重难点05 一元二次不等式、分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的求解讲义-2026-2027学年高一上学期数学同步培优（沪教版必修第一册）

本讲义聚焦高一数学不等式求解核心知识点，系统梳理一元二次不等式的基础解法，延伸至分式、高次不等式的转化技巧，再到绝对值、根式不等式的分类讨论，构建从基础到综合的学习支架。 资料以“例题解析+跟踪训练”模式设计，涵盖选择、填空、解答等多元题型，助力学生通过推理与运算深化数学思维，在不同不等式类型转化中培养抽象能力与创新意识。课中辅助教师分层教学，课后便于学生自主练习查漏补缺，提升应用能力。

2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 重难点05 一元二次不等式、分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的求解 题型一、一元二次不等式的求解 【例1】解下列不等式． （1）； （2）． 【答案】（1）或；（2） 【解析】（1）由得：，解得：或， 所以不等式的解集为：或； （2）由，令，可知， 又对应抛物线开口向上，所以的解集为：. 【跟踪训练】 1.不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】利用绝对值的意义，分和两种情况，再利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】当时，原不等式等价于，解得，所以， 当时，原不等式等价于，解得，所以， 综上，原不等式的解为， 故选：A. 2.不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】由， 所以原不等式的解集为， 故答案为： 3.解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)或； (3). 【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）（2）由不含参的一元二次不等式的解法求解集； （3）由分式不等式得，解不含参的一元二次不等式求解集. 【详解】（1）由，得不等式的解集为． （2），得不等式的解集为或 （3）不等式等价于，解得，解集为. 4. 解下列不等式： （1）(2)；(3)．（4）； 解：（1），， 所以不等式的解集是； （2）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． （3）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． （4），整理得：，即 解得：，不等式解集为：. 5．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)或； (2) (3)或． (4) 【分析】首先变形不等式的形式，再求对应方程的实数根，再结合二次函数的图象，即可求解. 【详解】（1）方程的两根为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或； （2）原不等式可化为． 解方程，得．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为． （3）原不等式可化为． 方程两根为2和-3． 结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （4）由原不等式得． 原不等式等价于． 解方程，得． 结合二次函数的图象知，原不等式的解集为． 题型二、分式不等式的求解 【例2】解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）利用分式不等式的解法：分式不等式转化成整式不等式，得到，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果； （2）利用分式不等式的解法：分式不等式转化成整式不等式，得到，且，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果. （3）根据条件得到，利用，将问题转化成，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果. 【详解】（1）因为等价于，得到或， 所以的解集为或. （2）由，得到，即， 等价于，且，解得或， 所以的解集为或. （3）由，得到， 又恒成立， 所以原不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为 【跟踪训练】 1.解下列不等式： （1） ；（2） （3）．（4） 【解析】（1）原不等式等价于即，所以不等式的解为. （2）原不等式等价于或，即或， 所以不等式的解为， （3）由得，即，即且， 解得或.∴原不等式的解集为或． 2. 解下列不等式： （1）；（2） （3）； 【解析】（1）由题意得， 则 所以不等式的解集为． （2）不等式可化为，即，等价于 解得 所以不等式的解集为. （3）分母：，则 原不等式 或，所以，原不等式的解集为. 题型三、高次不等式的求解 【例3】关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用“穿根法”解高次不等式. 【详解】因为 所以. 由图可知：    . 故答案为： 【例4】解不等式：（1）； （2） （3）. 【答案】（1）；（2） ；（3） 【分析】（1）将分式不等式转化为整式高次不等式后计算即可得； （2）将分式不等式转化为整式高次不等式后计算即可得； （3）将分式不等式转化为整式高次不等式后，结合分母不为零计算即可得； 【解析】（1），即， 令，有或或， 则该不等式的解集为； （2） ，即， 令，有或或， 又恒成立， 故该不等式的解集为； （3） ，即， 由，故， 对： 令，有或或， 又恒成立，故有， 故该不等式的解集为. 【例5】不等式的解集为 【答案】或或 【分析】将分式不等式化为，应用穿根法求解集即可. 【解析】由题设得， 所以或或，故解集为或或. 故答案为：或或 【跟踪训练】 1.不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将不等式转化为不等式组，再依次解不等式组，最后取并集即可. 【详解】不等式化为： 或， 解，得，即； 解，得，即且， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 2.解不等式（x+2）（x-1）9（x+1）12（x-3）≥0. 【详解】根据不等式标根 所以原不等式的解为. 故答案为：. 3.不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【详解】不等式，化为：， 由穿根法可知：不等式的解集为：或.故选：A. 4.不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得. 【详解】， 故，解得或， 故该不等式的解集为. 5.函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用具体函数定义域求法结合分式不等式解法计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故选：C. 6.求不等式的解集． 【答案】或或. 【分析】将给定不等式移项通分，再转化为不等式组，结合数轴标根法求解. 【详解】不等式， ， 借助数轴，讨论各个因式之积的符号，如图所示（数轴标根法）： 由此得到原不等式的解集是：或或． 7.求不等式的解集． 【答案】或 【分析】将给定不等式移项通分，再利用数轴标根法求解. 【详解】不等式 ， 借助数轴，讨论各个因式之积的符号，如图所示（数轴标根法）： 所以原不等式的解集是：或. 题型四、绝对值不等式的求解 【例6】解下列关于的不等式． （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1） （2）（3） （4） （5） （6） 【跟踪训练】 1．解下列不等式： (1)；(2)． 【答案】(1)或．(2)． 【分析】直接运用结论公式可解 【解析】（1）因为或，解得或， 所以原不等式的解集是或 （2）由于，即，解得， 所以原不等式的解集是． 2．解下列不等式： （1）（2） 【解析】（1）法一：不等式等价于，整理得. 即，解得， 则不等式的解集为. 法二：当时，满足； 当时，不等式，可化为， 即或，即或， 即或. 解得或. 综上，不等式的解集为. 故答案为： （2）由可得或， 即或； 等价于或， 解得或； 即原不等式的解集为： 故答案为： 3．解下列不等式： （1）（2）（3） 【详解】（1）原不等式等价于 当时，原不等式等价于，即得不成立，不等式无解； 当时，原不等式等价于，解得，不等式的解集为； 当时，原不等式等价于，即得，不等式的解集为； 综上所述，原不等式的解集为. 故答案为： （2）当时，原不等式变为，得； 当时，原不等式变为，不等式无解； 当时，原不等式变为，得； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. （3）当时，不等式； 当时，不等式，故； 当时，不等式，故 综上：或 题型五、根式不等式的求解 【例7】集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式、根式不等式求集合，再由集合的交运算求结果. 【详解】由，， 所以，，故. 故选：B 【例8】已知全集为实数集，若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式求出集合，解根式不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，可得，解得， 所以， 所以. 故选：A 【跟踪训练】 1. 已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为， 由可得，解得，即， 故. 故选：C. 2. 不等式的解集是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合不等式的解法，即可求解. 【详解】当，解得，此时不等式恒成立； 当时，即时，不等式，平方得， 即，即，解得，所以， 综上可得，不等式的解集为. 故选：B. 3.已知全集为实数集，若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式求出集合，解根式不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，可得，解得， 所以， 所以. 故选：A 1.不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据分式不等式计算求得解集. 【详解】由题意不等式变形为，通分化简为， 分式不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为 故选：A. 2.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整理化简分式不等式，并将其等价转化为整式不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，则，等价于，解得. 故选：B. 3.不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式化简为，即，且. 解得或. 即不等式的解集. 4.不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分式不等式化为一元二次不等式求解即可. 【详解】由，得，即，也即. 所以，解得， 所以该不等式的解集为. 故选：C. 5.不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法求解即可． 【详解】， 故答案为：． 6.分式不等式的解集为______ 【答案】或或 【分析】将分式不等式转为整式不等式（组），高阶不等式遵循：“奇次穿针引线，偶次穿而不过”的整体原则，得到不等式解集. 【详解】∵，∴， ∴或或. 故答案为：或或. 7.不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】整理转化为，借助数轴穿根法求解即可. 【详解】由题意可得：， 即，即， 所以， 由数轴穿根法可得， 所以解集为或或． 8.不等式的解集是 ． 【答案】或或 【分析】先将不等式进行化简，然后利用数轴穿根法求解不等式的解集即可. 【详解】等价于． 数轴穿根法如图，    注意因式的次数为2，因此不穿过数1，故不等式的解集为或或． 故答案为：或或． 9.不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】将所求不等式变形为，利用“穿针引线”法可得出原不等式的解集. 【详解】由可得，即， 如下图所示： 由“穿针引线”法可知，原不等式的解集为或. 故答案为：或. 10.解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3＞0； (2)－4x2＋18x－≥0； (3)－2x2＋3x－2＜0； (4)－x2＋3x－5＞0. 【解析】　(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为. (2)原不等式可化为≤0，所以原不等式的解集为. (3)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R. (4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅. 11．解下列关于的不等式． （1） （2） (3) （4） （5） （6） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 12.解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）直接由零点穿根法即可求解； （2）先将不等式进行转换，然后由零点穿根法即可求解. 【详解】（1）标根：将，1，4标在数轴上； 穿根1，4为奇次根，为偶次根，按照“奇过偶不过”画图如图1所示； 得解：不等式的解集为或． （2）是分式不等式，先将最高次数的项的系数化为“+”，并对分子因式分解得． 分母符号不确定，化除为乘： 方程的根分别为，利用“数轴穿根法”如图2所示，则不等式的解集为或． 13.解不等式． 【答案】 【分析】应用公式法求绝对值不等式的解集. 【详解】由，得，则. 14.解不等式： (1)； (2). 【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求解即可； （2）法一：分和两种情况求解即可.（2）利用绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】（1）原不等式等价于， 由可得或，解的或； 由可得，解的. 综上所述，原不等式的解为，或. （2）解法一：当，即时，不等式可化为， 解得，∴不存在满足条件的. 当，即时，不等式可化为，解的，∴， 综上所述，原不等式的解为， 解法二：原不等式可化为或， 即或，即 ∴原不等式的解为. 15.解不等式:(1) (2)(3) 【解析】(1)方法1：考虑临界点－2和1把数轴分成几段？ 分为三个区间：，，． ① 当时，原不等式变为， 化简：，，即； （不要把前提条件忘记） ② 当时，原不等式变为， （分类讨论要包含所有的点，不要忘记） 化简得：，即； （表示不等式恒成立，不是没有解，是对一切都成立） ③ 当时，原不等式变为， 解得：，即． 综上，知原不等式的解集为． （最后把①、②、③三种情况合并起来，求并集如果困难，借助于轴.） 方法2：从函数的角度思考，可分别画出函数和的图象．观察即得． (2)当时，原不等式化简为，解得，又因为，则无实数解； 当时，原不等式化简为，解得，又因为，所以； 当时，原不等式化简为，解得，又因为，所以. 综上原不等式解集为. 故答案为：. (3)当时，原不等式可化简为，解得； 当时，原不等式可化简为，即，故此时不等式无解； 当时，原不等式可化简为，所以． 综上，不等式的解集为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 重难点05一元二次不等式、分式不等式、高次不等式、 绝对值不等式的求解 合思维导围 题型一、一元二次不等式的求解 题型二、分式不等式的求解 不等式的求解 题型三、高次不等式的求解 题型四、绝对值不等式的求解 题型五、根式不等式的求解 明典型解析 题型一、一元二次不等式的求解 【例1】解下列不等式 (1)-2x2+3x-1<0; (2)x2+x+2<0. 【跟踪训练】 1.不等式x2--2<0的解集是（) A.{x-2<x<2} B.{dx<-2或x>2} C.{-1<x<} D.{xx<-l或x>1} 2.不等式(x-1)(2-x)>0的解集为 3解下列不等式： (1)x2+x-6≤0； 1/7 (2)6-2x2-x<0: 2x-10· 3)x+1 4,解下列不等式： +8≤4n阅2+3-520：同-2x+3-2<0(闭-4+1r20; 5.解下列不等式： (1)x2-5x-6>0: (2)-x2+7x>6: 3)(2-x(x+3)<0: 4)4(2x2-2x+1)>x(4-x). 题型二、分式不等式的求解 【例2】解下列不等式： ÷>0 x+1 ≥-2： 2)2- 网421 【跟踪训练】 1解下列不等式： <0:阳0阅1.w2 x+2 2.解下列不等式： ≥2 x+8 3x-1≥1；2)x-1 <2 (1)2-x (3)x2+2x+3; 2/7 题型三、高次不等式的求解 【例3】关于x的不等式x-2x2+1>x2-1的解集为 (x+10x->0 【例4】解不等式：(1) x-2 (x+10x-1>0 (2）(x-2) (x+10x-≥0 (3) (x-2) (x+1x-2<0 【例5】不等式(x-1)2(x+4)的解集为 【跟踪训练】 1.不等式x-103x-2Xx+22<0 的解集为 2.解不等式(X+2)(x1)9(x41)12(x3)≥0. 3不等式任+2-≥0的解柴为() x-3 A.{x≤-1或2≤x<3} B.{xx≤-1或2≤x≤3} C.{xx≥3或-1≤x≤2 D.{xx>3或-1≤x≤2 -2的第铁是{） 4.不等式x A.（o,小[4，+o）B.L4] c.L,2U(2,4 D.(0,U[4,+w) (x+2)(x-3) 5函数()-2 的定义域是() A.（∞，-2]U(2,3] B.（-0,-2U[2,3] 3/7 c.[-2,2U3,+w) D.【-2,2uB,+w) 6求不等式 10x+2≥x+1的解集· 2+3X+2 x-5 7求不等式x-2-321的解集. 题型四、绝对值不等式的求解 【例6】解下列关于x的不等式. (1)|x+2>1 (2)12x-1k2 (3)x-2|+x+327 (4)12x-1Kx+1川+1 (5)|2x+1Sx-2 (6)12x+1小Kx-2 【跟踪训练】 1.解下列不等式： 1 x+- >2 a)+2>2;2)3x-s6. 2.解下列不等式： 12x+321 (1)x-l>2x+3(2)3r-2 3.解下列不等式： )2xHl-2≥72)k-l+W1(3)x-5-2x+31 题型五、根式不等式的求解 4/7 【倒7刀集合.N={-<2M={r-4≤0以，则MAN=() A.[-2,2] 9.2] c.【-25) D.L,5) 【例81已知全集U为实数集R,若集合4={补<2，B={-2x-3<0.则4nB=() A.1,3) 8.（13) c.(1,3) D.（1) 【跟踪训练】 1贺华合4=小可以.来合8= 则4nB=() A.（0,2] 8.(05] c.L,2] D.L5] 2.不等式5->X-3的解集是(）， A.lx<3 g.x<4 c.r3≤x<4 D.x|3<x≤5y 3已知全集U为实数集R,若集合4={N-<2头，B={r-2x-3<0.则4nB=() A.L3) 8.（13) c.13) D.（1) ©强化训练 -121的解集为（） 1.不等式2- s 3 C.{r>2或x 2 D.2 2不等式2的解架为〔) A.[-1,+∞) B.[-1,0) c.(-0,-] D.（-0,-1]U(0,+o) 5/7 3x-1≤1的解集是（） 3.不等式2-x 4不等式哥2的架集为() A.{-1≤x≤2y B.{r≤- c.{-1sx<2}D.{x>2 6不等式-2≤4r-6≤2的解集为】 4-x (x-2)3-≤0 6.分式不等式x(x-1) 的解集为 3X-14x+421的解集为 7.不等式2-6x+8 8不等式--4r+3)20的解集是一 9.不等式(x+1(x+2)x+3)>26xr-2A 的解集为■ 10.解下列不等式： (1)2X+7x+3>0; (2)-4x+18x-≥0 (3)-2X+3x-2<0 (4)-X+3x-5>0. 11.解下列关于x的不等式. 2x+1>0 3x-121 (2)2-x 172 (1)x-1 3)x 12 2x-5 >1 X ≥2 (4) (5)x+1 (6)2x- 12.解不等式： (+1(x-0x-4)20 6/7 -X2+5x+6≥0 (2)x-1 13.解不等式x+1≤5. 14.解不等式： m2<2r-s7 2k-2≥2x+4 15.解不等式： (1)X+2+X-1k4(2)x+3-1-2x≥23x-2+x-125 7/7