陕西师范大学附属中学2026-2027学年度第一学期高二年级开学收心考试数学试题

**基本信息** 陕西师大附中高二开学收心数学试卷，通过基础与能力梯度设计衔接高一知识，检测暑假学习效果，以数学眼光、思维与语言考查助力新学期过渡。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|基础概念与技能|聚焦数学眼光，巩固核心知识| |多选题|3/18|综合知识应用|体现思维层次性，考查推理能力| |填空题|3/15|细节知识点|检测数学抽象与空间观念| |解答题|3/47|综合问题解决|突出数学思维与语言表达，衔接高一与高二内容|

陕西师大附中2026-2027学年度第一学期 高二开学收心考试数学试题参考答案 总分：120分：考试时间：9月4日19：15-20：45 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.B 2.D 3.A 4.D 5.D 6.D 7.C 8.B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，有多个符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选 错的得0分。 9.BD 10.ACD 11.BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.π 9 14.π 四、解答题：本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演 1而 算步骤。 由频率分布直方图性质，组距为10 10(2a+0.030+0.016+0.008)=1 解得a=0.023。 第-组20,30)频率：10×0.023=0.23. 各组中点：25,35,45,55,65，对应频率：0.23,0.23,0.30,0.16,0.08 E=25×0.23+35×0.23+45×0.30+55×0.16+65×0.08 =41.3 (2) 第四组人数：100×0.16=16，第五组人数：100×0.08=8，人数比2：1. 分层抽样抽取6人：第四组4人，第五组2人。 总选法：C%=15,不同组选法：C4C2=8 P=i (3) n1=16,E1=54,s=4:n2=8,2=66,s=7 g2=好+(@1-]+2[号+(2-}] n1+n2 16×[4+(54-58)2]+8×[7+(66-58)2 z=1684x0=58 24 =16×20+8×71 24 =37 答： (1)第一组频率为0.23，平均数为41.3： 回所求短车率为8 (3)总平均数z=58,总方差82=37。 16.解：(1)证明：因为在梯形ABCD中，BC‖AD, 又BC面PAD,ADC面PAD 所以BCI面PAD,因为BCC面PBC,面PBCn面PAD=L, M 所以BC‖L, 因为BCC平面ABCD,I丈平面ABCD, B 所以U平面ABCD: (2)N为中点时，MNI平面PAB. 证明：连接CN,EN, 因为E,N分别为PD,AD的中点 所以ENI‖PA,因为EN4平面PAB,PAC平面PAB 所以ENI平面PAB, 取PA的中点F,连接EF,BF, 则EF‖AD,则EF‖BC,且EF=BC, 所以四边形BCEF为平行四边形，则CE‖BF 因为BFC平面PAB,CE平面PAB 所以CE平面PAB,CE∩EN=E,CE、ENC平面CEN, 所以平面CEN|平面PAB, 因为M是CE上的动点，MNc平面CEN,所以MN‖平面PAB, 所以当N为中点时，MN‖平面PAB. 17.解：(1)证明：因为AD=4,且M为AD的中点， 所以MD=2.所以BC=MD 又因为BC‖MD 所以四边形BCDM是平行四边形 所以BM‖CD 因为BM平面CDE,CDC平面CDE, 所以BM平面CDE 同理可得MF平面CDE 又因为BM∩MF=M,BM,MFC平面BMF, 所以平面BMFI‖平面CDE. (2)由(1)知平面ABF与平面CDE所成角即为平面ABF与平面BMF所成角，过点A作AG⊥BF交BF于点G,连接MG, 如图1所示 F 0 C 图1 易知△ABF兰△MBF, 所以MG⊥BF 则∠AGM或其补角即为平面ABF与平面BMF所成角的平面角 在△ABF中，由余弦定理的推论得eOS∠BAF=AB+AF2-BF2_V7 2AB·AF 141 则sin∠BAP=V1-cosZBAF=3V2 14 因为S△ABF= 2×2v7x3v211 14=2×3AC, 所以AG=V3. 在△AGM中，由余弦定理的推论得co8∠AGM=AC+CM2-AMP_3+3-4_1 2AG.GM 2×3 31 2 所以平面ABF与平面CDE所成角的正弦值为 2W2 3 3 (3)取AM的中点为H,连接BH,FH,如图2所示 因为△AFM为等腰三角形、△ABM为等边三角形 所以FH⊥AM,BH⊥AM 所以BH=√BMP-M=V3, FH=VFM2-HM2=V6 因为BH2+FH2=BF2, 所以FH⊥BH 因为FH⊥BH,FH⊥AM,BH∩AM=H,BH,AMC平面ABM, 所以FH⊥平面ABM, 设点M到平面ABF的距离为h, 则VF-ABM=3 SAABM·FH=3S△ABF:h, 则h=S△ABM FH 2×2×V3×V62V6 S△ABF 2×3V3 1 3 所以点M到平面ABF的距离为 2v6 M 图2 陕西师大附中2026－2027学年度第一学期 高二开学收心考试数学试题 总分：120分；考试时间：9月4日19:15-20:45 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则（ ） A． B． C． D．1 2．已知向量，，与的夹角为，则（ ） A．1 B． C．2 D． 3．底面半径为4的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所得圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 4．在中，，是上靠近的一个三等分点，若，则实数的值为（ ） A． B．1 C． D． 5．为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活动．甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为，乙猜对的概率为．甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为（ ） A． B． C． D． 6．用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中，，若原平面图形的面积为，则的长为（ ） A．2 B． C． D． 7．下列说法正确的是（ ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.01 B．已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D．若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32 8．在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则（ ） A． B． C．2 D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，，则 D．若，，，则 10．在棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（ ） A．存在点，使得直线与所成角为 B．不存在点，使得平面平面 C．三棱锥的体积为 D．存在点，使得直线垂直于平面 11．下列关于平面向量的说法中，正确的有（ ） A．若平面向量，，满足，则 B．若向量，满足，，则 C．若四边形为圆的内接四边形，且，，，则的最大值为3 D．已知向量，满足，，则在上的投影向量的坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，均为单位向量，若，与的夹角为__． 13．在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__． 14．已知三棱锥中，，，为的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则截面面积的最小值为__． 四、解答题：本题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（15分）某校园文创社团对高一进行文创手作体验的学生进行时长调查（单位：分钟），随机抽取了100名学生并将其时长分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求第一组的频率，并求这100名学生进行文创手作体验时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）从第四、第五两组学生中采用分层随机抽样的方法选出6名学生，再从这6名学生中随机选出2名学生，求这2名学生来自不同组的概率； （3）若第四组的时长的平均数为54，方差为4，第五组的时长的平均数为66，方差为7，求这两组时长的总平均数和总方差 16．（15分）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． （1）求证：平面； （2）若是线段上一动点，点是线段的中点，是否有平面？证明你的结论． 17．（17分）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，． （1）证明：直线平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $