专题01 全等三角形的九大常见模型（举一反三专项训练）数学新教材人教版八年级上册

专题01 全等三角形的九大常见模型（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【模型1 平移模型】 1 【模型2 翻折(轴对称)模型】 5 【模型3 手拉手模型】 8 【模型4 半角模型】 12 【模型5 一线三等角模型】 18 【模型6 雨伞模型】 24 【模型7 角平分线模型】 32 【模型8 平行线中点模型】 39 【模型9 婆罗摩笈多模型】 52 模型一：平移模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平移模型 沿同一直线平移的两个三角形重合 ①加(减)共线部分，得到一组对应边相等； ②利用平行线性质找对应角相等 【模型1 平移模型】 【例1】（24-25八年级上·重庆江津·期中）如图，将沿射线方向平移得到，连接交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平移变换、全等三角形的判定．根据，，利用即可证明． 【详解】证明：由平移的性质得，， ， 在和中， ， ． 【变式1-1】将沿直线向右平移个单位得到，若，，且，求． 【答案】 【分析】首先根据平移的性质求得的值，证明可求得的值，然后利用梯形面积即可求解． 【详解】解：∵若，∠，且， ∴， ∵将沿直线向右平移个单位得到， ，， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了平移的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【变式1-2】如图，已知在Rt△ABC中，，将Rt△ABC沿AC所在直线平移得到Rt△FDE，使平移的距离，连接BF，过点C作于点G，连接DG，EG． 求证：． 【答案】见解析 【分析】根据题意可得，，结合，推出，再根据，推出，由，，，，可推出，，即可证明． 【详解】证明：∵Rt△ABC平移得到Rt△FDE， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴，． ∴，． 在△DFG和△ECG中， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握平移的性质以及全等三角形的判定方法是解题的关键． 【变式1-3】（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：． （2）若将图1中的沿方向平移得到图2、图3，其他条件不变，还成立吗？为什么？（选择一种情况说明理由）    【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析 【分析】（1）由可得，于是；由平行线的性质可得，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明； （2）如图3，由可得，于是；由两直线平行内错角相等可得，于是可得两角的补角，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴； （2）解：仍成立． 理由如下（如题图3）： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，线段的和差，掌握全等三角形“边角边”的判定条件是解题关键． 模型二：翻折(轴对称)模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 翻折(轴对称)模型 两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合 ①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等； ②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等 【模型2 翻折(轴对称)模型】 【例2】（2024·湖北武汉·二模）如图，将的边沿边上的高折叠到．在边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质和折叠的性质，由三角形外角的性质得，再由折叠的性质得的度数． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得，， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2-1】如图所示的图形是关于所在的直线为对称轴的轴对称图形，则图中全等的三角形共有（    ）    A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】根据全等三角形的概念以及轴对称的性质解答即可． 【详解】解：由题意得，，，， 所以图中全等的三角形共有3组． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的概念、轴对称图形．轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合． 【变式2-2】（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，根据题意可得，，然后证明出，即可得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， 由折叠得， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴一定是等腰三角形． 故选：B． 【变式2-3】如图，△ABC，点D，E在BC边上，点F在AC边上．将△ABC沿AD折叠，恰好与△AED重合，将△CEF沿EF折叠，恰好与△AEF重合．下列结论 ①∠B=60°；②AB=EC；③AD=AF；④DE=EF；⑤∠B=2∠C， 正确的个数有（　　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】将△ABD沿着AD翻折，，将△CEF沿着EF翻折，则△AEF≌△CEF，即可判断求解 【详解】解：∵将△ABD沿着AD翻折，使点B和点E重合， ∴ ∴AB=AE，∠B=∠AEB， ∵将△CEF沿着EF翻折，点C恰与点A重合， ∴△AEF≌△CEF ∴AE=CE，∠C=∠CAE， ∴AB=EC， ∴②正确； ∵∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C， ∴∠B=2∠C，故⑤正确； 在与中， 只有： 故不能判定与全等， 所以：①∠B=60°；③AD=AF；④DE=EF都不一定成立， 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，掌握翻折的性质是解题的关键． 模型三：手拉手模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形 加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等 【模型3 手拉手模型】 【例3】如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，并且相交于点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出． （1）根据等边三角形的性质得出，，，求出，根据推出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，求出，代入求出即可． 【详解】（1）证明∵和均是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）∵ ∴ ∵是的外角 ∴ ∵，， ∴． 【变式3-1】（25-26八年级上·四川资阳·期中）已知：如图，和都是等腰直角三角形，，连结相交于点F，相交于点M．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证推出，进而即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即； ∵ ∴； ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-2】如图，△ABC和△EBD都是等边三角形，连接AE，CD．求证：AE＝CD． 【答案】见解析 【分析】证明△ABE≌△CBD即可解决． 【详解】∵△ABC和△EBD都是等边三角形， ∴AB＝CB，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°， ∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD， 即∠ABE＝∠CBD， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴AE＝CD． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握这两部分知识是关键． 【变式3-3】在中，，点D是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接CE． (1)①如图1，求证：； ②当点D在边上时，请直接写出，，的面积（，，）所满足的关系； (2)当点D在的延长线上时，试探究，，的面积（，，）所满足的关系，并说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）①先证明，再利用证即可；②利用全等三角形的性质得到，再由即可得到结论； （2）由已知条件可得证出，，推出，再由，即可得到． 【详解】（1）证明：①∵， ∴，即． 在和中， 。 ∴． ②，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，即． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理以及性质是解题的关键． 模型四：半角模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 半角模型 有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍分关系 转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形 延长一边，构造全等三角形，从而得到线段之间的数量关系 【模型4 半角模型】 【例4】（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了旋转的性质、半角模型以及正方形的性质，掌握半角模型的条件以及结论是解题关键． （1）根据提示即可作图； （2）根据图形可得结论； （3）由旋转可知：，推出，进而得，证即可； （4）根据的周长，，推出的周长，即可； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：； （3）证明：由旋转可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵的周长，， ∴的周长 【变式4-1】如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____． 【答案】2+2 【分析】将△ACN绕点A顺时针旋转，得到△ABE，由旋转得出∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，求出∠EAM＝∠MAN，根据SAS推出△AEM≌△ANM，根据全等得出MN＝ME，求出MN＝CN＋BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周长＝BD＋DC，代入求出答案即可． 【详解】将△ACN绕点A顺时针旋转，得到△ABE，如图：                            由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN， ∵∠BAC＝∠D＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠ABD+∠ABE＝180°， ∴E，B，M三点共线， ∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°， ∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAM＝∠MAN， 在△AEM和△ANM中， ，             ∴△AEM≌△ANM（SAS）， ∴MN＝ME， ∴MN＝CN+BM， ∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BC＝4， ∴CD＝BC＝2，BD＝＝2， ∴△DMN的周长为DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝2+2， 故答案为：2+2． 【点睛】本题考查直角三角形、全等三角形的性质和判定、旋转的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键． 【变式4-2】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 【变式4-3】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且. （1）求证：； （2）连结AC，若，求的度数. 【答案】（1）见解析；（2）20° 【详解】（1）旋转△BCF使BC与CD重合， ∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形， ∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°， ∴∠ADC+∠ABC=180°， 由旋转可知：∠ABC=∠CDF′， ∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角， ∴A，D，F′共线， ∵ ∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=∠BCD， ∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF， ∴△FCE≌△F′CE， ∴EF′=EF=DF′+ED， ∴BF=EF-ED； （2）∵AB=BC，∠B=80°， ∴∠ACB=50°， 由（1）得∠FEC=∠DEC=70°， 又∵AD//BC， ∴∠ECB=70°， 而∠B=∠BCD=80°， ∴∠DCE=10°， ∴∠BCF=30°， ∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 模型五：一线三等角模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 一线三等角 模型 左图，两个三角形有一条边共线 ； 右图，同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1＝∠2＝∠3 利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用AAS 或ASA证明三角形全等 【模型5 一线三等角模型】 【例5】如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论． 【详解】解：∵AB＝AC＝9， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AE的中垂线交BC于点D， ∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴CD＝AB＝9，BD＝CE， ∵CD＝3BD， ∴CE＝BD＝3 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题． 【变式5-1】如图，在中，，，，于点于点．与全等吗？请说明理由．    【答案】全等，理由见解析 【分析】首先证明，即可证明，即可解题． 【详解】全等，理由如下： ，， ∴，． ∴； 在和中， ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，掌握证明全等三角形的方法是解题的关键． 【变式5-2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，是线段的中点，，过点作直线交、于点、． (1)证明：； (2)若，的垂直平分线交线段、于点、，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据证明，进而可得； （2）连接，证明都是等腰直角三角形，得出，证明，得出，．由（1）知，，从而，可得，然后根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵的垂直平分线交线段、于点、， ∴． ∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 由（1）知，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【变式5-3】（25-26八年级上·云南昆明·期末）一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型． (1)如图1，在中，，点在直线上，过点作于点，过点作于点，由得___________．又知道，可以推理得到，进而得到___________． (2)当图1中的直线绕点旋转到图2的位置时，求证：． (3)当图1中的直线绕点旋转到图3的位置时，请直接写出．之间的数量关系：___________． (4)如图4，若将（1）中的条件改为：在中，， D，A，E三点都在直线上，且满足，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4)成立，理由见解析 【分析】本题考查了几何变换综合题，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键，在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论． （1）由垂直得，由同角的余角相等得，因此根据可以证明，结合全等三角形的对应边相等证得结论； （2）根据全等三角形的判定定理推知，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得； （3）同理（2）可得，，进而即可得出； （4）同理（1）可以证明，根据全等三角形的判定定理推知． 【详解】（1）证明：， 在和中 ，， （2）证明： 在和中 ，， （3）， 同理（2）可得： ，， ． （4）成立，理由如下： 在和中 模型六：雨伞模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 雨伞模型 通过延长线段与直线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移 AP平分∠BAC，BD⊥AP，垂足为点D，延长BD交AC于点C，证明△ABD≌△ACD，得到AB＝AC，BD＝CD 【模型6 雨伞模型】 【例6】（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，中，，平分交于点D，过点B作，交延长线于点E，F为的中点，连接，交于点G，连接． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)线段与线段有何数量关系？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)BEAD，理由见解析 【分析】（1）先证明，再证明垂直平分，则，则，于是，可证明是等腰直角三角形； （2）延长交于点H，先证明，得，再证明，得，则． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）解：如图，，理由如下： 延长交于点H， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形和全等三角形，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，角平分线性质，三角形外角性质，全等三角形中常见辅助线的作法，是解题关键． 【变式6-1】如图，在中，平分，于点P，已知的面积为2，则阴影部分的面积为_____． 【答案】1 【分析】延长交于，证明，利用三角形的中线的性质即可得解． 【详解】解：延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴阴影部分的面积； 故答案为：1． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键． 【变式6-2】如图，四边形ABCD中，E是DC的中点，连接AE，AE平分∠DAB，∠D＝∠C＝90°，AD＝4BC＝8，则线段AB的长为__． 【答案】10 【分析】延长AE、BC交于点F，再根据ASA证明△ADE≌△FEC，得CF＝AD＝8、∠DAE＝∠F，然后结合角平分线的定义得∠BAE＝∠F，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】解：如图，延长AE、BC交于点F， ∵E是DC的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FEC中， ∴△ADE≌△FEC（ASA）， ∴CF＝AD＝8，∠DAE＝∠F， ∵AD＝4BC＝8 ∴BC=2 ∴BF=BC+CF=2+8=10 ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠F＝∠BAE， ∴AB＝BF， ∴BF＝AB＝10， 故填10． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解答本题的关键． 【变式6-3】【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作，垂足为，延长交于点B，易证≌，则．其分析过程如下： 在和中， 平分 ≌（___________） 在括号内填写全等判定方法字母简称 （___________） 在括号内填写理由依据 【问题探究】 如图2，中，平分，垂足在的延长线上．证明：； 【拓展延伸】 如图3，在中，在线段上，向左侧作于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】[问题情境] ， 全等三角形对应边相等；[问题探究]见解析；[拓展延伸]，见解析 【分析】[问题情境]利用全等三角形的性质证明即可； [问题探究]延长交延长线于，证明≌，推出，再证明≌，可得结论； [拓展延伸]结论：过点作，交的延长线于点，与相交于，过点作，交的延长线于点，与相交于，证明方法类似． 【详解】解：[问题情境]：在和中， ， ≌， 全等三角形的对应边相等． 故答案为：，全等三角形对应边相等； [问题探究]证明：延长交延长线于， 平分， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ． [拓展延伸]解：结论：理由如下： 过点作，交的延长线于点，与相交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【模型7 角平分线模型】 【例7】在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______． 【答案】 【分析】作EF⊥AD于F，证△DCE≌△DFE（HL），再证△AFE≌△ABE（HL），可得∠FEB＝180°－70°＝110°，∠AEB＝55°，∠EAB＝35°. 【详解】如图，过点E作EF⊥AD于F， ∵DE平分∠ADC，EF⊥AD，EC⊥CD， ∴EF=EC, 又∵DE=DE, , ∴△DCE≌△DFE（HL）， ∴=∠CED＝35°, ∵CE=BE,CE=EF, ∴BE=EF, 又∵AE=AE, , ∴△AFE≌△ABE（HL）， ∴, 又∴=∠CED＝35°, ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键. 【变式7-1】（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线性质定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键． 过点D作于点F，根据证得，进而证得，根据角平分线定理证明即可． 【详解】证明：如图，过点D作于点F， ∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴平分． 【变式7-2】（24-25九年级上·重庆巴南·期末）在学习了四边形的相关知识后，奋进组进行了更深入的思考：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被对角线平分所得的两个小角所对的边存在一定的数量关系？通过讨论，奋进组的解决思路是利用构造三角形全等得出结论，根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，用尺规过点C作的垂线，交于点F．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：在四边形中，，平分，交的延长线于点E，，求证：． 证明：∵平分，，， ∴①，． ∵， ∴． 又∵， ∴②． ∴（③）． ∴． 通过以上探究，请你帮助奋进组完成下面命题：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被该对角线平分所得的两个相等小角④． 【答案】（1）作答如图；（2）①；②；③；④所对的两条边相等． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，四边形内角和定理： （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）先由角平分线的性质得到，再证明，进而证明，则可得到，据此可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵平分，，， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴（）． ∴． 通过以上探究，请你帮助奋进组完成下面命题：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被该对角线平分所得的两个相等小角所对的两条边相等． 【变式7-3】（25-26八年级上·山东潍坊·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法：如图 1 ，是一个任意角，在边， 上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与点M ， N 重合，即．过角尺顶点 P 的射线便是的平分线，已知角尺的夹角 (1)请解释工人师傅这样做能得到角平分线的原因； (2)小明认为，当上时，工人师傅就不需要先在边 上分别取，如图 2，直接移动角尺，使角尺的两边分别与相交于点M ，N ，且满足，便可以得到平分．你觉得小明的观点对吗？并说明理由； (3)如图 3 ， ， 平分．P 是射线上的一点，过点 P作于点 E ，．点 C 在射线上运动，过点 P 作，与直线交于点 D．若，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)正确，理由见解析 (3)8 或 12 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，掌握全等三角形判定与性质以及角平分线的性质定理是解题的关键． （1）根据证明即可； （2）过点作于点，作于点，证明，则，再根据角平分线的判定即可说理； （3）当点D在点O右侧时，过点P作于点F， 证明，则，再证明，则，那么；当点D在点O左侧时，过点P作于点F， 同理可求，，故． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ， 即平分； （2）解：小明的观点正确，理由如下， 过点作于点，作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴小明的观点正确； （3）解：当点D在点O右侧时，过点P作于点F，如图， ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点D在点O左侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：长为8或12． 模型八：平行线中点模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平行线中点模型 平行线之间夹中点，通过延长过中点的线段与平行线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移 如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB、CD上，点O为线段EF的中点，延长PO交CD于点Q，证明△POE≌△QOF 【模型8 平行线中点模型】 【例8】（2026·江苏扬州·一模）综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】(1)解：矩形，理由如下： ，，， ，， 点 落在 边上， 中，，， 是等边三角形， ，， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ∴E 是 中点，， 在 和 中： ，， （SAS）， ，， ∴， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． (2)解：，且 ， 理由：延长至点 ，使 ， 连接， 是的中点， ， 在 和 中： ， ， ， （SAS）， ，， ， 是绕点 逆时针旋转 得到， ，， ， ∴C、B、F共线， ， 在 和 中： ， ， ， ， ，， ， ，即 ， ， ． 【分析】（1）由旋转证明 是等边三角形，再证明，进而得到，证明，则四边形是平行四边形．证明 ，则问题可证； （2）延长至点 ，使 ，连接，证明，从而证明，C、B、F共线，再证明，得到，再由角度的互余关系证明，则问题可证 【变式8-1】如图，是等边三角形，点、分别是射线、射线上的动点，点从点出发沿射线移动，点从点出发沿射线移动，点、点同时出发并且运动速度相同．连接、． (1)如图①，当点移动到线段的中点时，求度数． (2)如图②，当点在线段上移动但不是中点时，试探索与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，当点移动到线段的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)成立，理由见解析 【分析】（1）根据题意可知，又点为的中点，进而得到，再利用等角对等边得到，根据等边三角形性质得到，利用三角形外角的性质即可求出度数； （2）过点作，根据等边三角形的性质和平行线的性质可知是等边三角形，从而推出，，利用“”证明，即可得出结论； （3）过点作，同理可得是等边三角形，进而推出，，利用“”证明，即可证明结论成立． 【详解】（1）解：根据题意，点和点分别从点和点同时出发并且运动速度相同 ， 点为的中点， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图②，过点作交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：成立，理由如下： 如图③，过点作，交的延长线于点， 同理可得，是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质等知识，准确作辅助线构造全等三角形是解题关键． 【变式8-2】如图1，点是直线上一点，点是直线上一点，且MN//PQ．和的平分线交于点． （1）求证：； （2）过点作直线交于点（不与点重合），交于点E, ①若点在点的右侧，如图2，求证：； ②若点在点的左侧，则线段、、有何数量关系？直接写出结论，不说理由．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】(1) 由平行线性质可得∠NAB+∠ABQ=180°,再由角平分线定义可得,再利用三角形内角和定理即可得∠C=90°,即可证明BC⊥AC; (2) ①延长AC交PQ点F，先证明AC=FC,再证明△ACD≌△FCE,即可得AD+BE=AB; ②方法与①相同． 【详解】解：（1）∵MN∥PQ ∴∠NAB+∠ABQ=180° ∵AC平分∠NAB，BC平分∠ABQ ∴ ∴∠BAC+∠ABC==90° 在△ABC中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180° ∴∠C=180°- (∠BAC+∠ABC) =180°-90°=90° ∴BC⊥AC; （2）①延长AC交PQ于点F ∵BC⊥AC ∴∠ACB=∠FCB=90° ∵BC平分∠ABF ∴∠ABC=∠FBC ∴BC=BC ∴△ABC≌△FBC ∴AC=CF，AB=BF ∵MN∥BQ ∴∠DAC=∠EFC ∵∠ACD=∠FCE ∴△ACD≌△FCE ∴AD=EF ∴AB=BF=BE+EF=BE+AD 即：AB=AD+BE           ②线段AD，BE，AB数量关系是：AD+AB=BE 如图3，延长AC交PQ点F, ∵MN//PQ ． ∴∠AFB=∠FAN，∠DAC=∠EFC ∵AC平分∠NAB ∴∠BAF=∠FAN ∴∠BAF=∠AFB ∴AB=FB ∵BC⊥AC ∴C是AF的中点 ∴AC=FC 在△ACD与△FCE中 ∴ ∴AD=EF ∵AB=FB=BE-EF ∴AD+AB=BE 【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形性质判定，等腰三角形性质等，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形． 【变式8-3】【问题初探】 （1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 【答案】 （1）证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长，取，连接，如图所示： ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】（1）①证明，得出，，证明，得出，证明，得出，即可证明结论； ②证明，得出，根据等腰三角形的判定证明，即可证明结论； （2）延长，取，连接，证明，得出，，根据等腰三角形判定得出，即可证明结论； （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，根据直角三角形性质得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）①略 ②略 （2）略 （3）延长，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等的三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 模型九：婆罗摩笈多模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 向外作双等腰直角三角形（知中点，证垂直） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，F是BC的中点 方法：倍长中线AF 结论：AF⊥DE，DE＝2AF 向外作双等腰直角三角形（知垂直，证中点） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥BC 方法：作DM⊥AF，EN⊥AF 结论：G是DE的中点，BC＝2AG 向内作双等腰直角三角形（知中点，证垂） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，F是BC的中点 方法：倍长中线AF 结论：AF⊥DE，DE＝2AF 向内作双等腰直角三角形（知垂直，证中点） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥BC 方法：作DM⊥AF，EN⊥AF 结论：G是DE的中点，BC＝2AG 【模型9 婆罗摩笈多模型】 【例9】婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就． 婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德． 婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位． 例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论： ①图1中S△ABC＝S△ADE； ②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；   ③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N． （1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程； （2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE． 【答案】（1）①证明见详解；②证明见详解；③证明见详解；（2）证明见详解． 【分析】（1）①取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G，先证△GEF≌△ADF（AAS），得出S△EAD=S△GEA，再证△GEA≌△CAB（SAS）即可； ②取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G，先证△GEF≌△ADF（AAS），得出∠BAC =∠GEA，再证△GEA≌△CAB（SAS），得出∠EAG=∠ABC，AC=AG，由AM是边BC上的中线，得出BM=CM=，三证△EAF≌△ABM（SAS）即可； ③过E作EP⊥MN交MN延长线于O，过D作DO⊥MN于O，先证∠ABM=∠EAP，∠MCA=∠OAD，证明△EAP≌△ABM（AAS），再证△CAM≌△ADO（AAS），三证△EPN≌△DON（AAS）即可． （2）延长AF，使FQ=AF，连接DQ，将△ACE绕点A逆时针旋转90°，得△ARD，由点F为BD中点，可得DF=BF，先证△DQF≌△BAF（SAS），DQ=BA=AC，∠FDQ=∠FBA，可证DQ∥BA，根据△ACE绕点A逆时针旋转90°得△ARD，可得AR=AC=AB=QD，RD=CE，证明R、A、B三点共线，再证△DQA≌△ARD（SAS），即可． 【详解】（1）①图1中S△ABC＝S△ADE； 证明：取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G， ∵点F为DE中点， ∴EF=DF， ∵EG∥AD， ∴∠GEF=∠ADF，∠GEA+∠EAD=180°， 在△GEF和△ADF中， ， ∴△GEF≌△ADF（AAS）， ∴GE=AD，∠G=∠DAF， ∴S△GEF=S△ADF， ∴S△EAD=S△GEA， ∵∠BAE＝∠CAD＝90°， ∴∠BAC+∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD=180° ∴∠BAC+∠EAD=∠GEA+∠EAD=180° ∴∠BAC =∠GEA， ∴GE=AD=AC， 在△GEA和△CAB中， ， ∴△GEA≌△CAB（SAS）， ∴S△ABC＝S△GEA=S△ADE； ②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM； 证明：取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G， ∵点F为DE中点， ∴EF=DF， ∵EG∥AD， ∴∠GEF=∠ADF，∠GEA+∠EAD=180°， 在△GEF和△ADF中， ， ∴△GEF≌△ADF（AAS）， ∴GE=AD，GF=AF= ∵∠BAE＝∠CAD＝90°， ∴∠BAC+∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD=180° ∴∠BAC+∠EAD=∠GEA+∠EAD=180° ∴∠BAC =∠GEA， ∴GE=AD=AC， 在△GEA和△CAB中， ， ∴△GEA≌△CAB（SAS）， ∴∠EAG=∠ABC，AC=AG， ∵AM是边BC上的中线， ∴BM=CM=， 在△EAF和△ABM中， ， ∴△EAF≌△ABM（SAS）， ∴EF=AM， ∵点F为DE中点， ∴DE=2EF=2AM， ③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N． 证明：过E作EP⊥MN交MN延长线于O，过D作DO⊥MN于O， ∵∠BAE=90°，∠DAC=90°， ∴∠BAM+∠EAP=90°，∠MAC+∠DAO=90°， ∵AM⊥BC， ∴∠ABM+∠BAM=90°，∠MCA+∠MAC=90° ∴∠ABM=∠EAP，∠MCA=∠OAD， ∵EP⊥MN， ∴∠EPA=90° 在△EAP和△ABM中， ， ∴△EAP≌△ABM（AAS）， ∴EP=AM， ∵DO⊥MN， ∴∠AOD=90°， 在△CAM和△ADO中， ， ∴△CAM≌△ADO（AAS） ∴AM=DO， ∴EP=DO=AM， 在△EPN和△DON中， ∴△EPN≌△DON（AAS）， ∴EN=DN， ∴MA的延长线平分ED于点N． （2）延长AF，使FQ=AF，连接DQ，将△ACE绕点A逆时针旋转90°，得△ARD ∵点F为BD中点， ∴DF=BF， 在△DQF和△BAF中， ∴△DQF≌△BAF（SAS）， ∴DQ=BA=AC，∠FDQ=∠FBA， ∴DQ∥BA， ∵△ACE绕点A逆时针旋转90°得△ARD ∴△ACE≌△ARD，∠RAC=90°， ∴AR=AC=AB=QD，RD=CE， ∵∠CAB=90°， ∴∠RAB=∠RAC+∠CAB=90°+90°=180°， ∴R、A、B三点共线， ∵DQ∥BA， ∴∠QDA=∠RAD， 在△DQA和△ARD中， ∴△DQA≌△ARD（SAS）， ∴AQ=DR， ∴2AF=AG=DR=CE， ∴2AF=CE． 【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，三角形面积，中线加倍，三角形中线性质，等腰直角三角形性质，图形旋转变换性质，三点共线，掌握以上知识，尤其是利用辅助线作出准确图形是解题关键． 【变式9-1】如图，在中，，，，分别以、为一直角边作等腰直角、，连接交的延长线于F，则的面积为___________． 【答案】 【分析】作交的延长线于点H．先证≌，推出，，再证≌，推出，最后利用三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】解：如图，作交的延长线于点H． 则， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ． 在和中， ∵， ≌ , ，． 是等腰直角三角形， ，， ． 在和中，   ∵， ≌ , ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式等，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 【变式9-2】已知如图，，，，，、交于点．    (1)求证：； (2)猜想线段、的关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意可以作辅助线即作的延长线于，然后根据平行线的性质可以推出结论； （2）在第一问的基础上由三角形的全等可以得到关系． 【详解】（1）解：证明：如图所示：作的延长线于，    ，， ，， ， ； （2）， ， 在和中， ， ， ；， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的全等判定和性质、平行线的性质，关键是构造全等的三角形． 【变式9-3】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ， ， ，我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图3，，，，连接，，的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)1012.5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论； （3）过作于，交于，过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得，，进一步可证，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为：，； （2）证明：如图2，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； （3）解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由“字”模型得：，， ，，， ∴， ，， ， 在与中， ， ， ，且， ， 即， ， 的值为1012.5． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 全等三角形的九大常见模型（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【模型1 平移模型】 1 【模型2 翻折(轴对称)模型】 2 【模型3 手拉手模型】 4 【模型4 半角模型】 5 【模型5 一线三等角模型】 7 【模型6 雨伞模型】 9 【模型7 角平分线模型】 11 【模型8 平行线中点模型】 13 【模型9 婆罗摩笈多模型】 17 模型一：平移模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平移模型 沿同一直线平移的两个三角形重合 ①加(减)共线部分，得到一组对应边相等； ②利用平行线性质找对应角相等 【模型1 平移模型】 【例1】（24-25八年级上·重庆江津·期中）如图，将沿射线方向平移得到，连接交于点．求证：． 【变式1-1】将沿直线向右平移个单位得到，若，，且，求． 【变式1-2】如图，已知在Rt△ABC中，，将Rt△ABC沿AC所在直线平移得到Rt△FDE，使平移的距离，连接BF，过点C作于点G，连接DG，EG． 求证：． 【变式1-3】（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：． （2）若将图1中的沿方向平移得到图2、图3，其他条件不变，还成立吗？为什么？（选择一种情况说明理由）    模型二：翻折(轴对称)模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 翻折(轴对称)模型 两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合 ①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等； ②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等 【模型2 翻折(轴对称)模型】 【例2】（2024·湖北武汉·二模）如图，将的边沿边上的高折叠到．在边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图所示的图形是关于所在的直线为对称轴的轴对称图形，则图中全等的三角形共有（    ）    A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【变式2-2】（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【变式2-3】如图，△ABC，点D，E在BC边上，点F在AC边上．将△ABC沿AD折叠，恰好与△AED重合，将△CEF沿EF折叠，恰好与△AEF重合．下列结论 ①∠B=60°；②AB=EC；③AD=AF；④DE=EF；⑤∠B=2∠C， 正确的个数有（　　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 模型三：手拉手模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形 加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等 【模型3 手拉手模型】 【例3】如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，并且相交于点． 求证： (1)； (2)． 【变式3-1】（25-26八年级上·四川资阳·期中）已知：如图，和都是等腰直角三角形，，连结相交于点F，相交于点M．求证：． 【变式3-2】如图，△ABC和△EBD都是等边三角形，连接AE，CD．求证：AE＝CD． 【变式3-3】在中，，点D是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接CE． (1)①如图1，求证：； ②当点D在边上时，请直接写出，，的面积（，，）所满足的关系； (2)当点D在的延长线上时，试探究，，的面积（，，）所满足的关系，并说明理由． 模型四：半角模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 半角模型 有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍分关系 转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形 延长一边，构造全等三角形，从而得到线段之间的数量关系 【模型4 半角模型】 【例4】（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 【变式4-1】如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____． 【变式4-2】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【变式4-3】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且. （1）求证：； （2）连结AC，若，求的度数. 模型五：一线三等角模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 一线三等角 模型 左图，两个三角形有一条边共线 ； 右图，同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1＝∠2＝∠3 利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用AAS 或ASA证明三角形全等 【模型5 一线三等角模型】 【例5】如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 【变式5-1】如图，在中，，，，于点于点．与全等吗？请说明理由．    【变式5-2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，是线段的中点，，过点作直线交、于点、． (1)证明：； (2)若，的垂直平分线交线段、于点、，，，求线段的长． 【变式5-3】（25-26八年级上·云南昆明·期末）一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型． (1)如图1，在中，，点在直线上，过点作于点，过点作于点，由得___________．又知道，可以推理得到，进而得到___________． (2)当图1中的直线绕点旋转到图2的位置时，求证：． (3)当图1中的直线绕点旋转到图3的位置时，请直接写出．之间的数量关系：___________． (4)如图4，若将（1）中的条件改为：在中，， D，A，E三点都在直线上，且满足，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 模型六：雨伞模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 雨伞模型 通过延长线段与直线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移 AP平分∠BAC，BD⊥AP，垂足为点D，延长BD交AC于点C，证明△ABD≌△ACD，得到AB＝AC，BD＝CD 【模型6 雨伞模型】 【例6】（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，中，，平分交于点D，过点B作，交延长线于点E，F为的中点，连接，交于点G，连接． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)线段与线段有何数量关系？并说明理由． 【变式6-1】如图，在中，平分，于点P，已知的面积为2，则阴影部分的面积为_____． 【变式6-2】如图，四边形ABCD中，E是DC的中点，连接AE，AE平分∠DAB，∠D＝∠C＝90°，AD＝4BC＝8，则线段AB的长为__． 【变式6-3】【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作，垂足为，延长交于点B，易证≌，则．其分析过程如下： 在和中， 平分 ≌（___________） 在括号内填写全等判定方法字母简称 （___________） 在括号内填写理由依据 【问题探究】 如图2，中，平分，垂足在的延长线上．证明：； 【拓展延伸】 如图3，在中，在线段上，向左侧作于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型7 角平分线模型】 【例7】在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______． 【变式7-1】（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，，求证：平分． 【变式7-2】（24-25九年级上·重庆巴南·期末）在学习了四边形的相关知识后，奋进组进行了更深入的思考：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被对角线平分所得的两个小角所对的边存在一定的数量关系？通过讨论，奋进组的解决思路是利用构造三角形全等得出结论，根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，用尺规过点C作的垂线，交于点F．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：在四边形中，，平分，交的延长线于点E，，求证：． 证明：∵平分，，， ∴①，． ∵， ∴． 又∵， ∴②． ∴（③）． ∴． 通过以上探究，请你帮助奋进组完成下面命题：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被该对角线平分所得的两个相等小角④． 【变式7-3】（25-26八年级上·山东潍坊·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法：如图 1 ，是一个任意角，在边， 上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与点M ， N 重合，即．过角尺顶点 P 的射线便是的平分线，已知角尺的夹角 (1)请解释工人师傅这样做能得到角平分线的原因； (2)小明认为，当上时，工人师傅就不需要先在边 上分别取，如图 2，直接移动角尺，使角尺的两边分别与相交于点M ，N ，且满足，便可以得到平分．你觉得小明的观点对吗？并说明理由； (3)如图 3 ， ， 平分．P 是射线上的一点，过点 P作于点 E ，．点 C 在射线上运动，过点 P 作，与直线交于点 D．若，请直接写出的长． 模型八：平行线中点模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平行线中点模型 平行线之间夹中点，通过延长过中点的线段与平行线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移 如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB、CD上，点O为线段EF的中点，延长PO交CD于点Q，证明△POE≌△QOF 【模型8 平行线中点模型】 【例8】（2026·江苏扬州·一模）综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 【变式8-1】如图，是等边三角形，点、分别是射线、射线上的动点，点从点出发沿射线移动，点从点出发沿射线移动，点、点同时出发并且运动速度相同．连接、． (1)如图①，当点移动到线段的中点时，求度数． (2)如图②，当点在线段上移动但不是中点时，试探索与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，当点移动到线段的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【变式8-2】如图1，点是直线上一点，点是直线上一点，且MN//PQ．和的平分线交于点． （1）求证：； （2）过点作直线交于点（不与点重合），交于点E, ①若点在点的右侧，如图2，求证：； ②若点在点的左侧，则线段、、有何数量关系？直接写出结论，不说理由．    【变式8-3】【问题初探】 （1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 模型九：婆罗摩笈多模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 向外作双等腰直角三角形（知中点，证垂直） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，F是BC的中点 方法：倍长中线AF 结论：AF⊥DE，DE＝2AF 向外作双等腰直角三角形（知垂直，证中点） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥BC 方法：作DM⊥AF，EN⊥AF 结论：G是DE的中点，BC＝2AG 向内作双等腰直角三角形（知中点，证垂） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，F是BC的中点 方法：倍长中线AF 结论：AF⊥DE，DE＝2AF 向内作双等腰直角三角形（知垂直，证中点） 条件：AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，AF⊥BC 方法：作DM⊥AF，EN⊥AF 结论：G是DE的中点，BC＝2AG 【模型9 婆罗摩笈多模型】 【例9】婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就． 婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德． 婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位． 例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论： ①图1中S△ABC＝S△ADE； ②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；   ③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N． （1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程； （2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE． 【变式9-1】如图，在中，，，，分别以、为一直角边作等腰直角、，连接交的延长线于F，则的面积为___________． 【变式9-2】已知如图，，，，，、交于点．    (1)求证：； (2)猜想线段、的关系． 【变式9-3】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ， ， ，我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图3，，，，连接，，的面积为，的面积为，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $