重难点03：集合新定义问题的五种考法讲义-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

本讲义聚焦高一数学集合新定义问题这一核心知识点，系统梳理定义新概念、新运算、新性质、新背景及综合压轴五种考法，搭建从集合基础概念到拓展应用的学习支架。 资料通过“方法点拨”引导学生用数学眼光抽象新定义，结合“好元素”“可分比集合”等例题培养数学思维，综合题提升数学语言表达能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 重难点03 集合新定义问题的五种考法 题型01 定义集合的新概念 【方法点拨】1.特征：题目给出教材没有见过的集合新概念、新记号，读懂题目给出的文字或者符号定义，按定义做题. 2.方法：严格照搬题干的定义，拆解条件，逐个元素对照判断；不要凭固有集合知识主观臆断概念含义. 1．对于非空数集M，定义表示该集合中所有元素的和.给定集合，定义集合，则集合的元素的个数为（       ） A．11 B．12 C．13 D．14 2．（2024·全国·高一单元测试）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果且，那么称k是集合A的一个“好元素”．给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（       ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 3．设U＝{1，2，3，4}，A与B是U的两个子集，若A∩B＝{3，4}，则称（A，B）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：（A，B）与（B，A）是两个不同的“理想配集”）的个数是（       ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 4.（25-26上海中学东校高一上期中）在上海中学东校科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. （25-26华东师大二附中高一上期中）设，已知A、B是两个数集．若对任意，都存在，使得，则称A是B的一个“邻集”．有下列两个命题：①是Q的一个邻集；②若A是B的一个邻集，则B也是A的一个邻集．则（ ） A. ①真②假 B. ①假②真 C. ①真②真 D. ①假②假 题型02 定义集合的新运算 【方法点拨】1.特征：给题目自定义集合运算符号（☉，•，Ф，▽，⊕等），给出运算规则，求集合、元素或者参数. 2.方法：①读懂新运算的表达式，把集合中每一组元素代入规则计算； ②计算完成后根据集合元素互异性去重； ③再完成后续求值、求参数，做完核对一遍. 6.定义集合的运算：已知集合，，则.若集合，，则集合的真子集个数的可能取值是__________. 7．（2024·上海·高一专题练习）对于集合、，定义集合运算且，给出下列三个结论：（1）；（2）；（3）若，则；则其中所有正确结论的序号是（       ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 8．（2024·全国·高一单元测试）对于任意两个数，定义某种运算“◎”如下：①当或时，；②当时，.则集合A＝的子集个数是（       ） A．214个 B．213个 C．211个 D．27个 9. （25-26上海师大附中高一上期中）集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且.假设集合，，，其中实数，，，，，满足：.计算______________________________. 10.定义集合运算且，称为集合与集合的差集；定义集合运算称为集合与集合的对称差，有以下4个命题：则4个命题中是假命题的是（    ） A． B． C． D． 11．已知集合， (1)求； (2)若定义集合，求中元素的个数. 题型03 定义集合的新性质 【方法点拨】1.特征：给出集合的全新性质（封闭集、和谐集、理想集等），给出文字描述的判定条件，依据该性质求解集合、参数，或者做判断证明； 2.方法：① 准确读懂题干给出的新性质，把文字条件翻译成数学式子； ② 取出集合内元素代入性质条件进行验证、推理； ③ 若是求参数，列出满足新性质的等式或不等式，求解之后回代检验是否符合定义。 12.若数集具有性质：对任意的，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 13．若集合具有性质：“对任意，与至少有一个属于”，则称集合为型集合．已知集合为型集合，且 ，则（    ） A．1025 B．3075 C．4050 D．4100 14．若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 15. （25-26上海市徐汇中学高一上期中）设为非空实数集满足：对任意给定（可以相同），都有，，，则称为幸运集. ①集合为幸运集；②集合为幸运集； ③若集合、为幸运集，则为幸运集；④若集合为幸运集，则一定有； 其中正确结论的序号是________ 16. 设集合S，T都至少含有两个元素，且S，T同时满足：条件1：对任意，若，则；条件2：对任意，若，则．给出下列说法： ①若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数； ②若S只有2个元素，则必有3个元素； ③若S只有2个元素，则可能有4个元素； ④存在含有3个元素的集合S，满足有4个元素． 其中所有正确说法的序号是______________． 题型04 定义集合的新背景 【方法点拨】解决这类问题应仔细阅读题目，理解题目中给出的集合背景或规则．这包括集合的元素定义、集合之间的关系、集合的运算规则等．根据题目背景和问题要求，构建合适的数学模型或逻辑模型．例如，可以使用集合论中的基本概念和运算来构建模型．如果题目中涉及到复杂的集合运算或关系，可以考虑使用图形或表格来辅助理解 17. 当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 18.（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）当一个非空数集满足“如果，则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个数域的命题： ①0是任何数域的元素： ②若数域有非零元素，则； ③集合是一个数域 ④有理数集是一个数域 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 19.（2024·上海静安·二模）如果一个非空集合上定义了一个运算，满足如下性质，则称关于运算构成一个群. （1） 封闭性，即对于任意的，有； （2） 结合律，即对于任意的，有； （3） 对于任意的，方程与在中都有解． 例如，整数集关于整数的加法（）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的，方程与都有整数解；而实数集关于实数的乘法（）不构成群，因为方程没有实数解. 以下关于“群”的真命题有（    ） ①自然数集关于自然数的加法（）构成群； ②有理数集关于有理数的乘法（）构成群； ③平面向量集关于向量的数量积（）构成群； ④复数集关于复数的加法（）构成群. A．0个； B．1个； C．2个； D．3个. 20. （25-26上海市杨浦高级中学高一上期中）“群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.“群”的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件： ①任意.有 ②如，有； ③在中有一个元素，对任意，都有，称为的单位元； ④任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元； 此时称为一个群 例如实数集和实数集上的加法运算“＋”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（ ） A. ，则为一个群 B. ，为一个群 C. ，则为一个群 D. ，则为一个群 题型05 集合新定义综合压轴 21.设A是正实数集的非空子集，称集合为集合A的孪生集． (1)当时，写出集合A的孪生集B； (2)若A是由5个正实数构成的集合，求其孪生集B的子集个数的最小值； (3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集，并说明理由． 22．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知有限集，若A中元素满足，则称集合A为“复活集”． (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由： (2)若均为正数，且为“复活集”，求的取值范围， (3)若时，求“复活集”A． 23. 已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性. （1）判断集合和集合是否具有“包容”性，并说明理由； （2）若集合具有“包容”性，求的值. 24.已知，是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由. 25.已知集合，其中且．若，且对集合A中的任意两个元素，都有，则称集合A有性质． (1)判断集合是否具有性质； (2)若集合具有性质． ①求证：的最大值大于等于； ②写出元素个数最多的集合A． 26．设非空数集M，对于任意x，，如果满足：①属于M；②属于M；③xy属于M；④（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. (1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）； (2)若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：； (3)设，证明A是数域. 1．（2024秋·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考阶段练习）数学中经常把集合称为集合对的差集，记作，，是自然数集，则 ． 2.定义且，若，，则等于______ 3．（2024秋·上海黄浦·高一上海市向明中学校考阶段练习）用表示非空集合中元素的个数，若，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则 . 4. 设是非空数集，若对任意，都有、，则称具有性质，给出以下命题： ①若具有性质，则可以是有限集； ②若具有性质，且，则具有性质； ③若、具有性质，且，则具有性质； ④若、具有性质，则具有性质. 其中所有真命题的序号是 . 5.对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C．或， D．或， 6.设A，B是非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D．或 7．（2024秋·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合的聚点，用表示整数集，则在下列集合：①，②，③，④整数集.其中，以0为聚点的集合有（    ） A．②③ B．①④ C．①③ D．①②④ 8.（2023·上海浦东新·高一上海南汇中学）非空集合关于运算满足：（1）对任意，都有；（2）存在使对一切都有，则称是关于运算的融洽集；现有下列集合及运算：①是非负整数集，：实数的加法； ②是非负整数集，：实数的乘法； ③，：实数的乘法； 其中为融洽集的个数是（    ）. A．0 B．1 C．2 D．3 9. （2024秋·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考阶段练习）已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于． (1)分别判断数集与是否具有性质 (2)证明：，且 10.（2024秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知非空集合，若对任意（可以相同），与中至少有一个属于集合，则称为“好集合”． (1)写出所有的元素均小于3的“好集合”；（写出结论即可） (2)求出所有元素个数为4的“好集合”，并说明理由． 11.（2024秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； (1)求集合的生成集B； (2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； (3)若集合，A的生成集为B，求证. 12.（2024秋·上海长宁·高一上海市延安中学校考阶段练习）设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为对于中的任意两个元素，规定：； (1)求； (2)已知集合，判断是否对任意，都有并说明理由： (3)是否存在中的元素，使得恒成立？若存在，求出元素；若不存在，请说明理由； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学秋季班同步培优讲义 重难点03 集合新定义问题的五种考法 题型01 定义集合的新概念 【方法点拨】1.特征：题目给出教材没有见过的集合新概念、新记号，读懂题目给出的文字或者符号定义，按定义做题. 2.方法：严格照搬题干的定义，拆解条件，逐个元素对照判断；不要凭固有集合知识主观臆断概念含义. 1．对于非空数集M，定义表示该集合中所有元素的和.给定集合，定义集合，则集合的元素的个数为（       ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【详解】当集合为单元素集时，可取，此时可取； 当集合为双元素集时，可取，此时可取； 当集合为三元素集时，可取，此时可取， 当集合为四元素集时，可取，此时可取， 综上可知可取，共个值，所以的元素个数为，故选B. 2．（2024·全国·高一单元测试）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果且，那么称k是集合A的一个“好元素”．给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（       ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】C 【详解】根据“好元素”定义，可知由S中的3个元素构成的集合中，不含“好元素”， 则这3个元素一定是相连的3个数， 所以不含“好元素”的集合共有，，，，，，共个. 故选：. 3．设U＝{1，2，3，4}，A与B是U的两个子集，若A∩B＝{3，4}，则称（A，B）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：（A，B）与（B，A）是两个不同的“理想配集”）的个数是（       ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【详解】对子集A分类讨论： 当A是二元集{3，4}时，此时B可以为{1，2，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{3，4}，共4结果； 当A是三元集{1，3，4}时，此时B可以为{2，3，4}，{3，4}，共2种结果； 当A是三元集{2，3，4}时，此时B可以为{1，3，4}，{3，4}，共2种结果； 当A是四元集{1，2，3，4}时，此时B取{3，4}，有1种结果， 根据计数原理知共有4+2+2+1＝9种结果． 故选：C． 4.（25-26上海中学东校高一上期中）在上海中学东校科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据可分比集合定义，验证时成立，证明时不成立得到正整数的最大值为7. 【详解】取，，满足题意，此时； 若，若， 因为和，故， 因为，故， 此时考虑元素8：因为且，故； 因为且，故， 所以8无法划分，与矛盾， 当时，类似推导可得矛盾，例如：若，则， 进而，元素无法划分，矛盾； 故正整数n的最大值为7． 故选：B. 5. （25-26华东师大二附中高一上期中）设，已知A、B是两个数集．若对任意，都存在，使得，则称A是B的一个“邻集”．有下列两个命题：①是Q的一个邻集；②若A是B的一个邻集，则B也是A的一个邻集．则（ ） A. ①真②假 B. ①假②真 C. ①真②真 D. ①假②假 【答案】A 【解析】 【分析】根据邻集的定义，并应用反例判断各命题的正误，即可得. 【详解】由于任意实数均可被有理数逼近，故①真； 注意到邻集的定义关于A，B不对称，如，时，A是B的一个邻集，而B不是A的一个邻集，故②假. 故选：A 题型02 定义集合的新运算 【方法点拨】1.特征：给题目自定义集合运算符号（☉，•，Ф，▽，⊕等），给出运算规则，求集合、元素或者参数. 2.方法：①读懂新运算的表达式，把集合中每一组元素代入规则计算； ②计算完成后根据集合元素互异性去重； ③再完成后续求值、求参数，做完核对一遍. 6.定义集合的运算：已知集合，，则.若集合，，则集合的真子集个数的可能取值是__________. 【答案】3或7 【分析】根据题中定义和元素的性质，分类讨论结合集合真子集个数公式进行求解即可. 【详解】因为，， 由集合中元素的互异性可得且， 此时的可能值为，其中， 若即时，，所以， 此时集合的真子集个数为； 若即且时，， 此时集合的真子集个数为； 综上所述：集合的真子集个数的可能取值是3或7. 故答案为：3或7.． 7．（2024·上海·高一专题练习）对于集合、，定义集合运算且，给出下列三个结论：（1）；（2）；（3）若，则；则其中所有正确结论的序号是（       ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【详解】如图：若，不具有包含关系，由韦恩图分别表示集合，，， 若，具有包含关系，不妨设是的真子集， 对于（1）: 图中，图中，所以，故（1）正确； 对于（2）：图中，成立，图中，，，所以成立，故（2）正确； 对于（3）：若，则；故（3）正确； 所以其中所有正确结论的序号是（1）（2）（3）， 故选：D. 8．（2024·全国·高一单元测试）对于任意两个数，定义某种运算“◎”如下：①当或时，；②当时，.则集合A＝的子集个数是（       ） A．214个 B．213个 C．211个 D．27个 【答案】C 【详解】根据条件中的定义可知， 当，且同为奇数或者同为偶数时，有， 当，且为偶数，为奇数时，有， 故集合中， 当同为奇数或者同为偶数时，， 可取，，，，，，，，， 当为偶数，为奇数时，，可取，， 所以可取的情况共有11种，即集合中有11个元素，所以集合得子集个数为. 故选：C. 9. （25-26上海师大附中高一上期中）集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且.假设集合，，，其中实数，，，，，满足：.计算______________________________. 【答案】或 【解析】 【分析】由题设条件，，，，，的大小关系，根据集合运算新定义求即可. 【详解】因为， 所以，，， ， 故或. 故答案为：或. 10.定义集合运算且，称为集合与集合的差集；定义集合运算称为集合与集合的对称差，有以下4个命题：则4个命题中是假命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A选项，通过题意得到；BCD选项，通过韦恩图进行推理求解. 【详解】A选项，由题意得，， 故，，A正确； B选项，由题意，表示的运算为集合与的并集中去掉与的交集部分， 不妨设均有交集，如图所示，    故表示①②⑥⑦部分的并集，表示①②⑥⑦与③④⑥⑦的并集去掉两者的交集， 即表示①②③④部分的并集， 表示②③⑤⑥部分的并集，表示②③⑤⑥与①④⑤⑥的并集去掉两者的交集， 即表示①②③④部分的并集，故，B正确； C选项，通过推理均表示⑤⑥部分的并集，C正确； D选项，通过推理得到表示①②③④⑤⑥部分的并集， 表示①②④⑤⑥⑦部分的并集，表示①③④⑤⑥⑦部分的并集， 表示①②④⑤⑥⑦与①③④⑤⑥⑦的并集去掉两者的交集， 即②③部分的并集，D错误. 故选：D 11．已知集合， (1)求； (2)若定义集合，求中元素的个数. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可知，， ， 所以. （2）由，，可得，共种结果， 由，，可得，共种结果， 当或时，此时或， 所以可以为中的一个值，共可以构成个不同的元素； 当时，对于中的任意一个值， 都可以选择，此时取与对应的值，可取中的一个值， 所以可以为中的一个值，共可以构成个不同元素， 所以中一共有个元素. 题型03 定义集合的新性质 【方法点拨】1.特征：给出集合的全新性质（封闭集、和谐集、理想集等），给出文字描述的判定条件，依据该性质求解集合、参数，或者做判断证明； 2.方法：① 准确读懂题干给出的新性质，把文字条件翻译成数学式子； ② 取出集合内元素代入性质条件进行验证、推理； ③ 若是求参数，列出满足新性质的等式或不等式，求解之后回代检验是否符合定义。 12.若数集具有性质：对任意的，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 【答案】B 【分析】根据集合的新定义，验证选项A、B，集合“权集”中不能有0，判定C错误，举例验证，判定D错误. 【详解】因为与均不属于数集，所以A错误； 因为都属于数集，所以B正确； 由“权集”的定义可知不能有0，所以C错误； 易知是“权集”，所以“权集”中不一定有1，故D错误. 故选：B.． 13．若集合具有性质：“对任意，与至少有一个属于”，则称集合为型集合．已知集合为型集合，且 ，则（    ） A．1025 B．3075 C．4050 D．4100 【答案】C 【分析】根据题意，得到，得到，再由，结合元素的互异性，即可求解. 【详解】由集合为型集合，则， 因为对任意，与至少有一个属于， 则，所以， 又因为，则， 根据集合元素的互异性，可得，所以. 故选：C. 14．若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 【答案】③④⑤ 【分析】根据题意，结合集合的新定义中性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于①，由集合，若，可得， 所以集合不满足性质（2），所以集合不是个“好集合”，所以①是假命题； 对于②，取，此时，但，所以不是“好集合”，所以②是假命题； 对于③，对于实数集，其中且，且任意，则， 且当时，有，所以实数集是“好集合”，所以③是真命题； 对于④，集合是“好集合”，由，，根据“好集合”的定义， 可得， 因为，可得，所以④是真命题； 对于⑤，若集合是“好集合”，任取， 若中有和时，显然； 设均不含和，由“好集合”的定义知， 所以，所以， 由④可得，同理可得， 若或，显然； 若或，则， 所以，所以， 由，则，所以⑤是真命题. 故答案为：③④⑤． 15. （25-26上海市徐汇中学高一上期中）设为非空实数集满足：对任意给定（可以相同），都有，，，则称为幸运集. ①集合为幸运集；②集合为幸运集； ③若集合、为幸运集，则为幸运集；④若集合为幸运集，则一定有； 其中正确结论的序号是________ 【答案】②④ 【解析】 【分析】 ①取判断；②设判断；③举例判断；④由可以相同判断； 【详解】①当，，所以集合P不是幸运集，故错误； ②设，则，所以集合P是幸运集，故正确； ③如集合为幸运集，但不为幸运集，如时，，故错误； ④因为集合为幸运集，则，当时，，一定有，故正确； 故答案为：②④ 【点睛】关键点点睛：读懂新定义的含义，结合“给定的（可以相同），都有，，”，灵活运用举例法. 16. 设集合S，T都至少含有两个元素，且S，T同时满足：条件1：对任意，若，则；条件2：对任意，若，则．给出下列说法： ①若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数； ②若S只有2个元素，则必有3个元素； ③若S只有2个元素，则可能有4个元素； ④存在含有3个元素的集合S，满足有4个元素． 其中所有正确说法的序号是______________． 【答案】①② 【解析】 【分析】对于①由条件2知正确； 对于④：设，由条件1推出中元素，再由条件2推出的元素必在中，分析这些元素能得出不同的元素至少有4个，与有3个元素矛盾. 对于②③： ，由条件1得，若中除0外只有一个元素，由求得 ；若中还有另两个元素，，由条件2得出中更多的元素，类似④的推断过程，分析这些元素至少有3个不同，与中只有两个元素矛盾； 【详解】对于①：由条件2知，，，且，所以若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数，故①正确； 对于④：若有3个元素，不妨设，其中，则，所以，而与为两个互不相等的正数， 与为两个互不相等的负数，故集合中至少有4个元素，与有3个元素矛盾，故④错误. 对于②③：若有2个元素，由①知集合中的2个元素必为相反数，故可设.由条件1得，由于集合中至少有2个元素，故至少还有另外一个元素. 当集合只有2个元素时，即，由条件1得，则或，故 当集合有多于2个元素时，不妨设，则，，由于，所以，又，故集合至少有3个元素，与S中只有两个元素矛盾. 综上，，故②正确，③错误. 故答案为：①②. 【点睛】对于数学中新定义题目要仔细阅读并理解新定义的内涵，并根据新定义对知识进行迁移应用，此题中涉及集合元素个数问题，要充要利用集合元素的互异性通过列举法列出特例元素，以排除重复元素. 题型04 定义集合的新背景 【方法点拨】解决这类问题应仔细阅读题目，理解题目中给出的集合背景或规则．这包括集合的元素定义、集合之间的关系、集合的运算规则等．根据题目背景和问题要求，构建合适的数学模型或逻辑模型．例如，可以使用集合论中的基本概念和运算来构建模型．如果题目中涉及到复杂的集合运算或关系，可以考虑使用图形或表格来辅助理解 17. 当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】对①：当时，有，所以0是任何数域的元素，故①正确； 对②：取非0实数，则，再由，则，可得任意正整数属于，故②正确； 对③：若为数域，取，，则不成立，故③错误； 对④：任取有理数，，令，，则， ， ，且，所以有理数集是数域，故④正确. 所以正确的有：①②④. 故选：B. 18.（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）当一个非空数集满足“如果，则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个数域的命题： ①0是任何数域的元素： ②若数域有非零元素，则； ③集合是一个数域 ④有理数集是一个数域 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①因数域G是非空数集，取其中任意元素，则由数域定义，故①正确； ②因数域G有非零元素，设为，则由数域定义，因，则，， 类推可得任意正整数都在数域中，故②正确； ③表示全体被3整除的整数，则，但，故③错误； ④设，则，，，当时，，则有理数集是一个数域，故④正确. 故选：C 19.（2024·上海静安·二模）如果一个非空集合上定义了一个运算，满足如下性质，则称关于运算构成一个群. （1） 封闭性，即对于任意的，有； （2） 结合律，即对于任意的，有； （3） 对于任意的，方程与在中都有解． 例如，整数集关于整数的加法（）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的，方程与都有整数解；而实数集关于实数的乘法（）不构成群，因为方程没有实数解. 以下关于“群”的真命题有（    ） ①自然数集关于自然数的加法（）构成群； ②有理数集关于有理数的乘法（）构成群； ③平面向量集关于向量的数量积（）构成群； ④复数集关于复数的加法（）构成群. A．0个； B．1个； C．2个； D．3个. 【答案】B 【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可. 【详解】对于①，，在自然数集中无解，错误； 对于②，，在有理数集中无解，错误； 对于③，是一个数量，不属于平面向量集，错误； 对于④，因为任意两个复数的和还是复数，且满足加法结合律， 且对任意的，方程与有复数解，正确. 故选：B 20. （25-26上海市杨浦高级中学高一上期中）“群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.“群”的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件： ①任意.有 ②如，有； ③在中有一个元素，对任意，都有，称为的单位元； ④任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元； 此时称为一个群 例如实数集和实数集上的加法运算“＋”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（ ） A. ，则为一个群 B. ，为一个群 C. ，则为一个群 D. ，则为一个群 【答案】D 【解析】 【分析】分别判断每一个选项，是否为一个群即可. 【详解】A选项：有理数的和还是有理数，求和满足结合律， 设，单位元为，则，故， 所以每一个数的相反数为其逆元， 故为一个群，选项A正确； B 选项：中的任何两个数相加还是属于， 求和满足结合律， 设，单位元为， 则，所以， 每一个数的相反数为其逆元，为一个群，故选项B正确； C选项：中的两个元素相乘，其积可能为或， 又，， 设，单位元为，则，故，的逆元为，的逆元为， 所以则为一个群，故C正确； D选项：两个奇数相乘还是奇数，乘法满足结合率， 设，单位元为，则，故， 又，故存在，使得，则，矛盾， 故不为一个群，故D错误. 【点睛】关键点点睛：需要判断题中说的所有条件，先利用条件③判断单位元，然后再利用条件④判断逆元. 题型05 集合新定义综合压轴 21.设A是正实数集的非空子集，称集合为集合A的孪生集． (1)当时，写出集合A的孪生集B； (2)若A是由5个正实数构成的集合，求其孪生集B的子集个数的最小值； (3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集，并说明理由． 【答案】(1)；(2)128；(3)不存在，理由见解析. 【分析】(1)根据孪生集的定义写出集合即可； (2)设，且，根据孪生集的定义即可求解； (3)利用反证法来证明. 【详解】（1）∵，∴； （2）设，不妨设， 因为，所以B中元素个数大于等于7， 取，则，此时B中元素共7个， 所以孪生集B中元素个数的最小值为7，B的子集个数的最小值为； （3）不存在，理由如下： 假设存在4个正实数构成的集合，其孪生集， 不妨设，则集合A的孪生集， 则，， 则必有，，其4个正实数的乘积； 同时，也必有，，其4个正实数的乘积，矛盾． 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集． 22．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知有限集，若A中元素满足，则称集合A为“复活集”． (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由： (2)若均为正数，且为“复活集”，求的取值范围， (3)若时，求“复活集”A． 【答案】(1)是，理由见解析；(2)；(3). 【分析】（1）利用“复活集”的定义判断即得. （2）利用“复活集”的定义，结合韦达定理构造一元二次方程，借助判别式求解即得. （3）利用“复活集”的定义，结合给定条件及不等式性质求解即得. 【详解】（1）因为，所以集合是 “复活集”. （2）由为“复活集”， 设，因此是一元二次方程的两个不等正根， 于是，且，解得， 所以的取值范围是. （3）不妨设中元素满足，且， 显然，则，而，即有，因此， 则，解得， 所以“复活集” . 【点睛】涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，合理利用定义，结合相关的其它知识，进行推理判断解决. 23. 已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性. （1）判断集合和集合是否具有“包容”性，并说明理由； （2）若集合具有“包容”性，求的值. 【答案】（1） 对于集合，集合中的， 所以，集合不具有“包容”性； 对于集合， 该集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合， 所以，集合具有“包容”性. （2）1 【解析】 【分析】（1）根据“包容”性的定义进行判断即可. （2）根据“包容”性的定义进行计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若集合具有“包容”性，记， 则，易得，从而必有， 不妨令，则且， 则，且， 当时，若得， 此时具有包容性. 若，得舍去；若无解， 当时，则， 由且，可知无解，故， 所以. 24.已知，是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由. 【答案】(1)，集合是的恰当子集 (2) 若（）是的恰当子集，则 得到，由，则或 当时，，此时，，满足题意， 当时，，此时，，满足题意， 综上可得，或，. 【分析】（1）利用给定定义求出集合并进行判断即可. （2）利用给定定义求出，进而建立关于的方程，求解参数值即可. 【详解】（1）若，有， 由，则， 满足，集合是的恰当子集. （2）略． 25.已知集合，其中且．若，且对集合A中的任意两个元素，都有，则称集合A有性质． (1)判断集合是否具有性质； (2)若集合具有性质． ①求证：的最大值大于等于； ②写出元素个数最多的集合A． 【解】（1）由题知，集合， ， 该集合不具有性质． （2）①因为， 不妨设，则， 故， 故的最大值大于等于． ②对任意正整数，，与①类似可得， 又显然，， 所以， 故， 所以， 又，且k为正整数，当或5时，， 所以的最小值为11， 所以，即． 又集合符合性质P， 所以元素个数最多的集合. 26．设非空数集M，对于任意x，，如果满足：①属于M；②属于M；③xy属于M；④（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. (1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）； (2)若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：； (3)设，证明A是数域. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）通过举例判断不是数环，整数集Z是数环，不是数域，有理数集Q是数环也是数域； （2）直接由数环、数域的定义证明可得； （3）根据数域的定义证明A中的元素满足①②③④即可. 【详解】（1）自然数集不是数环，例如； 整数集Z是数环，不是数域，例如； 有理数集Q、实数集、复数集C是数环也是数域. （2）若，且M是一个数环，则，即； 若，，且S是一个数域，则，即 （3）设，，则，，（，，，）， 则， 因为，，，，所以，， 所以，满足条件①. ，因为，，，， 所以，，所以，满足条件②. ，因为，，，， 所以，，所以，满足条件③. ， 因为，，，，，，所以，， 所以，满足条件④. 综上所述，A是数域.． 1．（2024秋·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考阶段练习）数学中经常把集合称为集合对的差集，记作，，是自然数集，则 ． 【答案】或5或，且 【分析】根据差集的定义即可得出结果. 【详解】记在R中的补集为， 则， 由差集的定义，可知或5或且， 故答案为：或5或且. 2.定义且，若，，则等于______ 【解析】因为，， 所以. 3．（2024秋·上海黄浦·高一上海市向明中学校考阶段练习）用表示非空集合中元素的个数，若，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则 . 【答案】 【分析】由题意可得出或，分、、三种情况 进行分类讨论，结合题意可得出方程根的个数，由此可解得实数的值，进而可得出集合. 【详解】由于，则，由，则或. ①当时，则，此时，合乎题意； ②当时，由，可得或，且， 所以，则关于的方程有两个相等的实根，则，解得； ③当时，由，可得或，且， 所以，则关于的方程有两个相等的实根，则，解得. 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】本题考查集合的新定义，考查利用集合的元素个数求参数值，考查计算能力，属于中等题. 4. 设是非空数集，若对任意，都有、，则称具有性质，给出以下命题： ①若具有性质，则可以是有限集； ②若具有性质，且，则具有性质； ③若、具有性质，且，则具有性质； ④若、具有性质，则具有性质. 其中所有真命题的序号是 . 【答案】①③ 【解析】对于①，取集合具有性质P，故A可以是有限集，故①正确； 对于②，若A具有性质P，且，假设也具有性质P， 设，在中任取一个，此时可证得，否则若， 由于也具有性质P，则，与矛盾，故， 由于A具有性质P，也具有性质P， 所以， 而，这与矛盾， 故当且A具有性质P时，则不具有性质P， 同理当时，也可以类似推出矛盾，故②错误. 对于③，取，则，，，， 又具有性质P，，， ， 所以具有性质P，故③正确； 对于④，取，，，， 但，故④错误； 故答案为：①③ 5.对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C．或， D．或， 【答案】C 【解析】对于集合，，定义且，， 设，， 则，， 或，． 故选：C． 6.设A，B是非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】， 所以或. 故选：D 7．（2024秋·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合的聚点，用表示整数集，则在下列集合：①，②，③，④整数集.其中，以0为聚点的集合有（    ） A．②③ B．①④ C．①③ D．①②④ 【答案】A 【分析】先理解为集合X的聚点的含义，以0为聚点的集合, 即对任意，都存在，使得，对四个集合逐一分析， 对① ,当时，不存在满足的，不是以0为聚点的集合； 对②，都存在，使得，是以0为聚点的集合； 对③，都存在，使，是以0为聚点的集合； 对④，当时，对任意的，都有或者， 不存在满足的，不是以0为聚点的集合； 【详解】①集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外， 其余的都至少比0大，∴在的时候，不存在满足的， ∴ 0不是集合的聚点； ②集合，对任意的，都存在（实际上任意比小的数都可以），使得，∴ 0是集合的聚点； ③集合中的元素是极限为0的数列，对于任意的， 存在，使，∴ 0是集合的聚点； ④对于某个，比如，此时对任意的，都有或者，也就是说不可能，从而0不是整数集的聚点． 综上可知②③正确. 故选A 8.（2023·上海浦东新·高一上海南汇中学）非空集合关于运算满足：（1）对任意，都有；（2）存在使对一切都有，则称是关于运算的融洽集；现有下列集合及运算：①是非负整数集，：实数的加法； ②是非负整数集，：实数的乘法； ③，：实数的乘法； 其中为融洽集的个数是（    ）. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】对于①：对于任意非负整数，则仍为非负整数，即；取，则，故①为融洽集； 对于②：对于任意非负整数，则仍为非负整数，即；取，则，故②为融洽集； 对于③：设，，则，即；满足；取，则，满足，故③为融洽集； 所以融洽集的个数是个， 故选：D 9. （2024秋·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考阶段练习）已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于． (1)分别判断数集与是否具有性质 (2)证明：，且 【答案】(1)数集不具有性质，具有性质. (2)证明见解析 【分析】（1）由定义直接判断． （2）由已知得与中至少有一个属于，从而得到；再由，得到，3，，．由具有性质可知，2，3，，，由此能证明，且． 【详解】（1）由于与均不属于数集，3，， 所以数集，3，不具有性质． 由于，，，，，，，，，都属于数集，2，3，， 所以数集，2，3，具有性质． （2）数集具有性质，则与中至少有以一个属于，由于，所以，所以，从而，即，即 ，所以 由数集具有性质，得 从而 10.（2024秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知非空集合，若对任意（可以相同），与中至少有一个属于集合，则称为“好集合”． (1)写出所有的元素均小于3的“好集合”；（写出结论即可） (2)求出所有元素个数为4的“好集合”，并说明理由． 【答案】(1) (2),其中为相异正整数，理由见解析 【分析】（1）根据好集合的定义列举求解即可； （2）设,其中，进而结合题意得或，再分类讨论求解即可. 【详解】（1）解：根据“好集合”的定义可知，所有的元素均小于3的“好集合”为： （2）解：设,其中, 由题意:,故， 所以，或, 下面讨论和时的情况， 当，即时，由于，故有，即， 所以，但此时，不满足“好集合”的定义，故舍去； 当，即时，此时， 满足“好集合”的定义. 所以，,其中为相异正整数. 11.（2024秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； (1)求集合的生成集B； (2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； (3)若集合，A的生成集为B，求证. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出； （2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值； （3）求出的范围即可证明出结论 【详解】（1）由题可知， (1)当时， ， (2) 当时，， （3）当或时， 所以 （2）（1）当时，， （2）当时， （3）当或时， B的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或 或 ， 解得或（舍去）, 所以或. （3）证明：， ， ， ，即 ， 又， 所以， 所以 12.（2024秋·上海长宁·高一上海市延安中学校考阶段练习）设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为对于中的任意两个元素，规定：； (1)求； (2)已知集合，判断是否对任意，都有并说明理由： (3)是否存在中的元素，使得恒成立？若存在，求出元素；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)； (2)不成立，理由见解析； (3)存在，理由见解析. 【分析】（1）根据所给定义直接运算即可得解； （2）举反例可说明结论不成立； （3）根据新定义可得到关于的方程组，从而可解出满足条件的. 【详解】（1）因为， 所以. （2）对任意，都有不成立. 理由如下：取，则， 而. 故对任意，都有不成立. （3）设， 则， 所以，即满足交换律. 若中的元素使得恒成立， 则只需，即， ①若，显然， ②若，则，解得，即. 综上，存在中的元素，使得恒成立. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $