精品解析：陕西师范大学附属中学2025-2026学年度第二学期开学收心考试高二年级数学试题

陕西师大附中2025-2026学年度第二学期 开学收心考高二年级数学试题 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数的单调性求集合，再应用集合的交集运算求. 【详解】由，而，所以. 故选：A 2. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由复数的运算即可得到，再求出其模长即可得到结果. 【详解】因为，则，所以. 故选：B 3. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率． 【详解】由得，，所以， 即，所以， 故选：B． 4. 甲、乙两班各人参加数学竞赛，人分两排合影留念，若从甲班的人和乙班的人中各选人站在前排，后排的人要求甲班的人必须相邻，同时乙班的人也必须相邻，则不同的站法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】因为第一排的站法有种，第二排的站法有种， 所以不同的站法有种. 故选：B. 5. 函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数求切线斜率不范围，利用斜率和倾斜角的关系，求倾斜角的取值范围. 【详解】设切线的倾斜角为，则，∵， ∴切线的斜率，则. 故选：B 6. 若，并且､均为钝角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由均为钝角，且，得， 而， 则， 所以 . 7. 设为数列的前项积，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由为数列的前项积，则， 则由，可得当时，有， 又当时，，则由可得， 即，则，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故，故A正确. 8. 已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：利用导数的运算法则得，根据函数单调时导数恒正或恒负，分离参数后求函数最值确定的取值范围；解法二：利用补集思想，先求函数不单调时的取值范围，再取补集得到单调时的取值范围. 【详解】（解法1）因为在区间上是单调函数， 所以，对，有， 或者恒成立， 所以，对有或者恒成立， 利用二次函数性质求解可得：或者， 设，定义域为，， 当时，，所以， 即在上单调递减，则， 又因为时，， 且时，， 所以，则或者， 所以. （解法2）若在区间上不单调， 则在内存在极值点， 所以，在内存在变号实根， 即在内存在变号实根， 化简得：在内存在变号实根， 所以，直线与函数在上的图像有交叉点， 又由解法一可知，，所以，化简得：， 若在区间上是单调函数，则. 故选：D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（ ） A. 首项 B. C. 当时，取得最大值 D. 取得最小正值时为27 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A，B，再结合所在二次函数的图象和性质，即可求解判断C，D. 【详解】存在最大值，所以数列的公差， 由，且，，当时，取得最大值，C选项正确； 所以数列是首项，的等差数列，A选项正确； ，则，B选项错误； ，， 可得:， ， 所以则取得最小正值时为，D选项正确. 故选：ACD 10. 已知抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为线段的中点，，则（ ） A. B. 若，则点的横坐标为4 C. 取最小值时，的斜率为1 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据焦点求出；对于B ，C，由抛物线的定义可判断；对于D延长交准线于点，由抛物线的定义得出为的中位线，设，再利用相似关系即可求出. 【详解】对于A，因为抛物线的焦点，所以，得，故A正确； 对于B ，分别过点作准线的垂线，垂足为， 则由抛物线的定义可知，设点的横坐标为， 因为为线段的中点，所以点到准线的距离为，则点的横坐标为4，故B正确； 对于C，因为， 则当三点共线时，有最小值， 且抛物线为，则，又因为，则的斜率为不存在，故C错误； 延长交准线于点，由以及抛物线定义可知，， 则为的中位线， 设，则，， 由相似关系可知，，则，得，故，故D正确. 故选：ABD 11. 已知正方体的棱长为，是线段的中点，是底面正方形内的动点（包含边界），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得平面 C. 若点在线段上运动，则与平面所成角正弦的最大值为 D. 若与所成的角为，则动点的轨迹为双曲线的一部分 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平面平面，得到点到平面的距离为定值，结合锥体的体积公式，可判定A正确；连接,交于点，证得平面，当为底面正方形中心时，得到平面，可判定B正确；以为原点，建立空间直角坐标系，设，得到，结合向量的夹角公式，可判定C错误；设，由与所成的角为，列出方程，得到动点的轨迹为双曲线的一部分，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为平面平面，所以点到平面的距离为定值， 所以为定值，所以A正确； 对于B中，连接,交于点，连接， 则为的中点，因为为的中点，所以， 在正方体中，可得， 因为，且平面，所以平面， 所以平面，当为底面正方形中心时，平面，所以B正确. 对于C中，以为原点，所在直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系， 则, , ，可得，， 设，其中，则， 可得平面的法向量， 设直线与平面所成角为，当时，与重合，此时，； 当时，， 当且仅当时取等号， 综上可得，与平面所成角的正弦值最大为，所以C错误. 对于D中，设，则,， 因为与所成的角为，所以， 所以，可得，所以动点的轨迹为双曲线的一部分，所以D正确. 故选：ABD. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 的展开式中的系数为12，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】应用二项式定理写出含项，结合已知项系数列方程求值即可. 【详解】由的展开式通项为， 所以，含项为， 故，可得. 故答案为： 13. 已知数列满足：，.设，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为_______ 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，进而得到，结合，分和分类讨论，确定数列的单调性，求出最大值，进而得解. 【详解】由数列满足、得：是首项为，公比为的等比数列， ∴，∴， ∴， 当时，，∴，当且仅当时取等号，， 当时，，∴， 当时，数列单调递增，当时，数列单调递减， 则当或时，， 而任意的，恒成立，则， ∴实数的取值范围为. 故答案为： 14. 已知是自然对数的底数，函数只有一个零点，则实数a的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知函数只有一个零点等价于方程只有一个实数根，即函数图象与图象仅有一个交点，利用导数求出函数的单调性画出其图象利用数形结合即可得出实数a的取值范围为. 【详解】根据题意可得令，可得； 令，则， 易知， 令，则，即函数在上单调递增， 且，因此存在，使得，且； 因此当时，即， 当时，，即； 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 即存在极小值，也是最小值； 由可得，可得，所以； 当趋近于0时，函数趋近于，当趋近于时，函数趋近于0， 画出函数图象如下图所示： 若函数只有一个零点，等价于函数图象与图象仅有一个交点， 由图可得当或时，满足题意； 所以，实数a的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数后隐零点的处理，由存在满足可得，计算出利用数形结合即可求得实数a的取值范围. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在中，角的对边分别为.已知向量，向量，且. （1）求角的大小； （2）若，，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标运算，结合两角和差正弦公式和辅助角公式可求得，根据角的范围可确定；（2）利用余弦定理求得，根据正弦定理求得；由三角形大边对大角知道为锐角，从而求得；利用二倍角公式求得结果. 【详解】（1） ，解得： （2）由余弦定理得： 由正弦定理得： 为锐角 【点睛】本题考查解三角形知识的应用，涉及到正弦定理和余弦定理解三角形、两角和差和辅助角公式化简三角函数、平面向量数量积公式的应用、二倍角公式的应用等知识，属于常考题型. 16. 已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差，借助等差数列性质与等比数列性质计算即可得； （2）分奇数项及偶数项分组求和，结合等比数列的性质与裂项相消法计算即可得. 【小问1详解】 设的公差为，由题意知，即， 即有，因为，可得，， 所以； 【小问2详解】 设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为， 则 ， ， 所以． 17. 如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置. 【答案】（1） 连接，取线段的中点，连接， 在Rt中，， ， 在中，， 由余弦定理可得：， 在中， ， 又平面， 平面， 又平面 ∴平面平面， 在中，， ∵平面平面平面， 平面. （2）存在，点是线段的中点 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到，，从而得到线面垂直，得到面面垂直，再由，面面垂直的性质得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设出的坐标，求出平面的法向量，从而列出方程，求出的值，确定点位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 平面的法向量， 在平面直角坐标系中，直线的方程为， 设的坐标为， 则， 设平面的法向量为， ， 所以， 令，则， 由已知， 解之得：或9（舍去）， 所以点是线段的中点. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性并求极值； （2）设函数是函数的两个零点， （i）求的范围； （ii）求证：. 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减； 的极大值为，无极小值. （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据的正负性得出单调性以及极值； （2）（i）将问题转化为与的函数图象存在两个交点即可. （ii）设，利用对称构造法设求证，再利用以及求证. 【小问1详解】 的定义域为， ， 由得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 （i）当时，当时，， 且时，时， 故的函数图象如图： 因为有两个零点，所以与的函数图象存在两个交点， 则，即， 故的范围为； （ii）不妨设，因为与的单调性相同，所以由（1）知， 先证， 要证，即证， 因为，在上单调递减， 所以只需证． 令， 则， 在区间内单调递增，所以，即． 再证． 因为，所以，则， 因为，所以， 令， 所以，故在区间内单调递增． 所以，则，则. 综上，. 19. 已知椭圆的离心率为，是上的点. （1）求椭圆的方程； （2）过作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆在轴上方部分于，两点. （i）求面积的最大值； （ii）过延长线上的点作椭圆的两条切线，，若与交于点，与交于点，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）设，设过点的椭圆的两条切线为，， 联立， 得， 由相切得，化简得， 所以，， 设，联立，解得， 联立，解得， 则，化简得：， 所以直线MN过定点. 【解析】 【分析】（1）由离心率及点在椭圆上，椭圆参数关系列方程组求得，即可得椭圆方程； （2）（i）设DE的方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式表示出，利用点到直线的距离公式表示出T到DE的距离，表示出面积，利用基本不等式即可求得面积的最大值； （ii）设，设出过点的椭圆的切线方程，与椭圆方程联立，消元得到一元方程，由相切得，再设，与切线方程联立，表示出点，点的横坐标，再由则，化简可得，可得直线MN过定点. 【小问1详解】 已知椭圆的离心率为，是上的点. 则，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （i）显然当DE与轴垂直时，TD，TE的倾斜角不互补， 设DE的方程为：，设， 联立,消x得：， 所以，， 则， 所以， 代入得：， 所以，即直线DE过定点. 所以，， 所以， 又T到DE的距离为， 所以，当时取等号. 即面积的最大值为； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西师大附中2025-2026学年度第二学期 开学收心考高二年级数学试题 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙两班各人参加数学竞赛，人分两排合影留念，若从甲班的人和乙班的人中各选人站在前排，后排的人要求甲班的人必须相邻，同时乙班的人也必须相邻，则不同的站法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若，并且､均为钝角，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 设为数列的前项积，已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（ ） A. 首项 B. C. 当时，取得最大值 D. 取得最小正值时为27 10. 已知抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为线段的中点，，则（ ） A. B. 若，则点的横坐标为4 C. 取最小值时，的斜率为1 D. 若，则 11. 已知正方体的棱长为，是线段的中点，是底面正方形内的动点（包含边界），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得平面 C. 若点在线段上运动，则与平面所成角正弦的最大值为 D. 若与所成的角为，则动点的轨迹为双曲线的一部分 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 的展开式中的系数为12，则_________． 13. 已知数列满足：，.设，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为_______ 14. 已知是自然对数的底数，函数只有一个零点，则实数a的取值范围为_________． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在中，角的对边分别为.已知向量，向量，且. （1）求角的大小； （2）若，，求的值. 16. 已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性并求极值； （2）设函数是函数的两个零点， （i）求的范围； （ii）求证：. 19. 已知椭圆的离心率为，是上的点. （1）求椭圆的方程； （2）过作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆在轴上方部分于，两点. （i）求面积的最大值； （ii）过延长线上的点作椭圆的两条切线，，若与交于点，与交于点，求证：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $