精品解析：吉林东北师范大学附属中学2026-2027学年高三年级上学期开学验收考试数学试题

东北师范大学附属中学2026-2027学年度高三年级上学期 开学验收考试数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设集合，，，则图中阴影部分表示的集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间为减函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的图象沿轴向左平移2个单位后与函数的图象关于轴对称，若，则（ ） A. -2 B. 2 C. D. 4. 记等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 60 B. 80 C. 140 D. 160 5. 已知函数若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 7. 设a，，函数，若函数恰有3个零点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知对任意的正数，不等式 恒成立，则正数的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 回归直线必过样本中心点 B. 相关系数的绝对值越接近1，说明两个变量的线性相关性越强 C. 残差的平方和越小，说明模型的拟合效果越差 D. 在独立性检验中，统计变量越大，说明两个变量的关系就越弱 10. 长时间玩手机可能影响视力．为研究近视与玩手机时长的关系，某市随机抽取1000名高中生进行调查，其中有40%的人近视．而这1000名学生中有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率达50%．根据以上数据得到如下列联表： 近视 不近视 合计 每天玩手机超过1小时 每天玩手机不超过1小时 合计 1000 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 下列说法正确的是（ ） A. B. 依据小概率值的独立性检验，认为玩手机时长与近视之间有关 C. 用频率估计概率，若从该市高中生中随机抽取5人进行视力调查，记近视人数为，则的数学期望 D. 若从列联表中每天玩手机超过1小时的人中随机抽取3人，记近视人数为，则 11. 已知函数及其导函数的定义域都为，若，，且为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为、，在每轮比赛中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为________． 13. 设函数，若对于，恒成立，求m的取值范围______． 14. 在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如，故数列的前项和．记数列的前n项和为，利用上述方法求_______． 四、解答题（本题共3小题，共47分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 某机构为了解某大学中男生的体重单位：)与身高x(单位：)是否存在较好的线性关系，该机构搜集了7位该校男生的数据，得到如下表格： 序号 1 2 3 4 5 6 7 身高() 161 175 169 178 173 168 180 体重() 52 62 54 70 66 57 73 根据表中数据计算得到关于的线性同归方程为 （1）求 （2）已知且当时，回归方程的拟合效果非常好；当时，回归方程的拟合效果良好.试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由.参考数据： 16. 已知等差数列满足，是关于的方程的两个根. （1）求和； （2）求和； （3）设，求数列的前项和． 17. 已知函数. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若函数有两个零点，，且，求证：(其中是自然对数的底数). 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师范大学附属中学2026-2027学年度高三年级上学期 开学验收考试数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设集合，，，则图中阴影部分表示的集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】图中阴影部分表示的集合为，结合已知中的集合，，可得答案. 【详解】解：图中阴影部分表示的集合为， ∵，∴ ，∴， 故选：D. 2. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间为减函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数为偶函数得到，由函数单调性比较出大小. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以， 因为在区间为减函数，， 所以，故. 故选：A 3. 已知函数的图象沿轴向左平移2个单位后与函数的图象关于轴对称，若，则（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得与函数的图象关于轴对称的函数，可得：，再向右平移2个单位可得，再由即可得解. 【详解】先求与函数的图象关于轴对称的函数， 可得：， 再向右平移2个单位可得， 所以， 可得：， 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的对称和平移，考查了指数的计算，解题方法是反向移动，属于基础题. 4. 记等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 60 B. 80 C. 140 D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差及首项，再利用前n项和公式计算即得. 【详解】等差数列中，，而，则， 公差，， 所以. 故选：C 5. 已知函数若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线与直线相切时的斜率，由数形结合得解. 【详解】设直线与相切于点， 由，则， 所以切线方程为，又切线过， 所以，解得， 所以，作出及切线的图象，如图， 由图象可知，当时，成立. 故选：D 6. 下列函数中，最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举反例判断A，利用基本不等式判断BC，利用函数单调性判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，又，等号取不到，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，因为和在和单调递增， 所以在和单调递增，无最小值，故D错误. 故选：C 7. 设a，，函数，若函数恰有3个零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设，恰有3个零点 当时，，是一次函数 若，，该函数有无数个零点，与题目要求不符； 若，，该函数无零点； 若，当时，该函数存在一个零点，当，该函数没有零点， 所以当时，至多有一个零点， 要使得函数有三个零点，则当时，函数应至少有两个零点， 当时，， ， 若，则在上，在上有最小值； 此时在区间的图象大致为： 若，则函数在上没有零点； 若，则函数在上只有一个零点， 所以当时，在上至多只有一个零点，不满足题意， 若，则在上，，在上，， 此时在区间的图象大致为： 故在上有最小值， 为保证有两个零点，，即， 且 ，即， 所以，当时，， ，有两个零点， 那么，当时，则必然存在一个零点，即满足 ， 因 ，所以， 因此， 综上所述，，. 8. 已知对任意的正数，不等式 恒成立，则正数的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式两边同构函数，设，从而转化问题为恒成立，进而结合导数分析函数的单调性得到对恒成立，进而得到对恒成立，即，再构造函数，，进而结合导数求解即可. 【详解】由对恒成立，且， 即恒成立， 即恒成立， 设，则， 因为，即， 即函数在上单调递增， 则由恒成立， 可以转化为恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立，即. 设，，则， 令，即；令，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 又，所以实数a的取值范围为. 故选：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是观察原不等式的特点，利用同构函数思想，将问题转化为恒成立，再结合导数进行求解即可. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 回归直线必过样本中心点 B. 相关系数的绝对值越接近1，说明两个变量的线性相关性越强 C. 残差的平方和越小，说明模型的拟合效果越差 D. 在独立性检验中，统计变量越大，说明两个变量的关系就越弱 【答案】CD 【解析】 【分析】根据回归直线的求法即可知样本中心在回归直线上即知A的正误，由相关系数、残差的含义判断B、C，根据独立性检验思想判断D. 【详解】A：根据最小二乘法(回归直线的求法)知：样本中心在回归直线上，正确； B：由相关系数的实际意义：其绝对值越接近1，变量间的相关性越强，正确； C：由残差的含义：残差的平方和越小，拟合效果越好，错误； D：由独立性检验思想知：统计变量越大，两个变量的相关可能性越高，错误. 故选：CD 10. 长时间玩手机可能影响视力．为研究近视与玩手机时长的关系，某市随机抽取1000名高中生进行调查，其中有40%的人近视．而这1000名学生中有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率达50%．根据以上数据得到如下列联表： 近视 不近视 合计 每天玩手机超过1小时 每天玩手机不超过1小时 合计 1000 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 下列说法正确的是（ ） A. B. 依据小概率值的独立性检验，认为玩手机时长与近视之间有关 C. 用频率估计概率，若从该市高中生中随机抽取5人进行视力调查，记近视人数为，则的数学期望 D. 若从列联表中每天玩手机超过1小时的人中随机抽取3人，记近视人数为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过基本的数量关系计算列联表中的值，可判断A，计算的值，再与临界值比较可判断B；根据二项分布的期望公式计算可判断C；根据超几何分布的计算公式求解可判断D. 【详解】对于A，，，， ， 因为每天玩手机超过1小时的学生近视率为，所以， 所以，，，，故A正确； 对于B，通过计算得出， 所以依据小概率值的独立性检验， 认为玩手机时长与近视之间有关，故B正确； 对于C，根据二项分布的定义，服从二项分布，且，故C错误； 对于D，由题知，服从超几何分布，所以，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数及其导函数的定义域都为，若，，且为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件结合奇函数性质可得，取求判断A，由，可得（为常数），结合条件证明，由此证明为周期函数，求判断C，再证明为周期函数，并求，判断C，再结合周期性求，判断D. 【详解】因为为奇函数， 所以， 取可得，， 所以，A正确； 由，可得， 所以（为常数）， 又，所以， 所以， 取可得，，故， 所以，又， 所以，即， 所以， 所以， 所以函数为周期为的周期函数， 因为，所以，， 所以，， 所以， 所以，， 又， 所以，又， 所以，C正确； 因为，， 所以， 所以，所以函数的周期为， 所以， 所以函数为周期为的函数， 又，， ，，B错误； 所以， 所以， D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于由条件推出，结合条件消去，可得，由此证明为周期函数，再利用周期性求解结论. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 甲、乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由甲、乙在罚球区各投一次，已知甲、乙每轮投中的概率分别为、，在每轮比赛中，甲和乙是否投中互不影响，各轮之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】应用互斥、对立事件的概率求法及独立事件乘法公式求目标事件的概率即可. 【详解】由“星队”在两轮比赛中共投中3球，即其中有一轮甲、乙有一人未投中， 所以其概率为. 故答案为：. 13. 设函数，若对于，恒成立，求m的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】记，通过考察的开口方向和判别式，列不等式组求解可得. 【详解】记， 因为对于，恒成立， 所以在R上恒成立， 则有，解得， 所以m的取值范围为. 故答案为： 14. 在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如，故数列的前项和．记数列的前n项和为，利用上述方法求_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可把，再用裂项相消法求和即可. 【详解】解析：设， 左右对照可得，解得 所以， 则数列的前项和为： ， 故． 故答案为：． 四、解答题（本题共3小题，共47分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 某机构为了解某大学中男生的体重单位：)与身高x(单位：)是否存在较好的线性关系，该机构搜集了7位该校男生的数据，得到如下表格： 序号 1 2 3 4 5 6 7 身高() 161 175 169 178 173 168 180 体重() 52 62 54 70 66 57 73 根据表中数据计算得到关于的线性同归方程为 （1）求 （2）已知且当时，回归方程的拟合效果非常好；当时，回归方程的拟合效果良好.试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由.参考数据： 【答案】（1）； （2）该线性回归方程的拟合效果是良好，理由如下： y关于x的线性同归方程为 ∴ ∴ 故该线性回归方程的拟合效果是良好. 【解析】 【分析】（1）先求，代入回归方程即可求得； （2）先根据题意求出，根据参数范围进行判断即可. 【详解】（1）∵ 将（172,62）代入回归方程得： ∴; （2）该线性回归方程的拟合效果是良好，理由略. 【点睛】在线性回归中，求线性回归方程是常见题型： 方法点睛：求线性回归方程的步骤： （1）先求 x、y 的平均数； （2）套公式求出和的值：， ； （3）写出回归直线的方程. 16. 已知等差数列满足，是关于的方程的两个根. （1）求和； （2）求和； （3）设，求数列的前项和． 【答案】（1），; （2），; （3） 【解析】 【分析】（1）由韦达定理即可求解； （2）由（1）求得，再结合韦达定理即可求解； （3），通过分组、裂项相消求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为. 当时，是方程的两根， 由韦达定理得，① 当时，是方程的两根， 由韦达定理得，② 由①②，解得； 所以； 【小问2详解】 由（1）知，所以， 则，对于方程， 由韦达定理得，即， 【小问3详解】 ， 所以 . 17. 已知函数. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若函数有两个零点，，且，求证：(其中是自然对数的底数). 【答案】（1） 函数的定义域为， 则， 当时令，解得或， 当，即时恒成立，所以在上单调递增； 当即时，令，解得或，则在，上单调递增， 令，解得，则在上单调递减； 当即时，令，解得或，则在，上单调递增， 令，解得，则在上单调递减； 综上可得， 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）证明：因为， 由题意，是方程的两个根， ①，②， ①②两式相加，得③，①②两式相减，得④， 联立③④，得，， 设，，，，， 解法一:因为，所以，则， 若，则一定有， 只需证明当时，不等式成立即可，即不等式成立，即不等式成立， 设函数，， 在上单调递增，故时，， 即证得成立， 即证得当时，，即证得， ，即证得，则． 解法二：则要证明，只需证， 令，，则， 令，则， 所以，所以， 在时单调递增， 则，则. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再对分类讨论，分别求出函数的单调区间； （2）由题意，，是方程的两个根，即可得到，令则，则， 解法一：只需证明当时，不等式成立即可； 解法二：构造函数利用导数说明单调性后即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】思路点睛：本题第二问是导数应用中的函数零点，双变量问题.根据函数零点的定义可得，，两式相加，相减运算可得，，即得，令，即，又易证，只需证明当时，不等式成立即可，即不等式成立，构造函数，用导数证明即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $