2027届高考物理一轮复习-抛体运动与圆周运动大题 专项训练1

**基本信息** 聚焦抛体与圆周运动综合应用，通过逆向思维、运动分解等方法体系，构建从基础模型到复合场景的知识逻辑链，强化物理观念与科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |抛体运动|8题（含斜抛、平抛+斜面）|逆向运动法、运动合成与分解、临界条件分析|从平抛运动规律（x=v₀t,y=½gt²）拓展至斜抛分解，结合几何关系解决实际问题| |圆周运动|7题（含轻杆、圆锥摆、离心模型）|向心力动态分析、临界速度计算、能量守恒应用|从匀速圆周（Fₙ=mv²/r）到变速圆周，关联机械能守恒与牛顿运动定律|

抛体运动与圆周运动大题专项训练1 1．如图，运动员起跳投篮。篮球恰好垂直击中篮板“打板区”方框的上沿线中点，反弹落入篮圈，已知篮球出手时球心离地的高度h1＝2.25 m，与篮板的水平距离L1＝1.17 m，篮圈离地的高度h2＝3.05 m，“打板区”方框的上沿线离篮圈的高度h3＝0.45 m，若篮球的直径d＝0.24 m。不考虑空气作用力和篮球的转动，重力加速度g取10 m/s2。求篮球击中篮板时的速度大小。 2．如图所示，在风洞实验室中，从A点以水平速度v0向左抛出一个质量为m的小球(可视为质点)，小球抛出后所受空气作用力沿水平方向，其大小为F，经过一段时间小球运动到A点正下方的B点处，重力加速度为g，在此过程中，求： (1)小球离A、B所在直线的最远距离； (2)A、B两点间的距离； (3)小球的最大速率vmax。 3．据史载，战国时期秦楚之战中就有使用投石机的战例。最初的投石机结构很简单，一根巨大的杠杆，长端是用皮套或是木筐装载的石块，短端系上几十根绳索，当命令下达时，数十人同时拉动绳索，利用杠杆原理将石块抛出。某学习小组用如图所示的模型演示抛石过程。质量m＝1 kg的石块装在长臂末端的口袋中，开始时口袋位于水平面并处于静止状态。现对短臂施力，当长臂转到与竖直方向夹角为θ＝53°时立即停止转动，石块以v0＝20 m/s的速度被抛出后打在地面上，石块抛出点P离地面高度h＝1.65 m，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。 (1)求抛出后石块距离地面的最大高度； (2)若在石块运动轨迹最高点左侧竖立一块长度L＝3.2 m的木板充当城墙挡住石块，求木板离石块抛出点的最近距离。 4．在一光滑的水平面上建立xOy平面直角坐标系，一质点在水平面上从坐标原点开始运动，沿x方向和y方向的x－t图象和－t图象分别如图7甲、乙所示，求： 图7 (1)运动后4 s内质点的最大速度的大小； (2)4 s末质点离坐标原点的距离． 5．风洞是研究空气动力学的实验设备。如图所示，将刚性杆水平固定在风洞内距地面高度H＝3.2 m处，杆上套一质量m＝3 kg，可沿杆滑动的小球。将小球所受的风力调节为F＝15 N，方向水平向左。小球以速度v0＝8 m/s向右离开杆端，假设小球所受风力不变，取g＝10 m/s2。求小球落地时的位移。 6．用如图甲所示的水平—斜面装置研究平抛运动。一物块(可视为质点)置于粗糙水平面上的O点，O点与斜面顶端P点的距离为s。每次用水平拉力F，将物块由O点从静止开始拉动，当物块运动到P点时撤去拉力F。实验时获得物块在不同拉力作用下落在斜面上的不同水平射程，作出了如图乙所示的图像。若物块与水平面间的动摩擦因数为0.5，斜面与水平地面之间的夹角θ＝45°，g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求O、P间的距离s。(保留两位有效数字) 7.如图所示，倾角θ＝37°、高h＝1.8 m的斜面体位于水平地面上，小球从斜面顶端A点以初速度水平向右抛出(此时斜面未动)，小球恰好落到斜面底端B点处。空气阻力忽略不计，取重力加速度g＝10 m/s2，tan 37°＝0.75。 (1)求小球平抛的初速度的大小； (2)若在小球水平抛出的同时，使斜面体在水平面上由静止开始向右做匀加速直线运动，经＝0.3 s小球落至斜面体上，求斜面体运动的加速度大小。 8．一滑雪运动员最开始在如图所示光滑倾斜圆轨道上，沿轨道中心线FA以速度v匀速运动。随后在A点滑离圆轨道，恰好落在三角形木支架上的B点，且速度沿BC方向。已知运动员滑行轨迹FA处于同一水平面内，倾斜圆轨道与水平面的夹角为α＝53°，AE、BD都在竖直方向，AE距离20 m。运动员的圆轨道半径r＝30 m，运动员及其装备质量为60 kg。BC与水平面夹角为θ，且tan θ＝。已知重力加速度g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，运动员可看成质点。求： (1)速度v大小； (2)BD及EC的距离； (3)若倾斜圆轨道粗糙，运动员离开A点速度大小是多少可以恰好落在C点？ 9．图(a)是某小河的航拍照片，河道弯曲的主要原因之一可解释为：河道弯曲处的内侧与外侧河堤均受到流水重力产生的压强，外侧河堤还受到流水冲击产生的压强。小河某弯道处可视为半径为R的圆弧的一部分，如图(b)所示，假设河床水平，河水密度为ρ，河道在整个弯道处宽度d和水深h均保持不变，水的流动速度v大小恒定，d≪R，忽略流水内部的相互作用力。取弯道某处一垂直于流速的观测截面，求在一极短时间Δt内：(R、ρ、d、h、v、Δt均为已知量) (1)通过观测截面的流水质量Δm； (2)流水速度改变量Δv的大小； (3)外侧河堤受到的流水冲击产生的压强p。 10．一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴OO′上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度L＝0.2 m，杆与竖直转轴的夹角a始终为60°，弹簧原长x0＝0.1 m，弹簧劲度系数k＝100 N/m，圆环质量m＝1 kg；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10 m/s2，摩擦力可忽略不计。 (1)若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离； (2)求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小； (3)求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。 11．如图，轻杆长2l，中点装在水平轴O上，两端分别固定着小球A和B(均可视为质点)，A球质量为m，B球质量为2m，重力加速度为g，两者一起在竖直平面内绕O轴做圆周运动。 (1)若A球在最高点时，杆的A端恰好不受力，求此时B球的速度大小； (2)若B球到最高点时的速度等于第(1)问中的速度，求此时O轴的受力大小和方向； (3)在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？若不能，请说明理由；若能，求出此时A、B球的速度大小。 12．如图甲是某游乐场中水上过山车的实物图片，图乙是其原理示意图。在原理图中半径为R＝8 m的圆形轨道固定在离水面高h＝3.2 m的水平平台上，圆轨道与水平平台相切于A点，A、B分别为圆形轨道的最低点和最高点。过山车(实际是一艘带轮子的气垫小船，可视作质点)高速行驶，先后会通过多个圆形轨道，然后从A点离开圆轨道而进入光滑的水平轨道AC，最后从C点水平飞出落入水中，整个过程刺激惊险，受到很多年轻人的喜爱。已知水面宽度为s＝12 m，假设运动中不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，结果可保留根号。 (1)若过山车恰好能通过圆形轨道的最高点B，则其在B点的速度为多大？ (2)为使过山车安全落入水中，则过山车在C点的最大速度为多少？ (3)某次运动过程中乘客在圆轨道最低点A对座椅的压力为自身重力的3倍，则过山车落入水中时的速度大小是多少？ 13.如图所示，在光滑的圆锥体顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°，小球以速率 绕圆锥体轴线做水平圆周运动。 (1)当＝ 时，求细线对小球的拉力； (2)当＝ 时，求细线对小球的拉力。 14．用光滑圆管制成如图所示的轨道，竖直立于水平地面上，其中ABC为圆轨道的一部分，CD为倾斜直轨道，二者相切于C点。已知圆轨道的半径R＝1 m，倾斜轨道CD与水平地面的夹角为θ＝37°。现将一小球以一定的初速度从A点射入圆管，小球直径略小于圆管的直径，取重力加速度g＝10 m/，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求小球通过倾斜轨道CD的最长时间(结果保留一位有效数字)。 15．如图所示，餐桌中心是一个半径为r＝1.5 m的圆盘，圆盘可绕中心轴转动，近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘间的动摩擦因数为＝0.6，与餐桌间的动摩擦因数为＝0.225，餐桌离地面的高度为h＝0.8 m。设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/。 (1)为使物体不滑到餐桌上，圆盘的角速度ω的最大值为多少？ (2)缓慢增大圆盘的角速度，物体从圆盘上甩出，为使物体不滑落到地面上，餐桌半径R的最小值为多大？ (3)若餐桌的半径R′＝r，则在圆盘角速度缓慢增大时，物体从圆盘上被甩出后滑落到地面上的位置到从圆盘甩出点的水平距离L为多少？ 抛体运动与圆周运动大题专项训练1（解析） 1．如图，运动员起跳投篮。篮球恰好垂直击中篮板“打板区”方框的上沿线中点，反弹落入篮圈，已知篮球出手时球心离地的高度h1＝2.25 m，与篮板的水平距离L1＝1.17 m，篮圈离地的高度h2＝3.05 m，“打板区”方框的上沿线离篮圈的高度h3＝0.45 m，若篮球的直径d＝0.24 m。不考虑空气作用力和篮球的转动，重力加速度g取10 m/s2。求篮球击中篮板时的速度大小。 [答案]　2.1 m/s [解析]　运动员起跳投篮，篮球恰好垂直击中篮板“打板区”方框的上沿线中点，其逆过程可以看作是平抛运动，则有h3＋h2－h1＝gt，L1－＝v0t1，代入数据解得v0＝2.1 m/s。 2．如图所示，在风洞实验室中，从A点以水平速度v0向左抛出一个质量为m的小球(可视为质点)，小球抛出后所受空气作用力沿水平方向，其大小为F，经过一段时间小球运动到A点正下方的B点处，重力加速度为g，在此过程中，求： (1)小球离A、B所在直线的最远距离； (2)A、B两点间的距离； (3)小球的最大速率vmax。 [答案]　(1)　(2)　(3) [解析]　(1)将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，水平方向有F＝max，v＝2axxmax， 解得xmax＝。 (2)水平方向速度减小为零所需时间t1＝，由对称性知小球从A运动到B的总时间t＝2t1 竖直方向上有y＝gt2＝。 (3)小球运动到B点时速率最大，此时有vx＝v0， vy＝gt，则vmax＝＝。 3．据史载，战国时期秦楚之战中就有使用投石机的战例。最初的投石机结构很简单，一根巨大的杠杆，长端是用皮套或是木筐装载的石块，短端系上几十根绳索，当命令下达时，数十人同时拉动绳索，利用杠杆原理将石块抛出。某学习小组用如图所示的模型演示抛石过程。质量m＝1 kg的石块装在长臂末端的口袋中，开始时口袋位于水平面并处于静止状态。现对短臂施力，当长臂转到与竖直方向夹角为θ＝53°时立即停止转动，石块以v0＝20 m/s的速度被抛出后打在地面上，石块抛出点P离地面高度h＝1.65 m，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。 (1)求抛出后石块距离地面的最大高度； (2)若在石块运动轨迹最高点左侧竖立一块长度L＝3.2 m的木板充当城墙挡住石块，求木板离石块抛出点的最近距离。 [答案]　(1)14.45 m　(2)37.2 m [解析]　(1)石块抛出时沿竖直方向的分速度为v0y＝v0sin θ＝16 m/s，则石块抛出点到最高点的高度差为h1＝＝12.8 m，抛出后石块距离地面的最大高度为H＝h1＋h＝14.45 m。 (2) 当石块刚好被木板上端挡住时，木板离石块抛出点距离最近。石块从最高点到木板上端的过程中做平抛运动，竖直方向有H－L＝gt，解得t2＝＝1.5 s，石块从抛出点到最高点所用时间为t1＝＝1.6 s，石块抛出时的水平分速度为v0x＝v0cos θ＝12 m/s，则木板离石块抛出点的最近距离为x＝v0x(t1＋t2)＝37.2 m。 4．在一光滑的水平面上建立xOy平面直角坐标系，一质点在水平面上从坐标原点开始运动，沿x方向和y方向的x－t图象和vy－t图象分别如图7甲、乙所示，求： 图7 (1)运动后4 s内质点的最大速度的大小； (2)4 s末质点离坐标原点的距离． 答案　(1)2 m/s　(2)8 m 解析　(1)由题图可知，质点沿x轴正方向做匀速直线运动，速度大小为vx＝＝2 m/s，在运动后4 s内，沿y轴方向运动的最大速度为vym＝4 m/s，则运动后4 s内质点运动的最大速度为2 m/s. (2)0～2 s内质点沿y轴正方向做匀加速直线运动，2～4 s内先沿y轴正方向做匀减速直线运动，再沿y轴负方向做初速度为零的匀加速直线运动，此过程加速度大小为a＝＝ m/s2＝3 m/s2 则质点沿y轴正方向做匀减速运动的时间t2＝＝ s 则由题图乙可知，运动后的4 s内沿y轴方向的位移 y＝×2× m－×4×(2－) m＝0 因此4 s末质点离坐标原点的距离等于沿x轴方向的位移 由题图甲可知，4 s末质点离坐标原点的距离s＝x1＝8 m. 5．风洞是研究空气动力学的实验设备。如图所示，将刚性杆水平固定在风洞内距地面高度H＝3.2 m处，杆上套一质量m＝3 kg，可沿杆滑动的小球。将小球所受的风力调节为F＝15 N，方向水平向左。小球以速度v0＝8 m/s向右离开杆端，假设小球所受风力不变，取g＝10 m/s2。求小球落地时的位移。 解析：小球在竖直方向做自由落体运动，竖直方向的位移H＝3.2 m 运动时间为t＝ ＝0.8 s 小球在水平方向做匀减速运动，加速度大小a＝＝5 m/s2 水平位移x＝v0t－at2＝4.8 m 合位移s＝＝ m。 答案： m 6．用如图甲所示的水平—斜面装置研究平抛运动。一物块(可视为质点)置于粗糙水平面上的O点，O点与斜面顶端P点的距离为s。每次用水平拉力F，将物块由O点从静止开始拉动，当物块运动到P点时撤去拉力F。实验时获得物块在不同拉力作用下落在斜面上的不同水平射程，作出了如图乙所示的图像。若物块与水平面间的动摩擦因数为0.5，斜面与水平地面之间的夹角θ＝45°，g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求O、P间的距离s。(保留两位有效数字) 解析：根据牛顿第二定律，在OP段有F－μmg＝ma， 又2as＝vP2， 由平抛运动规律和几何关系有 物块的水平射程x＝vPt， 物块的竖直位移y＝gt2， 由几何关系有y＝xtan θ， 联立以上各式可以得到x＝， 解得F＝ x＋μmg。 由题图乙知μmg＝5，＝10， 代入数据解得s＝0.25 m。 答案：0.25 m 7.如图所示，倾角θ＝37°、高h＝1.8 m的斜面体位于水平地面上，小球从斜面顶端A点以初速度v0水平向右抛出(此时斜面未动)，小球恰好落到斜面底端B点处。空气阻力忽略不计，取重力加速度g＝10 m/s2，tan 37°＝0.75。 (1)求小球平抛的初速度v0的大小； (2)若在小球水平抛出的同时，使斜面体在水平面上由静止开始向右做匀加速直线运动，经t2＝0.3 s小球落至斜面体上，求斜面体运动的加速度大小。 解析：(1)小球水平抛出后恰好落在斜面底端，设水平位移为x， h＝gt2 x＝v0t由几何知识可得tan θ＝ 联立并代入已知数据得v0＝4 m/s。 (2)如图所示，设经过t2＝0.3 s，斜面体运动的位移为x1，加速度大小为a，小球做平抛运动竖直位移为h2，水平位移为x2， x1＝at22 h2＝gt22 x2＝v0t2 由几何知识可得tan θ＝ 联立并代入已知数据得a＝ m/s2≈13.3 m/s2。 答案：(1)4 m/s　(2)13.3 m/s2 8．一滑雪运动员最开始在如图所示光滑倾斜圆轨道上，沿轨道中心线FA以速度v匀速运动。随后在A点滑离圆轨道，恰好落在三角形木支架上的B点，且速度沿BC方向。已知运动员滑行轨迹FA处于同一水平面内，倾斜圆轨道与水平面的夹角为α＝53°，AE、BD都在竖直方向，AE距离20 m。运动员的圆轨道半径r＝30 m，运动员及其装备质量为60 kg。BC与水平面夹角为θ，且tan θ＝。已知重力加速度g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，运动员可看成质点。求： (1)速度v大小； (2)BD及EC的距离； (3)若倾斜圆轨道粗糙，运动员离开A点速度大小是多少可以恰好落在C点？ [答案]　(1)20 m/s　(2)15 m　50 m (3)25 m/s [解析]　(1)对运动员在倾斜圆轨道上受力分析，如图所示 其做匀速圆周运动，可得向心力为 Fn＝mg·tan α Fn＝m 解得v＝20 m/s。 (2)在A点以v＝20 m/s做平抛运动，在B点相切于BC方向进入斜面，其中tan θ＝ 解得vy＝10 m/s 根据平抛运动规律可得vy＝gt 解得t＝1 s 水平方向上做匀速直线运动，故xED＝vt＝20 m 根据竖直方向上做自由落体运动可得 xBD＝xAE－gt2＝15 m 其中xCD＝＝30 m 故xEC＝xED＋xDC＝50 m。 (3)若恰好落在C点，则xEC＝vAt′ xAE＝gt′2 解得vA＝25 m/s 故运动员离开A点速度大小是25 m/s可以恰好落在C点。 9．图(a)是某小河的航拍照片，河道弯曲的主要原因之一可解释为：河道弯曲处的内侧与外侧河堤均受到流水重力产生的压强，外侧河堤还受到流水冲击产生的压强。小河某弯道处可视为半径为R的圆弧的一部分，如图(b)所示，假设河床水平，河水密度为ρ，河道在整个弯道处宽度d和水深h均保持不变，水的流动速度v大小恒定，d≪R，忽略流水内部的相互作用力。取弯道某处一垂直于流速的观测截面，求在一极短时间Δt内：(R、ρ、d、h、v、Δt均为已知量) (1)通过观测截面的流水质量Δm； (2)流水速度改变量Δv的大小； (3)外侧河堤受到的流水冲击产生的压强p。 [答案]　(1)ρdhv·Δt　(2)·Δt　(3) [解析]　(1)由题可知，极短时间Δt水流的距离Δl＝v·Δt 由于横截面积为S＝dh 可得水的质量Δm＝ρ·ΔV＝ρ·dhv·Δt。 (2)由于Δt极短，可以把水的运动简化为匀速圆周运动，根据匀速圆周运动的规律可知，其加速度为 a＝ 又因为a＝ 联立解得Δv＝·Δt。 (3)根据牛顿第二定律可得F＝Δm 联立上述结论，解得F＝ 水流与河堤作用的面积S′＝Δl·h＝vh·Δt 故外侧河堤受到的流水冲击产生的压强 p＝＝＝。 10．一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴OO′上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度L＝0.2 m，杆与竖直转轴的夹角a始终为60°，弹簧原长x0＝0.1 m，弹簧劲度系数k＝100 N/m，圆环质量m＝1 kg；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10 m/s2，摩擦力可忽略不计。 (1)若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离； (2)求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小； (3)求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。 [答案]　(1)0.05 m　(2) rad/s (3)10 rad/s [解析]　(1)当细杆和圆环处于平衡状态时，对圆环受力分析得T0＝mgcos α＝5 N 根据胡克定律F＝kΔx得Δx0＝＝0.05 m 弹簧弹力沿杆向上，故弹簧处于压缩状态，弹簧此时的长度即为圆环到O点的距离x1＝x0－Δx0＝0.05 m。 (2)若弹簧处于原长，则圆环仅受重力和支持力，其合力使得圆环沿水平方向做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律得＝mωr 由几何关系得圆环此时转动的半径为r＝x0sin α 联立解得ω0＝ rad/s。 (3)圆环处于细杆末端P时，对圆环受力分析，圆环受重力和支持力，弹簧伸长，弹力沿杆向下。根据胡克定律得T＝k(L－x0)＝10 N 圆环在竖直方向受力平衡，水平方向由合力提供向心力，则有mg＋Tcos α＝FNsin α，Tsin α＋FNcos α＝mω2r′ 由几何关系得r′＝Lsin α 联立解得ω＝10 rad/s。 11．如图，轻杆长2l，中点装在水平轴O上，两端分别固定着小球A和B(均可视为质点)，A球质量为m，B球质量为2m，重力加速度为g，两者一起在竖直平面内绕O轴做圆周运动。 (1)若A球在最高点时，杆的A端恰好不受力，求此时B球的速度大小； (2)若B球到最高点时的速度等于第(1)问中的速度，求此时O轴的受力大小和方向； (3)在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？若不能，请说明理由；若能，求出此时A、B球的速度大小。 [答案]　(1)　(2)2mg　方向竖直向下　(3)能；当A、B球的速度大小为时，O轴不受力 [解析]　(1)A在最高点时，对A根据牛顿第二定律得mg＝m， 解得vA＝， 因为A、B两球的角速度相等，半径相等， 则vB＝vA＝。 (2)B在最高点时，对B根据牛顿第二定律得2mg＋FTOB′＝2m 代入(1)中的vB，可得FTOB′＝0 对A有FTOA′－mg＝m 可得FTOA′＝2mg 根据牛顿第三定律，O轴所受的力大小为2mg，方向竖直向下。 (3)要使O轴不受力，根据B的质量大于A的质量，设A、B的速度为v，可判断B球应在最高点 对B有FTOB″＋2mg＝2m 对A有FTOA″－mg＝m O轴不受力时有FTOA″＝FTOB″ 联立可得v＝ 所以当A、B球的速度大小为时，O轴不受力。 12．如图甲是某游乐场中水上过山车的实物图片，图乙是其原理示意图。在原理图中半径为R＝8 m的圆形轨道固定在离水面高h＝3.2 m的水平平台上，圆轨道与水平平台相切于A点，A、B分别为圆形轨道的最低点和最高点。过山车(实际是一艘带轮子的气垫小船，可视作质点)高速行驶，先后会通过多个圆形轨道，然后从A点离开圆轨道而进入光滑的水平轨道AC，最后从C点水平飞出落入水中，整个过程刺激惊险，受到很多年轻人的喜爱。已知水面宽度为s＝12 m，假设运动中不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，结果可保留根号。 (1)若过山车恰好能通过圆形轨道的最高点B，则其在B点的速度为多大？ (2)为使过山车安全落入水中，则过山车在C点的最大速度为多少？ (3)某次运动过程中乘客在圆轨道最低点A对座椅的压力为自身重力的3倍，则过山车落入水中时的速度大小是多少？ [答案]　(1)4 m/s　(2)15 m/s (3)4 m/s [解析]　(1)过山车恰好过最高点对，只受重力，有mg＝m 则vB＝＝4 m/s。 (2)离开C点后做平抛运动，由h＝gt2 运动时间为t＝0.8 s 故最大速度为vm＝＝15 m/s。 (3)在圆轨道最低点有FN－mg＝m 解得vA＝＝4 m/s 过山车从C处做平抛运动，落水时竖直速度为 vy＝gt＝8 m/s 则落水速度为v＝＝4 m/s。 13.如图所示，在光滑的圆锥体顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°，小球以速率v绕圆锥体轴线做水平圆周运动。 (1)当v1＝ 时，求细线对小球的拉力； (2)当v2＝ 时，求细线对小球的拉力。 解析：小球离开圆锥面的临界条件为圆锥体对小球的支持力FN＝0，如图1所示，设此时小球的线速度为v0，则F＝ma＝m＝m＝mgtan 30° 解得v0＝ (1)因v1＜v0，FN≠0，对小球受力分析，如图2所示，有Tsin 30°－FNcos 30°＝ Tcos 30°＋FNsin 30°＝mg 解得T＝。 (2)因v2＞v0，小球离开斜面，对小球受力分析，如图3所示，有T′sin α＝ T′cos α＝mg 解得T1′＝2mg，T2′＝－mg(舍去)。 答案：(1)　(2)2mg 14．用光滑圆管制成如图所示的轨道，竖直立于水平地面上，其中ABC为圆轨道的一部分，CD为倾斜直轨道，二者相切于C点。已知圆轨道的半径R＝1 m，倾斜轨道CD与水平地面的夹角为θ＝37°。现将一小球以一定的初速度从A点射入圆管，小球直径略小于圆管的直径，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求小球通过倾斜轨道CD的最长时间(结果保留一位有效数字)。 解析：小球通过倾斜轨道时间若最长，则小球到达圆轨道的最高点的速度为0，从最高点到C点： 对小球由动能定理可得：mgh＝mvC2 由几何关系得：h＝R－Rcos θ 小球在CD段做匀加速直线运动，由位移公式得： L＝vCt＋at2 CD的长度为：L＝ 对小球利用牛顿第二定律可得： mgsin θ＝ma 代入数据联立解得：t＝0.7 s。 答案：0.7 s 15．如图所示，餐桌中心是一个半径为r＝1.5 m的圆盘，圆盘可绕中心轴转动，近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘间的动摩擦因数为μ1＝0.6，与餐桌间的动摩擦因数为μ2＝0.225，餐桌离地面的高度为h＝0.8 m。设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2。 (1)为使物体不滑到餐桌上，圆盘的角速度ω的最大值为多少？ (2)缓慢增大圆盘的角速度，物体从圆盘上甩出，为使物体不滑落到地面上，餐桌半径R的最小值为多大？ (3)若餐桌的半径R′＝r，则在圆盘角速度缓慢增大时，物体从圆盘上被甩出后滑落到地面上的位置到从圆盘甩出点的水平距离L为多少？ 解析：(1)由题意可得，当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时，圆盘对小物体的静摩擦力提供向心力，所以随着圆盘转速的增大，小物体受到的静摩擦力增大。当静摩擦力最大时，小物体即将滑落，此时圆盘的角速度达到最大，有fm＝μ1N＝mω2r，N＝mg， 联立两式可得ω＝ ＝2 rad/s。 (2)由题意可得，当物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零，对应的餐桌半径取最小值。设物体在餐桌上滑动的位移为s，物体在餐桌上做匀减速运动的加速度大小为a，则 a＝，f＝μ2mg，得a＝μ2g＝2.25 m/s2， 物体在餐桌上滑动的初速度v0＝ωr＝3 m/s， 由运动学公式得0－v02＝－2as，可得s＝2 m， 由几何关系可得餐桌半径的最小值为R＝＝2.5 m。 (3)当物体滑离餐桌时，开始做平抛运动，平抛的初速度为物体在餐桌上滑动的末速度vt′，由题意可得vt′2－v02＝－2as′， 由于餐桌半径为R′＝r，所以s′＝r＝1.5 m， 可得vt′＝1.5 m/s， 设物体做平抛运动的时间为t，则h＝gt2 ， 解得t＝ ＝0.4 s， 物体做平抛运动的水平位移为sx＝vt′t＝0.6 m， 由题意可得L＝s′＋sx＝2.1 m。 答案：(1)2 rad/s　(2)2.5 m　(3)2.1 m 1 学科网（北京）股份有限公司 $