专题04 全等三角形 常考八大模型突破-2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以八大模型（平移、翻折、旋转等）为框架，系统整合全等三角形判定与构造方法，通过典型例题强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平移型|4题|利用共线/平行证等角|从基本全等判定延伸到图形平移变换| |翻折型|4题|角平分线性质与对称构造|结合轴对称性质构建全等条件| |旋转型|4题|旋转角转化与边等角等|通过旋转不变性推导全等关系| |一线三等角型|5题|三垂直模型与线段和差|从直角推广到任意角的三等角构造| |手拉手模型|4题|公共顶点等腰三角形旋转|基于等线段共顶点的全等判定| |半角模型|4题|截长补短与旋转拼接|通过半角条件转化线段关系| |对角互补模型|3题|角平分线+互补角构造|利用互补条件推导边等关系| |倍长中线法模型|6题|中线延长构造全等|中点条件下的线段转移与等量代换|

专题04 全等三角形常考八大模型突破 【题型01：平移型】 【题型02：翻折型】 【题型03：旋转型】 【题型04：一线三等角型】 【题型05：手拉手模型】 【题型06：半角模型】 【题型07：对角互补模型】 【题型08：倍长中线法模型】 【题型01：平移型】 1．如图，，，点，，，在一条直线上，且，．求证：． 2．如图，．求证：． 3．如图和中，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 4．点A，D，B，E共线，，，．若，，求． 【题型02：翻折型】5．如图，点在的角平分线上，、分别在、上，且．求证：． 6．晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因而有了“风筝”的名字．如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中，是风筝的支架且，，． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 7．如图，，，求证：． 8．如图，在和中，，，P是上任意一点，试说明： (1) (2) 【题型03：旋转型】 9．在四边形中，，连接，且，在对角线上取点E，使，连接． (1)求证：； (2)若平分，且，，求的周长． 10．如图，在中，点在上，点在外，连结，，，交于点，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 11．如图，，，． (1)证明：． (2)若，平分，求的度数． 12．如图，在中，．点在外，连接，作于点，交于点，，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型04：一线三等角型】 13．在中，，直线经过点，且于．于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 14．如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E，此时点C到的距离；当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． (1)请你直接判断与是否相等？ (2)求证：； (3)求的长． 15．一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型． (1)如图1，在中，，点在直线上，过点作于点，过点作于点，由得___________．又知道，可以推理得到，进而得到___________． (2)当图1中的直线绕点旋转到图2的位置时，求证：． (3)当图1中的直线绕点旋转到图3的位置时，请直接写出．之间的数量关系：___________． (4)如图4，若将（1）中的条件改为：在中，， D，A，E三点都在直线上，且满足，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 16．已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于H．求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M．求证：； (3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，则_____． 17．（1）如图①，在中，，，直线经过点A．且直线．直线，垂足分别为点D，，试猜想有怎样的数量关系，请写出并说明理由． （2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有（其中为任意锐角或钝角），（1）中的结论如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图③．在平面直角坐标系中．，是等腰直角三角形．，请直接写出点B的坐标_________． 【题型05：手拉手模型】 18．【综合与探究】 在和中，，，，连接，． (1)【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 19．综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】 (1)小红看到图1后，很快发现了与间的数量与位置关系，它们的关系为 ___________． 【探究二】 (2)小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】 (3)小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． 20．如图，在和中，，交于点P． (1)求证：． (2)若，求的度数． 21．已知：如图，与中，，，． (1)如图1，，相交于点M，连接． ①求证：； ②求的度数（用含n的式子表示）； (2)如图2，当时，分别取，的中点P，Q，连接，和，判断的形状，并加以证明． 【题型06：半角模型】 22．在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，根据三角形全等的条件，可以得到，从而根据三角形全等的性质得到，由，进而得到，这样，就可以根据三角形全等的条件，确定，则可得到、、之间的数量关系是 ． 【探索延伸】 (2)如图2，在四边形中，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 23．已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段 的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①，当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明________；即可得出线段 之间的数量关系是________． (2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． 24．解答下列问题： (1)【观察猜想】如图1，在四边形中，，，，，小王同学想探究线段，，之间的数量关系． 他的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，请你帮小王同学写出得到的结论：________． (2)【探索延伸】如图2，在四边形中，，，，四边形面积的最大值，并说明理由． (3)【实际应用】如图3，延安红色旅游景区的步道规划过程中，在游客中心点处观测到：红色文化广场在点的北偏西方向，革命旧址在点的南偏东方向，且两处景点到游客中心的距离均为，红色旅游专线开通后，1号观光车从点出发向正东方向以/分的速度行驶，同时2号观光车从点出发沿北偏东的方向以/分的速度行驶，15分钟后分别到达、处（观光车停车点），按景区规划要求，请你尝试求出观光车从游客中心出发，沿绕景区一圈的总路线长度． 25．先阅读材料，再结合要求回答问题． （1）如图1，在四边形中，，．，分别是，上的点，且线段，，满足．试探究图中与之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到，使，连结．显然可得出．请你按照小王同学的方法证明这个结论． 【灵活应用】 （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且满足，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【题型07：对角互补模型】 26．我们知道，角的平分线有很多特殊的性质.例如： (1)如图①，已知是的平分线，点A是上一点，若，则可以得到，请说明理由； (2)发现规律：连结，则是等腰三角形．如图②，在等腰三角形底边的另一侧存在一点D，当时，请直接写出与的数量关系． (3)请解决下列问题：如图③，等腰中，，D是外一点，，且，求证：． 27．（1）如图1，平分．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 28．【感知】如图①，平分，，，易知． 【探究】（1）如图②，平分，，，试说明：； 【应用】（2）如图③，在四边形中，平分，，，，且，则_________（用含a的代数式表示）． 【题型08：倍长中线法模型】 29．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． (1)求证：． 证明：延长到点E，使， 在和中， ∵（已作）， （ ）， （中点定义）， ∴（ ）； (2)[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [问题解决] 如图，中，，，是的中线，，，且，求的长． 30．【方法呈现】 （1）如图①：在 中，若，点D为边的中点.求边上的中线的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接，可证，从而把（即）集中在中，利用三角形三边的关系可求出的取值范围，从而可求出中线的取值范围是 （直接写出范围即可）.这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； 【探究应用】 （2）如图②：在 中，点D是的中点，平分，判断与的大小关系，并证明. 【问题拓展】 （3）如图③：在四边形中， ，与的延长线交于点F.点E是的中点，若是的角平分线. 若，求的长. 31.（1）如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是__________（请直接写出答案）． （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，连接，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．试探究并直接写出：和的数量关系和位置关系． 32．（1）如图1，在四边形中，，点E是中点，若是的平分线，可判断：之间的等量关系是__________；    （2）如图2，在四边形中，，，点E是边的中点，，，，求的长； （3）如图3，在四边形中，，点N是延长线上一点，连接，点M是的中点，且平分，试探究之间的数量关系，并证明你的结论． 33．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考：      （1）由已知和作图能得到的理由是______． A．    B．    C．    D． （2）求得的取值范围是______． A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【方法应用】 （3）如图，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想；    【拓展延伸】 （4）如图，已知，点E是的中点，点D在线段上，，若，，求出线段的长． +   34．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是： ； (2)如图2，，，．点D为的中点，求证：； (3)如图3，四边形，对角线，相交于点E，点F是边的中点，，，试探索与的数量关系，并证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题04全等三角形常考八大模型突破 只题型归纳 【题型01：平移型】 【题型02：翻折型】 【题型03：旋转型】 【题型04：一线三等角型】 【题型05：手拉手模型】 【题型06：半角模型】 【题型07：对角互补模型】 【题型08：倍长中线法模型】 专题训练 【题型01：平移型】 1.如图，AB⊥BD,AB‖CD,点B,F,E,D在一条直线上，且BF=DE, AE=CF.求证：AB=CD 【答案】证明：BF=DE, .BF+EF=DE+EF,BE=DF, AB⊥BD,AB‖CD .∠B=∠D=90°， 在Rt△ABE和Rt△CDF中， AE=CF BE=DF :Rt△ABE≌Rt△CDF(HL), ..AB=CD 【分析】根据线段的和差关系得出BE=DF,根据平行线的性质得出∠B=∠D=90° 进而得出Rt△ABE≌Rt△CDF(HL),根据全等三角形的性质即可得出AB=CD 【详解】略 2.如图，AD=BC,∠ADC=∠BCD.求证：∠BAC=∠ABD 【答案】证明：在△ADC和△BCD中， AD=BC ∠ADC=∠BCD DC=CD .△ADC≌△BCD(SAS), ..AC=BD; 在△ADB和△BCA中， AD=BC BD=AC AB=BA .△ADB≌△BCA(SSS), .∠BAC=∠ABD 【分析】根据已知条件AD=BC,∠ADC=∠BCD,且DC为公共边，即可由SAS得 到△ADC和△BCD全等，再由全等三角形对应边相等可得AC=BD:由SSS得到 △ADB和△BCA全等，再由全等三角形对应角相等即可得出结论。 【详解】略。 3.如图△ABC和△就中，点B,E,C,F在一条直线上，BE=CF,AB=DE, AC=DF.求证：∠A=∠D, B E 【答案】证明：BE=CF, ∴.BE+EC=CF+EC .'BC=EF, 在△ABC和△U中， AB=DE AC=DF BC=EF ∴△ABC≌△SSS, ∴.∠A=∠D 【分析】通过SSS证明△ABC≌△乙即可； 【详解】略 4.点A,D,B,E共线，AD=BE,AC=DF,BC=EF.若∠A=55°，∠E=45°， 求∠F. 【答案】80 【分析】利用SSS可证△ABC≌△g就，根据全等三角形的性质可得： ∠A=∠FDE=55°，利用三角形内角和定理即可求出∠F的度数. 【详解】解：，AD=BE ∴.AD+BD=BE+BD, 即AB=DE, △ABC和△乙中， AB=DE AC=DF BC=EF .△ABC≌△(SSS), ∴.∠A=∠FDE=55°， .∠F=180°-（∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°）=80° 【题型o2:翻折型】5.如图，点C在∠EAF的角平分线上，B、D分别在AE、AF上， 且AB=AD.求证：BC=CD, 【答案】证明：.'AC平分∠EAF, ∴.∠BAC=∠DAC, AB=AD 在△ABC和△ADC中， BAC=∠DAC AC=AC ∴.△ABC≌△ADC SAS, ∴.BC=DC. 【分析】证明△ABC≌△ADC,根据全等三角形的性质即可得到答案. 【详解】略 6.晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因而有了“风筝”的名字. 如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中AC,BD是风筝的支架且AC⊥BD, AD=CD.AB=CB. (1)求证：△AOD2△COD: (2)若AO=25cm,BD=72cm,求四边形ABCD的面积」 【答案】(1)证明：.AC⊥BD ∴.∠AOD=∠COD=90°， 4 AD=CD, ∴.∠DAO=∠DCO, 在△AOD和△COD中， ∠AOD=∠COD ∠OAD=∠OCD AD=CD .△AOD≌△COD|AAS: (2)1800cm2 【分析】本题考查垂线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式，熟练掌握 相关性质是解题的关键 (1)根据垂线的定义得到∠AOD=∠COD=90°，再利用等腰三角形的性质得到 ∠DAO=∠DCO,利用“AAS”的判定方法进行证明即可： (2)根据全等三角形的性质得到CO=AO,进而求出AC长，利用四边形ABCD的面 1 积等于S△Am+Sa8c2×ACx BDi进行求解即可. 【详解】(1)略： (2)解：由(1)知，△COD≌△AOD, ∴.C0=AO=25cm, ∴.AC=2AO=2×25=50cm, .四边形ABCD的面积为： 5aAm+SaA=×ACxD0+号×AC×B0=2×ACxD0+B01=2×AC×BD=2×50x72=180 1 7.如图，OA=OC,OB=OD,求证：ABCD. 【答案】 证明：在△AOB和△DOC中 OA=OC ∠AOB=∠COD OB=OD .△AOB≌△COD(SAS), ∴.∠B=∠D, ∴.AB‖CD 【分析】由SAS可判定△AOB≌△COD,由全等三角形的性质得∠B=∠D,即可 得证， 【详解】略 8.如图，在△ABC和△DCB中，∠1=∠2，∠3=∠4，P是BC上任意一点，试说明： B (1)△ABC≌△DCB (2)PA=PD 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是 解题的关键。 (1)根据题意∠1=∠2，∠3=∠4，根据ASA进行判定即可： (2)由(1)可得△ABC≌△DCB(ASA),得到AC=CD,证明 △PAC≌△PDC(SAS),即可得到答案 【详解】(1)证明：在△ABC和△DCB中， ∠1=∠2 BC=BC ∠3=∠4 ∴.△ABC≌△DCB(ASA: (2)证明：.'△ABC≌△DCB(ASA) ∴.AC=CD 在△PAC和△PDC中， AC=CD ∠3=∠4 PC=PC 6 .△PAC≌△PDC(SAS), ∴.PA=PD 【题型03：旋转型】 9.在四边形ABCD中，AD‖BC,连接AC,且AC=BC,在对角线AC上取点E, 使CE=AD,连接BE (1)求证：△DAC≌△ECB: (2)若CA平分∠BCD,且AD=3,AC=5,求△BEC的周长. 【答案】(1)证明：AD‖BC, ∴∠DAC=∠ECB, 在△DAC和△ECB中， AD=CE DAC=∠ECB, AC=BC ∴.△DAC≌△ECB SAS: (2)11 【分析】(1)根据题意找出全等条件即可： (2)根据平行及角的关系说明CD=DA,进而求出CE,即可得到△BEC的周长， 【详解】(1)略： (2)解：.CA平分∠BCD '.∠ECB=∠DCA, 由(1)可知∠DAC=∠ECB, ∴.∠DAC=∠DCA, ∴.CD=DA=3 .'△DAC≌△ECB, ∴.BE=CD=3. ,∵AC=BC=5,CE=AD=3, ∴.△BEC的周长=BE+EC+BC=3+3+5=11, 即△BEC的周长是11. 10.如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在△ABC外，连结AD,AE,DE,DE交 AB于点F,∠DAB=∠EAC,∠B=∠D,AD=AB (1)求证：△ABC≌△ADE. (2)若∠EAC=30°，∠BAE=35°，求∠D的度数. 【答案】(1).·∠DAB=∠EAC, ∴.∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE, .∴.∠DAE=∠BAC, 又.AD=AB,∠D=∠B, .∴.△ABC≌△ADE ASA: (2)40° 【分析】(1)利用“角边角”即可证明△ABC≌△ADE: (2)根据全等三角形的性质可得AE=AC,再由等腰三角形的性质可得 ∠AEC=∠C=75°，即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：.'△ABC≌△ADE, ∴.AE=AC, ∴.∠AEC=∠C, 又，∠EAC=30°， .∴.∠AEC=∠C=75°， 又.'∠BAE=35°， .∠BAC=65°， .∴.∠B=180°-∠BAC-∠C=40°， .∠B=∠D=40°. 11.如图，AB=AD,∠C=∠E=90°，∠EAC=∠DAB. (1)证明：AC=AE」 (2)若AE=BC,AD平分∠BAC,求∠CFA的度数. 【答案】(1)证明：，'∠EAC=∠DAB, ∴.∠EAC+∠CAF=∠DAB+∠CAF, .∴.∠EAD=∠CAB, 在△AED与△ACB中， ∠AED=∠ACB ∠EAD=∠CAB, AD=AB .∴.△AED≌△ACBAAS, .∴.AC=AE: (2)67.5° 【分析】(1)利用AAS证明△AED≌△ACB,即可证明AC=AE: (2)根据(1)可证明AC=BC,则可推出∠CAB=∠CBA=45°，再由角平分线 的定义得到∠CAF=22.5°，根据直角三角形两锐角互余可得答案， 【详解】(1)略 (2)解：由(1)知AC=AE, AE=BC, .∴.AC=BC ∴.∠CAB=∠CBA, ,‘在△ABC中，∠CAB+∠CBA+∠C=180°，且∠C=90°， .∠CAB=∠CBA=45°， .AD平分∠CAB ∴.∠CAF=22.5 .∴.∠CFA=90°-22.5=67.5° 12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°.点D在△ABC外，连接AD,作DE⊥AB于点 E,交BC于点F,AD=AB,AE=AC,连接AF. B (1)求证：CF=EF: (2)若BF=5,CF=2,求DF的长. 【答案】(1)证明见解析 (29 【分析】(1)证明Rt△AEF≌Rt△ACF HL即可： (2)证Rt△AED≌Rt△ACBHL,利用全等三角形的性质证明DE=BC,结合 EF=CF即可求解. 【详解】(1)证明：，∠ACB=90°，DE⊥AB, ∴，∠ACB=∠AEF=90, 在Rt△AEF和Rt△ACF, AF=AF AE=AC :.Rt△AEF≌Rt△ACF HL, ∴.EF=CF (2)证明：：∠ACB=90°，DE⊥AB, ∴.∠ACB=∠AED=90°， 在Rt△AED和Rt△ACB, AD=AB AE-AC .Rt△AED≌Rt△ACB HL, .DE=BC. .BF=5,CF=2, ..BC=BF+CF=7,EF=CF=2. ..DE=BC=7, ∴DF=DE+EF=9 10 【题型04：一线三等角型】 13.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D. BE⊥MN于E. M D E 图1 图2 图3 (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE: (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE: (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？ 请写出这个等量关系，并加以证明 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)DE=BE-AD'证明见解析 【分析】(1)证明△ADC≌△CEB AAS,可得AD=CE,CD=BE,即可求证： (2)证明△ADC≌△CEB(AAS,可得AD=CE,CD=BE,即可求证： (3)证明△ADC≌△CEBAAS,可得AD=CE,CD=BE,即可解答 【详解】(1)证明：，AD⊥MN,BE⊥MN, .∠ADC=∠CEB=90, .∠DAC+∠ACD=90°， ,∠ACB=90°， ∴.∠ACD+∠BCE=90°， ∴.∠DAC=∠BCE, 在△ACD和△CBE中， ,∠ADC=∠CEB=90°，∠DAC=∠BCE,AC=BC, ∴△ADC≌△CEB AAS, ∴，AD=CE,CD=BE, 11 .DE=CD+CE, ..DE=AD+BE: (2)证明：，AD⊥MN,BE⊥MN, ∴.∠ADC=∠CEB=90°， ∴，∠DAC+∠ACD=90°， ,∠ACB=90°， .∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠DAC=∠BCE. 在△ACD和△CBE中， :∠ADC=∠CEB=90°，∠DAC=∠BCE,AC=BC, .△ADC≌△CEBAAS, ∴.AD=CE,CD=BE, .DE=CE-CD. .DE=AD-BE: (3)解：DE=BE-AD,证明如下： :AD⊥MN,BE⊥MN, :∠ADC=∠CEB=90, .∠DAC+∠ACD=90°， :∠ACB=90, .∠ACD+∠BCE=90° ∴，∠DAC=∠BCE, 在△ACD和△CBE中， .∠ADC=∠CEB=90°，∠DAC=∠BCE,AC=BC, ∴.△ADC≌△CEBAAS, .AD=CE,CD=BE, DE=CD-CE. .DE=BE-AD 14.如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面 垂直，秋千的转轴O到地面的距离OA=3m;乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最 高点C时，过点C作CE⊥OA于点E,此时点C到OA的距离CE=2m;当乐乐从C 12 处摆到B处时，则有BO⊥CO,过点B作BD⊥OA于点D. 25 777777777777777777777 (1)请你直接判断OB与OC是否相等？ (2)求证：∠BOD=∠OCE: (3)求AD的长， 【答案】(1)OB=OC (2) 证明：：CE⊥OA于点E,BO⊥CO于点O,BD⊥OA于点D, :.∠BDO=∠OEC=∠BOC=90°， ,∠BOD+∠COE=90°，∠OCE+∠COE=90°， ∴.∠BOD=∠OCE: 3)1m 【分析】(1)由OB与OC表示相同的秋千绳，可知OB=OC: (2)根据垂直，结合角的互余关系可推导∠BOD=∠OCE; (3)根据“AAS”证明△BOD≌△OCE,得到OD的长为2m,进而得出AD即可. 【详解】(1)解：OB=OC, 理由：，OB与OC表示相同的秋千绳， ∴OB=OC: (2)略 (3)解：在△BOD和△OCE中， ∠BOD=∠OCE ∠BDO=∠OEC OB=CO .△BOD≌△OCE(AAS), ∴.OD=CE=2m, .OD的长为2m, 13 ..AD=OA-OD=3-2=1m. 15.一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线 的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型. M B D 图1 图2 图3 B 图4 (1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点A在直线MN上，过点B作 BD⊥MN于点D,过点C作CE⊥MN于点E,由 ∠DAB+∠DBA=90',∠DAB+∠CAE=90得∠DBA= 又知道 ∠BDA=∠AEC,AB=AC,可以推理得到△ABD≌△CAE,进而得到 AD=CE,AE= (2)当图1中的直线MN绕点A旋转到图2的位置时，求证：DE=BD-CE (3)当图1中的直线MN绕点A旋转到图3的位置时，请直接写出DE,BD,CE.之 间的数量关系： (4)如图4，若将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直 线MN上，且满足∠BDA=∠BAC=∠AEC=Q,其中C为任意锐角或钝角，请问 结论△ABD≌△CAE是否成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由. 【答案】(1)∠EAC,BD (2) 证明：，'BD⊥MN,CE⊥MN,∠BAC=90 ∴.∠BAC=∠BDA=∠CEA=90 14 .∴.∠BAD+∠CAE=90 ∠BAD+∠ABD=90° .∴.∠ABD=∠CAE 在△ABD和△CAE中 ∠ABD=∠CAE ∠ADB=∠CEA AB=CA .'.△ADB≌△CEA AAS .∴.AD=CE,AE=BD .∴.DE=AE-AD=BD-CE (3)DE=CE-BD (4) △ABD≌△CAE成立，理由如下： .∠ABD+∠ADB+∠BAD=180 ∠CAE+∠CAB+∠BAD=180 ∠ADB=∠CAB ∴.∠ABD=∠CAE 在△ABD和△CAE中 ∠ABD=∠CAE ∠ADB=∠CEA AB=CA .∴.△ADB≌△CEAAAS 【分析】本题考查了几何变换综合题，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定， 熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键，在证明线段的和与差时，利用全等三角 形将线段转化到同一条直线上得出结论， (1)由垂直得∠ADC=∠BEC=90°，由同角的余角相等得∠DAC=∠BCE,因 此根据AAS可以证明△ABD≌△CAE,结合全等三角形的对应边相等证得结论： (2)根据全等三角形的判定定理AAS推知△ABD≌△CAE,然后由全等三角形的 对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得DE=BD-CE； (3)同理(2)可得AD=CE,AE=BD,进而即可得出DE=AD-AE=CE-BD: (4)同理(1)可以证明∠ABD=∠CAE,根据全等三角形的判定定理AAS推知 △ABD≌△CAE 15 【详解】(1)证明：，BD⊥MN,CE⊥MN,∠BAC=90°， .∴.∠BAC=∠BDA=∠CEA=90 ∴.∠BAD+∠CAE=90 ∠BAD+∠ABD=90 .∠ABD=∠CAE 在△ABD和△CAE中 ∠ABD=∠CAE ∠ADB=∠CEA AB=CA .∴.△ADB≌△CEA AAS .∴.AD=CE,AE=BD, (2)略 (3)DE=CE-BD, 同理(2)可得：AD=CE,AE=BD, ∴.DE=AD-AE=CE-BD (4)略 16.已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB,D为直线BC上一动点，连接AD,在 直线AC右侧作AE⊥AD,且AE=AD. D C 图1 图2 备用图 (1)如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EH⊥AC于H.求证：EH=AC: (2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M.求证： BM=EM: 3)当点D在直线BC上时，连接BE交直线AC于M,若2AC=5CM?则AAE= SAEM 【答案】(1) 16 证明：：AE⊥AD,∠ACB=90°， :∠EAH=90°-∠CAD,∠ADC=90°-∠CAD, .∠EAH=∠ADC :∠AHE=∠ACB=90°，AE=AD, ,△AHE≌△DCA AAS, ∴.EH=AC: (2) 证明：过点E作EN⊥AC,交CA延长于点N, N-- B ,AE⊥AD,∠ACB=90°， ∴.∠EAN=90°-∠CAD,∠ADC=90°-∠CAD. ∴.∠EAN=∠ADC ,∠ANE=∠DCA=90°，AE=AD, .△ANE≌△DCA AAS, .EN=AC, .AC=BC, ∴.AC=EN=BC :∠EMN=∠BMC,∠N=∠BCA=90°， ∴.△ENM≌△BCMAAS, ∴.BM=EM; 暗号 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用，采用 分类讨论的思想是解此题的关键， (1)证明△AHE≌△DCA AAS,即可得证： (2)过点E作EN⊥AC,交CA延长于点N,先证明△ANE≌△DCA AAS,得 17 出EN=AC,再证明△ENM≌△BCMAAS),即可得证： (3)分三种情况：当点D在线段BC上：当点D在线段CB的延长线上，过点E作 EN⊥AC,交AC的延长线于点N:当点D在线段BC的延长线上；分别求解即可得 出结果 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：当点D在线段BC上， .2AC=5CM, ∴.设AC=5a,CM=2a, 由(1)得△AHE≌△DCA,则AH=CD,EH=AC=BC=5a. :∠EHM=∠BCM=90°，∠BMC=∠EMH, ∴△MHE≌△MCBAAS, .CM=HM,即HM=CM=2a, ..AH=AC-CM-HM=5a-2a-2a=a. .AM=AH+HM=3a,CD=AH=a,EH=AC=5a,BD=BC-CD=4a, 1BD×AC 三×4a×5a 4 S△AEM AMX阴 2×3ax5a 3 当点D在线段CB的延长线上，过点E作EN⊥AC,交AC的延长线于点N, .2AC=5CM. ,设AC=5a,CM=2a, ,EN⊥AC,AE⊥AD, ∴.∠ANE=∠EAD=∠ACB=90, ∴.∠EAN=90°-∠CAD,∠ADC=90°-∠CAD .∠EAN=∠ADC .∠ANE=∠DCA=90°，AE=AD, ,△ANE≌△DCA AAS, .EN=AC,AN=CD. ..AC=BC. ∴.EN=BC ,∠EMN=∠BMC,∠N=∠BCM=90°， ∴.△ENM≌△BCMAAS, ..CM=NM=2a,NE=BC=AC=5a, ∴.AN=AC+CM+NM=9a, .AM=AC+CM=7a,AN=CD=9a. ..BD=4a, D×AC 1×4a×5a SAAEM AM EN ×7ax5a > 2 当点D在线段BC的延长线上，得AC<CM, “.2AC=5CM不可能，舍去 综上所述，S△ADB的值为4或4， SAEM 37 17.(1)如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线m经过点A.且BD⊥ 直线m.CE⊥直线m,垂足分别为点D,E,试猜想DE,BD,CE有怎样的数量关系， 请写出并说明理由. (2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在 直线m上，并且有∠BDA=∠BAC=∠AEC=Q(其中a为任意锐角或钝角)， (1)中的结论如果成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由 (3)如图③.在平面直角坐标系中.A-1,0,C1,3,△ABC是等腰直角三角形. ∠ACB=90°，AC=BC,请直接写出点B的坐标 19 B y m A 图① 图② 图③ 【答案】 (1)解：DE=BD+CE,理由如下， .BD⊥AD .∠ABD+∠BAD=90°， .∠BAC=90°， ∴.∠CAE+∠BAD=90, .∴.∠ABD=∠CAE, 在△ABD和△CAE中， ∠ADB=∠CEA=90· ∠ABD=∠CAE AB=CA .△ABD≌△CAE AAS, ∴.BD=AE,AD=CE ∴.DE=AE+AD=BD+CE; (2)解：DE=BD+CE结论成立；理由如下： .∠BAD+∠CAE=180°-∠BAC, ∠BAD+∠ABD=180°-∠ADB,∠BDA=∠BAC, ∴.∠ABD=∠CAE, 在△BAD和△ACE中， ∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠AEC AB=AC ∴.△BAD≌△ACE(AAS), .∴.BD=AE,AD=CE ∴.DE=DA+AE=CE+BD: (3)B4,1 20 【分析】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定与性质、坐标与图形性 质、等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，本题综合性强，掌握全等 三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型 (1)证△ABD≌△CAE AAS,得AE=BD,AD=CE,即可得出结论： (2)证△ABD≌△CAE(AAS),得AE=BD,AD=CE,即可得出结论： (3)过C作CD⊥X轴于点D,过B作BE⊥CD于点E,证明 △ADC≌△CEB AAS,得出CE=AD=2,BE=CD=3,求出 DE=CD-CE=3-2=1,即可得出结论. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图③，过C作CD⊥x轴于点D,过B作BE⊥CD于点E, Eh---- 9.A-1,0,C1,3 D 图③ ..OA=OD=1,CD=3, .AD=1+1=2, ,∠ADC=∠BEC=∠ACB=90° ∴.∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°， ,∠ACD=∠CBE, .AC=BC, .△ADC≌△CEBAAS. ∴.CE=AD=2,BE=CD=3, .∴.DE=CD-CE=3-2=1, .·点B的坐标4,1 故答案为：4,1. 【题型05：手拉手模型】 21 18.【综合与探究】 图1 图2 在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD,连接AC,BD (1)【模型呈现】如图1，A,O,D三点共线，试判断AC与BD的数量关系，并说明 理由； (2)【模型应用】如图2，设AC,BD相交于点P,AC,OB相交于点Q,若 ∠AOB=50°，求∠APD的度数. 【答案】(1)AC=BD,理由如下： ,∠AOB=∠COD ∴.∠AOB+∠COB=∠COD+∠COB ,,∠AOC=∠BOD OA=OB 在△AOC和△BOD中， ∠AOC=∠BOD OC=OD ∴.△AOC≌△BOD SAS, ∴.AC=BD (2)130° 【分析】(1)利用SAS证明三角形全等，即可得到AC与BD的数量关系： (2)由全等三角形的性质，可得∠OAC=∠OBD,根据三角形的内角和，求出 ∠BPQ=∠AOQ=50°，根据平角的定义，即可求出∠APD. 【详解】(1)略 (2)解：由(1)可得，△AOC≌△BOD SAS, ∴.∠OAC=∠OBD, 在△AOQ和△BPQ中，∠BQP=∠AQO,∠OAQ=∠QBP, ∴.∠BPQ=∠AOQ=50° :.∠APD=180°-∠BPQ=180°-50°=130° 19.综合与探究 22 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，△AOB和△COD都是等腰直角三角形（∠AOB=∠COD=90°，OA=OB, OC=OD),且这两个三角形的顶点O重合，连接AD,BC.请你认真阅读下面关于 这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 图1 图2 图3 【探究一】 (1)小红看到图1后，很快发现了AD与BC间的数量与位置关系，它们的关系为 【探究二】 (2)小红继续探究：如图2，连接AC和BD,小红发现S△Aoc=S△BoD.请你帮助小红 证明这一结论 【探究三】 (3)小红还想进一步探究：如图3，连接AC和BD,且∠CAO=90°，AO的延长线交 BD于点E,若AE=5,SAAOD=8,求线段AC的长. 【答案】(1)AD=BC (2)证明：如图1，过点C作CE⊥AO于点E,过点D作DF⊥BO,交BO的延长线 于点F, 图1 则∠DFO=∠CE0=90° 23 ,∠AOB=90°， .∠AOF=90°， .:ㄥDOF=∠COD-∠COF=90°-∠COF,ㄥCOE=∠AOF-∠COF=90°-∠COF ∴.∠DOF=∠COE, 在△DOF和△COE中， ∠DFO=∠CEO ∠DOF=∠COE, OD=OC, .∴.△DOF≌△COE AAS. ∴.DF=CE .'SAAOC -jCE+OA.Sam- .S△A0c=SAB0D: (3)2 【分析】(1)证明△AOD≌△BOC SAS,即可得证： (2)过点C作CE⊥AO于点E,过点D作DF⊥BO,交BO的延长线于点F,证明 △DOF≌△COEAAS,得到DF=CE,根据三角形的面积公式，即可得出结论： (3)过点D作DH⊥AE,交AE的延长线于点H,先证明△AOC≌△HDO,求 出OA的长，再证明△DHE≌△BOE,根据线段的和差关系以及全等三角形的性质， 即可得出结果 【详解】(1)解：.∠AOB=∠COD .∴.∠AOB+∠AOC=∠COD+∠AOC,即∠AOD=∠BOC. 在△AOD和△BOC中， OA=OB, ∠AOD=∠BOC, OD=OC, .∴△AOD≌△BOC SAS. ∴.AD=BC. (2)略 (3)解：如图2，过点D作DH⊥AE,交AE的延长线于点H. 24 H ∠DHO=90° 图2 ∴.∠DOH+∠ODH=90° .∠COD=90°， .∴.∠AOC+∠DOH=90°， ∴.∠AOC=∠ODH, 又，∠CAO=∠DHO=90°，OC=OD, :.△AOC≌△HDO AAS, ∴.AC=OH,OA=DH, :S△AODF2 A.DH=8. .0A2=16, ∴.OA=4(负值舍去)， .OA=OB. ∴.OB=DH, 又：∠BOE=∠H=90°，∠DEH=∠BEO, ·.△DHE≌△BOE AAS, ∴.EH=OE, AE=5, .∴.OE=AE-OA=5-4=1, ∴.0H=20E=2, ∴.AC=OH=2, 即AC的长为2. 20.如图，在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD,AC,BD交 于点P 25 (1)求证：AC=BD (2)若∠AOB=70°，求∠APD的度数. 【答案】(1) 证明：，∠AOB=∠COD ∴.∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC, 即∠AOC=∠BOD, 在△AOC与△BOD中， AO=BO ∠AOC=∠BOD OC=OD ∴.△AOC≌△BOD SAS, ..AC=BD. (2)110° 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理： (1)证明△AOC≌△BOD SAS,即可得证： (2)全等三角形的对应角相等结合8字模型，推出∠AOQ=∠BPQ=70°，进而求 出∠APD的度数即可. 【详解】(1)略 (2)解：.△AOC≌△BOD .∠OAC=∠OBD, .∠AQO=∠BQP, :.180°-∠OAC-∠AQ0=180°-∠OBD-∠BQP, ,∠AOQ=∠BPQ=70°， .∠APD=180°-∠BPQ=110° 21.已知：如图，△ABC与△CDE中，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=n° 26 图1 图2 (1)如图1，AD,BE相交于点M,连接CM ①求证：AD=BE: ②求∠AMB的度数（用含n的式子表示）； (2)如图2，当n=90时，分别取AD,BE的中点P,Q,连接CP,CQ和PQ,判断 △CPQ的形状，并加以证明. 【答案】(1) ①证明：，∠ACB=∠DCE=n° .∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ∴.∠ACD=∠BCE 在△ACD与△BCE中 AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE ∴.△ACD≌△BCE SAS ∴.AD=BE ②n° (2) △CPQ是等腰直角三角形，证明如下： 由(1)得△ACD≌△BCE SAS, ,AD=BE,∠CAD=∠CBE, ,P,Q分别为AD,BE的中点， ..AP=BQ 在△ACP与△BCQ中 AC=BC ∠CAP=∠CBQ AP=BQ 27 ∴.△ACP≌△BCQ SAS, .CP=CQ,∠ACP=∠BCQ, ,∠ACP+∠PCB=∠ACB=n°， ∴.∠BCQ+∠PCB=∠ACB=n, 即∠PCQ=∠ACB=n°， 又n=90, ∠PCQ=90°， ∴.△CPQ是等腰直角三角形. 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理： (1)①由∠ACB=∠DCE=n°，可得∠ACD=∠BCE,进而可证明 △ACD≌△BCE SAS,结论即可得证； ②由△ACD2△BCE SAS可得∠CAD=∠CBE,再由三角形内角和定理可得 180°-∠CAD-∠2=180°-∠CBE-∠1，即可求解： (2)由(1)可得AD=BE,∠CAD=∠CBE,又因为P,Q分别为AD,BE的中 点，可得AP=BQ,进而可证明△ACP≌△BCQ SAS,可得CP=CQ, ∠ACP=∠BCQ,由∠BCQ+∠PCB=∠ACP+∠PCB,可得∠PCQ=90°， 即可得出△CPQ的形状， 【详解】(1)①略 ②解：如图所示： B 图1 由①得△ACD≌△BCE SAS, .∠CAD=∠CBE 又，∠2=∠1， .180°-∠CAD-∠2=180°-∠CBE-∠1， 即∠AMB=∠ACB=n°， ∴.∠AMB=n°， (2)略 28 【题型06：半角模型】 22.在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F 分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的 数量关系 G B E 图1 图2 【初步探索】 (1)小亮同学认为：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,根据三角形全等的条件 SAS,可以得到△ABE≌△ADG,从而根据三角形全等的性质得到 ∠GAD=∠BAE,由∠BAD=120°，∠EAF=60°进而得到 ∠AG=∠AE=60°，这样，就可以根据三角形全等的条件SAS,确定 △AEF≌△AGF,则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是_ 【探索延伸】 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、 CD上的点，∠EAF=1 ∠BAD,上述结论是否仍然成立？说明理由， 【答案】(1)EF=DF+BE (2)上述结论仍然成立；理由如下： 如图所示，延长FD到G,使DG=BE,连接AG, G B :∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180° .∴.∠B=∠ADG 29 又，'AB=AD,BE=DG, ∴△ABE≌△ADG SAS, “∠EAB=∠GAD,AE=AG,(全等三角形的对应角、对应边相等) :∠EAF=3∠BAD, ∴∠EAF=∠FAG, 在△AEF和△AGF中， AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF ∴.△AEF≌△AGFSAS, .EF=FG=DF+DG=DF+BE, 即：EF=DF+BE,结论仍然成立. 【分析】(1)由△AEF≌△AGF,可得EF=FG,而FG=DF+DG=DF+BE 侧可得EF=DF+BE: (2)延长FD到G,使DG=BE,连接AG,可证得△ABE≌△ADG, △AEF≌△AGF,从而得到EF=DF+BE,结论仍然成立. 【详解】(1)解：BE、EF、FD之间的数量关系是EF=DF+BE, △AEF≌△AGF, .EF=FG. .DG=BE,FG=DF+DG, .EF=FG=DF+DG=DF+BE. (2)略 23.己知，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD边 上的点，且∠EAF∠BAD.探究线段BE、EF、DF的数量关系， 30 B E B B 图① 图② 备用图 备用图 (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①，当∠B=∠D=90°， 小宁探究此问题的方法是：延长EB到点G,使BG=DF,连接AG,请你补全小宁的 解题思路：先证明△ABG≌」 ;再证明△AEG2 ；即可得出线段 BE、EF、DF之间的数量关系是 (2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、 CD上的点，且∠BAF=号∠BAD,《1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程， 【答案】(1)△ADF;△AEF:EF=BE+DE (2) 解：(1)中的结论仍然成立，证明如下： 如图，延长EB到点G,使BG=DF,连接AG, :∠ABC+∠D=180°，∠ABG+∠ABC=180°， .∠D=∠ABG 又，AB=AD,BG=DF, .△ABG≌△ADF SAS, .AG=AF,∠BAG=∠DAF, :∠EAF=∠BAD, 2 :∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=3∠BAD=∠EAF, 31 ∴.∠EAG=∠BAE+∠BAG=∠BAE+∠DAF=∠EAF 又：AE=AE ∴.△AEG≌△AEF SAS, ∴.EG=EF, EG=BE+BG=BE+DF .EF=BE+DF: 【分析】(1)依据题意，补全小宁的解题思路即可： (2)延长EB到点G,使BG=DF,连接AG,先证明∠D=∠ABG,再同(1)求 解即可， 【详解】(1)解：如图所示，延长EB到点G,使BG=DF,连接AG, :∠ABG=180°-∠ABC=90°， ∴∠ABG=∠D, 又：AB=AD,BG=DF, .△ABG≌△ADF SAS, ∴.AG=AF,∠BAG=∠DAF, FEAF=∠BMD, :∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=Z∠BAD=∠EAF, .∠EAG=∠BAE+∠BAG=∠BAE+∠DAF=∠EAF, 又：AE=AE ∴.△AEG≌△AEF SAS, .EG=EF」 EG=BE+BG=BE+DF .'EF=BE+DF. (2)略 32 24.解答下列问题： G D 图1 图2 图3 (1)【观察猜想】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°， ∠BAD=120°，∠EAF=60°，小王同学想探究线段BE,EF,FD之间的数量关 系 他的方法是：延长CD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG, 再证明△AEF≌△AGF,请你帮小王同学写出得到的结论： (2)【探索延伸】如图2，在四边形ABCD中，AB=AD=3,∠B+∠D=180°， BC+CD=9,四边形ABCD面积的最大值，并说明理由. (3)【实际应用】如图3，延安红色旅游景区的步道规划过程中，在游客中心点O处观 测到：红色文化广场A在0点的北偏西40°方向，革命旧址B在O点的南偏东80°方向， 且两处景点到游客中心的距离均为5.5km,红色旅游专线开通后，1号观光车从A点出 发向正东方向以250m/分的速度行驶，同时2号观光车从B点出发沿北偏东50°的方 向以400/分的速度行驶，15分钟后分别到达E、F处（观光车停车点），按景区规 划要求∠EOF=70°，请你尝试求出观光车从游客中心出发，沿 O-A-E-F-B-O绕景区一圈的总路线长度. 【答案】(1) BE+DF=EF,理由如下： 延长CD到点G,使DG=BE,连接AG, .∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°， ∴.∠B=∠ADG, 在△ABE和△ADG中， AB=AD ∠B=∠ADG BE=DG .△ABE≌△ADG SAS, 33 .∴.AE=AG,∠BAE=∠DAG, .∠BAD=120°，∠EAF=60°， ∴.∠BAF+∠DAF=120°-60°=60°， .·∠BAE=∠DAG, ∴.∠DAG+∠DAF=60°， .∴.∠EAF=∠GAF=60°， 在△EAF和△GAF中， EA=GA ∠EAF=∠GAF, AF=AF ..△EAF≌△GAF SAS, ∴.EF=GF, GF=GD+DF,GD=BE, ∴.EF=BE+DF; ，理由如下： 4 延长CD,作AH⊥CD延长线于点H,AM⊥BC于点M,连接AC, H D .'∠B+∠ADC=180°∠ADC+∠ADH=180 .∠B=∠ADH, .'AM⊥BC,AH⊥CD ∴.∠BAM=∠ADH, 在△AMB和△AHD中， ∠B=∠ADH ∠AMB=∠AFD AB=AD .∴.△ABM≌△ADH AAS, .∴.AM=AH, 在Rt△AMC和Rt△AHC中， 34 AM=AH AC=AC .∴Rt△AMC≌Rt△AHC HL, .S四边形AMCH=2S△AMC, :S△ABM=S△ADH, .S四边形ABCD=S四边形AMCH=2S△AMC, BM=DH,BC+CD=9,BC=BM+CM. ∴.BM+CM+CD=9, .∴.DH+CM+CD=9, .∴.CM+CH=9, CM=CH, w号 在Rt△ABM中，AM<AB, 当B与M重合时，AM最大为AB长为3， 时S-GM:-AM-号x3=子 Γ22 (3)30500m 【分析】(1)根据全等三角形的性质得到结论即可： (2)延长CD,作AH⊥CD延长线于点H,AM⊥BC于点M,连接AC,证明 △ABM≌△ADH AAS和Rt△AMC≌Rt△AHC HL,得到 S四边形ABCD=S四边形AMCH=2S△AMC,得出当B与M重合时，AM最大为AB长为3，计 算即可； (3)延长FB到点G,使得BG=AE,连接OG,证明△OAE≌△OBG SAS和 △EOF≌△GOF AAS,得到EF=AE+BF,得出总路线长度计算即可： 【详解】(1)解：略： (2)解：略； (3)解：由题意得： AE=250×15=3750m, BF=400×15=6000m, OA=OB=5.5km=5500m, 35 延长FB到点G,使得BG=AE,连接OG, 北个 E 东 B G 图3 由方位角可知：∠OAE=90°-40°=50°，∠0BF=80°+50°=130°， .∴.∠OBG=180°-∠OBF=180°-130°=50°， ∴.∠OBG=∠A, 在△OAE和△OBG中， OA=OB ∠A=∠OBG AE=BG .∴△OAE≌△OBG SAS, ∴.OE=OG,∠AOE=∠BOG, .:∠A0B=40°+90°+90°-80=140°，∠E0F=70°， ∴.∠AOE+∠BOF=∠AOB-∠EOF=140°-70°=70°， ∴.∠B0G+∠BOF=70°，即∠GOF=70°， ∴.∠EOF=∠GOF, 在△EOF和△GOF中， OE=OG ∠EOF=∠GOF OF=OF .∴△EOF≌△GOF AAS, ∴.EF=GF, GF=GB+BF,GB=AE, .∴.GF=AE+BF, ∴.EF=AE+BF, .总路线长为OA+AE+EF+BF+OB, .∴.长度为OA+AE+AE+BF+BF+OB =20A+2AE+2BF 36 =2×5500+2×3750+2×6000 =30500m, ..总长度为30500m. 25.先阅读材料，再结合要求回答问题， (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC, CD上的点，且线段BE,EF,FD满足BE+FD=EF.试探究图中∠EAF与 ∠BAD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是：延长FD到G,使DG=BE, 连结AG.显然可得出∠BAD=2∠EAF.请你按照小王同学的方法证明这个结论. 【灵活应用】 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC+∠ADC=180°，E、F分 别是边BC、CD延长线上的点，且满足BE+FD=EF,(1)中的结论是否仍然成立？ 若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明. 【拓展延伸】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD,∠BCD=140°， 以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB,AD于E、F两点，连接EF,探索线 段BE,DF,EF之间的数量关系，并加以证明 D A B A E 图1 图2 图3 【答案】(1)∠BAD=2∠EAF 理由：如图1，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG 37 A B ◇ E 图1 在△ABE和△ADG中， AB=AD ∠B=∠ADG=90° BE=DG .∴.△ABE≌△ADG(SAS), ∴.∠BAE=∠DAG,AE=AG, .EF=BE+DF,DG=BE, .EF=BE+DF=DG+DF=GF, AF=AF, .△AEF≌△AGF(SSS), .∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF ∴.∠BAD=2∠EAF: (2)结论仍成立，理由： 如图2，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, .'∠B+∠ADF=180°∠ADG+∠ADF=180° B E 图2 ∴.∠B=∠ADG, 又.AB=AD 38 .△ABE≌△ADG(SAS), ∴.∠BAE=∠DAG,AE=AG, EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF, ∴.△AEF≌△AGF(SSS), .∴.∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF, ∴.∠BAD=2∠EAF: (3)BE+DF=EF;理由如下： 延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,如图3所示， .∠ABC+∠D=180° E W 图3 ∠NBC+∠ABC=180°， .∴.∠NBC=∠D 在△NBC和△FDC中， BN=DF ∠NBC=∠D BC=DC .∴.△NBC≌△FDC(SAS), ∴.CN=CF,∠NCB=∠FCD, :∠BCD=140°，∠ECP=70°， ∴.∠BCE+∠FCD=70° .∴.∠ECN=70°=∠ECF, 在△NCE和△FCE中， CN=CF ∠ECN=ㄥECF, CE=CE ∴.△NCE≌△FCE(SAS), 39 ∴.EN=EF, BE+BN=EN. ∴.BE+DF=EF. 【分析】(1)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,可判定 △ABE≌△ADG(SAS),进而得出∠BAE=∠DAG,AE=AG,再判定 △AEF≌△AGF(SSS),可得出 ∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF,据此得出结论： (2)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先判定△ABE≌△ADG(SAS),进 而得出∠BAE=∠DAG,AE=AG,再判定△AEF≌△AGF(SSS),可得出 ∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF: (3)延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,证出∠NBC=∠D,由SAS证明 △NBC≌△FDC,得出CN=CF,∠NCB=∠FCD,证出 ∠ECN=70°=∠ECF,再由SAS证明△NCE≌△FCE,得出EN=EF,即可得 出结论。 【详解】解：(1)略 (2)略 (3)略 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与 性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等 是解决问题的关键。 【题型07：对角互补模型】 26.我们知道，角的平分线有很多特殊的性质例如： M 图① 图② 图③ (1)如图①，已知DP是∠MDN的平分线，点A是DP上一点，若 40 ∠ABD+∠ACD=180°，则可以得到AB=AC,请说明理由： (2)发现规律：连结BC,则△ABC是等腰三角形.如图②，在等腰三角形ABC底边的 另一侧存在一点D,当∠ABD+∠ACD=180°时，请直接写出∠BDA与∠CDA 的数量关系 (3)请解决下列问题：如图③，等腰△ABC中，AB=AC,D是△ABC外一点， ∠ABD=60°，且2∠ADB+∠BDC=180°，求证：AB=BD+DC. 【答案】(1) 解：如图①，作AE⊥DC于E,AF⊥DB于F, M F B -M 图① ,DP是∠MDN的平分线，AE⊥DC,AF⊥DB, ..AE=AF. ,∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD+∠ABF=180°， .∠ACE=∠ABF, :∠AEC=90°=∠AFB,∠ACE=∠ABF,AE=AF, ∴，△ACE≌△ABF AAS, ..AB=AC; (2)∠BDA=∠CDA (3) 证明：如图③，延长CD到E,使DE=BD, B D 图③ 3 ,2∠ADB+∠BDC=180°，∠ADE+∠ADB+∠BDC=180°， ∠ADE=∠ADB, :DE=BD,∠ADE=∠ADB,AD=AD, ∴.△ADE≌△ADB|SAS, ,∠E=∠ABD=60°，AE=AB=AC, “.△ACE是等边三角形， .AB=AE=CE=CD+DE=CD+BD. ∴.AB=BD+DC. 【分析】(1)如图①，作AE⊥DC于E,AF⊥DB于F,则AE=AF,证明 △ACE≌△ABFAAS,进而可得AB=AC: (2)如图②，作AE⊥DC于E,AF⊥DB的延长线于F,证明 △ACE≌△ABF AAS,则AE=AF,由AE⊥DC,AF⊥DB,可知AD平分 ∠BDC,进而可得∠BDA=∠CDA; (3)如图③，延长CD到E,使DE=BD,则∠ADE=∠ADB,证明 △ADE≌△ADB SAS,则∠E=∠ABD=60°，AE=AB=AC,△ACE是等 边三角形，则AB=AE=CE=CD+DE=CD+BD, 【详解】(1)略 (2)解：∠BDA与∠CDA的数量关系为∠BDA=∠CDA: :△ABC是等腰三角形， ..AC=AB. 如图②，作AE⊥DC于E,AF⊥DB的延长线于F, B 图② :∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD+∠ABF=180°， .∠ACE=∠ABF, :∠AEC=90°=∠AFB,∠ACE=∠ABF,AC=AB, 42 ∴.△ACE≌△ABF AAS, ..AE=AF :AE⊥DC,AF⊥DB, ∴.AD平分∠BDC, ∴.∠BDA=∠CDA: (3)略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，等腰三角形 的性质，等边三角形的判定与性质等知识.熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平 分线的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键， 27.(1)如图1，AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°.当∠B=90时，根据角平分 线的性质，我们可知DB与DC之间的数量关系为： (2)如图2，AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°.当∠B<90时，试说明DB 与DC之间的数量关系； (3)如图3，AD平分∠BAC,若∠B=65°，DB=DC,求∠ACD的度数， B 图1 图2 图3 【答案】(1)DB=DC: (2)DB=DC,理由如下： 过D作DE⊥AB于点E,作DF⊥AC交AC延长线于点F, 图2 ,AD平分∠BAC, ..DE=DF, ,∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCF=180°， 43 ∠B=∠DCE. .∠DFC=∠DEB=90° 在△DCF和△DBE中， ∠DCF=∠DBE ∠DFC=∠DEB DF=DE .△DCF≌△DBE AAS, ..DB=DC (3)115° 【分析】(1)直接根据角平分线的性质可判断DB=DC: (2)过D点作DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点，如图2，先根据角平分线的性 质得到DE=DF,再利用等角的补角相等得到∠B=∠DCF,然后证明 △BDE≌△CDF得到DB=DC: (3)过D点作DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点，如图3，先根据角平分线的性 质得到DE=DF,再根据“HL”判断Rt△BDE≌Rt△CDF,所以 ∠B=∠DCF=65°，然后根据邻补角的定义计算∠ACD的度数. 【详解】解：(1)DB=DC,理由如下： ∠B+∠C=180°，∠B=90°， ∴.∠C=90°， ∴.DB⊥AB,DC⊥AC, :AD平分∠BAC, ..DB=DC; 故答案为：DB=DC: (2)略 (3)过D作DM⊥AC交AC延长线于点M,作DN⊥AB于点N, M N 图3 .∠DMC=∠DNB=90°， 44 又，AD平分∠BAC, .DM=DN, 在Rt△DMC和Rt△DNB中， DC=DB DM=DN .Rt△DMC≌Rt△DNB HL, ∴.∠B=∠DCM=65°， ∴.∠ACD=180°-∠DCM=115° 28.【感知】如图①，AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知DB=DC. 【探究】(1)如图②，AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°，∠B<90°，试说明： DB=DC: 【应用】(2)如图③，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC,∠B=45°， ∠C=135°，DE⊥AB,且BE=a,则AB-AC= (用含a的代数式表 示). B 图① 图② 图③ 【答案】(1)证明：如图②中，作DE⊥AB于E,作DF⊥AC于F, B 图② :DA平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, .DE=DF, :∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°， ∠B=∠FCD, 45 在△DFC和△DEB中， ∠F=∠DEB=90° ∠FCD=∠B DF=DE ∴△DFC≌△DEB ..DC=DB; (2)2a 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关 键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型。 (1)作DE⊥AB于E,作DF⊥AC于F,先根据角平分线的性质得出DE=DF, 再证明∠B=∠FCD,证明△DFC≌△DEB即可得出结论： (2)作DF⊥AC于F,首先证明△DFC≌△DEB,再证明 Rt△ADF≌Rt△ADE HL,得出AB-AC=2BE,即可解决问题： 【详解】(1)略 (2)作DF⊥AC于F. E :DA平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, .DE=DF :∠B=45°，∠ACD=135°， ∠B+∠ACD=180°， ,∠ACD+∠FCD=180, .∠B=∠FCD, 在△DFC和△DEB中， ∠F=∠DEB=90° ∠FCD=∠B DF=DE .△DFC≌△DEB, ..DC=DB,CF=BE 46 在Rt△ADF和Rt△ADE中， AD=AD DE=DE ,Rt△ADF≌Rt△ADE HL, .AF=AE. .AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC+2BE. ∴.AB-AC=2BE, ..BE=a, .AB-AC=2a」 【题型08：倍长中线法模型】 29.某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在△ABC中，AB=6, AC=8,D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E,使DE=AD,请 补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程. (1)求证：△ABD≌△ECD 证明：延长AD到点E,使DE=AD, 在△ABD和△ECD中， .AD=ED(已作)， ∠ADB=∠EDC(_), CD=_(中点定义)， ∴△ABD≌△ECD(_); (2[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全 等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中。 [问题解决] 如图，△ABC中，∠B=90°，AB=2,AD是△ABC的中线，CE⊥BC,CE=4, 且∠ADE=90°，求AE的长. 名 【答案】(1)对顶角相等：BD:SAS (2)AE=6 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形是 解题的关键： (1)根据对顶角相等，线段中点的定义以及SAS证明三角形全等作答即可： (2)延长AD交EC的延长线于F,证明△ABD≌△FCD|ASA,得到 CF=AB=2,AD=DF,再证明△ADE≌△FDE|SAS,得到AE=EF,利用线 段的和差关系进行求解即可。 【详解】(1)证明：延长AD到点E,使DE=AD, 在△ABD和△ECD中， :AD=ED(已作)， ∠ADB=∠EDC(对顶角相等)， CD=BD(中点定义)， ∴.△ABD≌△ECD SAS: (2)解：如图，延长AD交EC的延长线于F, .·∠B=90°CE⊥BC D ∴.∠ABD=∠FCD=90 ,AD是△ABC的中线， ∴.BD=CD 在△ABD和△FCD中， 48 .△ABD≌△FCD ASA, ∴.CF=AB=2,AD=DF, 又，∠ADE=90°， ∴.∠FDE=∠ADE=90, 又：ED=ED .△ADE≌△FDE SAS, ∴.AE=EF, EF=CE+CF=CE+AB=4+2=6, ∴.AE=6 30.【方法呈现】 (1)如图①：在△ABC中，若AB=6,AC=4,点D为BC边的中点.求BC边上 的中线AD的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E,使DE=DA, 再连接BE,可证△ACD≌△EBD,从而把AB,AC,2AD(即AE)集中在 △ABE中，利用三角形三边的关系可求出AE的取值范围，从而可求出中线AD的取 值范围是（直接写出范围即可）这种解决问题的方法我们称为倍长中线法： 【探究应用】 (2)如图②：在△ABC中，点D是BC的中点，AD平分∠BAC,判断AB与AC 的大小关系，并证明。 【问题拓展】 (3)如图③：在四边形ABCD中，ABCD,AF与DC的延长线交于点R点E是 BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线.若AB=13,CF=2,求AF的长 D E 图① 图② 图③ 【答案】(1)1<AD<5: (2)证明：如图，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE, 9 D 由(1)可得△ACD≌△EBD(SAS), .∴.AC=BE,∠CAD=∠E, AD平分∠BAC, ∴.∠CAD=∠BAD=∠E, .'BA=BE=AC: (3)11 【分析】本题考查了三角形的三边关系，作辅助线倍长中线法、全等三角形的判定与 性质，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解 题的关键。 (1)由已知得出AB-BE<AE<AB+BE,即6-4<AE<6+4,AD为AE的-半， 即可得出答案； (2)延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,根据(1)中可得 △ACD≌△EBD(SAS),即可得到∠E=∠CAD=∠BAD,即可解答： (3)延长AE,DP交于点G,根据平行和角平分线可证AF=FG,也可证得 △ABE≌△GCE,从而可得AB=CG,即可得到结论 【详解】解：(1)如图①，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE, D 图① D是BC的中点， .BD=CD .'∠ADC=∠BDE, 50 ∴.△ACD≌△EBD(SAS), ∴.BE=AC=4, 在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE, .∴.6-4<AE<6+4, .2<AE<10 ∴.1<AD<5, 故答案为：1<AD<5: (2)略 (3)解：如图③，延长AE,DF交于点G, E B.:AB‖CD 图③ G ∴.∠BAG=∠G, 在△ABE和△GCE中， CE=BE ∠BAE=∠G ∠AEB=∠GEC .∴.△ABE≌△GEC(AAS), .∴.CG=AB=13 .AE是∠BAF的平分线， ∴.∠BAG=∠GAF, ∴.∠FAG=∠G, .∴.AF=GF, FG+CF=CG. .∴.AF=FG=AB-CF=11. 31.(1)如图1，在△ABC中，AB=6,AC=10,D是BC的中点，求BC边上的中线 AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点 51 E,使DE=AD,连接BE.可以判定△ADC2△EDB,从而得到AC=EB=10. 这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系，即可求 出中线AD的取值范围是 (请直接写出答案)， 学 B E b 图1 图2 图3 (2)为了测量学校旗杆AB和教学楼CE顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示 的测量方案，他们首先取地面BC的中点D,用测角仪测得此时∠ADE=90°，测得 旗杆高度AB=9m,教学楼高度CE=18m,求AE的长 (3)如图3，△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，连接DE,BC,点F是BC的 中点，连接FA并延长，与DE相交于点G.试探究并直接写出：DE和AF的数量关系 和位置关系 【答案】(1)2<AD<8: (2)27m; (3)DE=2AF,DE⊥AF,理由如下： 延长AF到P,使FP=FA,连接BP,如图3所示： D 0 图3 则AP=2AF, .点F是BC的中点， ∴.BF=CF, 在△BFP和△CFA中， 52 BF=CF BFP=ㄥCFA, FP=FA ∴.△BFP≌△CFA(SAS), ∴∠P=∠CAF,BP=AC, .BP‖AC ∴.∠ABP+∠BAC=180°， ·.:△ABD和△ACE均为等腰直角三角形， .∴.∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE, .∴.∠BAD+∠CAE=180°， ∴.∠DAE+∠BAC=180° .∴.∠ABP=∠DAE, BP=AC.AC=AE. .∴.BP=AE 在△ABP和△DAE中， AB-AD ABP=∠DAE BP=AE .∴.△ABP≌△DAE(SAS), .∴.AP=DE,∠BAP=∠ADE, AP=2AF, ∴.DE=2AF, .∠BAD=90°， .∴.∠BAP+∠DAG=90°， ∴.∠ADE+∠DAG=90°， ∴.∠AGE=180°-（∠ADE+∠DAG)=90°， ∴.AG⊥DE, 即AF⊥DE. 【分析】(1)证明△BDE和△CDA全等得BE=AC=10,由三角形三边之间关系得 BE-AB<AE<AB+BE,进而得4<AE<16,再根据DE=AD得AE=2AD,则 4<2AD<16,由此得中线AD的取值范围： 53 (2)延长ED交AB的延长线于H,证明△BDH和△CDE全等得BH=CE=18m, DH=DE,则AH=AB+BH=27m,再证明AD为线段EH的垂直平分线，然后根 据线段垂直平分线的性质可得AE的长： (3)延长AF到P,使FP=FA,连接BP,则AP=2AF,证明△BFP和△CFA全等 得∠P=∠CAF,BP=AC,则BP‖AC,从而得∠ABP+∠BAC=180°，根据 ∠DAE+∠BAC=180°得∠ABP=∠DAE,由此可证明△ABP和△DAE全等得 AP=DE,∠BAP=∠ADE,由此得DE和AF的数量关系：然后根据∠BAD=9O 得∠BAP+∠DAG=90°，则∠ADE+∠DAG=90°，由此得DE和AF的位置关 系 【详解】(1)解：.D是BC的中点， ∴.BD=CD 在△BDE和△CDA中， BD=CD ∠BDE=∠CDA, DE=AD ∴.△BDE≌△CDA(SAS), ∴.BE=AC, .AB=6,AC=10, .∴.BE=AC=10 在△ABE中，BE-AB<AE<AB+BE, 即10-6<AE<10+6, ..4<AE<16 DE=AD, ∴.AE=2AD, .4<2AD<16, .∴.中线AD的取值范围是：2<AD<8, 故答案为：2<AD<8」 (2)解：延长ED交AB的延长线于H,如图2所示： 54 E 学 B D H 图2 根据题意得：AB⊥BC,EC⊥BC, ∴.∠HBD=∠ECD=90°， 点D是BC的中点， ∴，BD=CD 在△BDH和△CDE中， ∠HBD=∠ECD=90° BD=CD ∠BDH=∠CDE ∴.△BDH≌△CDE(ASA) ∴.BH=CE=18m,DH=DE, ∴.AH=AB+BH=9+18=27m), .∠ADE=90°， ∴.AD⊥EH, 又DH=DE, .∴.AD为线段EH的垂直平分线， .'AE=AH=27m; (3)略 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分 线的性质，三角形三边关系及等腰三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质， 线段垂直平分线的性质并作出合理的辅助线是解决问题的关键 32.(1)如图1，在四边形ABCD中，ABCD,点E是BC中点，若AE是∠BAD的平 分线，可判断：AB、AD、CD之间的等量关系是 55 图1 图2 图3 (2)如图2，在四边形ABCD中，ABDC,∠ADC=90°，点E是AD边的中点， ∠BEC=90°，CD=2,AB=3,求BC的长； (3)如图3，在四边形ABCD中，AB‖DC,点N是DC延长线上一点，连接AN, 点M是BC的中点，且AM平分∠BAN,试探究AB,AN,CN之间的数量关系， 并证明你的结论， 【答案】(1)AD=CD+AB (2)BC=5; (3)AB=CN+AN,证明如下： 延长AM,DC相交于点P, C △ABM≌△PCMAAS) ∴.AB=CP, .'AM是∠BAN的角平分线， ∴.∠BAM=∠NAM, .AB‖CD .∴.∠P=∠BAM, .∴.∠NAM=∠P, .'AN=PN, CP=CN+PN=CN+AN, ∴.AB=CN+AN 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，角平分线定义，平行线性质等， (1)延长AE交DC的延长线于点F,证明△AEB≌△FEC AAS,再利用角平分 56 线定义即可得到： (2)延长CE交BA的延长线于点F,由平行线性质得∠D=∠FAE,∠F=∠ECD 再证明△AEF≌△DEC AAS),.继而可得本题答案： (3)延长AM,DC相交于点P,同(1)得△ABM≌△PCMAAS,再利用平 行线性质得∠P=∠BAM,继而得到本题答案】 【详解】解：(1)延长AE交DC的延长线于点F, .AB‖CD B .∴.∠BAE=∠CFE,∠B=∠ECF, :点E是BC的中点， ∴.BE=CE .'.△AEB≌△FEC AAS, ∴.AB=CF, .AE是∠BAD的平分线， .∴.∠BAE=∠DAE, ∴.∠DAE=∠CFE, .AD=DF=CD+CF=CD+AB, 故答案为：AD=CD+AB: (2)延长CE交BA的延长线于点F, D .AB‖CD .∴.∠D=∠FAE,∠F=∠ECD, 点E是AD的中点， ∴.AE=DE, .∴.△AEF≌△DEC AAS, 57 .∴.AF=CD,EF=CE, .CD=2,AB=3, ∴.BF=AB+AF=3+2=5, .∠BEC=90°，EF=CE, ∴.BC=BF=5: (3)略 33.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，△ABC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组 内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,请根据小 明的方法思考： B D E (1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 A.SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)求得AD的取值范围是_一· A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中. 【方法应用】 (3)如图，在四边形ABCD中，AB‖CD,点E是BC的中点，若AE是∠BAD的 平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想； 58 【拓展延伸】 (4)如图，已知AB‖CF,点E是BC的中点，点D在线段AE上， ∠EDF=∠BAE,若AB=5,CF=2,求出线段DF的长. A D E 【答案】(1)B;(2)C: (3)AD=AB+DC,理由如下： 如图：延长AE,DC交于点F, AB‖CD ∴.∠BAF=∠F, 在△ABE和△FCE中， ∠AEB=∠FEC ∠BAE=∠F BE=CE .∴△ABE≌△FCE AAS, ∴.CF=AB, 59 ,AE是∠BAD的平分线， ∴.∠BAF=∠FAD, .∴.∠FAD=∠F, .AD=DF, DC+CF=DF, ∴.DC+AB=AD: (4)DF=3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线 的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三 角形解决问题， (1)根据三角形全等的判定定理即可得出结论： (2)根据全等得出BE=AC=6,AE=2AD,由三角形三边关系定理得出答案； (3)AD=AB+DC,延长AE,DC交于点F,证明△ABE≌△FEC AAS,推出 AB=CF,再证明DA=DF即可解决问题； (4)延长AE交CF的延长线于点G,证明AB=DF+CF,可得结论. 【详解】解：(1)，AD是BC边上的中线， .BD=CD 在△ADC和△EDB中， BD=CD ∠ADC=∠EDB: AD=ED .△ADC≌△EDB SAS, 故选：B。 (2)由(1)可知，△ADC≌△EDB, ∴.BE=AC=6, AB=8, ∴.8-6<AE<8+6,即2<AE<14, .DE=AD, :AD=号A, .1<AD<7, 60 故选：C. (3)略. (4)如图，延长AE交CF的延长线于点G, D E G :E是BC的中点， .'CE=BE, .AB‖CF, ∴.∠BAE=∠G, 在△AEB和△GEC中， ∠BAE=∠G ∠AEB=∠GEC, BE=CE ,△AEB≌△GEC AAS, ..AB=GC, :∠EDF=∠BAE .∠FDG=∠G, “FD=FG ∴.AB=GC=DF+CF, .AB=5,CF=2, ∴.DF=AB-CF=3 34.在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法 61 D 图1 图2 图3 (1)如图1，AD是△ABC的中线，AB=8,AC=5,求AD的取值范围.我们可以延 长AD到点E.使DE=AD,连接BE,根据SAS可证△ADC≌△EDB,所以 BE=AC,接下来，在△ABE中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而 得到中线AD的取值范围是：一； (2)如图2，AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°.点D为BC的中点，求证： EF=2AD. (3)如图3，四边形ABCD,对角线AC,BD相交于点E,点F是BC边的中点， ∠CEF=∠ADB,∠BAC+∠BAD=180°，试探索BD与EF的数量关系，并证明. 【答案】(1)1.5<AD<6.5 (2) 证明：延长AD至G,使DG=AD,连接BG,则AG=2AD BC 点D为 的中点， ∴，CD=BD 在△ADC和△GDB中 AD=DG ∠ADC=∠GDB, CD=BD .△ADC≌△GDB SAS, .AC=BG,∠C=∠GBD, AC=AF 62 ..BG=AF. ,∠BAE=∠CAF=90°， ∴.∠EAF+∠BAC=180°， ·∠ABG=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAF, 在△EAF和△ABG中 AE=AB ∠EAF=∠ABG AF=BG ∴.△ABG≌△EAF SAS, ∴.EF=AG=2AD (3)BD=2EF 证明：如图，延长EF到G,使得EF=FG,连接CG,延长CA到H,使得AH=AD, 连接BH, H BC G ,点F是 边的中点， ..BF=CF, ,∠EFB=∠CFG, ∴△BEF≌△CGF SAS, ∴.BE=CG,∠G=∠BEF, ..CG BE. ∴.∠BEH=∠GCE, :∠BAC+∠BAD=180°，∠BAC+∠BAH=180° ∴.∠BAH=∠BAD. .BA=BA, .△BAH≌△BAD SAS. BD=BH,∠H=∠ADB, 6 ,∠ADB=∠CEF, ∴∠H=∠ADB=∠CEF, .△HBE≌△EGCAAS, ∴.BH=EG=BD=2EF」 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的判定与性 质，三角形的内角和定理等知识。 (1)根据△ADC≌△EDB可得BE=AC=5,在△ABE中利用三角形的三边关系 可求得3<AE<13,即可根据AE=2AD求解： (2)延长AD至G,使DG=AD,连接BG,先证明△ADC≌△GDB SAS,得到 AC=BG,∠C=∠GBD,再证明△ABG≌△EAF SAS,即可得到 EF=AG=2AD: (3)延长EF到G,使得EF=FG,连接CG,延长CA到H,使得AH=AD,连接 BH,先证△BEF≌△CGF SAS可得BE=CG,∠G=∠BEF,再证明 △BAH≌△BAD|SAS,得到BD=BH,∠H=∠ADB=∠CEF,最后证明 △HBE≌△EGCAAS,得到BH=EG=BD=2EF 【详解】(1)解：延长AD到点E.使DE=AD,连接BE, :AD是△ABC的中线， ∴.CD=BD,又∠ADC=∠EDB, ∴.△ADC≌△EDB SAS, ∴.BE=AC=5, ,在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE, .3<AE<13, .DE=AD, .AE=2AD .3<2AD<13,解得1.5<AD<6.5, 故答案为：1.5<AD<6.5: (2)略 (3)略 64