专题01 三角形 九大题型突破- 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题01 三角形重难点九大题型突破 【题型01：三角形的分类】 【题型02：三角形的三边关系】 【题型03：三角形的稳定性的应用】 【题型04：三角形中线与面积问题】 【题型05：三角形中线与周长问题】. 【题型06：根据三角形的三边关系化简】 【题型07：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】 【题型08：三角形内角和定理与折叠问题综合】 【题型09：三角形内角和定理与新定义问题综合】 【题型01：三角形的分类】 1．如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，属于基础题型，掌握其分类的方法是做题的关键．根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 【详解】解：根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 故选：C． 2．下列“将三角形按边的相等关系分类”正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握按边的相等关系的分类方法是解题的关键． 将三角形按边的相等关系可以分为：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包括等边三角形，据此即可解答． 【详解】解：将三角形按边的相等关系可以分为：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包含等边三角形，即A选项符合题意． 故选：A． 3．若一个三角形中有一个角为，则这个三角形一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据三角形角的大小即可得到结论． 【详解】解：∵一个三角形中有一个角为， ∴这个三角形一定是钝角三角形． 故选：C． 4．如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 【答案】D 【分析】本题考查三角形的分类，根据点C运动路线，分段进行讨论即可． 【详解】解：点C从点B出发后至前，，是钝角三角形； 当点C运动至时，，是直角三角形； 点C继续向右运动，由小变大， 当时，是锐角三角形； 当时，是直角三角形； 当时，是钝角三角形； 因此变化情况为：钝角三角形→直角角三形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形， 故选D． 【题型02：三角形的三边关系】 5．以下各组线段中，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】找出每组线段的最长边，通过比较两条较短线段的和与最长边的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：对于A选项：∵， ∴不能组成三角形； 对于B选项：∵， ∴不能组成三角形； 对于C选项：∵， ∴能组成三角形； 对于D选项：∵， ∴不能组成三角形． 6．若三角形的两条边长分别为和，则它的第三边长可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设第三边长为， 得，即， 选项中只有符合该范围． 7．已知三角形的三边分别为，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴， 即． 8．三角形的两边长分别是4、7，则周长L的取值范围是 ________________． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合周长表达式得到周长的取值范围． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， ∴， ∵周长， ∴，即． 【题型03：三角形的稳定性的应用】 9．空调外机安装在墙壁上时，一般都会固定在三角形支架上，这样做的原理是（    ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．全等三角形的对应角相等 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的特性，即三角形具有稳定性．利用三角形具有稳定性的特性，空调外机的支架能够牢固地固定在墙上，不易变形，从而保证空调外机的稳定和安全． 【详解】解：空调外机安装固定在三角形支架上，应用了三角形的稳定性， ∴B、C、D错误，A正确， 故选：A． 10．平潭海峡公铁大桥是我国超级工程，其斜拉索与桥塔、主梁搭建出无数三角形结构．这一设计主要利用了三角形的______性． 【答案】稳定 【分析】本题考查的是三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：采用单塔双索面斜拉结构（斜拉索与桥面构成了三角形），这种设计利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定． 11．如图，要使七边形木架不变形，至少要再钉上x根木条，则x的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟练掌握三角形的稳定性． 利用三角形的稳定性进行求解即可． 【详解】解：如图所示， 至少再钉4根木条， 故选：C． 【题型04：三角形中线与面积问题】 12．如图，在中，已知点，，分别是边，的中点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分面积，推出，即可． 【详解】解：∵点D，E分别为边，上的中点， ∴分别为的中线， ∴，， ∴； 故选：C． 13．如图，，，分别是，，的中线，若，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线与面积，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 故选：B． 14．如图，在中，已知点D，E，F分别为线段中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质． 根据三角形中线的性质得出相等的边，然后得出三角形面积的关系进行求解即可． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴， ∵的底是的底是，高相等， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积等于， ∴阴影部分的面积为． 故选：A． 15．如图，是的中线，E，F分别是和的中点，若的面积为，则的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据三角形中线求面积，由中线可分别得出，，进而可求出． 【详解】解∶∵F是的中点， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 故选C． 16．如图，分别是边的中点，若阴影部分的面积为9，则的面积是（   ） A．21 B．27 C．24 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，由题意可得，，结合阴影部分的面积为9得出，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵D，E，F分别是边，，上的中点， ∴，，，， ∴，， ∵阴影部分的面积为9， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【题型05：三角形中线与周长问题】. 17．如图，AD是的中线，已知的周长为28cm，AB比AC长6cm，则的周长为（   ） A．34cm B．31cm C．22cm D．20cm 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边的差是解题的关键． 根据三角形中线的定义可得，再表示出和周长的差就是的差，然后计算即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴和周长的差， ∵的周长为28cm，比长， ∴周长为：． 故选：C． 18．如图，是的中线，若，，则 与的周长之差为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，根据三角形中线的定义得出，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴周长差∶ ， 故选：B． 19．已知等腰三角形的底边长为，一边上的中线把其周长分成两部分，这两部分的差为，则腰长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】题目主要考查等腰三角形的定义，理解题意，结合图形分情况分析求解即可． 【详解】解：是边的中点， ． （1）如图①，当时， 即当时，； （2）如图②，当， 即时，． 综上所述，腰长为或． 故选C． 20．如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ） A．6 B．14 C．14或6 D．12或8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质及三角形三边关系，设，，由是边上的中线，得到，分两种情况：当的周长比的周长大6时，当的周长比的周长大6时，建立二元一次方程组求解，再利用三角形三边关系检验即可求解，掌握三角形三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设，，是边上的中线， ， 分两种情况： 当的周长比的周长大6时， ， 解得：， 的三边长分别为12，12，6， ， 能组成三角形； 当的周长比的周长大6时， 即， 解得：， 的三边长分别为8，8，14； ， 能组成三角形； 综上所述：的长为6或14． 故选：C． 【题型06：根据三角形的三边关系化简】 21．若是三角形的三边长，则化简的结果为________． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值，由三角形三边关系定理得，由绝对值的性质即可化简． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 22．设的三边为，，化简：______． 【答案】 【分析】此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负． 根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．先判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值． 【详解】解：由题意得：，，， ∴，，， ∴， 即； 故答案为：； 23．已知的三边长分别为2，4，，化简：________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，绝对值的化简求值． 根据三角形三边关系求出的取值范围，进而化简绝对值计算即可． 【详解】∵的三边长分别为2，4，， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 24．若a、b、c是的三边的长，则化简______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可得，再化简绝对值并合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵a、b、c是的三边的长， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【题型07：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】 25．如图，是的高，是的角平分线，，求的度数． 【答案】 【分析】由高线可得，再由三角形的内角和可求得，从而可求得，由角平分线的定义可求得，则可根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：是的高线， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 26．如图，在中，是高，是角平分线，，相交于点，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，理解三角形的高与底边垂直是解题关键． （1）利用高的定义得到直角，结合直角三角形两锐角互余求出； （2）根据，求出，再结合直角三角形两锐角互余求出，然后利用角平分线定义和三角形内角和定理，即可求出． 【详解】（1）解：在中，是高， ， ， ． 答：． （2）解：由（1）知，， ， ， ， 平分， ， ． 答：． 27．如图，在中，为边上的高，平分交于点E，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的高的定义，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义求出，再由高的定义求出，再由计算即可得解； （2）由题意求出，再计算出，即可得解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 28．如图，在中，是高，是角平分线． (1)若，，求的度数； (2)当，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：在中，是高，是角平分线， 于点D，，且， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据是高，求出，根据是角平分线，求出，进而求出的度数； （2）根据是高，是角平分线，证得和，据此进行证明即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， 是高， 于点D， ， ， 是角平分线， ， ， 的度数为； （2）略 【题型08：三角形内角和定理与折叠问题综合】 29．如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了翻折的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得，，， ∴， ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 30．如图，将沿翻折交于点，又将沿翻折，点落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查折叠中的三角形的内角和问题，根据折叠的性质，得到，根据平角的定义，三角形的内角和定义，进行求解即可． 【详解】解：∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 31．如图，将沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换，三角形内角和定理；根据翻折的性质可知，，，，又，可知，又，继而即可求出答案． 【详解】解：根据翻折的性质可知，，，， 又， ， ， 又， ． 故选：D 32．如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点D，E分别在边，上，将沿着折叠压平，A与重合． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． (3)猜想：与的关系，请直接写出其关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理， （1）直接根据三角形内角和定理求解即可； （2）由折叠可得，，进而可得，结合，可得，即可求解； （3）同（2）求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； （2）解：∵将沿着折叠压平，与重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵将沿着折叠压平，与重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 33．如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．    (1)若，求的度数； (2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)不变， 【分析】本题主要考查了三角形的折叠问题，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，数形结合． （1）根据折叠得出，，根据，求出，即可求出结果； （2）根据，，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵将对折，得到折痕， ∴， ∵将对折，得到折痕， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：不变．理由如下： ∵，，， ∴， 即． ∴的大小不随点的运动而变化． 34．（1）如图，将一张三角形纸片沿着折叠，使点落在边上的处，若，则 ______；    （2）如图，将一张三角形纸片沿着折叠点，分别在边和上，并使得点和点重合，若，则 ______； （3）如图，将长方形纸片沿着和折叠成如图所示的形状，和重合， ①的度数是多少？请说明理由； ②如果，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】（1）利用对折性质可知是角平分线，由此即可求解； （2）根据三角形的内角和可知，根据折叠可知的度数，利用两个平角和等于，由此即可求解；； （3）①根据折叠可得，，且，代入计算即可； ②，代入计算即可． 【详解】解：（1）由对折性质可知，是角平分线， ∴， 故答案为：． （2）在中，，， ∴， 根据折叠的性质得，， ∴， ∵， ， 故答案为：． （3）①由折叠的性质可知：，，且， ， ②根据折叠的性质及上述知识可知， ． 【点睛】本题考查折叠问题中角的计算问题，掌握翻折的性质是本题的关键． 【题型09：三角形内角和定理与新定义问题综合】 35．定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“豫式三角形”，与为“豫角”． (1)下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“豫式三角形”的是_____（填序号）． ①；②； (2)若为“豫式三角形”，，和是“豫角”，求的度数． (3)如图，在中，，若平分，试说明是“豫式三角形”． 【答案】(1)② (2) (3) 证明：是的外角， ， 即 又平分， ， ， 是“豫式三角形”． 【分析】本题考查三角形的内角和，三角形的外角，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义，逐一判断即可； （2）根据新定义结合三角形的内角和定理进行求解即可； （3）根据角平分线的定义，结合三角形的外角的性质推出，即可得证． 【详解】（1）解：； 故只有满足题意； （2）解：和是“豫角”， 和的差为， 又为钝角 只有符合条件 根据三角形内角和定理可知： ； （3）略 36．定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则 ； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点E是边上一点，是“准互余三角形”，若，则 ． 【答案】(1) (2) ①是“准互余三角形”，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ②或 【分析】本题考查新定义“准互余三角形”，角平分线定义，角的倍分． （1）根据是“准互余三角形”，得出，从中求出即可； （2）分两种情况，当时，先求出，可得；当时，可求，据此求解即可． 【详解】（1）解： 是“准互余三角形”， ，， ， ， 故答案为：； （2）①略 ②点E是边上一点，是“准互余三角形”， ∴当时， ∴， ∴； ∴当时， ∴， ∴． 故答案为：或． 37．新定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以点为端点作射线，交线段于点．（规定） (1)的度数为________，________（填“是”或“不是”）灵动三角形； (2)若，求证：是“灵动三角形”； (3)若是“灵动三角形”，求的度数． 【答案】(1)，是 (2)是“灵动三角形” (3)或或 【分析】本题考查了三角形内角和定理、“灵动三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“灵动三角形”的概念判断； （2）根据“灵动三角形”的概念证明即可； （3）根据，点在线段上，根据“灵动三角形”的定义分六种情况进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴为“灵动三角形”， 故答案为：；是； （2）解: 是“灵动三角形” 理由： ∵，， ∴， 又， ∴， ∴是“灵动三角形”； （3）解：∵为“灵动三角形”， ∵点在线段上，， ∵， ∴， Ⅰ、当时，， ∴， Ⅱ、当时， ∴ ∴此种情况不存在， Ⅲ、当时， ∴， ∴， ∴， Ⅳ、当时， ∴， ∴， ∴， Ⅴ、当时， ∴， ∴， ∵点与点不重合， ∴此种情况不成立， Ⅵ、当时， ∴°， ∴， ∴此种情况不存在， 综上所述，当为“灵动三角形”时，的度数为或或． 38． 新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为“n倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”． (1)如果一个“2倍角三角形”中的一个内角是，则其它两个内角是 和 (2)在中，若，，则为“ 倍角三角形”． (3)如图，在中，，、的角平分线相交于点D，若为“6倍角三角形”，则 ． 【答案】(1)； (2)3 (3)或． 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握新定义是解题的关键． （1）分的角为最小角和的角为第二大的角，两种情况根据三角形内角和定理求出另外两个角的度数，再根据定义验证即可； （2）三角形的内角和定理求出，再根据新定义进行判断即可； （3）根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义，求出的度数，再分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解；当的角是最小的角时，则最大的角为， ∴另外一个角的度数为； 当的角不是最小的角，也不是最大的角时，则最小的角的度数为，不符合题意； 综上所述，另外两个内角的度数为和； （2）解：∵在中，若，， ∴， ∵， ∴为“3倍角三角形”； （3）解：∵， ∴， ∵的角平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴在中，最大， ∵为“6倍角三角形” ∴当时：； 当时，，则：； 故或． 39．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)①，； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ， 在中，， ， 为“友爱三角形”； 在中，， 为“友爱三角形”； (2)或 【分析】本题考查了直角三角形的性质和新定义，正确理解“友爱三角形”的定义是关键． （1）①根据与互余和“友爱三角形”的定义进行求解即可； ②根据直角三角形的性质及“友爱三角形”的定义进行判断即可； （2）直接根据“友爱三角形”定义求解即可． 【详解】（1）解：①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； ② 略 （2）解：是“友爱三角形”，是边上一点（不与点重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形重难点九大题型突破 【题型01：三角形的分类】 【题型02：三角形的三边关系】 【题型03：三角形的稳定性的应用】 【题型04：三角形中线与面积问题】 【题型05：三角形中线与周长问题】. 【题型06：根据三角形的三边关系化简】 【题型07：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】 【题型08：三角形内角和定理与折叠问题综合】 【题型09：三角形内角和定理与新定义问题综合】 【题型01：三角形的分类】 1．如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 2．下列“将三角形按边的相等关系分类”正确的是（   ） A．B．C．D． 3．若一个三角形中有一个角为，则这个三角形一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 【题型02：三角形的三边关系】 5．以下各组线段中，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．若三角形的两条边长分别为和，则它的第三边长可能为（     ） A． B． C． D． 7．已知三角形的三边分别为，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．三角形的两边长分别是4、7，则周长L的取值范围是 ________________． 【题型03：三角形的稳定性的应用】 9．空调外机安装在墙壁上时，一般都会固定在三角形支架上，这样做的原理是（    ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．全等三角形的对应角相等 D．两点确定一条直线 10．平潭海峡公铁大桥是我国超级工程，其斜拉索与桥塔、主梁搭建出无数三角形结构．这一设计主要利用了三角形的______性． 11．如图，要使七边形木架不变形，至少要再钉上x根木条，则x的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型04：三角形中线与面积问题】 12．如图，在中，已知点，，分别是边，的中点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 13．如图，，，分别是，，的中线，若，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 14．如图，在中，已知点D，E，F分别为线段中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（    ） A． B． C． D． 15．如图，是的中线，E，F分别是和的中点，若的面积为，则的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 16．如图，分别是边的中点，若阴影部分的面积为9，则的面积是（   ） A．21 B．27 C．24 D．18 【题型05：三角形中线与周长问题】. 17．如图，AD是的中线，已知的周长为28cm，AB比AC长6cm，则的周长为（   ） A．34cm B．31cm C．22cm D．20cm 18．如图，是的中线，若，，则 与的周长之差为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 19．已知等腰三角形的底边长为，一边上的中线把其周长分成两部分，这两部分的差为，则腰长为（    ） A． B． C．或 D． 20．如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ） A．6 B．14 C．14或6 D．12或8 【题型06：根据三角形的三边关系化简】 21．若是三角形的三边长，则化简的结果为________． 22．设的三边为，，化简：______． 23．已知的三边长分别为2，4，，化简：________． 24．若a、b、c是的三边的长，则化简______． 【题型07：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】 25．如图，是的高，是的角平分线，，求的度数． 26．如图，在中，是高，是角平分线，，相交于点，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 27．如图，在中，为边上的高，平分交于点E，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 28．如图，在中，是高，是角平分线． (1)若，，求的度数； (2)当，求证：． 【题型08：三角形内角和定理与折叠问题综合】 29．如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数是（ ） A． B． C． D． 30．如图，将沿翻折交于点，又将沿翻折，点落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 31．如图，将沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 32．如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点D，E分别在边，上，将沿着折叠压平，A与重合． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． (3)猜想：与的关系，请直接写出其关系式． 33．如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．    (1)若，求的度数； (2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 34．（1）如图，将一张三角形纸片沿着折叠，使点落在边上的处，若，则 ______；    （2）如图，将一张三角形纸片沿着折叠点，分别在边和上，并使得点和点重合，若，则 ______； （3）如图，将长方形纸片沿着和折叠成如图所示的形状，和重合， ①的度数是多少？请说明理由； ②如果，求的度数． 【题型09：三角形内角和定理与新定义问题综合】 35．定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“豫式三角形”，与为“豫角”． (1)下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“豫式三角形”的是_____（填序号）． ①；②； (2)若为“豫式三角形”，，和是“豫角”，求的度数． (3)如图，在中，，若平分，试说明是“豫式三角形”． 36．定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则 ； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点E是边上一点，是“准互余三角形”，若，则 ． 37．新定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以点为端点作射线，交线段于点．（规定） (1)的度数为________，________（填“是”或“不是”）灵动三角形； (2)若，求证：是“灵动三角形”； (3)若是“灵动三角形”，求的度数． 38． 新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为“n倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”． (1)如果一个“2倍角三角形”中的一个内角是，则其它两个内角是 和 (2)在中，若，，则为“ 倍角三角形”． (3)如图，在中，，、的角平分线相交于点D，若为“6倍角三角形”，则 ． 39．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $