专题04 常用逻辑用语（2）（反证法）-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教版2020）

专题04 常用逻辑用语（2）（反证法） 知识梳理 反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立． 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 思考：将9个求分别染成红色或白色，那么无论怎样染，至少有5个球是同色的，怎么证明这个结论呢？ 反证法的定义： 1.（1）想一想，我们接触过哪些数学问题是用反证法证明的？在实际生活中有没有这样的例子？请举出一例。 （2）设均为正实数，反证法证明：至少有一个不小于2. 2.试说出下列命题的反面： （1）a是实数。 　　 （2)a大于2。 （3）a小于2。 　　 （4）至少有2个 （5）最多有一个 　 　（6）两条直线平行。 3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步反设： 4.已知：一个整数的平方能被2整除 求证：这个数是偶数。 思考：反证法的步骤是什么？ （四）当堂检测 1．求证：一个三角形中，最大的角不小于600.. 2．已知.求证：，，中至少有一个不小于6. 巩固练习 1．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ） A．假设至少有一个钝角 B．假设至少有两个钝角 C．假设三角形的三个内角中没有一个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。 A．假设三内角都不大于60度； B．假设三内角至多有两个大于60度； C．假设三内角至多有一个大于60度； D．假设三内角都大于60度。 3．用反证法证明命题：“，若可被整除，那么中至少有一个能被整除．”时，假设的内容应该是（ ） A．都不能被5整除 B．都能被5整除 C．不都能被5整除 D．能被5整除 4．设，，则三个数（ ） A．都小于4 B．至少有一个不大于4 C．都大于4 D．至少有一个不小于4 5．用反证法证明命题“若，则”时，正确的反设为（　　） A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x2﹣2x﹣3≤0 D．x2﹣2x﹣3≥0 6．设是两个实数，给出下列条件： ①；②；③；④；⑤. 其中能推出：“中至少有一个大于”的条件是____________． 7．已知，求证的两根的绝对值都小于1，用反证法证明可假设__________ 8．（1）已知，，且，比较是与的大小； （2）用反证法证明：若a、b、，且，，，则x、y、z中至少有一个不小于0； （3）用分析法证明：． 课后练习 1．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是 A．假设至少有一个钝角 B．假设至少有两个钝角 C．假设三角形的三个内角中没有一个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 2．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下： 甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话. 事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 A．甲 B．乙 C．丙 D．甲或乙 3．用反证法证明命题：“，若可被整除，那么中至少有一个能被整除．”时，假设的内容应该是（ ） A．都不能被5整除 B．都能被5整除 C．不都能被5整除 D．能被5整除 4．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数、、中至多有一个是偶数”的正确假设为（ ） A．自然数、、中至少有一个是偶数 B．自然数、、中至少有两个是偶数 C．自然数、、都是奇数 D．自然数、、都是偶数 5．十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数时，关于的方程没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理，则下面说法正确的是（ ） A．存在至少一组正整数组使方程有解 B．关于的方程有正有理数解 C．关于的方程没有正有理数解 D．当整数时，关于的方程没有正实数解 6．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测： 甲说：我不是第三名； 乙说：我是第三名； 丙说：我不是第一名． 若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第一名的是__________． 7．（1）求证： （2）已知，，且，求证：和中至少有一个小于2. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题04 常用逻辑用语（2）（反证法） 知识梳理 反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立． 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能