专题04 全等三角形模型之截长补短模型与手拉手模型（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 聚焦全等三角形两大核心模型，系统提炼截长补短与手拉手解题方法，通过推理能力与几何直观构建从模型原理到综合应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |截长补短模型|3道典例+综合题|截长（截取等线段证剩余线段）、补短（延长短线段证与长线段等）|从辅助线构造到线段和差关系证明，形成“操作-全等-结论”推导链| |手拉手模型|3道典例+综合题|双等边/等腰直角/等腰三角形型：SAS证全等得线段等、夹角定、角平分线|从特殊到一般，归纳共顶点等腰三角形旋转全等的共性规律|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04全等三角形模型之截长补短模型与手拉手模型 内容概览 目常考题型精准突破 题型1全等三角形模型之截长补短模型（难） 题型2全等三角形模型之手拉手模型（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1全等三角形模型之截长补短模型 【常见模型及证法】 (1)截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE (2)补短：将短线段延长，证与长线段相等 1.(25-26八年级上广东潮州期中)如图，ADI‖BC,点E在线段AB上，DE、CE分别是∠ADC、 ∠BCD的角平分线， (I)线段DE与CE有怎样的位置关系？请说明理由. (2)若AD=3,BC=2,求CD的长. 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26八年级上陕西延安·期末)“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法， 可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系 问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD,E,F分别是直线BC,CD上的点. G B B D F D 图① 图② ①迦图O,若BC=DC=90,F,6分别在线段C,CD上，日满足ZEMF=)BAD试探究线 段EF,BE,DF之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长CB到点G,使BG=DF,连接 AG,请你帮该数学小组完成解题过程： (2)如图②，若∠ABC+∠ADC=180°，点E在CB的延长线上，且BE>CD,点F在CD的延长线上，若 EF=BE+DF,请探究∠EAF与∠BAD之间的数量关系，并说明理由. 3.(2425八年级上北京海淀·期中)已知，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E、F 分别是边BCCD上的点，且∠EAF=)∠BAD, A B B E 图1 图2 图3 (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当∠B=∠ADC=90°时. 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路 小明的解题思路：先证明△ABE≌一；再证明了△AEF≌ 一，即可得出BE,EF,FD之间的数量 关系为 (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当∠B+∠ADC=180°时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你 2/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的结论，如果不成立，请说明理由， 3)如图3，若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF,BE,FD之间 的数量关系为一·（不用证明) ◆题型2全等三角形模型之手拉手模型 【常见模型及证法】 1)双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE=AD:③∠AFE∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明：，△ABC和△DCE均为等边三角形，，BC-AC,CE-CD,∠BCA=∠ECD=60° ∴.∠BCA+∠ACE=∠ECDH∠ACE,即：∠BCE=∠ACD,∴，△ACD≌△BCE(SAS), ∴.BE=AD,∠CBE=∠CAD,又，'∠CMB=∠AMF,∴.∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP LAD,CO LBE,则∠COB=∠CPA=90°，又，∠CBE=∠CAD,BC=AC,∴.△BCQ≌△ACP (AAS) ∴.CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2)双等腰直角三角形型 44 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点：连接BE,AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE=AD:③∠A☑ME∠BCM=90°；④CN平分∠BND 证明：，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，，BC=AC,CE-CD,∠BCA=∠ECD=90° 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴，∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD,.△ACD≌△BCE(SAS), ∴.BE=AD,∠CBE=∠CAD,又.'∠CMB=∠AN,∴.∠ANE∠BCM=90°， 过点C作CP LAD,CO LBE,则∠CQB=∠CPA=90°，又，∠CBE=∠CAD,BC=AC,∴，△BCQ≌△ACP (AAS) ∴.CO=CP,根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3)双等腰三角形型 B 条件：BC=AC,CE-CD,∠BCA=∠ECD,C为公共点；连接BE,AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE:②BE=AD:③∠BCME∠AFM;④CF平分∠BFD. 证明：，∠BCA=∠ECD,∴.∠BCA什∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD, 又，'BC=AC,CE=CD,∴.△ACD≌△BCE(SAS),.BE=AD,∠CBE=∠CAD, 又，∠CB=∠AMF,∴.∠BCE∠AFM,过点C作CP LAD,CO LBE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又，∠CBE=∠CAD,BC=AC,∴.△BCQ≌△ACP(AAS) ∴.CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4.(25-26八年级上：海南期中)在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形△ABC和△AEF创作几何艺术 装置.其中AB=AC,AE=AF,∠CAB=∠EAF,BE交FC于O点.请你解决以下关于这个艺术装置的 几何问题 (图1) (图2) (1)直角风格的装置 如图1，当∠CAB=90°时，求证：BE=CF,BE⊥CF: 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)六十度风格的装置 如图2，当∠CAB=60°时，求∠B0C的度数： (3)猜想：任意顶角的装置 当∠CAB=a时(0°<a<90),∠B0C的度数为， (直接用含a的式子表示) 5.(25-26七年级下山东济南期中)△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°. E 图1 图2 图3 (I)如图1，点D,E在AB,AC上，则BD,CE满足怎样的数量关系？请说明理由， (②)如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，连接BD,CE,则BD,CE满足怎样的数量关系和位置关 系？请说明理由， (3)如图3，点D,E都在△ABC外部，连接BD,CE,CD,EB,BD与CE相交于F点.若BD=6,求四 边形BCDE的面积。 6.(25-26七年级下·河南郑州期中)【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相 重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称 为“手拉手模型” 图1 图2 图3 (I)【初步把握】如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,则 有△ABD≌_；线段BD和CE的数量关系是_； (2)【深入研究】如图2，△ABC和△ADE是都是等腰三角形，即AB=AC,AD=AE,且 ∠BAC=∠DAE=9O°，B,C,D在同一条直线上.请判断线段BD与CE存在怎样的数量关系及位置关系， 并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，直线112，垂足为点O,上有一点M在点O右侧且OM=4,点N是4上一个 5/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 动点，连接MN,在MN下方作等腰直角三角形NMP,MN=MP,∠NMP=9O°，连接OP.请直接写出 线段OP的最小值及此时ON的长度， 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.(25-26七年级下山东济南期末)如图，在△ABC中，AB=8,AC=14,∠C=30°，P是BC上的任 意一点，连接AP,将AP绕点A按顺时针方向旋转至A0,使∠PA犯=∠BAC,连接BO,则线段BO长度 的最小值为() A2 B.3 C:6 3 D.4 2.(25-26八年级上山东聊城阶段检测)如图，已知：AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=90°， ∠EBD=38°，现有下列结论：①△BDC≌△AEC;②∠AEB=135°；③BD=AE:④AE⊥BD.其中正 确的有(). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(25-26八年级上四川遂宁期末)如图，在aOAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC, ∠AOB=∠COD=30°，连接AC,BD交于点M,AC与OD相交于E,BD与OA相交于F,连接OM. 则下列结论中：①△AOC≌aBOD;②AC=BD;③∠AMB=30°；④△OEM≌aOFM.正确的个数有 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ( O E F B M D A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题 4.(25-26八年级下山西晋中·期末)如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE, ∠BAC=∠DAE=a,连接BD和CE交于点P,连接AP,则∠BPC=— (用含的代数式表示). 5.(25-26七年级下江西萍乡·期末)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2AC,点D是线段AB的中 点，将一块锐角为45°的直角三角板按如图（△ADE)放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与A、D重 合，连接BE、CE,CE与AB交于点F,则∠AEC+∠DBE= B 6.(25-26七年级下山东济南期末)如图，△ABC中，CD⊥AB于点D,CD=BD,过点C作CM⊥CA, CM=CA,连接BM交CD于点N,若BD=15,AD=7,则CN= D 三、解答题 7.(25-26七年级下山西运城期末)已知：如图，△ABC和△CDE都是等腰三角形(CA=CB, CD=CE,∠ACB=∠DCE=C),点B、C、E不在同一条直线上，连接AE和BD.试探究线段AE与 BD的数量关系并说明理由. 7/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 8.(25-26七年级下·陕西咸阳阶段检测)求解下列各题： G G D B B E 图1 图2 (I)【问题发现】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=9O°，点E、F分别在边BC、CD 上，连接AE、AF、EF,且EF=BE+FD,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,试说明： ∠BAD=2∠EAF: (2)【拓展延伸】如图2，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=18O°，AB=AD,点E在CB的延长线上， 点F在CD的延长线上，连接AE、AF、EF,且EF=BE+FD,延长DC至点G,使得DG=BE,连接 AG,请探究∠BAD与∠EAF之间的数量关系，并说明理由， 9.(25-26七年级下·辽宁阜新阶段检测)在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为直线BC上一动 点，以AD为直角边在AD的右侧作等腰直角△ADE,使∠DAE=9O°，AD=AE」 D B 图1 图2 备用图 (I)当点D在线段BC上时，如图1，请判断CE与BC的位置关系，并说明理由； (2)当点D在线段BC的延长线上时，如图2，判断BC,CD,CE三条线段数量关系，并说明理由： (3)当点D在线段CB的延长线上时，直接判断CE与BC的位置关系，并直接写出BC,CD,CE三条线段的数 量关系 10.(25-26七年级下山东烟台期末)综合与探究 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成. 在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形.它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”. 小明进行了如下操作： 如图I,在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接BD、CE」 E D 图1 图2 图3 【问题发现】 (1)小明发现图1就是手拉手模型，拉手线BD、CE存在某种数量关系.其探究过程如下，请你写出①和② 处的理由： 解：∠BAC=∠DAE ∴.∠BAD+∠DAC=∠C ∠BAD=∠CAE(理 由：①) 在△ABD和△ACE中 AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ∴.△ABD≌△ACE(SAS) BD=CE(理由： ②) (2)如图2，在图1的基础上，△ABC不动，将△ADE绕着点A逆时针旋转至点B,点B、D、E在一条直 线上，BE交AC于点O.小明发现△ABD与△ACE依然全等.当∠BAC=∠DAE=a时，求∠BEC: 【拓展探究】 (3)在图2的基础上，延长CE至点F,如图3.判断∠AED与∠AEF的数量关系，并说明理由. 11.(25-26八年级下·四川内江开学考试)按要求解答问题： 9/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 图① 图② 备用图 备用图 (I)如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 ZEAF-BAD请直接写出线段EF,E,FD之间的数量关泰 (2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+LD=18O°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠EAF=号∠BAD,1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程： (3)在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=18O°，E,F分别是边BC,CD所在直线上的点，且 ∠BAP=)∠B1D.请直接写出线段EF·BE'FD之间的数量关系：一 12.(25-26七年级下·山西晋中期末)综合与探究： 问题情境：数学课 B M B (图1) (图2) (备用图) 上，老师和同学们一起以两个“顶角相等的等腰三角形”为背景展开探究活动.已知△ABC中，AB=AC, 点M是直线BC上一点（不与点B、C重合），以AM为一边在AM的右侧作△AMN,使得AM=AN, ∠MAN=∠BAC,连接CN. (1)特例分析：如图1，当点M在线段BC上，且∠BAC=90°时，则∠BCN= (2)拓展探究：若∠BAC=a,∠BCN=B】 ①如图2，当点M在线段BC上移动时，α和P之间有着怎样的数量关系？并说明理由. ②当点M在直线BC上移动时，Q和B之间有怎样的数量关系？请直接写出结论. 10/10 专题04 全等三角形模型之截长补短模型与手拉手模型 常考题型·精准突破 题型1 全等三角形模型之截长补短模型（难） 题型2 全等三角形模型之手拉手模型（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 全等三角形模型之截长补短模型 【常见模型及证法】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2） 补短：将短线段延长，证与长线段相等 1．（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线， (1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)5 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）先根据角平分线得，再根据就可得出，即可得出结论； （2）在上截取，先证，再证，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 分别是、的角平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，在上截取，连接， 分别是、的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 2．（25-26八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 解：线段之间的数量关系为：，理由： 如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (2) 解：，理由： 如图，在的延长线上取一点，使得，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）延长到点，使，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到． （2）在的延长线上取一点，使得，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到，根据圆周角为，得到． 【详解】（1）略 （2）略 3．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【答案】(1)图见解析，，， (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． ◆题型2 全等三角形模型之手拉手模型 【常见模型及证法】 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4．（25-26八年级上·海南·期中）在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形和创作几何艺术装置．其中，，，交于点．请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题 (1)直角风格的装置 如图，当时，求证：，； (2)六十度风格的装置 如图，当时，求的度数； (3)猜想：任意顶角的装置 当时，的度数为________（直接用含的式子表示） 【答案】(1)证明：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ， ，． ， ． ， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）由，可得，证明，得到，，结合，即可得出结论； （2）由，可得，证明，得到，结合，即可解答； （3）根据（2）中的方法进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ． ，，， ； （3）解：， ，即． 在与中， ， ． ，，， ． 5．（25-26七年级下·山东济南·期中）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)18 【分析】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰直角三角形的性质解答； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； （3）同理证明，得到，，再根据计算，求出四边形的面积． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （3）解：如图，与相交于点 ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 6．（25-26七年级下·河南郑州·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ； (2)【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，直线，垂足为点O，上有一点M在点O右侧且，点N是上一个动点，连接，在下方作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 【答案】(1)； (2)；；理由见解析 (3)4；4 【分析】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理． （1）由，可得，根据可得，则可得出结论； （2）由，得，即可证，有，，而是等腰三角形且，知，故，即可得，； （3）证明，当有最小，即最小，即垂线段最短，当轴时，最小，则可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 故答案为：；； （2）解：与的数量关系是，位置关系是 ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵是等腰直角三角形， ∴， 将绕M点顺时针旋转得（N与重合）， 连接， ∴， ∴，， ∴， 当有最小，即最小，当轴时， 由，， ∴，， ∴，最小值为4． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，是上的任意一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转至，使，连接，则线段长度的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上截取，利用全等三角形的判定和性质，可得，，当时，的长度最小，此时的长度最小，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，进行解答，即可． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∴， 由旋转可得，， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，的长度最小，此时的长度最小， ∵，， ∴． ∴． 2．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先通过角的等量代换得到，利用证明，由此推出，再结合全等三角形对应角相等、三角形内角和、对顶角性质，分别验证度数与是否成立，逐一判断4个结论正误． 【详解】解：已知， ， 即， 在和中： ， ，结论①正确； 由全等三角形对应边相等，得，结论③正确； 由，得， 已知， ， ∵， ， 即， 代入，得， 在中，，结论②错误； 延长交于点，交于点， 由，得， 又，， ， ，即， ，结论④正确， 综上，①③④正确，共3个正确结论． 3．（25-26八年级上·四川遂宁·期末）如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由证明得出，则①②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得，得出，则③正确；作于，于，则，由证明，得出，由角平分线的判定得出平分，假设，证明，可得到，从而得到，与矛盾，则④错误． 【详解】解：， ∴，即， 在和中， ， ，则①正确； ，，，则②正确； 由三角形的外角性质得：， ，则③正确； 如图，作于，于，则， 在和中， ， ， ，， 平分，即， ， ∴， 假设， ， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，即，与矛盾， 则假设不成立，则④错误； 综上，正确的结论有①②③． 二、填空题 4．（25-26八年级下·山西晋中·期末）如图，在与中，，，，连接和交于点，连接，则_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】过点作，，交，于点，，证明，得出对应边相等和对应角相等，然后利用三角形的内角和及角平分线的定义即可求解． 【详解】解：， ， 又，， ， ， ， ， ． 5．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，，，点D是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图（）放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接、，与交于点F，则______． 【答案】 【分析】由已知条件可知，，，，进而推出，得到，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：，点D是线段的中点， ，， ， 是锐角为的直角三角板， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 6．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，中，于点，，过点作，，连接交于点，若，，则____________． 【答案】4 【分析】在上取一点E，使得，连接，由题意易得，则有，，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：在上取一点E，使得，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题 7．（25-26七年级下·山西运城·期末）已知：如图，和都是等腰三角形（，，），点、、不在同一条直线上，连接和．试探究线段与的数量关系并说明理由． 【答案】，理由如下： ， ，即， 在和中， ， ， ． 【分析】由推出，再根据推出，进而证明． 【详解】略 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：在和中，，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ； (2)解：（形式不唯一）． 理由：，， ， 又，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）证明得到，，推出，证明得到，推出，根据角的和差即可得证； （2）证明得到，，推出，证明得到，结合，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 9．（25-26七年级下·辽宁阜新·阶段检测）在中，，，点为直线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰直角，使． (1)当点在线段上时，如图1，请判断与的位置关系，并说明理由； (2)当点在线段的延长线上时，如图2，判断三条线段数量关系，并说明理由； (3)当点在线段的延长线上时，直接判断与的位置关系，并直接写出三条线段的数量关系． 【答案】(1)解：， 理由：， ， ， 在与中， ， ， ∵是等腰直角三角形，且， ， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)解：， 理由：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) ． 【分析】（1）根据“”即可证明，再根据等腰直角的性质即可说明； （2）同（1）的方法判断出，得出，再根据，可得出结论； （3）同（2）的方法可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， 理由：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴． 10．（25-26七年级下·山东烟台·期末）综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，，，连接、． 【问题发现】 (1)小明发现图1就是手拉手模型，拉手线、存在某种数量关系．其探究过程如下，请你写出①和②处的理由； 解： （理由：①） 在和中 （理由：②） (2)如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点、、在一条直线上，交于点．小明发现与依然全等．当时，求； 【拓展探究】 (3)在图2的基础上，延长至点，如图3．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)等式的性质；全等三角形的对应边相等； (2)； (3)解：．理由如下： 如图，过点A作于点M，作于点N． 同（1）可知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据角的和差关系结合全等三角形的性质，作答即可； （2）根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理即可得出结果； （3）过点A作于点M，作于点N，证明，进而证明，可知． 【详解】（1）略； （2）解：同（1）可知， ． 且， 在与中， ， ； （3）略． 11．（25-26八年级下·四川内江·开学考试）按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ． ． ． (3)或或 【分析】（1）延长到，使，连接．证明．，，证明．则．即可得到答案； （2）延长到，使，连接．证明，则，，证明，则．即可得到答案； （3）在上截取，使，连接．证明．则，．证明．则，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到，使，连接． 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ∴． ． ． ； （2）略 （3）当（1）的结论成立， 当图3中，或． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ． ，． ． ． ， ． ． 同理可得： ． 12．（25-26七年级下·山西晋中·期末）综合与探究： 问题情境：数学课上，老师和同学们一起以两个“顶角相等的等腰三角形”为背景展开探究活动．已知中，，点是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使得，，连接． (1)特例分析：如图1，当点在线段上，且时，则________． (2)拓展探究：若，． ①如图2，当点在线段上移动时，和之间有着怎样的数量关系？并说明理由． ②当点在直线上移动时，和之间有怎样的数量关系？请直接写出结论． 【答案】(1)； (2)①解：，理由如下： ， ， 即， 在和中， ， ， ， ，，， ； ②或． 【分析】（1）证明，得到，再进行等量代换，最后利用三角形内角和定理即可求证； （2）①证明，得到，再进行等量代换，最后利用三角形内角和定理即可求证； ②分别讨论当点M在线段上移动时，当点M在线段的延长线上移动时，当点M在线段的反向延长线上移动时，三种情况即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①略； ②解：当点M在线段上移动时，，证明见小问①； 当点M在线段的延长线上时，如图1，， 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点M在射线的反向延长线上时，如图2，， 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04全等三角形模型之截长补短模型与手拉手模型 内容概览 目常考题型精准突破 题型1全等三角形模型之截长补短模型（难） 题型2全等三角形模型之手拉手模型（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1全等三角形模型之截长补短模型 1. 【答案】(I)解：DE⊥CE,理由如下： :DE、CE分别是∠ADC、∠BCD的角平分线， .∠ADC=2∠EDC,∠BCD=2∠DCE, ADI BC. ∴.∠ADC+∠BCD=180° .2∠EDC+2∠DCE=180°， ∠EDC+∠DCE=90°， ∠DEC=90°， DE⊥CE: (2)解：如图，在DC上截取DF=AD=3,连接EF, 分别是 的角平分线， B DE、CE ∠ADC∠BCD ∴∠EDC=∠ADE,∠DCE=∠BCE, 在△ADE和△FDE中， 1/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·∠EAF=∠BMD】 LEAF-FAG ∴.∠EAF=∠EAG, 在△AEF和△AEG中， AE=AE ∠EAF=∠EAG, AF=AG .△AEF≌AAEG(SAS). ∴.EF=EG=BE+BG, ∴.EF=BE+DF; (2) 解：∠EAF=180°-)∠DAB,理由： 2 如图，在DC的延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG, G B D F.∠ABC+∠ADC=180°∠ABC+∠ABE=180° .∠ADC=∠ABE, AB=AD,DG=BE, ∴.△ABE≌△ADG(SAS), AG=AE,∠DAG=∠BAE, EF=BE+DF,DG=BE, .:EF DG+DF =GF, 在△AEF和△AGF中， AE=AG FA=FA, EF=GF .AAEF≌AAGF(SSS)」 3/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠FAE=∠FAG, :∠FAE+∠EAG+∠FAG=360°.∠EAG=∠BAE+∠BAG, .2∠FAE+(∠BAE+∠BAG)=360°， ∠DAG=∠BAE, ∴2∠FAE+(∠DAG+∠BAG)=360 即2∠EAF+∠DAB=360°， ∠EF=660-∠D1B)=180-3DB, 3. 【答案】(1)解：补全图形，如图： D F B E 图1 解题思路为：先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,即可得出BE,EF,FD之间的数量关系为 EF BE+FD: 故答案为：△ADG,△AGF,EF=BE+FD; (2)解：成立，证明如下： 延长FD到点G,使DG=BE,则∠ADF+∠ADG=180°， G D A E 图2 ∠B+∠ADC=180°， ∴∠B=∠ADG, .AB=AD, 4/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ABE≌△ADG, .AG=AE,∠1=∠3， EAF三BAD A+∠2=∠BAD, ∴3+2=BD,即：PAG=B1D, ∴.∠EAF=∠FAG. 又AF=AF, ∴.△AEF≌△AGF, .'.EF=GF, .GF DF+DG. ∴.EF=DF+BE: (3)解：在BC上取一点G,使BG=DF, A 3 D G E 图3 .∠ADF+∠ADC=180°，∠B+∠ADC=180°， .∠B=∠ADF, 又AB=AD, .△ABG≌△ADF, .AG=AF,∠1=∠2， 1+23=2+23=∠EMF=BAD, ÷∠GAE=)∠BAD=∠EAF, 又AE=AE, .△AGE≌aAFE, 5/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'EF EG=BE-BG=BE-DF 故答案为：EF=BE-DF ◆题型2全等三角形模型之手拉手模型 4. 【答案】(I)证明：设BE、AC交于点O, (图1) :∠CAB=∠EAF ∴.∠CAB+∠CAE=∠EAF+∠CAE,即∠FAC=∠EAB ∴.在△FAC与△EAB中， AB=AC ∠FAC=∠EAB AE=AF ∴△FAC≌△EAB(SAS). ∴BE=CF,∠EBA=∠ACF. :∠CAB=90°， ∴.∠EBA+∠BQA=90° ·∠BQA=∠CQE, .∠ACF+∠CQE=90° .∠C0Q=180°-90°=90°. BE⊥CF: (2)解：设BE、AC交于点， 6/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (图2) :∠CAB=∠EAF, ∴.∠CAB+∠CAE=∠EAF+∠CAE,即∠FAC=∠EAB」 ∴.在△FAC与△EAB中， AB=AC ∠FAC=∠EAB AE=AF .△FAC≌aEAB(SAS), .∠EBA=∠ACF :∠BQA=∠CQE,∠FCA+∠BOC+∠CQO=180°，∠EBA+∠BAC+∠BQA=180° .∠BOC=∠CAB=60°： (3)解：∠CAB=∠EAF, ∴.∠CAB+∠CAE=∠EAF+∠CAE,即∠FAC=∠EAB ∴.在△FAC与△EAB中， AB=AC ∠FAC=∠EAB AE=AF ∴△FAC≌aEAB(SAS). .∠EBA=∠ACF :∠BQA=∠CQE,∠FCA+∠BOC+∠CQO=180°，∠EBA+∠BAC+∠BOA=180°， ∠BOC=∠CAB=a. 5. 【答案】(1)解：BD=CE,理由如下： ,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， .AB=AC,AD=AE, .'AB-AD=AC-AE, 7/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BD=CE: (2)解：BD=CE,BD⊥CE,理由如下： 延长BD,分别交AC、CE于F、G, ,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90° :∠BAD=∠BAC-∠DAC,∠CAE=∠DAE-∠DAC, ∴.∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE .△ABD≌△ACE(SAS), .BD=CE,∠ABD=∠ACE」 ,'∠AFB=∠GFC, ∴.∠CGF=∠BAF=90°，即BD⊥CE: (3)解：如图，BD与AC相交于O点 B ,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAD=∠BAC+∠DAC,∠CAE=∠DAE+∠DAC, .∠BAD=∠CAE」 .△ABD≌△ACE(SAS) ∴.BD=CE=6,∠ABD=∠ACE, 8/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠AOB=∠FOC, ∴.∠BFC=∠BAC=90°， 即BD⊥CE, 5.+5.CExF+CEx DF-xCExBD-x6x61 1 6. 【答案】(1)，∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE :.△ABD≌aACE(SAS): 故答案为：△ACE;BD=CE: (2)解：BD与CE的数量关系是BD=CE,位置关系是BD⊥CE ,∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE .△ABD≌aACE(SAS), .BD=CE,∠ACE=∠ABC, ,△ABC是等腰三角形且∠BAC=90°， ∴，∠ABC=∠ACB=45°， .∠ACE=∠ABC=45° ∴.∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°， BD⊥CE: (3),△MNP是等腰直角三角形， ∴.∠MNP=∠NPM=45°. 将aOPM绕M点顺时针旋转90°得△O'P'M(N与P'重合)， 9/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接00， p 图3 .△PMO≌aP'MO', .MO=MO',OP=0'P' ∴.∠0'M0=45°， 当OP有最小，即OP最小，当OP'⊥y轴时， 由∠00P'=45°，∠0'P'0=90°， ..O'P'=OM=4,ON=OP'=4. .ON=4,OP最小值为4. 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.B 2.C 3.B 二、填空题 4. 5.45 6.4 10/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 7. 【答案】AE=BD,理由如下： ∠ACB=∠DCE=a, ∴.∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE, :在△BCD和△ACE中， CA=CB ∠BCD=∠ACE. CD=CE :△BCD≌△ACE(SAS), .AE=BD」 8. 【答案】(I)证明：在△ABE和△ADG中，AB=AD,∠B=∠ADG=90°，BE=DG, :.△ABE≌△ADG(SAS), .∠BAE=∠DAG,AE=AG. EF BE+DF,DG=BE, .EF BE+DF=DG+DF=GF, AF=AF, :△AEF≌△AGF(SSS), ∴.∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF, ∴.∠BAE+∠FAD=∠EAF, ∴.∠BAD=∠BAE+∠FAD+∠EAF=2∠EAF: a解：∠EF=180-<D1B(形式不唯）. 理由：∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， .∠ADC=∠ABE 又：AB=AD,DG=BE, :△ADG≌aABE(SAS). .AG=AE,∠DAG=∠BAE, EF BE+FD,DG=BE, .EF BE FD=DG+FD=GF, 11/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF =AF, :△AEF≌aAGF(SSS), ∴.∠FAE=∠FAG ∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， :.2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360, :.2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360°， 即2∠FAE+∠DAB=360°， ∠EAF=180°-1∠DAB】 9. 【答案】(I)解：CE⊥BC, 理由：∠BAC=∠DAE=90° ∴.∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD, .∠BAD=∠CAE, [AB=AC 在 与 中∠BAD=∠CAE △ABD△ACE AD=AE △ABD≌△ACE(SAS), ∴.∠ABC=∠ACE, ,△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°， ∴.∠ABC=∠ACB=45°， .∠ACE=∠ABC=45°， ,∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°. .∠ABC+∠ACE=90°， .CE⊥BC: (2)解：CE=BC+CD 理由：，△ABC△ADE是等腰直角三角形， .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90° :.∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,即∠BAD=∠CAE, 12/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AC 在 和 中， ∠BAD=∠CAE △ABD △ACE AD=AE .△ABD≌aACE(SAS), .BD=CE. ..BD=BC+CD .CE=BC+CD: (3)解：BC⊥CE,CD=BC+CE, 理由：如图3， B D 是等腰直角三角形， 图3 △ABC,△ADE .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°， ∴.∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,即∠BAD=∠CAE, AB=AC 在 和 中， ∠BAD=∠CAE △ABD△ACE AD=AE .△ABD≌△ACE(SAS), ∠ADB=∠AEC, BD=CE」 .CD=BD+BC, ∴.CD=CE+BC, :∠ADE+∠AED=90°，即∠ADB+∠CDE+∠AED=90°， .∠AEC+∠CDE+∠AED=90° .∠DCE=90°，即BC⊥CE, .BC⊥CE,CD=BC+CE 10 【答案】()等式的性质；全等三角形的对应边相等； (2)解：同(1)可知△ABD≌△ACE(SAS), 13/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABD=∠ACE, :∠AOB=∠EOC且∠BAC=a, 在△AOB与△EOC中， ∠BAC+∠ABD+∠AOB=180°，∠BEC+∠ACE+∠EOC=180° .∠BEC=∠BAC=a; (3)解：∠AED=∠AEF.理由如下： 如图，过点A作AM⊥CE于点M,作AN⊥BD于点N. M E B 同(1)可知△ABD≌△ACE(SAS). .BD=CE. S.AD=SACE .0-BD AN,Sc=CE.AM, 2 2 D:AN-CE-AM. .AM =AN, 又：AM⊥CE,AW⊥BD, .△AME≌△ANE(HL), .∠AED=∠AEF. 11. 【答案】(I)解：如图1，延长EB到G,使BG=DF,连接AG 在 与 中， G-- B E 图1 △ABG△ADF 14/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AD ∠ABG=∠ADF=90° BG=DF ∴△ABG≌△ADF(SAS). ∴.AG=AF,∠I=∠2， A∠A+∠3=∠2+∠3=∠BAD=∠EAF ∠GAE=∠EAF. 又AE=AE, .△AEG≌△AEF. ..EG=EF. ·EG=BE+BG. ∴EF=BE+FD: (2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立. 理由是：如图2，延长EB到G,使BG=DF,连接AG, A D G B E 图2 :∠ABC+∠D=180°∠ABG+∠ABC=180° ∠ABG=∠D, 在△ABG与△ADF中， AB=AD ∠ABG=LD, BG=DF △ABG≌△ADF(SAS) ∴AG=AF,∠1=∠2， :∠I+∠3=∠2+∠3=∠BAD=∠EAF, .∠GAE=∠EAF. 又AE=AE, △AEG≌△AEF. 15/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EG=EF. .EG=BE+BG .EF BE+FD (3)当(1)的结论EF=BE+FD成立， 当图3中，EF=BE-FD或EF=FD-BE 证明：在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG】 E 图3 :∠B+∠ADC=180°∠ADF+∠ADC=180° .∠B=∠ADF. 在△ABG与△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠ADF, BG=DF △ABG≌△ADF(SAS) .∠BAG=∠DAF,AG=AF. 1 ∴.∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF= 2 ∠BAD .∠GAE=∠EAF AE=AE, .∴.△AEG≌△AEF(SAS) .EG=EF EG=BE-BG .EF=BE-FD. 同理可得：EG=EF ·EG=BG-BE :.EF FD-BE. 12. 【答案】(1)解：∠MAN=∠BAC, 16/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠MAB=∠NAC, 又：AB=AC,AM=AN, ∴.△MAB≌aNAC(SAS), .∠ABM=∠ACN, ∴.∠BCN=∠ACB+∠ACN=∠ACB+∠B=180°-∠BAC=90°： (2)①解：a+B=180°，理由如下： .∠MAN=∠BAC」 ∴.∠MAN-∠MAC=∠BAC-∠MAC, 即∠CAN=∠BAM, 在△BAM和△CAN中， AB=AC ∠BAM=∠CAN, AM=AN ∴.△BAM≌△CAN(SAS). ∴.∠B=∠ACN, :∠BAC=a,∠BCN=B,∠BAC+∠B+∠BCA=180°， .∠BAC+∠B+∠BCA =a+∠ACN+∠BCA =a&+∠BCN =&+B =180°： ②解：当点M在线段BC上移动时，a+B=180°，证明见小问①： 当点M在线段BC的延长线上时，如图1，Q+B=180°， 证明：，∠MAN=∠BAC, ∴.∠MAB=∠NAC. 又：AB=AC,AM=AN, .△MAB≌aNAC(SAS), .∠ABM=∠ACN, .∠BCN=∠ACB+∠ACN=∠ACB+∠B=18O°-∠BAC, .a+B=180° 当点M在射线BC的反向延长线上时，如图2，=B, 17/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：，∠MAW=∠BAC, .∠MAB=∠NAC, 又，AB=AC,AM=AN, .△MAB≌aNAC(SAS), ∴.∠ABM=∠ACN, ∴.∠BCN=∠ACN-∠ACB=∠ABM-LACB=∠BAC, ∴.a=B 综上所述，a+B=180°或a=B, A ! M ---- B CM W 图1 图2 18/18