25.2.4 一元二次方程根与系数的关系【分层作业】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以分层作业为框架，构建“概念推导-基础应用-拓展综合-中考实战”的完整训练体系，突出韦达定理的系统性应用与逻辑迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|4题|概念推导（求根公式推导、平方差公式消根号）|从定理生成（韦达定理）到特殊形式（二次项系数为1）的逻辑延伸| |巩固性作业|5题型（各4题）|直接应用定理、代入求参数、整体代入求值、列方程求参数、综合解答|基础题型覆盖定理核心应用场景，形成“直接应用-变式拓展”的递进链| |拓展性作业|2题型（各4题）|对称式变形（如1/x1+1/x2）、定理构造新方程|从代数变形到逆向构造，深化定理的双向应用能力| |探究性作业|2题型（各2题）|几何建模（直角三角形、平行四边形）、综合探究（新定义“明一方程”）|实现代数与几何的跨领域迁移，培养数学建模与创新意识| |中考链接|5题（1选择2填空2解答）|真题实战（含参数求值、最值问题）|对接中考高频考点，强化综合应用与应试能力|

25.2.4 一元二次方程根与系数的关系【分层作业】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.巩固性作业（全员参与） 2 【题型1 直接求两根之和与积】 2 【题型2 已知一根求另一根及参数】 4 【题型3 求与根相关的代数式的值】 6 【题型4 已知根的关系求参数】 8 【题型5 基础解答】 10 三.拓展性作业（部分参与，选做） 14 【题型1 根的对称式求值】 14 【题型2 构造新方程】 17 四.探究性作业（部分参与，选做） 19 【题型1 一元二次方程根与系数与几何综合】 19 【题型2 综合探究】 23 五.中考链接（全员参与） 27 六.作业自我评价 30 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 （1）对于一元二次方程 ，当 时，设两根为 ，则 ____，____。这就是一元二次方程根与系数的关系，也称为______定理。 （2）根与系数关系的推导：由求根公式 ，，相加时根号部分____，相乘时利用____公式消去根号。 （3）对于二次项系数为1的方程 ，两根 满足 ____，____。 （4）以两个数 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 ______。 参考答案： （1）；；韦达 （2）互相抵消（相加为0）；平方差 （3）； （4）； 二.巩固性作业（全员参与） 【题型1 直接求两根之和与积】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 【答案】D 解：∵，是方程的两个实数根， ∴. 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解，先确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项，再根据根与系数的关系计算两根和与两根积，即可判断正确选项． 解：对于一元二次方程，若两根为，则，． ∵一元二次方程为， ∴，，， ∴，， 则A对应正确结论． 3．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则=________． 【答案】5 【分析】利用根与系数的关系求解即可． 解：∵，是方程的两个实数根， ∴ ． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知，是方程的两个根，则_______． 【答案】 【分析】对于一元二次方程，若是它的两个根，则，，据此求解即可． 解：方程中，，， ∵，是方程的两个根 ∴， ∴． 【题型2 已知一根求另一根及参数】 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】设方程的另一个根为t，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案． 解：设方程的另一个根为t， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴该方程的另一个根为． 2．（25-26八年级下·北京顺义·期末）已知关于x的一元二次方程有一个根为1，则另一个根为________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，两根之和为．设方程的另一个根为，利用根与系数的关系列方程求解即可． 解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系可得： ， 解得， 即方程的另一个根为． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系．利用根与系数的关系，通过两根之积快速求出另一根，再由两根之和求出的值． 解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系： ， 解得， 即，方程的另一个根为． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系．先利用根的定义将代入求得，设方程的另一个根为，再利用根与系数的关系得出，即可求解． 解：∵关于的一元二次方程有一个根是， ∴， 解得：， 设方程的另一个根为， 则：， 解得：， ∴，方程的另一个根为． 【题型3 求与根相关的代数式的值】 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若m，n是方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A． B．2024 C．2026 D．2028 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合一元二次方程两根之和的关系整体代入计算即可求解． 解：∵是方程的两个实数根， ∴由方程根的定义得， 由一元二次方程两根之和的关系得：， ∴， ∴ ． 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）若是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2022 B． C．2023 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解即可． 解：由题意，，， ∴， ∴； 故选C． 3．（2026·广东梅州·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为a和b，则的值为______． 【答案】 解：因为是方程的根， 所以，即； 由根与系数的关系得， 则 4．（2025九年级上·山东日照）设m，n是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2013 【分析】根据方程的解的定义得到，再由一元二次方程根与系数的关系得到，然后变形整体代入求值即可． 解：由题意可得 ∴， 由一元二次方程根与系数的关系可得， ∴． 【题型4 已知根的关系求参数】 1．（2024·广东清远·二模）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 【答案】C 【分析】先根据两根的倍数关系和两根之积求出两根，再利用两根之和求出的值． 解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得 ， ∵ ∴代入得，即 解得或 当时，， 当时，， ∴． 2．（2026·湖北襄阳·二模）若一元二次方程的两根分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系列出方程求解． 解：根据题意得，， ∴， 解得． 3．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，则的值是________． 【答案】 【分析】先利用韦达定理得到两根和与两根积，代入已知等式求解k，再结合该一元二次方程有两个实数根的条件，令判别式大于等于0，求出k的范围进行取舍． 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴、， 代入，得 ， 解得、， 又∵，解得， ∴不符合题意，舍去， 故． 4．（2026·江苏泰州·一模）已知，是关于x的一元二次方程的两根，且，则k的值为______． 【答案】2 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再代入题目给出的等量关系求解即可． 解：，是一元二次方程的两根， 由根与系数的关系得，， ， ， 解得． 【题型5 基础解答】 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程和解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解决此题的关键． （1）利用一元二次方程的根的判别式即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再代入计算即可求解． （1）解：∵方程有两个实数根，， ∴， 解得：； （2）解：∵方程有两个实数根，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 2．（25-26九年级上·湖南湘西·期末）已知关于的方程． （1）若方程总有两个实数根，求的取值范围； （2）若与是该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有实数根得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到关于m的方程，进行求解即可． （1）解：∵方程有两个实数根， ∴， 即， 解得； （2）解：∵与是该方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴ 解方程 得． 3．（25-26九年级上·天津南开·阶段检测）已知是一元二次方程（是常数）的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求一元二次方程的根； （3）若，则的值为___________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了根据一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系，配方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得，解得，即可作答． （2）运用配方法进行解方程，即可作答． （3）结合，以及，得出，即可作答． （1）解：∵是一元二次方程（是常数）的两个不相等的实数根． ∴ 解得， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得； （3）解：∵是一元二次方程（是常数）的两个不相等的实数根． ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求m的值及方程的另一根； （2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），另一个根是；（2）证明：依题得 不论取何值， 不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的意义，一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程解的意义，将代入原方程即可求得的值，设另一根为，根据根与系数的关系可得，进而求得另一根； （2）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可． （1）解：把代入 得，解得： 设另一根为， 则，即 另一个根是． （2）略 三.拓展性作业（部分参与，选做） 【题型1 根的对称式求值】 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系，先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴， 将，代入得：． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）一元二次方程的两个实数根为m和n，则代数式的值为（     ） A．17 B．6 C．33 D．26 【答案】C 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可． 解：∵一元二次方程的两个实数根为和， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得：，， ． 3．（25-26八年级·全国·暑假作业）已知的两个根为，则_______，_______，_______，_______，_______． 【答案】 / 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，代入计算即可得到结果． 解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项， 根据根与系数的关系可得：，， ∴； ； ， ． 4．（2022·四川眉山·模拟预测）已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到方程两根之和、两根之积的值，再代入算式化简计算即可． 解：∵一元二次方程的两根为、， ∴， ∴ = = = =． 【题型2 构造新方程】 1．（2026·江苏南京·三模）写出一个两根之和为，两根之积为的一元二次方程：__________． 【答案】 解：设这个一元二次方程为， ∵这个一元二次方程的两根之和为1，两根之积为， ∴，， ∴取时，， ∴此时这个一元二次方程为（答案不唯一）． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方程． 解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 3．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用因式分解法解方程和根与系数的关系进行判断即可． 解：A：方程的解是，不符合题意； B：由题意得，而方程中，不符合题意； C：方程的解是，符合题意； D：由题意得，而方程中，不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程和一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的相关知识． 4．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）张林和李冬在解一道一元二次方程时，张林看错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，李冬看错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原来的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据张林及李冬的计算结果，可求出b，c的值（的情况下），进而可找出原方程为． 解：∵张林看错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1， ∴两根之和， ∴当时，； ∵李冬看错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和， ∴两根之积， ∴当时，， ∴正确的方程是． 故选：A． 四.探究性作业（部分参与，选做） 【题型1 一元二次方程根与系数与几何综合】 1．（25-26九年级上·四川成都·期中）设一元二次方程有两个根，，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，回答下列问题： （1）______，______．（用表示） （2）若方程的两个根是和，求的值． （3）已知直角，斜边长为13，三角形另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，求的值． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查探究一元二次方程根与系数关系，读懂题意，熟练运用（1）中得到的结论是解决问题的关键． （1）对比与可得，； （2）由（1）中结论，得到，，再由，代值求解即可得到答案； （3）由勾股定理得到，再由（1）中结论得到，，从而建立一元二次方程求解得到或，分情况验证是否满足题目要求即可得到答案． （1）解：， 对比与可得，，， 故答案为：，； （2）解：的两个根是和， ，， ； （3）解：在中，斜边长为13，三角形另两边、，则， 三角形另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， 则， 即， ， 则， 解得或； 当时，，则，解得或，不符合题意； 当时，，解得或，符合题意； 综上所述，． 2．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知：平行四边形的两边的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ （3）如果这个方程的两个实数根分别为，且，求m的值． 【答案】（1），四边形是菱形，边长；（2）5；（3） 【分析】（1）根据菱形的性质可知方程有两个相等的实数根，由根的判别式求出m，进而可求出方程的根； （2）由的长为2，可知2是方程的一个根，代入方程求出m，进而求出方程的根，即可求出平行四边形的周长； （3）利用一元二次方根与系数的关系得到，，将变形为，再将，代入求解即可． （1）解：根据题意：四边形是菱形时，则， 方程有两个相等的实数根， ，即， 解得：， ， 解得：， ，四边形是菱形，边长； （2）解：根据题意得：， 解得：，则， 解得：， 的长为2， ， 平行四边形的周长是； （3）解：方程的两个实数根分别为， ，， ， ， 解得：． 【点拨】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，一元二次方程根的判别式以及根据系数的关系，解一元二次方程，综合运用各知识点是解答本题的关键． 【题型2 综合探究】 1．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）若关于x的方程有一个解为，那么称这样的方程为“明一方程”．例如方程：有解，所以为“明一方程”． （1）下列方程是“明一方程”的有 ；（填序号）①；②；③． （2）已知，为“明一方程”的两个根，且其中一根是另一根的2倍，试求b，c的值． （3）已知直线与轴交于点，与轴交于点，，且当时，关于的方程为“明一方程”，求该直线解析式 【答案】（1）①③；（2），或，；（3）直线解析式为或 【分析】（1）依据题意，根据“明一方程”定义逐个计算即可判断得解； （2）依据题意，由为“明一”方程，则方程必有一个根是，故，即，再根据根与系数关系得，，由一根是另一根的2倍，设，则，，所以，解得：，，从而可求得，． （3）依据题意，由当时，关于的方程为“明一方程”，从而可得，再根据直线与轴交于点，与轴交于点，所以， ．然后由，进而求出，即可． （1）解：解方程得， 是“明一方程”； 解方程得，， 不是“明一方程”； 解方程得，， 是“明一方程”； 故答案为：①③； （2）解：由题意，为“明一”方程， 方程必有一个根是． ，即， ∵，为“明一方程”的两个根，且其中一根是另一根的2倍， ∴，， 设， ∴，， ∴ 解得：，， ∴，， ∴，或，． （3）解：由题意，当时，关于的方程为“明一方程”， 当时，． ． ． 又直线与轴交于点，与轴交于点， ， ． ． 解得：， ∴或 ∴直线解析式为或． 【点拨】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解、待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 3．（24-25九年级下·江苏淮安·阶段检测）下列命题中，其中是真命题的有________个 ①一次函数的图像过第一二四象限；②不等式组的所有整数解的和为；③关于 的一元二次方程 的两根之和为；④连接矩形四边中点得到菱形 【答案】 【分析】本题考查了命题，根据一次函数的图象和性质、求不等式组的整数解、一元二次方程根和系数的关系及菱形的判定逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：①在一次函数中， ∵，， ∴直线经过一、三、四象限，故①是假命题； ②， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为，，，，， ∴不等式组的所有整数解的和为，故②是假命题； ③由一元二次方程根和系数的关系得，，故③是假命题； ④连接矩形四边中点得到菱形，该命题是真命题； 综上，真命题的只有个， 故答案为：． 五.中考链接（全员参与） 一、单选题 1．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 二、填空题 2．（2026·四川乐山·中考真题）已知方程的两个根是和，则_________． 【答案】3 【分析】对于一元二次方程，若方程的两个实数根是，则，据此可得答案． 解：∵方程的两个根是和， ∴． 3．（2026·河北·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 【答案】 【分析】设方程的两根分别为和，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解的值，再计算，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可． 解：设一元二次方程的两根分别为，． 根据根与系数的关系可得，． 整理得．变形得． 解得． 将代入得． 验证判别式：，符合题意． 4．（2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 三、解答题 5．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】（1）证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 解：（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 六.作业自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.4 一元二次方程根与系数的关系【分层作业】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.巩固性作业（全员参与） 2 【题型1 直接求两根之和与积】 2 【题型2 已知一根求另一根及参数】 2 【题型3 求与根相关的代数式的值】 3 【题型4 已知根的关系求参数】 3 【题型5 基础解答】 4 三.拓展性作业（部分参与，选做） 5 【题型1 根的对称式求值】 5 【题型2 构造新方程】 5 四.探究性作业（部分参与，选做） 6 【题型1 一元二次方程根与系数与几何综合】 6 【题型2 综合探究】 7 五.中考链接（全员参与） 8 六.作业自我评价 8 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 （1）对于一元二次方程 ，当 时，设两根为 ，则 ____，____。这就是一元二次方程根与系数的关系，也称为______定理。 （2）根与系数关系的推导：由求根公式 ，，相加时根号部分____，相乘时利用____公式消去根号。 （3）对于二次项系数为1的方程 ，两根 满足 ____，____。 （4）以两个数 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 ______。 二.巩固性作业（全员参与） 【题型1 直接求两根之和与积】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则=________． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知，是方程的两个根，则_______． 【题型2 已知一根求另一根及参数】 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 2．（25-26八年级下·北京顺义·期末）已知关于x的一元二次方程有一个根为1，则另一个根为________． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【题型3 求与根相关的代数式的值】 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若m，n是方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A． B．2024 C．2026 D．2028 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）若是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2022 B． C．2023 D．2027 3．（2026·广东梅州·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为a和b，则的值为______． 4．（2025九年级上·山东日照）设m，n是方程的两个实数根，则的值为______． 【题型4 已知根的关系求参数】 1．（2024·广东清远·二模）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 2．（2026·湖北襄阳·二模）若一元二次方程的两根分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，则的值是________． 4．（2026·江苏泰州·一模）已知，是关于x的一元二次方程的两根，且，则k的值为______． 【题型5 基础解答】 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 2．（25-26九年级上·湖南湘西·期末）已知关于的方程． （1）若方程总有两个实数根，求的取值范围； （2）若与是该方程的两个实数根，且满足，求的值． 3．（25-26九年级上·天津南开·阶段检测）已知是一元二次方程（是常数）的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求一元二次方程的根； （3）若，则的值为___________． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求m的值及方程的另一根； （2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 三.拓展性作业（部分参与，选做） 【题型1 根的对称式求值】 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）一元二次方程的两个实数根为m和n，则代数式的值为（     ） A．17 B．6 C．33 D．26 3．（25-26八年级·全国·暑假作业）已知的两个根为，则_______，_______，_______，_______，_______． 4．（2022·四川眉山·模拟预测）已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【题型2 构造新方程】 1．（2026·江苏南京·三模）写出一个两根之和为，两根之积为的一元二次方程：__________． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）张林和李冬在解一道一元二次方程时，张林看错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，李冬看错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原来的方程为（   ） A． B． C． D． 四.探究性作业（部分参与，选做） 【题型1 一元二次方程根与系数与几何综合】 1．（25-26九年级上·四川成都·期中）设一元二次方程有两个根，，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，回答下列问题： （1）______，______．（用表示） （2）若方程的两个根是和，求的值． （3）已知直角，斜边长为13，三角形另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，求的值． 2．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知：平行四边形的两边的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ （3）如果这个方程的两个实数根分别为，且，求m的值． 【题型2 综合探究】 1．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）若关于x的方程有一个解为，那么称这样的方程为“明一方程”．例如方程：有解，所以为“明一方程”． （1）下列方程是“明一方程”的有 ；（填序号）①；②；③． （2）已知，为“明一方程”的两个根，且其中一根是另一根的2倍，试求b，c的值． （3）已知直线与轴交于点，与轴交于点，，且当时，关于的方程为“明一方程”，求该直线解析式 3．（24-25九年级下·江苏淮安·阶段检测）下列命题中，其中是真命题的有________个 ①一次函数的图像过第一二四象限；②不等式组的所有整数解的和为；③关于 的一元二次方程 的两根之和为；④连接矩形四边中点得到菱形 五.中考链接（全员参与） 一、单选题 1．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2026·四川乐山·中考真题）已知方程的两个根是和，则_________． 3．（2026·河北·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 4．（2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 三、解答题 5．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 六.作业自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $