周运动，A、B、C为手帕上的三个点。各点到O点的距离关系为OA=OB>OC，则（　　） A．A点的线速度大于C点的线速度 B．A点的角速度大于C点的角速度 C．A点的向心加速度小于C点的向心加速度 D．A、B两点的线速度、角速度、周期均相同 3．（25-26高二上·涟水一中·月考）石磨是劳动人民智慧的结晶。如图所示，M、N为石磨推柄上的两点，在石磨绕竖直轴转动的过程中，下列说法正确的是（     ） A．M点的角速度比N点的角速度小 B．M点的角速度与N点的角速度相等 C．M点的角速度比N点的角速度大 D．无法确定 二、填空题 4．（24-25高三上·漳平一中&德化一中·联考）如图所示，甲、乙两水平圆盘紧靠在一块，甲圆盘为主动轮，乙靠摩擦随甲转动且无相对滑动。甲圆盘与乙圆盘的半径之比为r甲:r乙=3:1，两圆盘和小物体m1、m2之间的动摩擦因数相同，m1距O点为2r，m2距O′点为r，m1=3m2，当甲缓慢转动起来且转速慢慢增加时，在m1、m2与盘发生相对滑动前的过程中，m1、m2的角速度之比ω1:ω2=_____，向心加速度之比a1:a2=_____。 考向2　向心力的来源与受力分析 一、单选题 1．（25-26高一下·西安周至六中·期中）一种叫“飞椅”的游乐设施的示意图如图所示。长为L的钢绳一端系着座椅（视为质点），另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，且钢绳与竖直方向的夹角为θ。已知座椅（包括人）的质量为m，重力加速度为g，不计钢绳的重力。下列说法正确的是（     ） A．座椅的线速度大小为 B．钢绳的拉力大小为 C．角速度越大，钢绳的拉力越小 D．质量m越大，钢绳与竖直方向的夹角越大 2．（26-27高一上·浙江Z20联盟·开学）一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图所示，曲线上的点的曲率圆定义为通过点和曲线上紧邻点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做点的曲率圆，其半径叫做点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成角的方向以速度抛出，不计空气阻力，重力加速度取，则在其轨迹最高点处的曲率半径是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（25-26高一上·江西师大附中·期末）下列对物理必修2教材中出现的四幅图分析正确的是（　　） A．图1：小球在水平面做匀速圆周运动时，向心力由细线拉力的水平分力提供 B．图2：物体随水平圆盘一起做匀速圆周运动时，摩擦力提供向心力 C．图3：汽车过拱桥最高点时，处于超重状态 D．图4：轿车在水平路面上转弯时由支持力和摩擦力的合力提供向心力 三、实验题 4．（25-26高一上·武汉二中·期末）用如图所示的实验装置研究影响向心力大小的因素。长槽上的挡板到转轴的距离是挡板的2倍，，长槽上的挡板和短槽上的挡板C到各自转轴的距离相等，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动，挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，根据标尺上的等分格可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。 (1)当传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，套有皮带的塔轮边缘处的_______（填“线速度”或“角速度”或“向心加速度”）大小相等。 (2)若仅改变皮带位置，通过对比皮带位置轮盘半径之比和向心力大小之比，可以发现向心力与_______成正比。 (3)若将传动皮带套在两半径之比等于3：2的左右轮盘上，将质量相同的小球分别放在挡板和挡板处，则标尺露出红白相间的等分格数的比值约为________。 考向3　水平面内圆周运动的临界问题 一、单选题 1．（26-27高一下·湖北恩施·期末）如图，主动轮大圆盘与从动轮小圆盘通过皮带（不打滑）连接，大圆盘与小圆盘的半径之比为3∶1，质量分别为、的两物体A、B分别放在两圆盘上，它们到各自转轴的距离相等，且与圆盘间的动摩擦因数相同。现让圆盘缓慢加速转动，直至两物体中的一个开始滑动。下列说法正确的是（     ） A．两物体相对圆盘滑动前，向心加速度大小之比为 B．两物体相对圆盘滑动前，角速度之比为 C．若增大主动轮转速，则物体A先相对圆盘滑动 D．两物体中有一个刚要滑动时，A、B所受摩擦力大小之比为 2．（25-26高一上·石家庄一中·期末）“转碟”是传统的杂技项目，如图，质量为m的发光物体放在半径为R的碟子上，距碟子中心的距离为r，杂技演员用杆顶住碟子中心，使发光物体随碟子一起在水平面内绕A点做匀速圆周运动。当角速度为时，碟子边缘看似一个光环。设发光物体与碟子间动摩擦因数为，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。则下列说法正确的是（   ） A．发光物体的线速度大小为，受到的静摩擦力大小为 B．发光物体的线速度大小为，受到的静摩擦力大小为 C．发光物体与碟子不发生相对滑动碟子转动的最大线速度为 D．发光物体与碟子不发生相对滑动碟子转动的最大角速度为 二、多选题 3．（25-26高一上·武昌实验中学·期末）如图所示，水平圆盘绕过圆心的竖直轴以角速度匀速转动，三个木块放置在圆盘上面的同一条直径上。已知A的质量为，A与圆盘间的动摩擦因数为；B和C的质量均为，B和C与圆盘间的动摩擦因数均为。之间的距离均为，开始时，圆盘匀速转动时的角速度比较小，均和圆盘保持相对静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为，则下列说法正确的是（　　） A．圆盘转动的角速度缓慢增大的过程中，C最先发生滑动 B．圆盘转动的角速度缓慢增大的过程中，同时发生滑动 C．若之间用一根长为的轻绳连接，当圆盘转动的角速度缓慢增大时，B在滑动前与圆盘间的静摩擦力先增大后减小 D．若之间用一根长的轻绳连接，则当圆盘转动的角速度时，可与圆盘保持相对静止 4．（25-26高一上·荆州中学·期末）如图所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置物体A和B，mA=4kg，mB=1kg它们分居在圆盘的圆心两侧，与圆心距离为rA=0.1m，rB=0.2m，中间用细线相连。A、B与盘间的动摩擦因数均为μ=0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若圆盘从静止开始绕中心转轴非常缓慢地加速转动，直到A、B刚要与圆盘发生相对滑动。g=10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．A物体所受摩擦力的方向一直指向圆心 B．B物体所受摩擦力的方向一直指向圆心 C．当ω=rad/s时，绳子出现张力 D．当ω=rad/s时，A、B两物体出现滑动 5．（26-27高二上·信阳高级中学·开学）如图，铁路在弯道处的内、外轨道高低是不同的，已知内、外轨道连线与水平面倾角为，弯道处的圆弧半径为，则关于质量的火车转弯时的描述，正确的是（     ） A．当速度时，火车所需要的向心力为 B．当速度时，火车所需要的向心力为 C．当速度时，铁轨对火车的支持力大于 D．当速度时，铁轨对火车的支持力小于 6．（25-26高一上·湖南衡阳一中·入学考试）2025年11月福建舰在三亚正式入列，标志着我国正式进入三航母时代。如图，福建舰在海上转弯，设其绕点做匀速圆周运动，速度大小约为，转弯半径约为，质量约为，则（　　） A．舰受到的合力始终指向O点 B．舰所需的向心力大小约为 C．水对舰的作用力方向指向点 D．水对舰的作用力大小约为 考向4　竖直面内圆周运动的绳杆模型 一、单选题 1．（26-27高二上·重庆第一中学·开学考试）如图所示，长为的轻杆一端固定在光滑的水平轴上，另一端固定一质量为的小球。给小球一垂直于轻杆方向的初速度，使小球在竖直平面内做完整的圆周运动，空气阻力可忽略，重力加速度为。下列说法正确的是（     ） A．小球在速度增大的过程中，向心力一定增大 B．小球在整个运动过程中，加速度方向始终指向圆心 C．小球过最高点时，速度至少为 D．小球过最高点时，杆对小球的弹力一定随小球速度的增大而增大 2．（26-27高三上·河南濮阳第一高级中学·开学）如图所示，在竖直面内有一半径为的四分之三圆形光滑轨道，以轨道圆心为坐标原点，建立坐标系。将一质量为的小球从点正上方处静止释放，从点进入圆轨道。小球经过轨道最低点时，对轨道的压力大小为，到达点时的速度大小为，且恰好脱离轨道。下列说法错误的是（     ） A．小球在点的速度大小为 B．小球在点所受合力竖直向下 C．点的坐标为 D．脱离圆轨道后，小球运动的最高点与点的竖直高度差为 3．（25-26高一上·灌南惠泽·月考）如图，竖直平面内的半圆形轨道下端与水平面相切，B、C分别为半圆形轨道的最低点和最高点。一质量m的小滑块（可视为质点）在水平面上由A点向左运动，到达轨道最低点B时的速度vB，随后沿半圆轨道运动，通过C点后恰好落在A点。已知半圆形轨道半径R，A、B间距离为2.5R，重力加速度为g，则（     ） A．滑块运动到B点时对轨道的压力大小为mg B．滑块运动到C点时速度的大小为 C．滑块从C点水平飞出后在空中运动时间为 D．滑块通过C点后落回到A点的速度大小为 二、多选题 4．（25-26高一上·荆州中学·期末）如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，小球半径比R小很多，当小球通过最高点时速率为v0，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．若，则小球对管内下壁有压力 B．若，则小球对管内下壁有压力 C．若，则小球对管内上壁有压力 D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力 5．（26-27高三上·长沙一中·开学）如图所示，内半径的空心圆柱体固定在水平地面上，一小滑块紧贴内壁从O点以的初速度沿切向水平滑入，旋转一周经过点。取重力加速度，下列说法正确的是（     ） A．若圆柱体与小滑块间光滑，则滑块对圆柱体的压力大小逐渐增大 B．若圆柱体与小滑块间光滑，则滑块在点时速度方向与竖直方向的夹角为 C．若圆柱体与小滑块间的动摩擦因数为，某时刻滑块在水平方向速度为，竖直方向为，则小滑块在水平面内加速度大小为 D．若圆柱体与小滑块间的动摩擦因数为，某时刻滑块在水平方向速度为，竖直方向为，则小滑块在水平面内加速度大小为 三、解答题 6．（26-27高三上·哈尔滨第六中学·阶段性测试（一））如图所示，质量为1.6kg、半径为0.5m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B（均可视为质点）的直径略小于细圆管的内径（内径远小于细圆管半径）。小球A、B的质量分别为mA=1kg、mB=2kg。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小为vA=3m/s，此时杆对圆管的弹力大小为60N，取g=10m/s2，求此时B球的速度大小vB。 7．（25-26高一上·石家庄二中教育集团·期末）如图所示为某滑雪运动员运动的示意图，运动员站在运动雪橇上从A点受到恒力作用从静止开始加速，到达B点后撤去恒力，从C点水平冲出，恰好从D点切入飞进半径为R的圆形光滑轨道。已知人和雪橇的总质量为70kg，恒力F=350N，水平面与雪橇间动摩擦因数为0.1，AB=40m，BC=32m，OD与竖直线夹角为37°，圆形轨道半径R=40m，人和雪橇在运动中可以视为质点，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力。求： (1)运动员达到C点时的速度大小； (2)C、D两点间竖直距离； (3)运动员和雪橇在D点受到的弹力大小。 8．（26-27高一上·浙江Z20联盟·开学）如图所示，竖直平面内倾角的直轨道AB，其末端B与水平传送带左端平滑连接。传送带转轮半径，转轴间距，以恒定线速度逆时针转动，转轮最低点距地面高度。将小物块从直轨道上距传送带高处由静止释放，物块经B点滑至传送带左端点时，速度大小不变，方向变为水平向右。已知物块与直轨道及传送带间的动摩擦因数均为。 (1)若，求小物块到达B端时速度的大小； (2)要使小物块从D点恰好水平抛出，求h需要满足的条件？ (3)小滑块自不同高度处由静止下滑，到达传送带右端转轮最高点D点后水平抛出，最终落于以D为圆心的四分之一圆弧轨道EF上，其中F为D点正下方的地面位置。求下落高度y为何值时，滑块落到圆弧轨道上速度最小，并求D点速度大小（结果可用根号表示）。 考向5　离心运动及圆周运动综合问题 一、单选题 1．（25-26高一上·武昌实验中学·期末）如图所示为旋转脱水拖把结构图，旋转杆上有长度为的螺杆，螺杆的螺距（相邻螺纹之间的距离）为，固定套杆内部有与旋转杆的螺纹相配套的凹纹，如果旋转杆不动，固定杆可以在旋转杆上沿其轴线旋转上行或下行。把拖把头放置于脱水桶中，手握固定套杆向下运动，固定套杆就会给旋转杆施加驱动力，驱动旋转杆使拖把头和脱水桶一起转动，把拖把上的水甩出去。拖把头的托盘半径为，拖布条的长度为，脱水桶的半径为。某次脱水时，固定套杆在内匀速下压了，该过程中拖把头匀速转动，则下列说法正确的是（　　） A．紧贴脱水桶壁的拖布条上附着的水最不容易甩出 B．旋转时脱水桶壁与托盘边缘处的点向心加速度之比为2：1 C．拖把头转动的周期为 D．拖把头转动的角速度为 2．（25-26高一上·武汉二中·期末）下列有关生活中的圆周运动的实例分析，正确的是（　　） A．图甲所示为汽车通过凹形桥最低点的情境，此时汽车处于失重状态 B．图乙所示为演员表演“水流星”的情境，当小桶刚好能通过最高点时，小桶处于完全失重状态，不受重力作用 C．图丙所示为火车转弯的情境，火车超过规定速度转弯时，车轮会挤压外轨 D．图丁所示为洗衣机脱水桶脱水的情境，其脱水原理是水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而被甩出 3．（25-26高一下·深圳第二高级中学·期末）如图所示，半径为R的洗衣机滚筒绕竖直轴转动，衣服紧贴筒壁随洗衣机一同转动且不与筒底接触，已知衣服与筒壁间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，衣服与筒壁始终保持相对静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（     ） A．衣服受到重力、摩擦力、筒壁施加的压力和向心力四个力 B．洗衣机转动的角速度至少为 C．增大洗衣机的转速，衣服受到的摩擦力也随之增大 D．衣服在转动过程中脱水是因为衣服提供给水滴的向心力不足 4．（26-27高三上·四川·学情检测）游乐场有一种叫“魔盘”的娱乐设施，简化模型如图，魔盘侧面与水平面的夹角为。质量分别为M和m（）的大人和小朋友随魔盘一起转动，其轨道半径分别为R、r（），动摩擦因数相同。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，则（     ） A．大人受到的摩擦力可能小于 B．大人受到魔盘的支持力一定比小朋友大 C．大人受到魔盘的作用力一定比小朋友大 D．大人一定比小朋友后发生相对滑动 5．（25-26高一下·长沙麓山外国语实验中学·期末）如图，在倾角为的锥体表面上对称地放着可视为质点的、两个物体，用一轻绳跨过固定在顶部的光滑的定滑轮连接在一起，开始时轻绳绷直但无张力。已知、两个物体的质量分别为和，它们到竖直轴的距离均为 ，两物体与锥体表面的动摩擦因数均为，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，某时刻起，锥体绕竖直轴缓慢加速转动，加速转动过程中、两物体始终与锥体保持相对静止，，则（     ） A．轻绳有张力之前，物体受到的静摩擦力一直不变 B．轻绳即将有张力时，转动的角速度 C．在、滑动前所受的静摩擦力一直增大 D．在、即将滑动时，转动的角速度 6．在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且它和O点的连线与之间的夹角为，重力加速度为g。下列说法正确的是（     ） A．此时转台转动的角速度ω= B．此时小物块所需向心力大小为 C．若将角速度减小为原来的一半，小物块仍能与陶罐相对静止在原来的位置，则小物块受到的摩擦力大小为 D．若将角速度减小为原来的一半，小物块仍能与陶罐相对静止在原来的位置，则小物块受到的摩擦力方向沿陶罐内壁切线向下 二、多选题 7．（26-27高二上·三河光大实验学校·开学）如图所示，小球（视为质点）由两根轻绳和分别系于轻质细杆的点和点，小球的质量为。当轻杆绕轴以角速度缓慢加快转动时，小球跟着一起做圆周运动，当绳被拉直时，轻绳与水平方向夹角为，轻绳与轻杆垂直、绳长为。重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．当角速度时，轻绳刚被拉直 B．当角速度时，轻绳松弛 C．当角速度时，轻绳的弹力随的增大而增大 D．当角速度匀速转动时，剪断轻绳后，小球的高度会下降 8．（25-26高一下·临沂第十八中学·第二次调研）如图所示，两个套在一起的光滑漏斗固定，其内壁有质量相同的A、B两个小球，它们正在相同高度处做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是（     ） A．A的角速度大于B的角速度 B．A的线速度大于B的线速度 C．A的向心加速度大于B的向心加速度 D．漏斗壁对它们的支持力大小相同 9．（25-26高一下·湖南岳阳·期末）鹰潭方特东方神话中的旋风飞椅项目因可体验高空旋转离心快感和飞一般的感觉，广受游客喜爱。旋风飞椅简化示意图如图所示：一根长度为L的轻绳，一端固定在半径为r0的圆盘上的P点，另一端系着一个质量为m的小球（可视为质点）。小球随圆盘绕其竖直中心轴OO'在水平面内做角速度为ω的匀速圆周运动，绳子张紧并与竖直方向保持一个稳定的夹角θ。已知重力加速度为g，忽略空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．小球受到重力、绳子拉力和向心力三个力的作用 B．小球做圆周运动的角速度ω C．绳子拉力 D．若增大小球的质量，夹角θ变小 三、解答题 10．（25-26高一上·湖北襄阳襄城四中·期末）如图所示，套在粗糙细直杆上的小球，随杆一起以角速度绕竖直轴匀速转动，且相对于杆静止。已知球的质量为，到点距离为，转动过程中杆与间的夹角为，重力加速度为。 (1)求小球加速度的大小； (2)若，与杆间的动摩擦因数，与杆间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，求题干中角速度的取值范围。 一、单选题 1．（26-27高三上·内蒙古呼和浩特·一检）如图，观光摩天轮匀速转动，摩天轮边缘质点（　　） A．转动速度不变 B．受到的合力恒定不变 C．转动越快，向心加速度越小 D．每转完整一圈，平均速度为零 2．（25-26高三上·陕西安康·二调）如图所示，一水平放置的木板上放有一质量的砝码，现让木板在竖直平面内做半径，速度大小的匀速圆周运动，运动中木板始终保持水平，砝码相对木板始终保持静止，取，则下列说法正确的是（　　） A．砝码运动到最高点时受到木板的摩擦力为零 B．砝码运动到与圆心等高位置时受到木板的摩擦力大小为 C．砝码运动到最低点时对木板的压力大小为 D．砝码运动到最低点时对木板的摩擦力大小为 3．（2026·驻马店经济开发区高级中学·质量检测）如图所示，一半径为R的光滑圆环在竖直面内，O为圆心，轻绳一端固定在圆环的最低点A，另一端连接套在圆环上的小球。当圆环绕竖直直径AB以角速度匀速转动、小球相对圆环静止时，小球、圆心连线与直径AB的夹角。已知小球质量为m，轻绳能承受的最大拉力为2mg，重力加速度大小为g。则（     ） A．圆环的角速度大小可能为 B．当圆环的角速度时，细绳即将断裂 C．当圆环的角速度时，小球受到3个力的作用 D．当圆环的角速度时，小球圆周运动的半径为 4．（2026·湖北武昌·供题）如图（a）所示，“筋膜枪”利用高速电机带动枪头，产生的高频振动可以作用到肌肉深层，以达到缓解疼痛的作用。如图（b）所示为某款筋膜枪的内部结构简化图，连杆以角速度绕垂直于纸面的轴匀速转动，带动连杆，使套在横杆上的滑块左右滑动。已知连杆长为，连杆长为，下列说法正确的是（     ） A．当时，滑块的速度最大，且为 B．当时，滑块的速度最大，且为 C．当时，滑块的速度最大，且为 D．当时，滑块的速度最大，且为 5．（2026·延边第二中学·三诊）如图所示，圆心为，半径的粗糙圆盘平行于水平地面放置，到地面的高度为，在圆盘边缘放置一可看成质点的物块a。物块与圆盘间的动摩擦因数，重力加速度取。圆盘的角速度从零开始缓慢增大，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（     ） A．a随圆盘转动线速度的最大值为 B．a落地点到转轴的水平距离为 C．若增大极快，a离开圆盘时的速度增大 D．若增大极快，a离开圆盘时的速度不变 6．（25-26高三下·合肥皖智高级中学·阶段性检测三）如图所示，一半径为R的光滑圆环竖直放置，AB为其竖直直径。一根细绳一端固定在A点，另一端连接一个质量为m的小球，小球套在圆环上并处于静止状态，细绳与AB夹角为30°。圆环现以角速度绕AB轴匀速转动，重力加速度为g，则（     ） A．小球一定受三个力的作用 B．绳中拉力为0时， C．圆环对小球的弹力为0时， D．若小球不相对圆环滑动，则不超过 7．（2026·菏泽单县二中·模拟）图甲所示为球形铁笼内进行摩托车特技表演的场景，图乙所示为骑手驾驶摩托车在笼内分别沿水平面内轨道1和轨道2做匀速圆周运动的简化图。已知球心到骑手的连线与竖直方向的夹角分别为α、β，不计空气阻力，骑手及车视为质点，则骑手分别在轨道1和2做匀速圆周运动的线速度大小之比为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（2026·广州天河·学情自测）图甲是某自行车采用的无链传动系统，利用圆锥齿轮90°轴交，将动力传至后轴，驱动后轮转动，杜绝了传统自行车“掉链子”问题。图乙是圆锥齿轮90°轴交示意图，其中A是圆锥齿轮转轴上的点，B、C分别是两个圆锥齿轮边缘上的点，两个圆锥齿轮中心轴到A、B、C三点的距离分别记为rA、rB和rC（rA<rB=rC）。下列说法正确的是（     ） A．A点与B点的线速度大小满足 B．A点与C点的角速度大小满足ωA=ωC C．A点与B点具有相同的向心加速度 D．B点与C点具有相同的向心加速度 9．（2026·大庆一中·一模）如图所示的传送装置由同一竖直面内的轨道和传送带组成，包括固定在水平地面上倾角的直轨道AB、半径的圆弧轨道BCD、倾角的传送带。装置除传送带外均光滑，且各处平滑连接。质量的小物块P从AB上处的A点由静止释放，下滑到底端C点时的速度，首次到达传送带D点的速度，传送带保持顺时针匀速转动，最终小物块P以最小速度到达E点。由特殊材料制成的传送带DE长，小物块P相对传送带上行时动摩擦因数为，相对传送带下行时动摩擦因数为，小物块P与传送带间最大静摩擦力和滑动摩擦力大小相等。若不计小物块P的大小和空气阻力。已知，，取。则下列说法正确的是（　　） A．小物块P经过C点时对轨道的压力为 B．传送带的速度大小为 C．小物块P从D运动到E的总时间为 D．小物块P在传送带上留下的划痕长度为 10．（2026·长沙大学附属中学·二模）如图，靠轮传动装置中右轮半径为，为它边缘上的一点，为轮上的一点，距轴为；左侧为一轮轴，大轮的半径为，为它边缘上的一点；小轮半径为，为它边缘上的一点．若传动中靠轮不打滑，则下列说法正确的是（     ） A．点与点的周期之比为 B．点与点的线速度之比为 C．点与点的角速度之比为 D．点与点的向心加速度大小之比为 三、实验题 11．如图所示，实验小组用向心力演示仪探究影响向心力大小的因素。 (1)本实验采取的主要研究方法是______。 A．控制变量法 B．等效替代法 (2)已知小球在槽中、位置做圆周运动的半径相等，现把两个质量相等的小球分别放入、位置，左右变速塔轮的半径之比为2∶1，则左右两球做圆周运动的角速度之比为______，向心力之比为______。 四、解答题 12．（25-26高三上·陕西安康·二调）如图甲所示，小球（视为质点）穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心点做半径为的圆周运动，球运动到最高点时，圆环对小球的弹力大小为，小球在最高点的速度大小为，其图像如图乙所示。取重力加速度大小，不计空气阻力。求： (1)小球的质量和圆环的半径； (2)小球在最高点受到弹力大小为时的速度大小。（结果可保留根式） 2 学科网（北京）股份有限公司 $