专题1.2 集合之间的关系（高效培优讲义）数学沪教版2020高一必修第一册

专题1.2 集合之间的关系 教学目标 1.熟练掌握集合与集合之间包含关系、子集的概念； 2提高数学抽象、直观想象和逻辑推理能力，对集合关系进行准确判断。 教学重难点 教学重点：区分集合与集合之间的关系和元素与集合之间的关系 教学难点：理解子集和真子集的定义；掌握子集，真子集的性质及其表示的基本方法，了解子集与真子集之间的联系和区别； 知识点01 图（维恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点02 子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 【即学即练】在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】元素与集合的关系是“”或“”，集合与集合的关系是“”关系. 【详解】①中自然数集有元素0，∴，正确； ②中有理数集里面没有无理数，∴，不正确； ③有理数集包含了集合，∴，不正确； ④集合中的元素都在集合里面，∴，正确. 故选：B. 知识点03 集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 【即学即练】下列集合中表示同一集合的是（    ） A．M＝，N＝ B．M＝，N＝ C．M＝，N＝ D．M＝，N＝ 【答案】D 【分析】利用集合的三个性质及其定义，对A、B、C、D四个选项进行一一判断． 【详解】A、M＝，M集合的元素表示点的集合，N＝，N表示数集，故不是同一集合，故A错误； B、M＝，M集合的元素表示点的集合，N＝，N表示直线x+y＝1的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故B错误； C、M＝集合M的元素是点，N＝，集合N的元素是点，故C错误； D、M＝，N＝根据集合的无序性，集合M，N表示同一集合，故D正确； 故选：D． 知识点04 真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【即学即练】设，若是集合的真子集，则的值为 . 【答案】2 【分析】集合的真子集为空集，即为空集，求出的值即可. 【详解】由题意知集合为空集，则，即. 故答案为：. 知识点05 空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 【即学即练】下列关系式错误的个数为：（    ） ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可． 【详解】对①：空集不含任何元素，故①错误； 对②：空集是任何集合的子集，故②正确； 对③：是自然数，故③正确； 对④：，故错误，故④错误； 故错误的个数为． 故选：B． 题型01 判断集合的包含关系 【典例1】已知集合，，，则、、的关系满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合中的元素进行通分，即可根据分子的形式进行比较，集合子集定义即可求解. 【详解】,故, 由于，故， 由于为任意整数，故，因此, ,故， 故， 所以， 故选：B． 【变式1】设集合，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两集合结构化为一致即可判断. 【详解】 ， 代表所有奇数，代表所有整数 所以 故选:B 【变式2】已知集合，，则A，B之间最适合的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析集合和中元素的特性，然后进行比较集合和的关系即可得出答案. 【详解】由集合可得: 集合中的元素包含：,即得中的元素是2的整数倍； 由集合,可得集合中的元素包含：, 显然比较可得B是A的子集，即. 故选：C. 【变式3】以下六个关系式中正确的编号是 ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】①③⑤ 【分析】根据元素和集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于①：空集是任何集合的子集，故，故①正确； ②，故②错误； ③，故③正确； ④或，故④错误； ⑤，故⑤正确； ⑥空集是任何集合的子集，故，故⑥错误； 故答案为：①③⑤ 【变式4】已知集合，．判断集合A与B的包含关系，并证明你的结论． 【答案】集合为集合的真子集，证明见详解 【分析】根据题意先证明为集合的子集，再说明，，即可得结果. 【详解】集合为集合的真子集，证明如下： 对任意，则， 且，则，可知集合为集合的子集， 又因为，可知， 令，解得，可知； 综上所述：集合为集合的真子集. 题型02 判断子集（真子集）的个数 【典例1】若集合，，若集合M满足，则这样的集合M的个数是 . 【答案】15 【分析】根据集合的包含关系确定集合中的元素，从而得集合的个数． 【详解】因为，，， 所以中必含有元素1和2，元素3，4，5，6中至少含有一个，这样的有个. 故答案为：15. 【变式1】已知集合，集合，则集合的子集个数为（    ） A．7 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】由条件确定结合中的元素，由此可得集合的子集个数. 【详解】因为，， 所以， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 【变式2】满足的集合M的个数为 个. 【答案】3 【分析】通过列举法即可求解. 【详解】由题意可知：可以是： ，，共3个， 故答案为：3. 【变式3】若，则，就称A自倒集合，集合的所有非空子集中，自倒集合的个数为 【答案】15 【分析】根据1和倒数等于本身，2和，3和互为倒数，将问题转化为求集合的非空子集的个数，从而得解. 【详解】根据新定义，集合中的元素1和倒数等于本身，2和，3和互为倒数， 故满足条件的自倒集合与集合的非空子集的个数相同， 则其个数为. 故答案为：15. 【变式4】设集合，则集合的非空真子集的个数为 ． 【答案】14 【分析】先求出集合M，再根据集合子集个数的结论计算即可. 【详解】集合，变形, 则有个子集，非空真子集的个数为14个. 故答案为：14. 若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 题型03 求集合中子集（真子集） 【典例1】已知求． 【答案】或 【分析】，则，可得集合． 【详解】，则，则或． 【变式1】设是由6的全体正约数组成的集合，写出的所有子集. 【答案】答案见解析 【分析】首先写出的正约数，即可得到集合，再用列举法列出的所有子集； 【详解】解：因为的正约数有、、、，所以，所以的子集有：、、、、、、、、、、、、、、、共16个； 【变式2】若集合满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的包含关系写出集合，即可得答案. 【详解】由，则或. 故选：A 【变式3】已知，，，，写出所有满足上述条件的集合． 【答案】或或或. 【分析】根据题意可知，进而求出集合. 【详解】解：因为，， 则， 又由，，可知，即， 所以或或或. 【变式4】已知集合M满足关系 ，写出所有的集合M． 【答案】答案见解析 【分析】根据集合的包含关系，一一列举出符合要求的集合即可 【详解】满足条件的集合M可以是以下集合：，，，，，，，，共8个 题型04 空集的概念集判断与辨析 【典例1】如何理解空集？与，0，有什么关系？ 【答案】答案见解析 【详解】①空集是不含有任何元素的集合，且规定，任何时候都不成立，是恒成立的． ②情景不同，空集的类型也不同，例，． ③不是空集，中含有一个元素，作为元素，则；作为集合，则．是含有一个元素0的集合，与空集不同，，，． 【变式1】下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 【变式2】下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义进行判断可得答案. 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 题型05 空集的性质及应用 【典例1】若集合是空集，则的取值范围是 ．（用区间表示） 【答案】 【分析】分和讨论方程解的情况，可得答案. 【详解】若，则方程无解，所以; 若，由方程无解，可得即，此时. 综上可知，实数的取值范围为：. 故答案为： 【变式1】若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式2】若集合，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【分析】利用判别式小于0求解 【详解】故无解则 故答案为： 【变式3】关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 【答案】1 【分析】不等式化为，然后对系数进行分类讨论可得． 【详解】可化为， 若，不等式为，不成立，不等式解集为空集， 若，不等式的解为， 若，不等式的解为， 综上，， 故答案为：1. ①空集只有一个子集，即它的本身，(2)，则 题型06 根据两个集合相等求参数 【典例1】已知函数，若，则 【答案】 【分析】根据可得函数有两个相等的实数根，再根据判别式求解即可. 【详解】因为，故函数，即有两个相等的实数根. 故，解得，故. 故答案为： 【变式1】设集合，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用集合相等列式求值并验证得解. 【详解】集合，由，得或，解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 所以. 故选：A 【变式2】若，则 ． 【答案】 【分析】由为分母可得，再利用集合相等的性质计算即可得解． 【详解】由题意可得，则，即， 则，解得或， 若，则违背集合元素的互异性，舍去； 若，则有，符合要求； 综上所述，，则． 故答案为：． 【变式3】设集合，，若，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据给定条件，利用集合元素的特性及集合相等求出. 【详解】在中，，则且， 而，，显然，因此，解得， 所以. 故答案为： 【变式4】若集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{b}，则b的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意可得集合有且只有一个元素，再分和两种情况讨论求解． 【详解】根据题意，集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{b}， 则集合中只有一个元素，即只有一个实数根， ①当时，化为，解得， 此时集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{x|x＝}，则b＝； ②当时，，则a＝1， 此时集合{x|x2+2x+1＝0}＝{x|x＝}，故b＝； 所以的值为或. 故答案为：或． 如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. 题型07 根据集合的包含关系求参数 【典例1】已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若⫋，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由为非空数集，得，即，结合子集的概念，得到不等式，算出实数的取值范围； （2）由为非空数集，得，即，结合真子集的概念，得到不等式，算出实数的取值范围； 【详解】（1）因为为非空数集，得，解得， 若，则，解得，即实数的取值范围是； （2）因为为非空数集，得，解得， 若⫋，则或， 解得，即实数的取值范围是． 【变式1】已知全集，，，且，求m的取值范围． 【答案】 【分析】分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】，，， ①时，，解得， ②时，或， 解得： 综上，或. 所以m的取值范围是. 【变式2】已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)的值为或 (2) 【分析】（1）由条件可得，代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）化简集合，分，以及讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，的值为或. （2）对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想使，则， 此时，该方程组无解， 综上的取值范围是. 【变式3】（1）已知集合，，若，求实数，的值. （2）已知集合或，，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）或. 【分析】（1）根据相等集合的概念可得或，解之，结合集合元素的性质即可求解； （2）易知，根据集合间的包含关系画出数轴，结合数轴建立不等式，解之即可求解. 【详解】（1）由已知，得或. 当时，解得或； 当时，解得或. 又由集合中元素的互异性，得或. （2）因为，所以，利用数轴表示，如图所示， 或 则或，解得或， 所以的取值范围是或. 【变式4】已知集合，，且，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据集合的基本关系得出不等式组计算即可. 【详解】由于，在数轴上表示A，B，如图， 可得解得 所以的取值范围是． 1．已知集合．若，则a的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用集合的包含关系求出的取值范围即可. 【详解】集合，又， 则，所以a的最大值为. 故答案为： 2．已知集合，则的非空子集的个数是 . 【答案】15 【分析】利用列举法表示集合，进而求出其非空子集个数. 【详解】依题意，，所以的非空子集的个数是. 故答案为：15 3．已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由集合包含关系得到即可求解； 【详解】由题意可知， 解得：， 故答案为： 4．若集合，A的子集个数是 个． 【答案】16 【分析】根据题意可知集合A有4个元素，进而可得子集个数. 【详解】因为集合A有4个元素，所以A的子集个数是个. 故答案为：16. 5．已知集合，，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据集合的关系得出端点间的不等关系，即得实数的取值范围.； 【详解】因为，，， 所以. 故答案为： 6．已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据集合的包含关系列不等式可求的取值范围. 【详解】因为，，， 所以，所以， 所以的取值范围为. 7．已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有 个. 【答案】7 【分析】结合子集和真子集的概念求解即可. 【详解】由⫋，则集合中一定有元素， 且至少含有其中一个元素， 则这样的集合共有个. 故答案为：7. 8．含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为 . 【答案】32 【分析】根据题意可写出集合M的非空子集，再利用交替和定义可解． 【详解】根据题意，集合的所有非空子集为，，，，，， ，，，，，，，，， 则所有非空子集的交替和的总和为： . 故答案为：32. 9．已知集合，，若，则（    ） A． B．3 C．或3 D．1 【答案】B 【分析】根据集合的关系及集合元素的互异性列方程求解即可. 【详解】由题意得，则且. 若，解得，不合题意，舍去. 若，解得（舍去）或，则. 此时，，符合题意，故. 故选：B. 10．若集合的子集中，不含元素的非空子集共有（    ） A．15个 B．16个 C．31个 D．32个 【答案】A 【分析】依题意，即是求集合的非空子集的个数. 【详解】集合的不含有元素的子集个数就是集合的子集个数，共有个， 故不含元素的非空子集共有15个. 故选：A. 11．对于非空正数集，其所有元素的几何平均数记为，即，若非空正数集B满足下列两个条件：（1）；（2）．则称B为A的一个“稳定子集”．根据以上信息，集合的“稳定子集”有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】根据题意可得，且集合B至少有2个元素，分类讨论集合B的元素个数，结合题意分析求解即可. 【详解】因为，则， 又因为，由题意可知：集合B至少有2个元素， 若集合B有2个元素，则集合B可以为，共2个； 若集合B有3个元素，则集合B可以为，共2个； 若集合B有4个元素，则集合B可以为，共1个； 若集合B有5个元素，则集合B可以为，共1个； 综上所述：集合的“稳定子集”有个. 故选：B. 12．已知集合，，若，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】先将集合化简，再分与讨论，即可得到结果. 【详解】由解得，所以，且， 当时，符合， 则，解得， 当时，即时， 要使，则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 13．已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由真子集的定义，确定的取值范围； （2）由子集的定义，确定的取值范围； （3）由集合相等求出的值. 【详解】（1）   若是的真子集，则由图知，， 故的取值范围为. （2）   若是的子集，已知，则， 则由图知，， 故的取值范围为. （3）若，则. 14．已知 (1)若，分别求的值.； (2)若，用列举法表示集合. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）求出方程，进而求出. （2）利用集合的包含关系求出，进而求出集合. 【详解】（1）由，得或， 而，则是方程的二根， 所以. （2）由（1）知，，由，得或或， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 集合之间的关系 教学目标 1.熟练掌握集合与集合之间包含关系、子集的概念； 2提高数学抽象、直观想象和逻辑推理能力，对集合关系进行准确判断。 教学重难点 教学重点：区分集合与集合之间的关系和元素与集合之间的关系 教学难点：理解子集和真子集的定义；掌握子集，真子集的性质及其表示的基本方法，了解子集与真子集之间的联系和区别； 知识点01 图（维恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点02 子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 【即学即练】在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 知识点03 集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 【即学即练】下列集合中表示同一集合的是（    ） A．M＝，N＝ B．M＝，N＝ C．M＝，N＝ D．M＝，N＝ 知识点04 真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【即学即练】设，若是集合的真子集，则的值为 . 知识点05 空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 【即学即练】下列关系式错误的个数为：（    ） ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 题型01 判断集合的包含关系 【典例1】已知集合，，，则、、的关系满足（   ） A． B． C． D． 【变式1】设集合，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，，则A，B之间最适合的关系为（   ） A． B． C． D． 【变式3】以下六个关系式中正确的编号是 ①；②；③；④；⑤；⑥ 【变式4】已知集合，．判断集合A与B的包含关系，并证明你的结论． 题型02 判断子集（真子集）的个数 【典例1】若集合，，若集合M满足，则这样的集合M的个数是 . 【变式1】已知集合，集合，则集合的子集个数为（    ） A．7 B．8 C．16 D．32 【变式2】满足的集合M的个数为 个. 【变式3】若，则，就称A自倒集合，集合的所有非空子集中，自倒集合的个数为 【变式4】设集合，则集合的非空真子集的个数为 ． 若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 题型03 求集合中子集（真子集） 【典例1】已知求． 【变式1】设是由6的全体正约数组成的集合，写出的所有子集. 【变式2】若集合满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，，，，写出所有满足上述条件的集合． 【变式4】已知集合M满足关系 ，写出所有的集合M． 题型04 空集的概念集判断与辨析 【典例1】如何理解空集？与，0，有什么关系？ 【变式1】下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 题型05 空集的性质及应用 【典例1】若集合是空集，则的取值范围是 ．（用区间表示） 【变式1】若集合，则实数的取值范围是 . 【变式2】若集合，则实数a的取值范围 ． 【变式3】关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . ①空集只有一个子集，即它的本身，(2)，则 题型06 根据两个集合相等求参数 【典例1】已知函数，若，则 【变式1】设集合，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式2】若，则 ． 【变式3】设集合，，若，则 . 【变式4】若集合{x|ax2+2x+1＝0}＝{b}，则b的值为 ． 如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. 题型07 根据集合的包含关系求参数 【典例1】已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若⫋，求实数的取值范围． 【变式1】已知全集，，，且，求m的取值范围． 【变式2】已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【变式3】（1）已知集合，，若，求实数，的值. （2）已知集合或，，若，求实数的取值范围. 【变式4】已知集合，，且，求实数的取值范围． 1．已知集合．若，则a的最大值为 ． 2．已知集合，则的非空子集的个数是 . 3．已知集合，，且，则实数的值为 . 4．若集合，A的子集个数是 个． 5．已知集合，，若，则的取值范围为 . 6．已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 7．已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有 个. 8．含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为 . 9．已知集合，，若，则（    ） A． B．3 C．或3 D．1 10．若集合的子集中，不含元素的非空子集共有（    ） A．15个 B．16个 C．31个 D．32个 11．对于非空正数集，其所有元素的几何平均数记为，即，若非空正数集B满足下列两个条件：（1）；（2）．则称B为A的一个“稳定子集”．根据以上信息，集合的“稳定子集”有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 12．已知集合，，若，求实数的取值范围． 13．已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 14．已知 (1)若，分别求的值.； (2)若，用列举法表示集合. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$