陕西榆林市靖边中学2025-2026学年高二第一学期收心考试数学试卷

靖边中学2024级2025~2026学年度第一学期收心考试试卷 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册，选择性必修第一册第一章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.样本数据5,9,1,3,7的中位数是 A.1 B.3 C.5 D.7 2.已知空间向量a=(1,1,一1)，b=(0,2,x),若a⊥b,则x= A.3 B.2 C.1 D.0 985 3.已知复数x=干则|= A号 号 c号 D.1 4.若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是 A.a+b,b+c,c-a B.a-c,b-c,a-b C.2a+b;a-c,2c+b D.a-b,b+c;c-a 5.如图，在直三棱柱ABC-A1B,C,中，△ABC为等腰直角三角形，且AB= AC=AA,=1,则异面直线AB,与A,C所成角的余弦值为 B B C.3 B 【高二收心考试试卷·数学第1页（共4页）】 26-T-015B 6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c且bcos C+-csin B=a,b=6,则a+2b sin A+2sin B A.6√2 B.42 C.6 D.4 7.在正方体ABCD-A,B,CD,中，连接其任意两个顶点都可以得到一条线段，则这些线段所 在的直线平行于平面ACB,的概率为 A B壶 c D 8.在正三棱锥P-ABC中，PA=AB=4,点D,E分别是棱PC,AB的中点，则AD.P它= A.-10 B.-8 C.-4 D.-2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知，n表示两条不同的直线，a表示平面，则下列命题为假命题的有 A.若m∥a,n∥a,则m,n相交或平行 B.若m⊥a,n二a,则m⊥n C.若m⊥a,m⊥n,则nCa D.若m∥a,m∩n≠，则n∥a 10.已知A,B,C是空间中不共线的三点，点O为空间内的任意一点，若点P在平面ABC内，且 O°-Oi+入O庐+uO元，则下列关于入和u的值满足条件的是 CA=2=君 D.A=-- 11.在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 A.sin A+sin Bcos A+cos B B.tanA·tanB<l C.sin A+sin B>1 D.若=ac,则角B的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若向量a=(3,6),b=(一1,1)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为 13.已知空间中三点A(0,0,0),B(1,一1,2)，C(一1，一2,1)，则以AB,AC为邻边的平行四边形 的面积为 14.若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为3，则该圆锥的侧面积为 【高二收心考试试卷·数学第2页（共4页）】 26-T-015B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B.C所对的边分别为a,6.c,且A-号5a=76, (1)求sinB的值； (2)若a=7,求△ABC的面积. 16.(本小题满分15分) 一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩 (成绩均在[40,100]之间)，将样本数据分为6组：[40,50)、[50,60)、…、[80,90)、[90， 100],绘制成频率分布直方图（如图所示）. (1)求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生的物理 小频率 组距 成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中0.028 点的值作代表)： 0.022 0.018 (2)在样本中，从成绩在[40,60)内的学生中，随机抽取2人， 求这2人成绩都在[50,60)内的概率. 0.004 405060708090100分数 17.(本小题满分15分) 如图，在棱长为3的正方体ABCD-A,BCD中，点E是棱DD1上的一点，且D,E=2DE (1)若点F满足BF=2FB,求证：CF∥平面AEC; (2)底面ABCD内是否存在一点P,使得PD⊥平面ACE?若存A 在，求出线段DP的长度：若不存在，请说明理由， F E D B 【高二收心考试试卷·数学第3页（共4页）】 26-T-015B 18.(本小题满分17分) 为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数 学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式.现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛， 甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是号和一假设两人是否回答出问题，相互之间没有 影响：每次回答是否正确，也没有影响， (1)若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率； (2)若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个 的概率； (3)假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答5次被退出比赛的概率. 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，ABLAD,CD⊥AD,AB=AD=PD=CD=L,PA=E, PC=5,点Q为棱PC上一点. (1)证明：PA⊥CD: (2)当点Q为棱PC的中点时，求直线PB与平面BDQ所成角的 正弦值： 3)当二面角P-BD-Q的余这值为2时，求瓷 【高二收心考试试卷·数学第4页（共4页）】 26-T-015B靖边中学2024级20252026学年度第一学期收心考试试卷·高二数学 参考答案、提示及评分细则 1.C先将样本数据按照从小到大排序1,3,5,7,9，中位数是第三个数5.故选C. 2.B因为a⊥b,所以a·b=(1,1,-1)·(0,2,x)=1×0+1×2+(-1)×x=0,解得x=2.故选B. 3c群器二9岁+号放1Vg+( 导放选G 4.D因为c-a=(b+c)-(a十b),所以a+b,b+c,c-a共面；因为a-b=(a-c)-(b-c),所以a-c,b-c,a 一b共面；因为2a+b=2(a-c)+(2c+b),所以2a+b,a一c,2c+b共面；因为不存在x,y,使得a-b=x(b+ c)+y(c一a),所以a一b,b十c,c一a不共面，所以可以作为基底.故选D. ZA 5.B由题意如图建立空间直角坐标系，可得A(0,0,0),B1(1,0,1),A(0,0,1), C(01,0),则AB=(1,0,1)与At=(0,1,-1D,所以os(AB,A=L √2X2 一号，所以异面直线AB,与AC所成角的余弦值为2.故选B 6.A由正弦定理得sin Bcos C+sin Csin B=sinA,即sin Bcos C+sin Csin B= sin(B+C)=-sin Bcos C+-cos Bsin C,∴.sin Csin B=cos Bsin C,'sinC≠0，sinB =sB,5anB=1:e0xB=子小品AB是 b。=6=62,a=62sinA,b=62sinB,所 2 以n物mB万2部P》-6区.放迹A sin A+2sin B 7.D连接任意两个顶点的线段除了12条棱之外还有每个面上各有两条面对角线，共2×6一12，还有4条体 对角线，共28条线段，其中它们所在的直线与平面ACB平行的有3条，故所求概率为最故选D 8.B在正三棱锥P-ABC中，PA=AB=4,所以PA=PB=PC=4,∠APB=∠APC=∠BPC=60°，又AD 市-=号元-i,市=号+)=分i+,所以·成=（式-p)· (2i+2)=元.i+元.成-号i-号成.i=}×4×4×号+是×4×4x2-司 ×型-号X4X4×号=-8.故选B 9.ACD对于A,若m∥a,n∥a,则直线m,n相交或平行或异面，故A错误；对于B,若m⊥a,nCa,则m⊥n,故 B正确：对于C,若m⊥a,m⊥n,则n∥a或nCa,故C错误；对于D,若m∥a,m∩n≠，则n与a平行或相 交，故D错误.故选ACD. 10.BCD点P在平面ABC内的充要条件是号+X+=1,即X+H=号.故选BCD, 1.ACD因为△ABC是锐角三角形，所以A+B>交，所以交>A>交-B>0,所以sinA>sin(交-B),所 以sinA>cosB,同理可得sinB>cosA,所以sinA十sinB>cosA+cosB,故A正确；因为△ABC是锐角 三角形，所以cosC=cos[x-(A+B)]=-cos(A十B)>0,所以cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B< 【高二收心考试试卷·数学参考答案第1页（共4页）】 26-T-015B 0,所以cos Acos B-<sin Asin B,又cosA>0,cosB>0,所以tanA·tanB>1,故B错误；因为△ABC是锐 角角形，所以A+B>交，所以交>A>乏-B>0,所以sinA>sin(交-B),所以sinA+sinB> sim(受-B)+simB>cosB+simB=sin(B+于），又B∈(o,受)，所以B+子∈（子，平）， sim(B+圣)》>号，所以smA十smB>1,放Ci正确：因为cosB=。+-龙-g2士c≥2acg=马 2ac 2ac 2ac 2 当且仅当Q=c时等号成立，所以cosB的最小值为号，又B∈(0，交)，所以角B的最大值为，故D正确。 故选ACD. 12.(-号，2) 向量a=(36),b=(一1,1D,所以向量a在向量b上的投影狗量的坐标为：·合 ±.世=是-1，=(-号)】 1+1 13.35AB,A夹角的余弦值为cos(A店，AC=AB.A亡 1×(-1)+(-1)×(-2)+2×1 |AB|·|AC/12+(-1)2+22·w/(-1)2+(-2)2+1 =令.因此A成，Ad夹角的正弦值为sm,A亡号，故以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为S= ·Ad·simA,Ad=6×6×5-35. 14.18x过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O,和外接圆⊙O2,且两圆同圆心，即△ABC的内 心与外心重合，所以△ABC为正三角形，由题意⊙O的半径为r=√3，所以△ABC的边长为6，所以圆锥的 底面半径为3，所以圆锥的侧面积S=π×3×6=18π. 15.解：(1)因为5a=7b,由正弦定理得5sinA=7sinB. 2分 因为A=牙，所以5sin牙=7simB。…✉ 4分 所以sinB-5E 141 …5分 (2)若a=7,因为5a=7b,则b=5. …6分 由余弦定理，得a2=6+2-2 bccos A,即49=25+c2-2×5Xc×cos 2π 3 …8分 整理，得2十5c-24=0,解得c=3(c=-8舍去)，…10分 所以△AC的面积S=nA=合X5X3Xs如等=15， 3 4 …13分 16.解：(1)由题意得：10×(0.004十a十0.022+0.028+0.022+0.018)=1，解得a=0.006,…3分 这50名学生此次物理测试成绩的平均数为： 45×0.04+55×0.06+65×0.22+75×0.28+85×0.22+95×0.18=76.2.…6分 (2)样本中成绩在[40,50)的有50×0.004×10=2人，设为A,B,成绩在[50,60)的有50×0.006×10=3 人，设为a,b,c,… …8分 从这5人中随机抽取2人，共10个基本事件，分别为(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c), (a,b),(a,c),(b,c),… 10分 记事件A为“2人成绩都在[50,60)内”，A包含3个基本事件，分别为(a,b),(a,c),(b,c),…12分 所以P(A=品，因此2人成绩都在[50,60)内的概率为器 15分 【高二收心考试试卷·数学参考答案第2页（共4页）】 26-T-015B 17.(1)证明：以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴，y轴，之轴建立空间直角坐标系，如图所 示.所以A(3,0,3),C(0,3,3),E(0,0,1),C(0,3,0),B,(3,3,3),B(3,3,0),所以AC-(-3,3,0), EA=(3,0,2). 设平面AEC的一个法向量n=(x,y,之)， n·AC=-3.x+3y=0, 所以 n·EA=3x+2x=0, 令x=2,解得y=2,z=-3, 所以平面AEC的一个法向量n=(2,2,一3). 4分 D 若萨=2F成，则B萨-号孤=号(00,3)=00,2， 所以C市=C市+号BB=(3,0,0)+(0,0,2)=(3,0,2), 所以n.C市=2X3-3X2=0, 7分 又CF过平面AEC,所以CF∥平面AEC.… 8分 (2)解：假设底面ABCD内存在一点P,使得PD⊥平面ACE,设P(a,b,0)(0≤a≤3,0≤b≤3)， 又D(0,0,3),所以DP=(a,b,-3),又平面AEC的-个法向量n=(2,2,-3),所以DP∥n, 所以号合-， 12分 解得a=2,b=2, …14分 所以底面ABCD内存在一点P,使得PD⊥平面ACE,此时DP=√/22+2=2√2. 15分 18.解：(1)记“乙至少有1个回答正确”为事件M, 所以PM)=1-PM=1-(1-)×(1-2)×(1-)x(1-)=, 即乙至少有1个回答正确的感率是品。 …5分 (2)记“甲答对第i个问题”为事件A:(=1,2,3),“乙答对第i个问题”为事件B:(=1,2,3),则甲回答正 确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件AA2A3B1B2B+AA2ABB2B+AA2ABB2B +A:A2Aa BB:B3+A A2Aa BB:B3+AA2 Aa B.B2 B., P(AA:A:B:B:Bs+A A2 As BB:B+A A2 As B.Be B+AiA2As BB B.+A A2Aa BBB. +AAA五瓦)=号×号×号××(1-)×(1-合)+号×号×号×(1-)× (1-)x含+号×号×号×(1-)x号×(1-)+(1-号)×号×号×(1-)×(1-2)× (1-3)+号×(1-号)×是×(1-3)×(1-2)×(1-2)+号×号×(1-号)×(1-2)× (1-2)×(1-2)=, 即甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率是 11分 (3)记“甲答对第i个问题”为事件A:(=1,2,3,4,5),则甲恰好回答5次被退出比赛为事件AA2AA4A十 AA2A3 A:As+A A2A3 A.As, P(AA2A3 A:As+AA2As A:A5+A A2A3 A:As)=P(AA2A3 A:As)+P(A A2A3 A:As)+ 【高二收心考试试卷·数学参考答案第3页（共4页）】 26-T-015B PA石A五A)=号×号×号×(1-号)x(1-号)+(1-号)x号×号×(1-号)×(1-号) 号×(1-号)×号×(1-号)×(1-号)品， 即甲恰好问答5次被退出比赛的概率是品 17分 19.(1)证明：因为PD=1,CD=2,PC=√5，所以PD2+CD=PC, 所以CD⊥PD, 2分 又CD⊥AD,且AD∩PD=D,AD,PDC平面PAD,所以CD⊥平面PAD,…3分 又PAC平面PAD,所以PA⊥CD.…4分 (2)解：因为PA=√2，AD=PD=1,所以AD+PD=PA2,则PD⊥AD.…5分 由(1)可知PD,AD,DC两两垂直，以D为原点，以DA,DC,DP所在直 线分别为x轴y轴、之轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxy。 则D(0,0,0),B(1,1,0),P(0,0,1),C(0,2,0),…6分 当点Q为棱PC的中点时，Q(0,1,2),P市=(1,1，-1)，D成 (11,0),D0-(0,1,2）. …7分 设平面BDQ的一个法向量m=(xn,y%,o), DB·m=0, 0+%=0, 则 即 D0.m=0, 令%=一1，解得20=1,0=2，故m=(1,一1,2)，…8分 %十2a=0, 设直线PB与平面BDQ所成角为0， 则sin0|osm,P克1=m·P创 2 9分 |mlPi|√6X53 放直线PB与平面BDQ所成角的正改值为号， 10分 (3)解：由(2)可知D币=(0,0,1)，D谚=(1,1,0)，设P戒-入P元-(0,2x,-)(0≤≤1)，则 D-Dd+pi=(0,2以，1-)， 11分 设平面BDQ的一个法向量n=(,y,之)， DB·n=0,m/x十=0， 则 即 令y=1一入，解得x1=入一1，=一2λ， D0·n=0,2入+(1-)≈=0， 故m=(入-1,1-λ，-2)， 13分 设平面BDP的一个法向量为n2=(2,y2,2), Di·n2=0,2十2=0 由 得 ……… 14分 Dd.n2=0, 2=0, 令次=-1，解得2=1,2=0，故=(1，-1,0)， 所以|cos(n1,h2)川= 12λ-21 31Π 11 15分 62-4λ+2·√2 即 λ-1 16分 √3x-2A+1 3①，整理，得8以+2以-1=0，解得X=或入=一之（舍去）. 11 17分 【高二收心考试试卷·数学参考答案第4页（共4页）】 26-T-015B