培优专题03 全等三角形常考几何模型12大题型（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以几何模型为核心，构建从静态基础到动态综合的全等三角形解题体系，提炼12类模型通法，适配中考高频考点。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础模型|3题型|公共边/角识别、平移性质应用|从图形基本元素到平移变换，构建全等判定直观认知| |变换模型|5题型|翻折对称、旋转构造（手拉手/半角）|通过对称/旋转变换，深化全等性质的动态应用| |辅助线构造|2题型|倍长中线法、截长补短法|聚焦辅助线添加技巧，突破条件转化难点| |动态综合|2题型|动点轨迹分析、多模型融合|结合运动变化，培养几何直观与推理能力|

培优专题03 全等三角形常考几何模型 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形常考几何模型 题型1 公共边、公共角、对顶角模型 题型2 平移模型 题型3 翻折模型（难） 题型4 倍长中线模型（高频） 题型5 截长补短模型（高频） 题型6 一线三等角（内k、外k）（高频） 题型7 手拉手模型（高频） 题型8 半角模型（高频） 题型9 对角互补模型（高频） 题型10 角平分线模型（高频） 题型11 动点型全等模型（难） 题型12 全等模型综合（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形常考几何模型 静态基础：公共边、公共角、对顶角 平移系：一字平移、阶梯平移 对称翻折系：角分线翻折、垂直平分线、矩形折叠 旋转系：手拉手、一线三垂直 K 型、半角模型、8 字旋转 辅助线构造：倍长中线、截长补短、作平行线 直角专用：HL、双直角共斜边 特殊图形：等边、正方形、菱形衍生全等 动态题型：数轴动点、几何动点全等 拓展难题：飞镖、镜面反射、倍长角分线复合模型 ◆题型1 公共边、公共角、对顶角模型 1．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，与相交于点，已知点为的中点，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，连接，，则的度数为__________． 3．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 4．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，已知、交于点，，添加下列哪个条件后，仍不能使的是（     ） A． B． C． D． ◆题型2 平移模型 5．（25-26七年级下·浙江金华·期末）一、知识回顾 （1）三角形中线性质：三角形的中线能够把三角形面积分成相等的两个部分． （2）图形的平移性质：图形的平移不改变图形的形状和大小；一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等． 二、知识应用 如图1，把沿着射线方向平移到，线段与交于点．    （1）若，求的度数． （2）若点为的中点，的面积为8． ①求证：点是的中点． ②求的面积． 三、知识拓展 （3）如图2，把沿着射线方向平移到，线段与交于点，点为的中点，与交于点，若，时，求的面积． 6．（2019·河北石家庄·一模）如图1，与全等，且．如图2，将沿射线方向平移得到，连接． (1)求证：且； (2)沿射线方向平移的距离等于______时，点与点之间的距离最小． 7．（25-26八年级上·吉林·阶段检测）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若是边的中点，且，将向右平移，点的对应点与点重合，则平移的距离为________． 8．（25-26八年级下·浙江台州·期末）将平移得到，经过的中点，已知，则__________． ◆题型3 翻折模型 9．（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，将沿所在的直线翻折得到，再将沿所在的直线翻折得到，若点在同一条直线上，．有下列结论： ①， ②， ③． 其中正确的说法是___________．（填序号即可） 10．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）四边形中，∠C=∠D=90°，，，M为的中点，将沿翻折，点D恰好落在上的N处， (1)证明平分； (2)求长； 11．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为______． 12．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，将长方形的纸片沿翻折使点C与E重合，若，，则的长为______．    ◆题型4 倍长中线模型 倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 13．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 14．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 15．（25-26七年级下·贵州毕节·期末）【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．             【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 16．（25-26七年级下·广东深圳·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长． ◆题型5 截长补短模型 截长补短模型 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 17．（25-26八年级上·安徽·单元测试）“截长补短”的方法适用于求证线段的和差倍分关系．“截长”：指在长线段中截取一段等于已知线段；“补短”：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程．已知：如图，中，，，求证：． 18．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题． 【解决问题】 如图①，在中，平分，交于点，且．求证：． 【方法应用】 (1)为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分， ， 在和中， ， （ ① ）， ，． ， ． 是的一个外角， ， ， ② ，（ ③ ） ， ． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长． 19．（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 20．（25-26八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． ◆题型6 一线三等角模型（内k、外k） 一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 21．（25-26七年级下·广东深圳·期末）同学们为了测量教学楼的高度，进行了如下操作：如图，在教学楼前竖直放置一根高为3米的标杆，测得标杆底部点与教学楼底部点之间的距离为18米．在教学楼与标杆之间的地面上选取一点，测得点到教学楼底部点的距离为3米，从点观察标杆顶与楼顶时，，且点在同一水平线上．根据以上数据计算出教学楼的高度是（     ）米． A．15 B．13 C．12 D．18 22．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，于点，，交的延长线于点，．若，则______ ． 23．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 24．（25-26八年级上·河南安阳·期中）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：________； (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． ◆题型7 手拉手模型 双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 25．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，已知等边三角形和等边三角形的底边共线，连接分别交于点，连接，则下列不正确的结论是（    ）    A． B． C． D． 26．（2025·广东·一模）已知：如图，、都是等腰三角形，且，，，、相交于点O，点M、N分别是线段、的中点．以下4个结论：①；②；③是等边三角形；④连，则平分．其中正确的有__________． 27．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 (1)【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”． 求证，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴（ ）①． 即． … （ ）② (2)【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使） 28．（25-26八年级上·河北保定·期中）我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学实践小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究．如图1、图2，与的顶点重合，，，． 【初步探究】（1）如图1，连接，，他们通过测量发现． ①请你证明他们的结论； ②判断与之间的位置关系，并说明理由； 【大胆猜想】（2）在（1）的条件下，连接，，他们猜想的面积与的面积相等，请你判断他们的猜想是否正确，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图2，连接，，当时，延长交于点，且，的面积为32，直接写出的长度． ◆题型8 半角模型 半角模型 条件：如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型） 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 29．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    30．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 31．（25-26八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 32．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，，是边上一点，是的延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若将题中条件“，”改为“，，点在边上”，则当满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果即可） ◆题型9 对角互补模型 33．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 34．（2025七年级下·全国·专题练习）已知P为的平分线上的任意一点，与互补，的两边与的两边交于，两点．      (1)如图①，若，当绕着点P旋转时，写出和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，当时，与仍然互补，这时（1）中的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 35．（25-26八年级上·四川南充·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 36．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）（1）如图1：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究的方法是：延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是_____（直接写结论，不需证明）； （2）如图2，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，猜想上述结论是否仍然成立，并证明； （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求的周长． ◆题型10 角平分线模型 37．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 38．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，的面积为，平分，过点作于点，连接，则的面积为___________． 39．（24-25八年级上·吉林四平·期中）【定理回顾】 （1）我们已经学习了“角平分线的性质定理”，如图，已知：，点在上，、，垂足分别为，，求证：．请写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程； 【定理应用】 （2）如图，在图的基础上，做一个，使得， 证明：； 若，，直接写出与的数量关系． 40．（25-26七年级下·广东深圳·期中）探究与证明 【问题情境】 (1)利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据___________，证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】 (2)如图2，在中，平分于，若，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】 (3)如图3，中，平分，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 (4)如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点作于．已知面积为26，则划出的的面积是___________？ ◆题型11 动点型全等模型 41．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动（   ）秒时，与全等．(注：点E与A不重合) A．4或12 B．12或16 C．4或16 D．4或12或16 42．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在四边形中，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为________时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 43．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在长方形中，为边上一点，其中，，．动点从开始，以的速度沿路线运动到点停止，从点开始运动的同一时刻动点以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为_____时，在某一时刻与全等． 44．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）如图，在中，，高相交于点，且． (1)求线段的长； (2)设动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿线段以每秒4个单位长度的速度向终点C运动，当点Q到达C点时，P、Q两点同时停止运动，连接．求当时，点P的运动时间是多少秒? (3)点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． ◆题型12 全等模型综合 45．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 46．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 47．（25-26七年级下·福建福州·期末）点，为坐标轴上两点，点为坐标平面内一点，，连接，，，． (1)如图1，点C在内，满足． ①若，求的度数； ②若，求的长； (2)如图2，，为中点，点在线段上，连接并延长至点，使得，、交于点，连接，若，求的面积． 48．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）解答以下问题 (1)如图，已知和，，，点，，在同一直线上，且点在点和之间．若，由，得．又，可以推理得到 ，进而得到 ， ； (2)如图，，，，连接，，过点作直线于点，与直线交于点．判断点是否是的中点，并说明理由． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在中，，为边上的中线，延长到点，使，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东青岛·期末）兴趣小组的同学用数学知识测量花园里池塘两侧点，之间的距离，他们画出的示意图如图所示，点，，，在同一直线上，点，在池塘的两侧，且，，测得．若，，则假山的长是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，，于点E，于点D．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，点在线段上，点在线段上，，．则的理论依据是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27八年级·上海·暑假作业）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·重庆·期末）如图所示，在和中，，点，，在同一条直线上，且，于点，若，，则（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，，平分，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 11．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． 12．（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）如图，在中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，若，，则___________． 13．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则长为______． 14．（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，在四边形中，，，E是中点．点P在线段上以的速度由B向C单向运动的同时，点Q在线段上匀速由C向D单向运动．为使与在两点运动过程中全等，点Q的速度应为________________ ． 15．（25-26八年级下·山东日照·开学考试）如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为_____． 16．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，平分交于，点在线段上，满足，若，，则的长为______． 17．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，中，于点，，过点作，，连接交于点，若，，则____________． 18．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，平分．若，则的面积为_____ ． 19．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段检测）综合实践： (1)如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 (2)如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 20．（25-26八年级上·新疆塔城·期末）阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 21．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线l于点H，若，，求的长． 22．（25-26七年级下·广东清远·期末）综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 23．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）在中，，，直线经过点，过点，分别作的垂线，垂足分别为，． (1)特例体验 如图（1），若直线，，则线段的长为 ． (2)探究应用 如图（2），若直线从图（1）状态开始绕点顺时针旋转时，试说明：； (3)如图（3），若直线从图（1）状态开始绕点顺时针旋转时与线段相交，探究线段，和的数量关系并说明理由； (4)若，（均为正数），当时，请你直接写出以点，，，为顶点的四边形的面积． 24．（25-26七年级下·江西吉安·期末）阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 25．（25-26七年级下·吉林长春·期末）探究下列问题： (1)小林同学在探究三角形全等时，发现了下面这种基本图形，如图①，已知：在中，，，直线经过点，，，垂足分别为点，．能直接得到线段，，三者之间的数量关系： ． (2)当直线绕点旋转到图②的位置时，求证：； (3)老师赞赏了小林同学的探索精神，并鼓励他运用这个方法来解决问题：如图③，以的边向外作正方形和正方形是边上的高，延长交于点，当时， ． 26．（25-26六年级下·山东济南·期末）【模型探究】 已知中，，，过点C作直线l，，垂足为点D，，垂足为点E． (1)如图1，当点A、点B在直线l的同侧时，、、之间的数量关系为：__________； (2)如图2，当点A、点B在直线l的异侧时，请写出、、之间的数量关系，并说明理由； 【方法迁移】 (3)如图3，已知中，，，又以为斜边构造，其中，求的面积． 27．（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 28．（2026·黑龙江鸡西·模拟预测）如图1，在正方形中，E，F分别是，上的点，且，则有结论成立． (1)如图2，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，，探究线段，，之间有怎样的数量关系，请写出你的结论，并说明理由； (2)如图3，在四边形中，，，延长到点E，延长到点F，使得，猜想线段，，又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需要证明． 29．（25-26七年级下·陕西西安·期末）综合探究与应用 (1)如图1，在中，，，若于E，于D，则与的数量关系是________． (2)如图2，在中，，，D点为边上一动点，连接，作且，连接交于F点，若，．求证：点D为中点． (3)为打造“智慧校园+美学空间”，某校计划在校园一处生态种植区中布设智能感应灯带系统．经测量，中，，米，．系统采用“双光源联动结构”，如图3，以定点A为控制中心，投射点D可在射线上调节；同时在A处与垂直方向安装用于对称补光的补偿灯E，使，（点E在点D的右边）．灯带线路与主控制线所在直线交于点F，该点将作为线路转接与分线的物理点位．施工员测得当前D点到B点的距离米，请直接写出此时的长度． 30．（26-27八年级·全国·暑假作业）综合题 (1)如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． (2)【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． (3)【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与 的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题03 全等三角形常考几何模型 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形常考几何模型 题型1 公共边、公共角、对顶角模型 题型2 平移模型 题型3 翻折模型（难） 题型4 倍长中线模型（高频） 题型5 截长补短模型（高频） 题型6 一线三等角（内k、外k）（高频） 题型7 手拉手模型（高频） 题型8 半角模型（高频） 题型9 对角互补模型（高频） 题型10 角平分线模型（高频） 题型11 动点型全等模型（难） 题型12 全等模型综合（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形常考几何模型 静态基础：公共边、公共角、对顶角 平移系：一字平移、阶梯平移 对称翻折系：角分线翻折、垂直平分线、矩形折叠 旋转系：手拉手、一线三垂直 K 型、半角模型、8 字旋转 辅助线构造：倍长中线、截长补短、作平行线 直角专用：HL、双直角共斜边 特殊图形：等边、正方形、菱形衍生全等 动态题型：数轴动点、几何动点全等 拓展难题：飞镖、镜面反射、倍长角分线复合模型 ◆题型1 公共边、公共角、对顶角模型 1．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，与相交于点，已知点为的中点，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴，， ， ∴． (2) 【分析】（1）根据已知条件可得，根据平行线的性质可得，，运用证明，最后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）由三角形内角和定理得，根据（1）可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 根据（1）可得：． 2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，连接，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据“”判定，利用全等三角形对应角相等得出，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 在中，． 3．（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴ (2)方法一：如图，连接，得到， 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 方法二：如图，连接，得到， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ 【分析】（1）在和中，结合已知的、公共角与，依据即可证明两三角形全等； （2）可连接，得到；由（1）得，由全等性质可知、，结合推得，再根据三边对应相等，依据即可证明；也可连接，得到，同上得、，依据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 4．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，已知、交于点，，添加下列哪个条件后，仍不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知及公共边，根据全等三角形判定定理逐项验证即可． 【详解】解：已知，且为公共边，即． A．添加． ，，， ，不符合题意． B．添加，此时为，，，属于，不能判定，符合题意． C．添加． ，，， ，不符合题意． D．添加． ， ，即． ，，， ，不符合题意． ◆题型2 平移模型 5．（25-26七年级下·浙江金华·期末）一、知识回顾 （1）三角形中线性质：三角形的中线能够把三角形面积分成相等的两个部分． （2）图形的平移性质：图形的平移不改变图形的形状和大小；一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等． 二、知识应用 如图1，把沿着射线方向平移到，线段与交于点．    （1）若，求的度数． （2）若点为的中点，的面积为8． ①求证：点是的中点． ②求的面积． 三、知识拓展 （3）如图2，把沿着射线方向平移到，线段与交于点，点为的中点，与交于点，若，时，求的面积． 【答案】（1）； （2）①证明：连结，由平移可知，，   ， ，， ， ， ，即点是中点； ②2； （3）28 【分析】（1）根据平移的性质可得，，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）①由平移可知，根据题意可证，可得，由此即可求证；②是中点，是中点，根据中线的性质可得，，由此即可求解； （3）连结，根据为中点，结合中位线的性质可得，，根据，可得，由即可求解． 【详解】解：（1）由平移可得，，， ； （2）①略 ②连结，   是中点， ， 是中点， ， ； （3）连结，    ∵为中点， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查图形平移的性质，三角形中线的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识的综合，掌握图形平移的性质，中线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 6．（2019·河北石家庄·一模）如图1，与全等，且．如图2，将沿射线方向平移得到，连接． (1)求证：且； (2)沿射线方向平移的距离等于______时，点与点之间的距离最小． 【答案】(1) 证明：由图可知，， ， 由平移的性质可知，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 且； (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，平移的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，平移的性质证明,根据全等的性质即可得到结论； （2）根据平移的距离即为的长即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：当点于点重合，点与点之间的距离最小， 沿射线方向平移的距离等于， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·吉林·阶段检测）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若是边的中点，且，将向右平移，点的对应点与点重合，则平移的距离为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，平移，熟练掌握三角形的判定是解题的关键． (1)根据得到即证明即可． (2)根据得到,证明即可． (3)根据得到，结合是边的中点，得到，平移距离，计算即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 又，， , ∴． （2）∵， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴平移距离， 故答案为：3． 8．（25-26八年级下·浙江台州·期末）将平移得到，经过的中点，已知，则__________． 【答案】/ 【分析】证明四边形是平行四边形，再证明，求解即可； 【详解】解：∵平移得到， ∴， ∴ ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ◆题型3 翻折模型 9．（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，将沿所在的直线翻折得到，再将沿所在的直线翻折得到，若点在同一条直线上，．有下列结论： ①， ②， ③． 其中正确的说法是___________．（填序号即可） 【答案】①②③ 【分析】①由翻折可得，即得出； ②由翻折可得点与点关于直线对称，进而可以进行判断； ③由翻折可得，再根据角的和与差即可进行判断． 【详解】解：①由翻折可知：， ∴，故①正确； ②由翻折可知：点与点关于直线对称， ∴，故②正确； ③由翻折可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确． 综上所述，正确的说法是：①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握翻折变换的性质． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）四边形中，∠C=∠D=90°，，，M为的中点，将沿翻折，点D恰好落在上的N处， (1)证明平分； (2)求长； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）根据折叠可得，，根据中点可得，根据全等三角形的判定和性质可证，即可证得结果； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 翻折， ， ，， ， ， 点是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 平分； （2）由（1）知，， ， ， ． 11．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，延长和相交于点，由折叠可得，，进而由角平分线可证，得到，即得，再证明，可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长和相交于点， 由翻折可知，，， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，将长方形的纸片沿翻折使点C与E重合，若，，则的长为______．    【答案】12 【分析】由翻折得到，，利用长方形的性质得到，推出，证明，得到，求出，由此求出，继而得到答案． 【详解】解：由翻折得， 在长方形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ∴， 故答案为：12． 【点睛】此题考查了翻折的性质，长方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． ◆题型4 倍长中线模型 倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 13．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 14．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 【答案】(1)B (2)2（或3，4，5，6之一） (3)证明：如图③，延长 至点 ，使，连接． 同（1），可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴． (4)4 【分析】（1）由题意知，，，可得； （2）由得，在中，根据三角形三边关系可得，进而即可求解； （3）倍长 至E，连 ，同（1）可证， 得出，结合，可得，由等边对等角可得，等量代换后可得，根据等角对等边即可得出结论； （4）倍长 至G，连，同（1），可证，进而证明，可得. 【详解】（1）解：在和中， ， ， 故选：B； （2）解： ， ， 在中，，，，， ∴， 即， ∵ 为整数，， ∴ 的长可以为 2，3，4，5，6 中之一. （3）略 （4）解：如图，延长至点 ，使，连， ∴， 同（1），可证， ∴. ∵ ， ∴， ∵， ∴. 在 中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关键． 15．（25-26七年级下·贵州毕节·期末）【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．             【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明：如图3，是的中点，延长至点，使，连接， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，根据三角形内角和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）按照边角边证明三角形全等即可． （2）按照（1）中方法延长，使，利用三角形全等证明，再利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求出的取值范围． （3）按照（1）中方法延长，使，证明、即可证明出结论． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， （2）解：如图2，是 的中线，，，延长至点，使，连接，则， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴在，根据三角形三边关系得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）略 16．（25-26七年级下·广东深圳·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1) 解：如图，延长到点，使，连接， 是的中线， ， 解得： 即AD的取值范围为：； (2) 证明：如图2，延长至，使，连接，则， 为的中点， ， ， ， 在和中， (3) 【分析】（1）先推导出得到再根据三角形的三边关系，得到求出则解得 即可解答； （2）延长至，使，连接，则，推导出得到推导出证明得到，即可解答； （3）延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，推导出得到继而证明得到推导出证明出可求出即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接， 是的中点， ， 在和中， 又∵ 即． ◆题型5 截长补短模型 截长补短模型 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 17．（25-26八年级上·安徽·单元测试）“截长补短”的方法适用于求证线段的和差倍分关系．“截长”：指在长线段中截取一段等于已知线段；“补短”：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程．已知：如图，中，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 在上取．连接，可得，得出，再证明即可解决问题． 【详解】证明：在上取，连接，   ，，且， ， ，， ∵，， ， ， ， ． 18．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题． 【解决问题】 如图①，在中，平分，交于点，且．求证：． 【方法应用】 (1)为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分， ， 在和中， ， （ ① ）， ，． ， ． 是的一个外角， ， ， ② ，（ ③ ） ， ． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长． 【答案】(1)；；等角对等边 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，理解题意，熟练掌握“截长补短法”是解题关键． （1）首先根据角平分线的定义可得，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，结合易得，结合三角形外角的性质即可证明为等腰三角形，然后证明结论； （2）在上截取，连接，利用“”，由全等三角形的性质可得，进而可得，易得，再利用“”证明，易得，即有，然后结合题意求解即可． 【详解】（1）为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是的一个外角， ， ， （等角对等边）， ， ． 故答案为：；；等角对等边； （2）在上截取，连接， 由题意可得，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 19．（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【答案】（1）； 理由：如图①，在上截取，连接， 为的角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）， 理由：如图②，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ； （3）不成立.新数量关系为：． 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和等于、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等角对等边”等知识． （1）在上截取，连接，证明，推出，，再求得，据此即可得到； （2）在上截取，连接，证明，推出，，同（1）即可求解； （3）在的延长线上取一点，使，连接，证明，同理可证明． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）不成立， 新数量关系为：， 理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 20．（25-26八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 【答案】(1) 证明：在上截取，使得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； (2)16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义可得，再利用证明，从而可得，，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，再根据等量代换可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）在上截取，连接，先利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用证明，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）略 （2）在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为16． ◆题型6 一线三等角模型（内k、外k） 一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 21．（25-26七年级下·广东深圳·期末）同学们为了测量教学楼的高度，进行了如下操作：如图，在教学楼前竖直放置一根高为3米的标杆，测得标杆底部点与教学楼底部点之间的距离为18米．在教学楼与标杆之间的地面上选取一点，测得点到教学楼底部点的距离为3米，从点观察标杆顶与楼顶时，，且点在同一水平线上．根据以上数据计算出教学楼的高度是（     ）米． A．15 B．13 C．12 D．18 【答案】A 【分析】根据题意可得 ，利用同角的余角相等证明 ，从而证得 ，利用全等三角形性质即可得出 ． 【详解】解：由题意可知 ，， ． ， ． 又 ， ． 又∵ ． ． ，， ∴， ∴ ． 即教学楼的高度是 15 米． 22．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，于点，，交的延长线于点，．若，则______ ． 【答案】6 【分析】利用证明，得到，据此计算即可求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 23．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过“一线三垂直”模型，证明，得． （2）同理证，得，再通过计算的长度． （3）作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型，证，结合A、C的坐标差得到线段长度，即可计算B点坐标． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ； （3）解：如图3过点作轴，过点作轴， 过点作轴，分别与交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 点坐标为． 【点睛】考查 “一线三垂直”模型、全等三角形的判定（AAS）、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系中点的坐标计算．解题关键识别“一线三垂直”模型，准确找到全等三角形的对应边、对应角；坐标系中利用垂直辅助线将点的坐标差转化为线段长度． 24．（25-26八年级上·河南安阳·期中）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：________； (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)8 【分析】（1）证明，得到，利用，即可得到； （2）证明：，得到，利用，即可得到； （3）证明，推出即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴（）， ∴， ∴； 故答案为：； （2）成立． 理由如下：∵， ，， ∴． 在和中， ， ∴（）． ∴，． ∴． （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键． ◆题型7 手拉手模型 双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 25．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，已知等边三角形和等边三角形的底边共线，连接分别交于点，连接，则下列不正确的结论是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用证明，根据全等三角形的性质得，，再根据三角形内角和定理求解；再利用说明，得，根据等腰三角形的性质求出，即可判定． 【详解】、是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故A正确，不符合题意； ， ， ， 在和中， ， ， ， 故B正确，不符合题意； ， ， ， ， 故D正确，不符合题意； 根据题意，无法得出， 故C不正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 26．（2025·广东·一模）已知：如图，、都是等腰三角形，且，，，、相交于点O，点M、N分别是线段、的中点．以下4个结论：①；②；③是等边三角形；④连，则平分．其中正确的有__________． 【答案】①②④ 【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是熟练掌握几何图形的性质． ①根据全等三角形的判定定理得到，由全等三角形的性质得到；故①正确； ②设与交于F，根据全等三角形的性质得到，得到，根据平角的定义得到，故②正确； ③根据全等三角形的性质得到，，根据线段的中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，得到，推出不一定是等边三角形，故③不符合题意； ④过C作于G，于H，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理即可得到平分，故④正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；故①正确； ②设与交于F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴ 又∵点M、N分别是线段的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴不一定是等边三角形，故③不符合题意； ④过C作于G，于H， ∵， ∴， ∴平分，故④正确， 故答案为：①②④． 27．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 (1)【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”． 求证，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴（ ）①． 即． … （ ）② (2)【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使） 【答案】(1)等式的性质， (2)42° 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等式的性质可得，则可证明，再利用即可证明； （2）在上取一点E，使，连接，由等边对等角得到，则可证明，进而证明，得到，设和交于点O，由，可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴（等式的性质）． 即． 又∵， ∴； （2）解：在上取一点E，使，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设和交于点O， ∵， ∴． 28．（25-26八年级上·河北保定·期中）我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学实践小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究．如图1、图2，与的顶点重合，，，． 【初步探究】（1）如图1，连接，，他们通过测量发现． ①请你证明他们的结论； ②判断与之间的位置关系，并说明理由； 【大胆猜想】（2）在（1）的条件下，连接，，他们猜想的面积与的面积相等，请你判断他们的猜想是否正确，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图2，连接，，当时，延长交于点，且，的面积为32，直接写出的长度． 【答案】 解：（1）①证明：， ，即． 在和中， ， ； ②与之间的位置关系为； 理由：设与交于点． ， ． 在中，， ， 即， ， ，即； （2）他们的猜想正确： 证明：过作于，过作交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴； （3）的长度为3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键． （1）①由，得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； ②由得到，再利用直角三角形的性质即可证明； （2）过作于，过作交延长线于点，根据余角的性质得到，证明，根据性质得，然后由，，，即可得到结论； （3）过点作，交的延长线于点，证明，根据性质得，利用三角形面积公式列式计算，从而求解； 【详解】解：（1）①略 ②略 （2）略 （3）的长度为3． 如图2，过点作，交的延长线于点， ， ，． ， ， ． 在和中， ， ， ． ， ， （舍去）， ． ◆题型8 半角模型 半角模型 条件：如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型） 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 29．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    【答案】【问题背景】 【初步探索】； 【探索延伸】仍然成立，理由如下， 如图所示，延长至点，使得，    ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且， ∴； 【结论运用】 【问题背景】将绕点逆时针旋转得，与重合，可证点共线，可证，，由此即可求证；【初步探索】根据作图可证，再证即可；【探索延伸】证明方法与“初步探索”的证明方法相同；【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，证明，，由此即可求解． 【详解】解：【问题背景】，理由如下， 如图所示，    ∵，， ∴将绕点逆时针旋转得，与重合， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点共线， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【初步探索】根据题意，，延长至点， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【探索延伸】略 【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，    根据题意可得，，，，， ∴在中，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙以海里/小时的速度前进，形式小时， ∴（海里），（海里）， 如图所示，延长至点，使得，则，    在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴此时两舰艇之间的距离为海里， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查四边形的综合，全等三角形的判定和性质的综合，方位角的运用，理解图示，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 30．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意证，推出，，然后利用，，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论； （2）延长到点，使，连接，根据，推出，易证，推出，，然后利用，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论． 【详解】解：（1）在和中 ， 又， 在和中 （2）， 理由：如图所示，延长到点，使，连接 ， 在和中 ， 在和中 31．（25-26八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) 解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又， ， ． ． ， (3) 解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长到，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出，，再得到，再利用全等三角形的性质则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 32．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，，是边上一点，是的延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若将题中条件“，”改为“，，点在边上”，则当满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果即可） 【答案】(1)证明：，，， ， 又， ， 在和中， ， ， ； (2)解：猜想、、之间的数量关系为：． 证明：，， ∴， 由（1），可得， ， ， 即， ， 在和中， ， ， 又，， ； (3)当时，仍然成立． 【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定． （1）首先判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出； （2）猜想、、之间的数量关系为：．首先证明，据此推得，所以，最后根据，判断出即可． （3）当时，仍然成立，依照（2）的证明过程即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当时，仍然成立， 证明：，， ∴， 由（1），可得， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 又，， ； ∴当时，仍然成立． ◆题型9 对角互补模型 33．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 【答案】17 【分析】在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于． 34．（2025七年级下·全国·专题练习）已知P为的平分线上的任意一点，与互补，的两边与的两边交于，两点．      (1)如图①，若，当绕着点P旋转时，写出和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，当时，与仍然互补，这时（1）中的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)（1）中的数量关系仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两次全等三角形解决问题． （1）过点P分别作于点，于点H，结合角平分线定义证明，得到，进而证明，利用全等三角形性质即可解题； （2）过点P分别作于点，于点H，结合角平分线定义证明，得到，进而证明，利用全等三角形性质即可解题． 【详解】（1）解： ． 理由如下：过点P分别作于点，于点H，如图①， 则． 因为为的平分线， 所以． 在和中， ， 所以， 所以． 因为，， 所以． 因为与互补， 所以， 所以， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以． （2）解：（1）中的数量关系仍然成立． 理由如下：过点P分别作于点，于点H，如图②， 则， 又因为，与互补， 所以， 所以，即． 因为平分， 所以． 在和中， ， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以． 故（1）中的数量关系仍然成立． 35．（25-26八年级上·四川南充·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】 （1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由（1）知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证 （2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 36．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）（1）如图1：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究的方法是：延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是_____（直接写结论，不需证明）； （2）如图2，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，猜想上述结论是否仍然成立，并证明； （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求的周长． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）13 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，补角性质，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到点，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解； （2）（1）中的结论仍然成立．如图中，延长至，使，连接，证明和即可求证； （3）结论不成立，结论：．在上截取，使，连接，证明和即可求证； 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图2中，延长至，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，在上截取，使，连接． ，， ． 在与中，， ， ，， ， ． ， ， ， 的周长． ◆题型10 角平分线模型 37．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】C 【分析】先利用角平分线定义和垂直的性质，通过角角边证明，推出，，再结合已知条件和邻补角通过等量代换求出，然后再通过角角边证明，推出，设根据边长相等列一元一次方程，求出的值即是求出的长度． 【详解】解：过点作的延长线于点，如图所示， ，， ， 平分， ， 在和中，， ． ，． ，， ， 在和中，， ， ． ，设，， ， ， ． 38．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，的面积为，平分，过点作于点，连接，则的面积为___________． 【答案】 【分析】延长交于点，根据角平分线的定义和垂直的定义，利用证明，从而得到，即为的中点，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得的面积等于面积的一半； 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 39．（24-25八年级上·吉林四平·期中）【定理回顾】 （1）我们已经学习了“角平分线的性质定理”，如图，已知：，点在上，、，垂足分别为，，求证：．请写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程； 【定理应用】 （2）如图，在图的基础上，做一个，使得， 证明：； 若，，直接写出与的数量关系． 【答案】 （）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （）证明：∵， ∴， ∴， 由（）得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ． 【分析】（）由，，得，证明即可； （）得，即，证明，再根据等角的补角相等即可求解； 根据外角性质得，再证明，最后利用直角三角形的性质即可； 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，直角三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（）略 （）略 解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 40．（25-26七年级下·广东深圳·期中）探究与证明 【问题情境】 (1)利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据___________，证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】 (2)如图2，在中，平分于，若，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】 (3)如图3，中，平分，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 (4)如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点作于．已知面积为26，则划出的的面积是___________？ 【答案】(1) (2) (3) 解：，证明如下： 如图，延长、交于点， 则， ， ， ， ， 又， ， ， 由（1）可得，， ； (4) 【分析】（1）证，得，即可； （2）延长交于点，同理可得，则，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （3）延长、交于点，证，得，再由（1）可知，，即可得出结论； （4）延长交于，由问题情境可知，，，则，再由三角形面积关系得，再求解即可得出结论． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，延长交于点， 由（1）可知，， ， ， ； （3）略 （4）解：如图，延长交于， 由（1）可知，，， ， ， ∴ ， ∴． ◆题型11 动点型全等模型 41．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动（   ）秒时，与全等．(注：点E与A不重合) A．4或12 B．12或16 C．4或16 D．4或12或16 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，此题要分三种情况：①当E在线段上，时；②当E在上，时；③当E在上，时，分别进行计算即可． 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①当E在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）； ③当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）． 综上所述，当点E运动4或12或16秒时，与全等． 故选：D． 42．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在四边形中，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为________时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【答案】5或 【分析】本题考查了全等三角形的性质和二元一次方程组的求解，正确理解题意、分情况讨论是解题的关键； 设运动的时间为ts，动点M的速度为vcm/s，则，，，表示出，，再分与两种情况，根据全等三角形的性质构建方程组求解即可． 【详解】解：设运动的时间为ts，动点M的速度为vcm/s， 由题意得，，，， 所以，， ∵， ∴， 当时，则， ∴， 解得：， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， 解得：， ∴， 解得：； 综上，动点M的运动速度是2或； 故答案为：5或． 43．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在长方形中，为边上一点，其中，，．动点从开始，以的速度沿路线运动到点停止，从点开始运动的同一时刻动点以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为_____时，在某一时刻与全等． 【答案】 2 【分析】本题考查了全等三角形判定与动点问题，解题关键是分情况讨论时，同时验证点的运动边界条件． 【详解】解：设运动时间为秒，则：，，，且，． ， 与均为直角三角形，全等需两组直角边对应相等，分两种情况：   情况一：且， 解得， 此时，点超出边界，舍去． 情况二：且， 解得，． 此时，，符合运动范围，有效． 综上，唯一符合条件的解为． 故答案为：． 44．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）如图，在中，，高相交于点，且． (1)求线段的长； (2)设动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿线段以每秒4个单位长度的速度向终点C运动，当点Q到达C点时，P、Q两点同时停止运动，连接．求当时，点P的运动时间是多少秒? (3)点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的运动时间是1秒； (3)符合条件的t值为1s或s． 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题． （1）只要证明即可解决问题； （2）证明，根据全等三角形的性质列式计算即可得结论； （3）分为点F在的延长线时，当时，，可求得结果；当点F在上，点Q在的延长线上时，当时，，即可求得另一个值． 【详解】（1）解：∵是高， ∴， ∵是高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：设点的运动时间为秒，由已知得，， ， ， 由（1）得， ，， 又， 在和中， ， ， ， ， 解得， 点的运动时间是1秒； （3）解：存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等；理由如下： ①如图中，当时， ， ∵，， ∴． ∴， ∴， 解得； ②如图中，当时， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等；符合条件的t值为1s或s． ◆题型12 全等模型综合 45．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：在和中，，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ； (2)解：（形式不唯一）． 理由：，， ， 又，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）证明得到，，推出，证明得到，推出，根据角的和差即可得证； （2）证明得到，，推出，证明得到，结合，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 46．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． (2)①； 理由：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． ②4 【分析】（1）利用同角的余角相等证得，证明即可； （2）①利用同角的余角相等证得，根据证明；②利用同角的余角相等证得，根据证明，再利用等量代换即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：①略 ②∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 47．（25-26七年级下·福建福州·期末）点，为坐标轴上两点，点为坐标平面内一点，，连接，，，． (1)如图1，点C在内，满足． ①若，求的度数； ②若，求的长； (2)如图2，，为中点，点在线段上，连接并延长至点，使得，、交于点，连接，若，求的面积． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（1）①根据三角形内角和定理可得的度数，再由角的和差关系可得答案； ②过点作交延长线于，可证明，得到，根据三角形面积计算公式可得，求解即可； （2）过点作于，连接，利用证明，得到和，即可证明，得到，结合已知得到，，，以及，设三角形面积为，三角形面积为，则三角形面积为，三角形面积为，列方程求得和，即可求得三角形面积． 【详解】（1）解：①在中，； ∴； ∵； ∴； ②过点作交延长线于点，如图， ∴， 由①得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，负值舍去； （2）解：过点作于，连接，如图所示， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴，， ∴， 设三角形面积为，三角形面积为，则三角形面积为，三角形面积为， ，解得， 则三角形面积． 48．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）解答以下问题 (1)如图，已知和，，，点，，在同一直线上，且点在点和之间．若，由，得．又，可以推理得到 ，进而得到 ， ； (2)如图，，，，连接，，过点作直线于点，与直线交于点．判断点是否是的中点，并说明理由． 【答案】(1)，，； (2)点是的中点，理由如下： 证明：如图2：作于，于， 由（1）可得：△△，△△， ，， ， ，， △△， ，即点是的中点． 【详解】（1）证明：已知和，，， 点，，在同一直线上， ， 由，得． 又， ， ，； （2）略 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在中，，为边上的中线，延长到点，使，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中线和已知条件，利用证明，推出，根据三角形内角和定理和等量代换即可求出度数． 【详解】解：为边上的中线， ． ，， （）， ． ， ， ． 2．（25-26七年级下·山东青岛·期末）兴趣小组的同学用数学知识测量花园里池塘两侧点，之间的距离，他们画出的示意图如图所示，点，，，在同一直线上，点，在池塘的两侧，且，，测得．若，，则假山的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得到，证明得到，推出，最后根据，即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， ， ，即， ， ． 3．（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，，于点E，于点D．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直得出直角，根据余角定理得出，证明得出相等的边，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，点在线段上，点在线段上，，．则的理论依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据已知条件，，结合公共角，利用全等三角形判定定理即可判断； 【详解】解：在和中， ∵， ∴． 5．（26-27八年级·上海·暑假作业）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等得出全等三角形的对应角相等，即可得出结果． 【详解】解：，，， ， ， ， ． 6．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，根据全等三角形的性质可得，再求出的长，然后根据求解即可得． 【详解】解：由题意可知，， ，与底面垂直，B处距地面高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是． 7．（25-26七年级下·重庆·期末）如图所示，在和中，，点，，在同一条直线上，且，于点，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角的余角相等得出，利用证明，得出，，进而求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴. 8．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，利用证明，得出，，再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明，最后由求解． 【详解】解：连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴． 9．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，，平分，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先证明，得到，再证明，得到，从而得出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图：过点A作且，连接交于，证明可得，从而将转化为，根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值．易证，再利用全等三角形的性质以及线段的运算即可解答． 【详解】解：如图：过点A作且（点F在下方），连接交于， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在和中， ， ∴， ∴， ∴取得最小值时，线段的长为． 11．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】利用判定，从而得出对应边相等． 【详解】解：是的中线， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 12．（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）如图，在中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，若，，则___________． 【答案】10 【分析】利用垂直的定义得到，由平角的定义及同角的余角相等得到，利用证得，由全等三角形对应边相等得到，，由即可求出长． 【详解】解：，， ， ， ∵， ， ， 在和中， ， ∴， ，， 则． 13．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则长为______． 【答案】 3 【分析】根据垂直的定义得到，利用同角的余角相等证明，结合利用证明，根据全等三角形对应边相等得到，结合线段的和差关系计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 14．（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，在四边形中，，，E是中点．点P在线段上以的速度由B向C单向运动的同时，点Q在线段上匀速由C向D单向运动．为使与在两点运动过程中全等，点Q的速度应为________________ ． 【答案】或 【分析】设运动时间为，点Q的速度为，根据线段的中点可得：再根据题意可得：，，从而可得，然后分两种情况：当时；当时，从而分别进行计算即可解答． 【详解】解：设运动时间为，点Q的速度为， ∵E是中点， ∴， 由题意得：，， ∵， ∴， ∵， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴， ∴， 解得：，； 综上所述：为使与在两点运动过程中全等，点Q的速度应为或． 15．（25-26八年级下·山东日照·开学考试）如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为_____． 【答案】6 【分析】延长交于，证明得到，再利用三角形的中线性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为， ． 16．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，平分交于，点在线段上，满足，若，，则的长为______． 【答案】14 【分析】延长到M，作于H．首先证明，推出，再证明，得到，然后问题可求解． 【详解】解：延长到M，作于点，则，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴． 17．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，中，于点，，过点作，，连接交于点，若，，则____________． 【答案】4 【分析】在上取一点E，使得，连接，由题意易得，则有，，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：在上取一点E，使得，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，平分．若，则的面积为_____ ． 【答案】3 【分析】如图，过作交的延长线于，证明，再证明，利用分割法和三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：如图，过作交的延长线于，   ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段检测）综合实践： (1)如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 (2)如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 【答案】(1)∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 在和中， ​， ∴（）． (2)．理由如下： ∵，且，， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， 即． (3)​，理由如下： 过点作延长线于，过点作于，则． ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴． 同理可证： （）， 得， ∴． ∵的面积，的面积， ∴． 【分析】（1）先根据垂直定义得，因为，所以可推出与互余，进而得，结合，用判定三角形全等． （2）根据，利用平角定义和三角形内角和推出一组对应角相等，结合，用证，再根据线段和差关系推导的数量关系． （3）分别过D、E作的垂线，垂足为M、N，先仿照（1）的思路证、，得到，进而得，根据同底等高三角形面积相等判断与的关系． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 20．（25-26八年级上·新疆塔城·期末）阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在；点的坐标为：，，． 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）利用证明，再利用全等三角形的性质运算即可； （3）分类讨论点的位置，结合全等三角形的性质运算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：存在，理由如下： ①：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ②：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ③：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： 设， ∵，， ∴，，，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 综上，点的坐标为：，，． 21．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线l于点H，若，，求的长． 【答案】(1)证明：直线经过点，，垂足为，，垂足为， ， ， ， 在和中， ， ； (2)8 (3)8 【分析】（1）由，，得，因为，所以，而，即可根据证明； （2）由全等三角形的性质得，因为，所以； （3）作于点，则，由，推导出，而，可证明，得，，则，再证明，得，由，求得，则，即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的长是． （3）解：如图，作于点，则， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 线段的长为． 22．（25-26七年级下·广东清远·期末）综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由如下： 延长到点，使得，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）延长到点，使得，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）在的延长线上取一点，使得，连接，由题意易得，则有，，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：延长到点，使．再连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：在的延长线上取一点，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 23．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）在中，，，直线经过点，过点，分别作的垂线，垂足分别为，． (1)特例体验 如图（1），若直线，，则线段的长为 ． (2)探究应用 如图（2），若直线从图（1）状态开始绕点顺时针旋转时，试说明：； (3)如图（3），若直线从图（1）状态开始绕点顺时针旋转时与线段相交，探究线段，和的数量关系并说明理由； (4)若，（均为正数），当时，请你直接写出以点，，，为顶点的四边形的面积． 【答案】(1)2 (2)①在中，． ， ， ． 在和中， ， ②由可知，， ． (3)． 理由如下： 在中，． ， ， ． 在和中， ， ，， (4) 【分析】（1）先证和是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出，再证明，得到，即可求出的长； （2）①先证，由即可得出，②根据全等三角形的性质进而解答即可； （3）先证，由即可得出，进而解答即可； （4）根据（2）和（3）中的图形列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 在中，，， ， ， ，， ，， ，， 在和中， ， ∴， ， ； （2）略 （3）略 （4）由（2）可得，当时，四边形的面积， 由（3）可得，当时， 四边形的面积． 综上，以点B、D、C、E为顶点的四边形的面积． 24．（25-26七年级下·江西吉安·期末）阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)方法①∶证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； 方法②：证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； (2)如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， 设与交于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． (3)与面积相等，理由如下； 由（2）可知， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴． 【分析】（1）方法①：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明；方法②：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，进而推出，，再证明，即可得出，设与交于点H，由，即可得出，等量代换可得出，由三角形内角和定理即可得出． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略； （3）解：略； 25．（25-26七年级下·吉林长春·期末）探究下列问题： (1)小林同学在探究三角形全等时，发现了下面这种基本图形，如图①，已知：在中，，，直线经过点，，，垂足分别为点，．能直接得到线段，，三者之间的数量关系： ． (2)当直线绕点旋转到图②的位置时，求证：； (3)老师赞赏了小林同学的探索精神，并鼓励他运用这个方法来解决问题：如图③，以的边向外作正方形和正方形是边上的高，延长交于点，当时， ． 【答案】(1) (2)证明：， ， ， ，， ， 在和中， ， ． ， ∴． (3) 【分析】（1）先证明，，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （3）过作于，过作的延长线于．结合由（1）和（2）的结论可知，证明，设未知数从而可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， 在和中， ， ． ， ， ． （2）略 （3）解：如图， 过作于，过作的延长线于， ， 由（1）和（2）的结论可知，，， 在和中， ， ， ， 设，则，， ， ． 26．（25-26六年级下·山东济南·期末）【模型探究】 已知中，，，过点C作直线l，，垂足为点D，，垂足为点E． (1)如图1，当点A、点B在直线l的同侧时，、、之间的数量关系为：__________； (2)如图2，当点A、点B在直线l的异侧时，请写出、、之间的数量关系，并说明理由； 【方法迁移】 (3)如图3，已知中，，，又以为斜边构造，其中，求的面积． 【答案】(1) (2)． 理由：，， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ； (3) 【分析】（1）证明，可得，，即可解答； （2）证明，可得，，即可解答； （3）过点A作于点G，证明，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ∴； （2）略 （3）解：过点A作于点G， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ． 27．（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 【答案】(1)①证明：，， ， ，， . ，， ． ②30 (2)4 【分析】（1）①利用直角的性质，通过等量代换求出，结合已知条件，利用即可证明．②利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质推出和相应的度数，和相应的长度，以及，根据直角三角形的面积公式即可求出的面积． （2）利用旋转的性质和已知条件，证明三点共线、以及，根据面积法即可求出的长度． 【详解】（1）①证明：略． ②解：，， ， ， 由①可得，， ， 为直角三角形， ，， ． ， ． （2）解：将绕点逆时针旋转使和重合，得到，如图所示， ，，，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在线段的延长线上， ， ， ． ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于判断三点共线，巧妙将边上的高转化为． 28．（2026·黑龙江鸡西·模拟预测）如图1，在正方形中，E，F分别是，上的点，且，则有结论成立． (1)如图2，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，，探究线段，，之间有怎样的数量关系，请写出你的结论，并说明理由； (2)如图3，在四边形中，，，延长到点E，延长到点F，使得，猜想线段，，又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需要证明． 【答案】(1)结论．                         证明：如图，延长到点G，使，连接．      在和中， ， ，                                   ， ，                                             又， ，                                   ． (2) 【分析】（1）如图，延长到点G，使，连接，证出，根据全等三角形的性质得出，再证明得，再根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，在上截取，使，连接，利用（1）的思路解答即可． 【详解】（1）解：结论．证明略． （2）解：，理由如下： 如图，在上截取，使，连接， ∵， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ， ． 29．（25-26七年级下·陕西西安·期末）综合探究与应用 (1)如图1，在中，，，若于E，于D，则与的数量关系是________． (2)如图2，在中，，，D点为边上一动点，连接，作且，连接交于F点，若，．求证：点D为中点． (3)为打造“智慧校园+美学空间”，某校计划在校园一处生态种植区中布设智能感应灯带系统．经测量，中，，米，．系统采用“双光源联动结构”，如图3，以定点A为控制中心，投射点D可在射线上调节；同时在A处与垂直方向安装用于对称补光的补偿灯E，使，（点E在点D的右边）．灯带线路与主控制线所在直线交于点F，该点将作为线路转接与分线的物理点位．施工员测得当前D点到B点的距离米，请直接写出此时的长度． 【答案】(1) (2)证明：如图，作于， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D为中点； (3)或米 【分析】（1）由同角的余角相等可得，再证明，即可得解； （2）作于，则，证明，得出，，求出，再证明，得出，由此计算即可得证； （3）分两种情况：当点在线段上时，作于点；当点在射线上时，作于点；分别结合全等三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）略； （3）解：如图，当点在线段上时，作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵米，米， ∴米， ∴米， ∴米， 在和中， ， ∴， ∴米， ∴米； 如图，当点在射线上时，作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵米，米， ∴米， ∴米， ∴米， 在和中， ， ∴， ∴米， ∴米； 综上所述，的长度为或米． 30．（26-27八年级·全国·暑假作业）综合题 (1)如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． (2)【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． (3)【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与 的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ． 【答案】(1)解：且，理由： 当时，，， ， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ． (2)解：，理由如下： ，， ， 又，， 三点在直线上， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． (3)6 【分析】(1) 当时，，，结合，利用判定，得到及，再通过直角互余与平角关系证得． (2) 利用三角形内角和与平角关系转化得到，结合已知角等和，利用判定，从而得，，相加即得． (3) 由(2)的模型可得，从而，将面积和转化为；再利用及同高三角形面积比等于底边比，得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由(2)同理可证， ， ， 直线与 的延长线交于点，且， 与有公共顶点，且底边与 在同一直线上， ， ， ， 即与的面积之和为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $