重难点01：集合中的十类参数问题讲义-2026-2027学年高一上学期数学同步培优（沪教版必修第一册）

本讲义聚焦高一数学集合的十类参数问题，涵盖元素与集合关系、元素个数、包含关系、集合相等、子集个数、交并补运算及韦恩图应用，构建从基础到综合的学习支架，系统梳理参数求解逻辑。 资料特色为题型分类清晰，每类配方法点拨与多样化习题，含高考真题及名校期中题。通过分步指导培养数学思维的推理能力，结合韦恩图强化数学语言的模型意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生分层巩固，查漏补缺。

2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 重难点01 集合的十类参数问题 题型一、根据元素与集合的关系求参数 【方法点拨】已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围的步骤 第1步，由元素属于或不属于集合入手分类讨论； 第2步，将求得参数值回代到集合，利用集合元素的互异性检验能否构成集合； 第3步，经检验后找出符合条件的参数的值及得所求； 1．（2026·上海·高考真题）已知集合，，则__________． 【答案】 【详解】由题意得，解得，经验证此时集合满足题意. 2. （25-26上海市实验学校高一上期中）已知集合，若，则实数的值是__________ 【答案】 【分析】由，分，两种情况讨论，结合集合中元素的互异性分析，即得解 【详解】由题意， （1）若，则，和集合中元素的互异性矛盾，不成立； （2）若，则，由（1） 若，则，，成立 故实数的值是 故答案为： 3.（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为_______ 【详解】，，，解得. ∵，∴满足条件的组成的集合为． 4.（24-25上海市格致中学高一上期中）若集合，且，则的值是_______ 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 5.（24-25上海市大同中学高一上期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为_________. 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【详解】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 题型二、根据集合中元素的个数求参数 【方法点拨】解题一般要注意两点：一是解集是否可能为空集；二是若以一元二次方程为载体，要注意二次项系数是否为0。 解题步骤；第1步，对方程的二次项系数是否为零进行讨论； 第2步，当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解． 6.（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是______ 【答案】0或 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 7. （24-25上海市建平中学高一上期中）若集合至多有一个元素，则的取值范围是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据讨论方程解的情况，即得结果 详解】时，，满足题意； 时，要满足题意，需 综上的取值范围是或 故答案为或 【点睛】本题考查根据集合元素个数求参数，考查基本分析求解能力，属中档题. 8．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合内的元素个数为2，则_____ 【答案】0或4 【分析】分析方程的实根情况，根据集合元素的互异性，对分情况进行讨论即可. 【详解】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 9.（2025高一上·北京海淀·专题练习）已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由，可知，依次讨论为时，集合中的元素个数即可得到结论. 【详解】由，且，可知， 所以依次讨论为时，集合中的元素个数． 对于A选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故A错误， 对于B选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故B错误， 对于C选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故C错误， 对于D选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素，故D正确. 故选：D 10．（2026高一上·全国·专题练习）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 11.（24-25高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 题型三、根据集合的包含关系求参数 【方法点拨】①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式(组)或方程(组)，求出相关的参数的取值范围或值. 12.已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. 13.已知集合，且，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分B为空集和不是空集两种情况，根据集合间的包含关系得到不等式求解. 【详解】分两种情况考虑： ①若B不为空集，可得：， 解得：， ， 且， 解得：， 所以, ②若B为空集，符合题意，可得：， 解得：. 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. 14.已知集合，，若，则实数的取值范围是______ 【答案】 【详解】∵ 解不等式，即得，即. ∵ 集合，且， ∴ 集合中的所有元素都属于集合，故， 即实数的取值范围是. 15.已知集合或，且是的真子集，则的范围为____ 【答案】或； 【详解】因为是的真子集， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得， 则或，解得或； 综上所述：或； 16.已知集合. (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)分为空集和不为空集两种情况分别求解，最后再求并集即可； (2)，则是的子集，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）①若，则，即，此时； ②若，则，解得. 综合①②，得实数的取值范围是. （2）（2）若，则，解得， 所以实数的取值范围是. 17.设集合，已知． (1)写出集合的所有子集： (2)设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，，. (2) 【详解】 （1）由， 所以集合的子集为：，，，. （2）由，由集合的子集为：，，，. 当时，即，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上：实数的取值范围为. 18.已知集合，， (1)若，求； (2)是否存在自然数，，使得？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， 【详解】（1）当时，，联立方程得，解得或； 故. （2），故且， 联立方程得，消去y得，， 由知， 当时，方程有解，故不符合题意； 当时，，即； 联立方程得，消去y得，， ，，即； 若有解，则，即； 若有解，则，即； ，，代入得，且，故且， 故； 综上所述，当，时， 题型四、根据两个集合相等求参数 【方法点拨】解决由两集合相等求参数问题的关键是明确“两集合相等即两集合中所含元素完全相同，且与元素排列顺序无关”，分类讨论所有可能的对应情况即可。 【注意】一是检验所求参数的值是否满足题中的限制条件，二是集合是否满足元素的互异性． 19.已知集合，若，则实数的取值集合为______ 【答案】 【分析】根据，可得，再分和两种情况讨论即可. 【详解】因为，所以， 当时，则，所以，得， 此时； 当时，则，所以，所以，所以，则， 此时， 综上所述，实数的取值集合为. 20.已知，，若集合，则的值为_______ 【答案】 【解析】本题可根据得出，然后通过计算以及元素的互异性得出、的值，即可得出结果.因为， 所以，解得或， 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，， 21.已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 【答案】1 【分析】根据集合相等的定义求得后可得结论． 【详解】集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R）. 由A＝B， 得①解得此时集合A中，＝0与元素0重复，，违反互异性； ②解得，此时A＝B＝，符合题意. 综上，，所以. 22．（2026高一·全国·专题练习）设，集合，则________． 【答案】8 【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及相等集合的意义列式求解并验证即可. 【详解】由，得，故， 因为，又， 因此，解得或， 当时，集合与集合不相等，不符合题意； 当时，集合与集合相等，符合题意，所以. 故答案为：8 23. （25-26华东师大三附中高一上期中）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用集合元素的互异性与集合相等计算即可. 【详解】由题意可知，所以根据集合元素的互异性可知， 则，此时需，即，所以. 故答案为： 题型五、根据集合的子集个数求参数 【方法点拨】若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 24.已知集合满足，且，则的取值为_____ 【答案】或. 【详解】由题意可知，，. 当时，解得或； 当时，，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，满足题意； 当时，解得或， 当时，，满足题意； 当时，，与元素互异性矛盾，舍去. 综上，或. 25. （25-26上海市金山中学高一上期中）若集合有且仅有两个子集，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【解析】 【分析】问题转化为方程只有1解，求实数的值求解. 【详解】因为集合有且仅有两个子集， 所以集合中有且只有1个元素，即方程只有一解. 由. 由或. 因为方程只有一解，所以或（因为是方程的增根）， 所以或. 故实数的取值集合为. 故答案为： 26.已知集合恰有两个子集，则a的取值集合为______． 【答案】 【分析】根据题意方程只有一个解，进而分，两种情况讨论求解即可. 【详解】根据题意，方程只有一个解， 当时，方程为，则，解得或（舍去）； 当时，方程化为， 由，得，此时，满足题意. 综上所述，a的可能取值集合为． 故答案为：. 27.（25-26上海市七宝中学高一上期中）已知集合，若有且只有一个非空子集，则实数__________. 【答案】4或 【解析】 【分析】根据集合非空子集的个数，判断集合中元素的个数，进而根据判别式求出参数值. 【详解】集合有且只有一个非空子集，则集合中只有一个元素，即方程只有一个解， 得，解得或. 故答案为：4或. 28. 已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若有且只有四个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)时，；时，. (2)且. 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）有且只有四个子集，则方程有两个根，即且. 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故时，；时，. （2）若有且只有四个子集，则方程有两个不等实数根，即且， 即解得且. 综上且. 29. 已知集合． (1)若，且，求的取值范围； (2)若恰有4个子集，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得集合，再对进行分类讨论，由此求得的取值范围. （2）先判断出有个元素，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）由题意知， 因为，所以. 若，则， 解得； 若，则，无解； 若，则，解得； 若，则，无解. 综上，的取值范围是. （2）若恰有4个子集，则中恰有2个元素， 又，则关于的方程在内有两个相异的实根， 所以 解得 所以， 所以的取值范围是. 题型六、根据集合交集的结果求参数 【方法点拨】1.交集定义： 是同时属于A、B的公共元素； 2.情况分类：① ：k是A、B公共唯一元素，将k同时代入两个集合方程，联立求参数，再检验无其他公共根； ② ：A、B无公共元素，分 、、A、B均非空三类讨论； 3.方程交集：联立两集合对应方程，方程组无解则交集为空；仅有一组解则交集为单元素； 4.区间交集为空：区间无重叠，列“左区间右端点≤右区间左端点”不等式。 30. （25-26上海中学高一上期中）已知集合，，若，求实数p的取值范围． 【答案】 【详解】集合， 对于集合，， 所以：，即时，，满足. ，即或时： 其中，时，，，不符合； 时，，满足. ，即或时，设，： 其中，时，， 为两正根，，不符合； 时，， 为两负根，满足. 综上所述，的取值范围是. 31.（2026高一·全国·专题练习）设 ．若 ，求 的取值范围． 【答案】或 【分析】化简集合，根据交集的概念可知，通过讨论集合是否为空集即可求解. 【详解】化简集合 ，得 ．由于 ，则有 可知集合 或为空集，或只含有根0或 ． ①若，由 ，得． ②若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，也符合题意； ③若，代入，得 ，即 或 ，当时，②中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综合①②③得或. 32．（2026·全国·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据交集的运算及集合中的元素的个数，列不等式求解即可. 【详解】因为，，若中有2个元素， 所以，所以，解得， 则实数a的取值范围是. 故答案为：. 33. （25-26上海市徐汇中学高一上期中）已知集合，若，则实数组成的集合为__________． 【答案】 【分析】解方程求得集合；分别在和两种情况下，根据交集结果构造方程，从而求得结果. 【详解】解：因为， 当时，，满足， 当时，， ，或，解得：或， 实数组成的集合为， 故答案为： 34．已知集合，，若，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【详解】因为化简得，由于， 又因为且，即，得， 综上所述，实数的取值范围为. 35.已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，然后根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意，得， 由于集合或}，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围为，故D正确. 36.已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，又， ，． （2）由， 若，则，解得； 若，则或，解得. 综上所述，实数的取值范围为． 题型七、根据集合并集的结果求参数 【方法点拨】1.核心等价转化 ；； 并集等于其中一个集合，直接转化为子集问题； 2.并集为全体范围 ：两个区间合起来覆盖全体实数，列端点不等式； 3.检验要求 求出参数后代回集合，保证元素不重复、并集范围符合题干。 37．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合，.若，则m的取值范围是________. 【答案】 【分析】对，分类讨论，列出满足的不等式求解. 【详解】由，可得， 当时， ，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，所以m的取值范围为. 38.已知，集合，. (1)若，求，； (2)是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)存在，或0 【分析】（1）当时，可得集合A、B，根据交集、并集运算的定义，即可得答案. （2）当时，分析可得不符合题意，则，由题意，可得，分别讨论和两种情况，根据集合的性质，即可求得答案. 【详解】（1）当时，集合，集合， 则，. （2）当时，集合，集合，不合题意，舍去， 当时，集合，集合， 因为，所以，又，只需， 情况①，，符合题意； 情况②，解得（1舍去），此时，符合题意， 综上可得或0. 39.（25-26上海大学附中高一上期中）已知，，若，求实数的值. 【答案】或 【分析】由可得，分别计算和，结合集合的互异性可得的值. 【详解】∵， 由集合元素互异性，可知. 由. ①或， 当时，集合不满足互异性，故舍去， 当时，集合符合条件； ② 当时，集合符合条件. 综上，实数的值为1或. 题型八、根据集合补集的结果求参数 【方法点拨】两类解法 ① 列举型全集：全集元素剔除A的元素，对比补集集合，列等式求参数； ② 方程型全集：A与补集集合的元素是全集全部根，用韦达定理（根与系数关系）快速求参数； 40. （25-26上海奉贤中学高一上期中）已知全集，且，则实数的值为__________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据补集的定义求解. 【详解】因为全集，且， 所以，得或. 故答案为：或 41.设全集，集合，若，则实数 ; 【答案】 【分析】根据可得，进而求得，解得并判断是否满足集合即可. 【详解】因为，故，即，故，解得或； 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件； 故. 故答案为： 42．设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 【答案】B 【详解】由补集知且，对比得， 则. 故选：B 题型九、根据交并补混合运算求参数 【方法点拨】混合运算最终都会转化为基础关系（包含、交集、并集），拆解分步计算。 ① 先化简所有集合（解方程、解不等式）； ② 按运算顺序算出混合表达式对应的集合条件； ③ 转化为子集/交集为空/相等问题，复用前面题型解法； 43.已知全集，集合，若，求实数t的取值范围． 【答案】或 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】由得，再分类讨论讨论和，从而得解. 【详解】因为，所以， 因为， 当时，，则，此时满足； 当时，，则，解得； 综上，或. 44.设，. (1)若，求实数的值； (2)若全集为，，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)且且且 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】（1）解出集合，根据可知是方程的两根，求出的值，然后结合检验即可得解； （2）分析可得，分两种情况讨论：，根据可求得的范围；，分析可知，、不是方程的根，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，，且， 则是方程的根， 所以，，解得或， 当时，，此时，，合乎题意； 当时，，此时，，合乎题意. 综上所述，或. （2）对于方程，， 因为全集为，，则，分以下几种情况讨论： 当时，则，可得，此时，，合乎题意； 当时，则，可得， 因为，则、都不是方程的根， 所以，， 解得且且且， 此时，或或或. 综上所述，实数的取值范围是且且且. 45. （2023·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期末）已知集合或，集合． （1）若求和； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【详解】（1）当时，集合或，， 可得， 因为， 所以； （2）因为，所以， 当时，，可得， 当时或，可得， 综上所述：或． 所以实数a的取值范围为. 46. （25-26上海格致中学高一上期中）已知集合或，. （1）求； （2）若，当时，求实数的取值范围； （3）若，当时，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）直接根据补集定义求解； （2）分、、三种情况讨论集合的范围，结合子集关系求解； （3）分和两种情况，结合交集为空的条件求解. 【小问1详解】 因为，，所以. 【小问2详解】 当时，，满足； 当时，，由得，解得； 当时，，由得，解得. 综上，实数的取值范围是. 【小问3详解】 当时，，解得； 当时，，由得或，即或. 结合，得或. 综上，实数的取值范围是. 题型十、结合韦恩图求参数 【方法点拨】① 看图翻译集合关系式； ② 根据“区域非空”列条件：交集区域≠∅、单独区域≠∅； ③ 分空集、非空集讨论，列不等式/方程求参数； 3.核心条件 题干说明多个区域均不为空时，必须同时满足：交集非空、互不包含、单独区域有元素。 47.设全集，集合，，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得集合，结合韦恩图得到是的真子集，即可求解. 【详解】由题意，集合，且， 根据给定的韦恩图，可得是的真子集， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 48.设全集为，集合，． (1)求如图阴影部分表示的集合； (2)已知且，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）解不等式求出，再计算即可求出答案； （2）由得，分为和两种情况分别求解，即可求出答案. 【详解】（1）解不等式得或， 所以或， 或， 所以或. （2）由得， 当，即时，，符合题意； 当，即时， 则，解得， 综上所述，， 所以实数的取值范围为. 49.设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】（1）根据题意可得集合，结合集合间的运算求解即可； （2）分和两种情况讨论，结合交集运算列式求解即可. 【详解】（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 1.已知集合中有个元素，，，且当时，，则的值是______ 【答案】2或4 【分析】根据元素与集合的关系依次判断的情况是否满足题意即可. 【解析】当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，不合题意； 2.已知集合中有且仅有一个元素，那么的值为_____ 【答案】1或 【解析】或， 当时，，符合题意. 当时，，不符合题意. 当时，要使集合有且仅有一个元素， 则需， 解得或（舍去） 综上所述，的可能取值为或，C选项符合. 3.已知集合，则满足A中有8个元素的m的值_____. 【答案】6或 【分析】由题设得且，注意对m的讨论 【解析】当时，满足的有6，3，2，1，，，，， 即集合中有8个元素，符合题意 当时，满足的有6，3，2，1，，，，， 即集合中有8个元素，符合题意。 当时，满足的有9，3，1，，，， 即集合中有6个元素，不符合题意。 当时，满足的有9，3，1，，，， 即集合中有6个元素，不符合题意。 故m的值为6或 4.已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（ ） 【答案】或 【解析】由于集合至多有1个真子集，则集合中的元素个数至多一个，故或者为单元素集， 当时，则且，解得， 当为单元素集，则中只有一个元素，当时，符合题意，当时，则，解得 ， 综上，或， 5.已知集合. 若，则实数a的取值范围为_____ 【答案】 【分析】由题意可得：，分和两种情况，结合包含关系分析求解. 【解析】因为则 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：实数a取值范围为. 6．已知集合，若，则的值为（ ） 【答案】或2或12 【分析】根据，得到或，分类讨论得到的值，根据元素的互异性，舍去不合要求的解，求出的值. 【解析】因为，所以或. ①当时，，， 所以或，得或4. 当时，不合题设，舍去. 当时，，，此时. ②当时，，， 所以或，解得：或或 当时，不合题设，舍去. 当时，，此时. 当时，，此时. 7．设集合，或，若，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】因集合， 若，有，解得，此时，于是得， 若，因或，则由得：，解得：， 综上得：， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 8.已知集合，若，则实数的值是______ 【答案】1 【详解】已知集合，若， 所以，解得. 9.已知集合，若，则_______ 【答案】 【详解】因为， 所以或， 当时，与集合元素的互异性矛盾； 当时，可得，此时,满足 故. 10.已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【解答过程】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 11.已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值； (3)若，讨论，的取值范围. 【答案】(1) (2)， (3)答案见解析 【解题思路】（1）根据，代入中方程求解即可； （2）分与两种情况讨论，根据包含关系求参数的解； （3）结合，及解得个数，分类讨论求解. 【解答过程】（1）时，， 由可得，解得. （2）当时，方程至少有一解. 当时，为空集，要使，则也为空集，即方程无解， 则，与矛盾，舍去； 当时，，若，则方程有且仅有一解为， 则，且，整理得方程， 解得，故，. （3）当时，为空集，必有； 当时，，若，若方程有且仅有一解为， 由上知，则，. 若方程有两解，则且， 解得且，且. 综上，当时，可以为任意实数；当时，. 12.已知集合，或． (1)当时，求和； (2)若，且，求实数a的取值范围． 【答案】(1) ， 或； (2) 【解题思路】（1）利用交集和并集概念求出答案； （2）先得到，，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【解答过程】（1）时，，又或， 故 或 ， 或 或； （2），故， ， 当时，，解得，与矛盾，舍去， 当时，，解得， 综上，实数a的取值范围为. 13.已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时．    则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解；    当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 重难点01 集合的十类参数问题 题型一、根据元素与集合的关系求参数 【方法点拨】已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围的步骤 第1步，由元素属于或不属于集合入手分类讨论； 第2步，将求得参数值回代到集合，利用集合元素的互异性检验能否构成集合； 第3步，经检验后找出符合条件的参数的值及得所求； 1．（2026·上海·高考真题）已知集合，，则__________． 2. （25-26上海市实验学校高一上期中）已知集合，若，则实数的值是__________ 3.（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为_______ 4.（24-25上海市格致中学高一上期中）若集合，且，则的值是_______ 5.（24-25上海市大同中学高一上期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为_________. 题型二、根据集合中元素的个数求参数 【方法点拨】解题一般要注意两点：一是解集是否可能为空集；二是若以一元二次方程为载体，要注意二次项系数是否为0。 解题步骤；第1步，对方程的二次项系数是否为零进行讨论； 第2步，当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解． 6.（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是______ 7. （24-25上海市建平中学高一上期中）若集合至多有一个元素，则的取值范围是___________． 8．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合内的元素个数为2，则_____ 9.（2025高一上·北京海淀·专题练习）已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 10．（2026高一上·全国·专题练习）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11.（24-25高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 题型三、根据集合的包含关系求参数 【方法点拨】①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式(组)或方程(组)，求出相关的参数的取值范围或值. 12.已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 13.已知集合，且，则实数的取值范围是__________. 14.已知集合，，若，则实数的取值范围是______ 15.已知集合或，且是的真子集，则的范围为____ 16.已知集合. (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围. 17.设集合，已知． (1)写出集合的所有子集： (2)设集合，若，求实数的取值范围． 18.已知集合，， (1)若，求； (2)是否存在自然数，，使得？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由． 题型四、根据两个集合相等求参数 【方法点拨】解决由两集合相等求参数问题的关键是明确“两集合相等即两集合中所含元素完全相同，且与元素排列顺序无关”，分类讨论所有可能的对应情况即可。 【注意】一是检验所求参数的值是否满足题中的限制条件，二是集合是否满足元素的互异性． 19.已知集合，若，则实数的取值集合为______ 20.已知，，若集合，则的值为_______ 21.已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 22．（2026高一·全国·专题练习）设，集合，则________． 23. （25-26华东师大三附中高一上期中）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____________. 题型五、根据集合的子集个数求参数 【方法点拨】若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 24.已知集合满足，且，则的取值为_____ 25. （25-26上海市金山中学高一上期中）若集合有且仅有两个子集，则实数的取值集合为_____. 26.已知集合恰有两个子集，则a的取值集合为______． 27.（25-26上海市七宝中学高一上期中）已知集合，若有且只有一个非空子集，则实数__________. 28. 已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若有且只有四个子集，试求实数的取值范围. 29. 已知集合． (1)若，且，求的取值范围； (2)若恰有4个子集，且，求的取值范围． 题型六、根据集合交集的结果求参数 【方法点拨】1.交集定义： 是同时属于A、B的公共元素； 2.情况分类：① ：k是A、B公共唯一元素，将k同时代入两个集合方程，联立求参数，再检验无其他公共根； ② ：A、B无公共元素，分 、、A、B均非空三类讨论； 3.方程交集：联立两集合对应方程，方程组无解则交集为空；仅有一组解则交集为单元素； 4.区间交集为空：区间无重叠，列“左区间右端点≤右区间左端点”不等式。 30. （25-26上海中学高一上期中）已知集合，，若，求实数p的取值范围． 31.（2026高一·全国·专题练习）设 ．若 ，求 的取值范围． 32．（2026·全国·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数a的取值范围是______． 33. （25-26上海市徐汇中学高一上期中）已知集合，若，则实数组成的集合为__________． 34．已知集合，，若，则实数的取值范围是_________． 35.已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 36.已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 题型七、根据集合并集的结果求参数 【方法点拨】1.核心等价转化 ；； 并集等于其中一个集合，直接转化为子集问题； 2.并集为全体范围 ：两个区间合起来覆盖全体实数，列端点不等式； 3.检验要求 求出参数后代回集合，保证元素不重复、并集范围符合题干。 37．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合，.若，则m的取值范围是________. 38.已知，集合，. (1)若，求，； (2)是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 39.（25-26上海大学附中高一上期中）已知，，若，求实数的值. 题型八、根据集合补集的结果求参数 【方法点拨】两类解法 ① 列举型全集：全集元素剔除A的元素，对比补集集合，列等式求参数； ② 方程型全集：A与补集集合的元素是全集全部根，用韦达定理（根与系数关系）快速求参数； 40. （25-26上海奉贤中学高一上期中）已知全集，且，则实数的值为__________ 41.设全集，集合，若，则实数 ; 42．设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 题型九、根据交并补混合运算求参数 【方法点拨】混合运算最终都会转化为基础关系（包含、交集、并集），拆解分步计算。 ① 先化简所有集合（解方程、解不等式）； ② 按运算顺序算出混合表达式对应的集合条件； ③ 转化为子集/交集为空/相等问题，复用前面题型解法； 43.已知全集，集合，若，求实数t的取值范围． 44.设，. (1)若，求实数的值； (2)若全集为，，求实数的取值范围. 45. （2023·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期末）已知集合或，集合． （1）若求和； （2）若，求实数的取值范围． 46. （25-26上海格致中学高一上期中）已知集合或，. （1）求； （2）若，当时，求实数的取值范围； （3）若，当时，求实数的取值范围. 题型十、结合韦恩图求参数 【方法点拨】① 看图翻译集合关系式； ② 根据“区域非空”列条件：交集区域≠∅、单独区域≠∅； ③ 分空集、非空集讨论，列不等式/方程求参数； 3.核心条件 题干说明多个区域均不为空时，必须同时满足：交集非空、互不包含、单独区域有元素。 47.设全集，集合，，若A与B的关系如图所示，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48.设全集为，集合，． (1)求如图阴影部分表示的集合； (2)已知且，若，求实数的取值范围． 49.设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 1.已知集合中有个元素，，，且当时，，则的值是______ 2.已知集合中有且仅有一个元素，那么的值为_____ 3.已知集合，则满足A中有8个元素的m的值_____. 4.已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（ ） 5.已知集合. 若，则实数a的取值范围为_____ 6．已知集合，若，则的值为（ ） 7．设集合，或，若，则实数的取值范围为 8.已知集合，若，则实数的值是______ 9.已知集合，若，则_______ 10.已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 11.已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值； (3)若，讨论，的取值范围. 12.已知集合，或． (1)当时，求和； (2)若，且，求实数a的取值范围． 13.已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $