专题18.3 分式的加法与减法 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦分式的加法与减法核心知识点，系统梳理同分母分式加减（分母不变分子加减）、异分母分式加减（先通分再加减）的运算法则，衔接分式混合运算（先乘方再乘除后加减，括号优先）及化简求值（先化简再代入，含直接与整体代入），通过9类分层题型构建从基础到综合的学习支架。 资料以探究式学习（如比例性质探究）引导学生用数学眼光发现规律，结合实际应用题型（采光条件分析、行程问题）培养数学思维，通过分式最值问题（和谐分式变形）训练数学语言表达。课中助力教师分层教学，课后检测与复盘笔记帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

简一数理 初中专题讲义 专题18.3 分式的加法与减法 （新教材人教版） 知识点一、分式的加减法 2 知识点二、分式的混合运算 2 知识点三、分式的化简求值 2 【题型1 同分母分式加减法】 2 【题型2 异分母分式加减法】 4 【题型3 整式与分式相加减】 6 【题型4 已知分式恒等式，确定分子或分母】 7 【题型5 分式加减混合运算】 9 【题型6 分式加减的实际应用】 12 【题型7 分式加减乘除混合运算】 14 【题型8 分式化简求值】 15 【题型9 分式最值问题】 17 【探究式学习】 22 【课后检测】 24 【复盘笔记】 36 知识点一、分式的加减法 （1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： （2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 知识点二、分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 知识点三、分式的化简求值 （1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． （2）若题干中明确给出字母的数值，通常选用直接代入法. （3）若题干中未明确给出字母的数值，可考虑使用整体代入法. 【题型1 同分母分式加减法】 【例1】下列运算中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式加减法法则分别计算各选项，即可得出答案． 【详解】解：A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算正确，符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算错误，不符合题意． 【变式1-1】计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同分母分式减法法则计算后，对分子因式分解再约分即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式1-2】已知代数式则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，通过计算的结果，根据结果的符号判断和的大小关系． 【详解】解：， ， 即． 【变式1-3】若且，则的结果为（     ） A．1 B．3 C．6 D． 【答案】D 【分析】先根据同分母分式加减法则计算原式，再利用平方差公式因式分解约分，最后代入已知条件计算结果即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【题型2 异分母分式加减法】 【例2】化简 的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将整式部分通分，转化为同分母分式后进行减法运算，用到平方差公式计算，最后化简得到结果． 【详解】解：原式． 【变式2-1】照相机成像应用了一个重要原理，即（），其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像）到镜头的距离，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的等式变形，掌握分式通分运算法则和等式变形方法即可求解，将原式移项整理得到对应表达式，对比选项得到结果． 【详解】解：∵， 移项得， 对右边通分得， 两边取倒数得，与选项C一致． 【变式2-2】已知a，b为实数，且，，设，，下列说法正确的是（     ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】先作差比较判断A、B选项，再利用得，代入计算判断C、D选项． 【详解】解： 的符号不确定， 当时，的符号无法确定，A，B错误； 若，则， ，C正确，D错误． 【变式2-3】已知三个实数，，满足，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知条件联立变形，通过代入消元和整式运算推导得到，，的关系． 【详解】解：∵，，且， ∴， 通分得，， ∴， 移项并提取公因式得，， ∵，代入上式得， ． 【题型3 整式与分式相加减】 【例3】计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：原式 【变式3-1】观察下列等式：，，，…；根据其蕴含的规律可得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据递推关系计算前几项，找出数列的循环周期，再计算除以周期的结果，对应得到所求项的值． 【详解】解：∵， ∴ 以为循环节3次一循环，周期为 ∵， ∴． 【变式3-2】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减运算，需将整式转化为同分母分式，再依据同分母分式的加减法则计算． 【详解】解：∵原式=， ∴将化为分母为的分式，得， ∵同分母分式相加，分母不变，分子相加， ∴分子计算：， ∴原式． 故选：C． 【变式3-3】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式与分式的加减法，先通分化为同分母分式加减法计算即可 ． 【详解】原式 故答案为：A． 【题型4 已知分式恒等式，确定分子或分母】 【例4】若常数，满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将等式右侧通分，根据左右两侧分子恒等得到与的值，利用平方差公式进行因式分解后，进行计算即可. 【详解】解： 又， ∴， ∴. 【变式4-1】若恒成立，则(    ) A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【分析】先对等式右侧通分，根据等式恒成立时分母相同，对应分子为相等多项式，利用对应系数相等列方程组求解和，即可得到的值 【详解】解：右边 ∵等式恒成立，且左右两侧分母相同 ∴分子恒相等，即 整理右侧得 多项式相等则对应系数相等，可得方程组 解得： ∴． 【变式4-2】已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 【答案】C 【分析】先对等式右侧通分，根据分式恒等式的性质，分子对应系数相等得到方程组，求解后计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴． 【变式4-3】对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 【题型5 分式加减混合运算】 【例5】化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察两个分式的分母，发现二者互为相反数，先通过变号统一分母，再合并分子，对分子的平方差多项式因式分解后约去公因式，即可得到化简结果． 【详解】解： ． 【变式5-1】对于正数，规定，例如：．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减，读懂题目信息，理解新定义的运算方法是解题的关键．根据，可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 【变式5-2】当x分别取值，，，…，，1，2，…，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于（    ） A．1 B． C．1009 D．0 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的求值， 先把和代入代数式，并对代数式化简求值，得到它们的和为0，进而求解即可． 【详解】解：当和时， ， ∴， ∵当时，． ∴其和等于0． 故选：D． 【变式5-3】为整数，符合条件的整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】当时，去掉绝对值后利用分离常数法得到，再根据题意可得为整数，由此可得或；同理当时，可得为整数，求出（舍去）；由此即可得到答案． 【详解】解：当时， ， ∵为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或； 当时， ， ∵为整数， ∴为整数， ∴， ∴（舍去）； 综上所述，或； 故选B． 【点睛】本题主要考查了根据分式值的情况求未知数，熟知分离常数法和分式的运算法则是解题的关键． 【题型6 分式加减的实际应用】 【例6】建筑学要求：家用住宅房间窗户的面积必须小于房间地面的面积，但窗户的面积与地面面积的比值越大，采光条件越好．小明提出把房间的窗户和地面都增加相同的面积，他这样做采光条件（　　） A．变好了 B．变差了 C．不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质和运用知识解决实际问题的能力．增加前的窗户面积与地板面积的比值减去增加后的窗户面积与地板面积的比值，即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴，， 即． 所以他这样做采光条件变好了． 【变式6-1】甲、乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（） A．甲、乙同时到达B地 B．甲先到达B地 C．乙先到达B地 D．谁先到达B地与v有关 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式（分式），通过设距离比较时间，利用速度、路程和时间的关系，得出甲先到达的结论，与速度v无关，设从A地到B地的距离为，根据时间=路程÷速度可以求出甲、乙两人同时从A地到B地所用时间，然后比较大小即可判定选择项． 【详解】解：设A到B的距离为，则中点为s． ∵甲的速度为v， ∴甲所用时间． ∵乙先用速度到达中点，再用速度到达B地， ∴乙第一段时间，乙第二段时间， ∴乙总时间． ∵， ∴， ∴甲先到达B地． 故选：B． 【变式6-2】甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（），搅匀后，又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束，则下列判断错误的是（　　） A．乙瓶中红墨水所占体积的比例为 B．甲瓶中蓝墨水的总量是毫升 C．甲瓶中的墨水总量与乙瓶中的墨水总量相同 D．甲瓶中混入的蓝墨水和乙瓶中混入的红墨水体积不相同 【答案】D 【分析】本题考查了用浓度和溶液表示溶质的等量关系，列代数式；用到的知识点为：纯墨水的体积总体积相应的浓度．算出第一次倒出溶液后乙瓶中相应墨水的比例，进而得到混入相应墨水的体积，比较即可． 【详解】解： 甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（）， 此时乙瓶中红墨水所占体积的比例为，乙瓶中蓝墨水所占体积的比例为，故A正确； 又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束， 此时甲瓶中蓝墨水的总量是毫升，乙瓶中红墨水有：毫升， 故B正确，D不正确； 甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（），搅匀后，又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束， 甲瓶中的墨水总量与乙瓶中的墨水总量相同，故C正确； 故选：D． 【变式6-3】甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成这项工程的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式以及分式的加法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据题意可得甲工程队的效率为，乙工程队的效率为，再相加即可． 【详解】解：甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队完成一项工程需天， 甲工程队的效率为，乙工程队的效率为， 两队共同工作一天完成这项工程的， 故选：D 【题型7 分式加减乘除混合运算】 【例7】化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：原式 ． 【变式7-1】若（且），，，…，，则等于（     ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】计算数列前几项确定循环周期，结合余数求解对应项. 【详解】解：∵， ∴，，， … ∴数列每3项为一个循环周期， ∵，余数为0， ∴. 【变式7-2】化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 【变式7-3】化简的结果为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ． 【题型8 分式化简求值】 【例8】若，其中，则的值为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】对已知等式左边因式分解，得到与的数量关系，代入分式计算，即可解答． 【详解】解：左边因式分解，得； ∵， ∴，， ∴或， 解得：或； 当时，， ∴； 当时，， ∴． 【变式8-1】若，则的值为_______． 【答案】 【分析】先化简所求代数式，再代入的关系求值． 【详解】解： ，， ， 原式． 【变式8-2】已知，则=________． 【答案】 【详解】解：原式 ； 由得，且， ∴原式 . 【变式8-3】若，则分式的值为_________． 【答案】 【分析】将已知等式变形为，代入分式约分即可求值． 【详解】解：∵ ， ∴ ，且，若，原分式分母为0，无意义， 将代入得：． 【题型9 分式最值问题】 【例9】已知，，且满足，则代数式的最小值_______； 【答案】 【分析】利用已知条件对所求代数式进行恒等变形，设，对配方可得，求出最小值，即可解答． 【详解】由题意得 ，，， ∴ ， 设， ∴， ∴， 对配方可得， ∴的最小值为：； ∴代数式的最小值为． 【变式9-1】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【答案】 3+ 3 【分析】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）将分子化为分母的倍数与常数的和，然后拆分分式； （2）先将分式化为整式与常数分子的分式的和，再利用分母求最小值． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，分式取得最小值3． 【变式9-2】阅读下面材料并解答问题 材料：定义：如果将一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如． 求： (1)如果分式的值为整数，求的整数值． (2)求代数式的最小值． 【答案】(1)的整数值为，，， (2)最小值为 【分析】（1）将原式化为，由分式的值为整数，可得是整数，即是的约数，即可求解； （2）将原式化为，由作为分母，不能为，则最小可取，即可求解． 【详解】（1）解： ， 分式的值为整数， 是整数，即是的约数， 可取，，，， 此时的整数值为，，，； （2） 作为分母，不能为， 最小可取， 此时的最小值为， 代数式的最小值为． 【变式9-3】下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴． 认真学习例题后，解答下面问题： (1)求证：； (2)若，则的最小值为_____． 若，则的最大值为_____． (3)的最小值为_____． 的最小值为_____． (4)有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴； (2)，； (3)，； (4)． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，完全平方公式的几何背景，熟练掌握并能灵活运用配方法是解题的关键． （）依据题意，由，则，从而，即可得解； （）依据题意，由，则，从而得解； 依据题意，由，又，可得，进而得解； （）依据题意得，，可得的最小值为，从而得解； 依据题意得，，则的最小值为，从而得解； （）依据题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，，则 ，第三个正方形的边长为，故第三个正方形的面积为，又，可得，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，∵， ∴， 故答案为：； 由题意，∵， 又， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：； （3）解：由题意得，， ∴的最小值为， 故答案为：； 由题意得，， ∴的最小值为， 故答案为：； （4）解：由题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，， ∴，第三个正方形的边长为， ∴第三个正方形的面积为， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴第三个正方形面积的最大值为． 【探究式学习】 1．综合与实践 【实践主题】探究比例的性质． 数学活动课上，老师提出了如下问题：找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立（即a，b，c，d成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，试猜想各组中的两个分式之间的关系，并证明． ①和；②和；③和（）． 【探究问题】小明同学就和进行了探究． （1）写出一组能使分式成立的数：_______，_____，_______，_______； （2）在（1）的条件下，计算：___________，___________； （3）猜想：和之间的关系； （4）证明（3）中的猜想． 【答案】（1）2，5，4，10（答案不唯一）； （2），； （3）若，则； （4）证明：∵ ∴ ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质以及分式的化简计算是解题的关键． （1）根据比例的性质，找出满足的一组数即可． （2）将（1）中所取的数代入和进行计算． （3）通过（2）的计算结果，猜想两个分式的关系． （4）利用比例的基本性质，对进行化简，证明其结果为，从而得出两个分式相等． 【详解】解：（1）当，，，时，， 故取，，，（答案不唯一）． （2）当，，，时： ， （3）若，则； （4）略 2．【探究思考】 （1）探究一：观察分式的变形过程和结果，． 填空：若x为小于10的正整数，则当_______时，分式的值最大． （2）探究二：观察分式的变形过程和结果， ． 模仿以上分式的变形过程和结果求出分式的变形结果． 【问题解决】（3）当时，求分式的最小值． 【答案】（1）9；（2）；（3） 【分析】（1）先根据x为小于10的正整数可知，然后再变形即可解答； （2）模仿（2）分式的变形过程即可解答； （3）先根据题意将将变形成，然后分、、三种情况解答即可． 【详解】解：（1）∵x为小于10的正整数， ∴当时， ∵， ∴当时，最小，分式的值最大； 故答案为：9． （2）； （3）当时，， ∴当时，原分式有最小值为； 当时，原式， ∴当时，原分式有最小值为； ∴当时，分式的最小值为． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算、分式的混合运算等知识点，灵活运用的运算法则是解答本题的关键． 【课后检测】 1．分式运算的结果为，则处的运算符号是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式混合运算法则，逐项进行验证即可． 【详解】解：若处为“”，则 ，故A不符合题意； 若处为“”，则 ，故B不符合题意； 若处为“”，则 ，故C不符合题意； 若处为“”，则 ，故D符合题意． 2．如果a，b，c，d是正数，且满足， ，那么的值为（     ） A．1 B． C．0 D．4 【答案】D 【分析】利用变形得到所求分式的分子，拆分后结合已知条件计算即可． 【详解】解：∵，∴，，，， ∴ ， ∵， ∴原式． 3．已知分式（a，b为常数）满足如下表格，根据表格信息，下列结论中错误的是（     ） x的取值 2 c d 分式的值 无意义 0 正整数 A． B． C． D．d可以取4个值 【答案】D 【分析】首先根据已知条件求出和的值，确定分式，再依次验证各选项，得到错误结论 【详解】解：∵时分式无意义， ∴分母，解得， ∴A正确； ∵时分式值为， ∴分子，解得， ∴B正确； ∴原分式为； ∵时分式值为， ∴， ∴，解得，经检验是原方程的解， ∴C正确； 化简分式得， ∵时分式值为正整数， ∴为整数，且是正整数，符合条件的为，对应为，共个不同值， ∴D错误． 4．甲、乙两人绕同一段环湖步道匀速跑步，甲从起点跑到终点的速度为，沿原路折返的速度为，（，，）；乙全程以固定速度匀速跑完往返全程．设甲、乙两人往返全程总用时分别为、，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D．与无法比较 【答案】B 【分析】设单程环湖步道长度为，根据“时间路程速度”分别表示出和，再用作差法比较两者大小，即可得到结论． 【详解】解：设单程环湖步道长度为， ∵ 甲从起点跑到终点的时间为，折返时间为， ∴ ∵ 乙往返总路程为，速度为， ∴ ， ，，, ， ， ，即， ． 5．已知：，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先根据已知条件推导出与的关系，再变形所求分式后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，整理得． ． 6．若，则表示的值的点落在区间（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把 变形为，根据，得到，进而可得的取值范围． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即， ∴表示的值的点落在区间． 7．若，则的值为（     ） A．10 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题先根据已知等式推导得到与的数量关系，再将待求分式整理为含和的形式，整体代入化简即可得到结果． 【详解】，通分得， ，且，对待求分式整理得：， 将代入上式：原式． 8．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对原式通分化简，再结合已知得到与的关系，代入计算即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式． 9．小明骑自行车从家到学校的路程共，其中有的上坡路，的下坡路．若小明走上坡路的速度是，走下坡路的速度是，则他放学回家所用的时间比上学所用的时间多（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】上学和放学的上下坡路程相反，根据时间路程速度，分别计算上学到校和放学回家的总时间，再求时间差即可得到结果． 【详解】∵上学时，上坡路长，速度，下坡路长，速度， ∴上学总时间为， ∵放学回家时，原下坡路变为上坡路，原上坡路变为下坡路，即上坡路长，下坡路长， ∴放学总时间 ∴时间差为：， 即放学回家所用时间比上学到校慢． 10．计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 11．计算：_____． 【答案】 【分析】先进行分组，原式，再分别通分，然后计算，即可作答． 【详解】解： ． 12．化简：_______． 【答案】 【详解】解：原式 . 13．已知，则的值为_____． 【答案】 2 【分析】先将已知等式变形得到与的关系，再对所求分式通分，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 要使分式有意义，则，， ∴， 对通分得：， 将代入，得． 14．某人用语音转文字的速度是手动录入文字速度的3倍，设他手动录入的速度为字，那么他语音录入字比手动录入少用_______．（结果化成最简形式） 【答案】 【分析】根据题意得到语音录入的速度，利用时间等于录入总量除以录入速度，分别求出两种录入方式的用时，计算时间差后化简即可得到结果． 【详解】解：由题意可得，手动录入速度为字，语音转文字的录入速度为字． 手动录入字所用时间为． 语音录入字所用时间为． ． 故答案为：． 15．若，则的值为__________． 【答案】 【详解】∵， ∴，即， 将代入中，得， 则的值为． 16．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先根据分式混合运算法则化简原式，再代入计算结果． 【详解】解： 将代入得：原式． 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对各分母因式分解，统一分母符号后通分，再约分得到结果； （2）先因式分解化简第一个分式，再通分合并同类项得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的分析． 先化简，再求值：，其中． 解：原式① ②． 当时，原式． 编辑 我的解答正确吗？ 【答案】①； 原式 ； 当时，原式 【分析】分式化简用通分，不能像解方程一样两边同乘分母；先通分，再合并分子，接着因式分解约分，最后代入求值． 【详解】略 19．已知：，． (1)化简； (2)若，试比较、的大小关系． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用分式除法运算法则，结合平方差公式因式分解后约分化简； （2）采用作差法，通分计算，结合判断式子正负，进而比较、的大小． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ， ，， ，即， ． 20．【问题的提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或者代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓的“作差法”，就是通过作差、变形，并利用差的符号确定两个数或者代数式的大小，即要比较代数式M，N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【问题的解决】已知，，试比较M与N的大小关系． 解：又 ，即 【类比应用】 (1)问题1：试比较图中两个长方形的面积与的大小关系； (2)问题2：当时，试利用“作差法”比较与的大小； (3)问题3：小强、小明、小红三位同学分别拿了三条长度分别为a，b，c的绳子．其中，，，．小红思考了下说道：“我拿的绳子是最长的．”请问小红的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)正确，理由如下： 由题意可知：， ， ，即， ， ∴， ∴c最大，小红的说法是正确的． 【分析】（1）分别用含有a，b的代数式表示出和，再利用作差法得出，从而比较出和的大小； （2）根据题意利用作差法得出，再由得出结论； （3）利用作差法得出的代数式，由得到，再将c与b进行比较即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可知：， ， ， ， ，即， ． （2）解：由题意可知：， 又， ，即， ． （3）略 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 36 页 第 1 页 共 36 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题18.3 分式的加法与减法 （新教材人教版） 知识点一、分式的加减法 2 知识点二、分式的混合运算 2 知识点三、分式的化简求值 2 【题型1 同分母分式加减法】 2 【题型2 异分母分式加减法】 3 【题型3 整式与分式相加减】 3 【题型4 已知分式恒等式，确定分子或分母】 4 【题型5 分式加减混合运算】 4 【题型6 分式加减的实际应用】 5 【题型7 分式加减乘除混合运算】 5 【题型8 分式化简求值】 6 【题型9 分式最值问题】 6 【探究式学习】 8 【课后检测】 10 【复盘笔记】 14 知识点一、分式的加减法 （1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： （2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 知识点二、分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 知识点三、分式的化简求值 （1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． （2）若题干中明确给出字母的数值，通常选用直接代入法. （3）若题干中未明确给出字母的数值，可考虑使用整体代入法. 【题型1 同分母分式加减法】 【例1】下列运算中正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知代数式则（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】若且，则的结果为（     ） A．1 B．3 C．6 D． 【题型2 异分母分式加减法】 【例2】化简 的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】照相机成像应用了一个重要原理，即（），其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像）到镜头的距离，则（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知a，b为实数，且，，设，，下列说法正确的是（     ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-3】已知三个实数，，满足，，，则（     ） A． B． C． D． 【题型3 整式与分式相加减】 【例3】计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】观察下列等式：，，，…；根据其蕴含的规律可得（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【题型4 已知分式恒等式，确定分子或分母】 【例4】若常数，满足，则（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】若恒成立，则(    ) A．0 B．4 C．8 D．12 【变式4-2】已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 【变式4-3】对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型5 分式加减混合运算】 【例5】化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】对于正数，规定，例如：．的值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】当x分别取值，，，…，，1，2，…，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于（    ） A．1 B． C．1009 D．0 【变式5-3】为整数，符合条件的整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【题型6 分式加减的实际应用】 【例6】建筑学要求：家用住宅房间窗户的面积必须小于房间地面的面积，但窗户的面积与地面面积的比值越大，采光条件越好．小明提出把房间的窗户和地面都增加相同的面积，他这样做采光条件（　　） A．变好了 B．变差了 C．不变 D．无法确定 【变式6-1】甲、乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（） A．甲、乙同时到达B地 B．甲先到达B地 C．乙先到达B地 D．谁先到达B地与v有关 【变式6-2】甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（），搅匀后，又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束，则下列判断错误的是（　　） A．乙瓶中红墨水所占体积的比例为 B．甲瓶中蓝墨水的总量是毫升 C．甲瓶中的墨水总量与乙瓶中的墨水总量相同 D．甲瓶中混入的蓝墨水和乙瓶中混入的红墨水体积不相同 【变式6-3】甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成这项工程的（   ） A． B． C． D． 【题型7 分式加减乘除混合运算】 【例7】化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】若（且），，，…，，则等于（     ） A．a B． C． D． 【变式7-2】化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】化简的结果为（    ）． A． B． C． D． 【题型8 分式化简求值】 【例8】若，其中，则的值为（     ） A．或 B．或 C． D． 【变式8-1】若，则的值为_______． 【变式8-2】已知，则=________． 【变式8-3】若，则分式的值为_________． 【题型9 分式最值问题】 【例9】已知，，且满足，则代数式的最小值_______； 【变式9-1】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【变式9-2】阅读下面材料并解答问题 材料：定义：如果将一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如． 求： (1)如果分式的值为整数，求的整数值． (2)求代数式的最小值． 【变式9-3】下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴． 认真学习例题后，解答下面问题： (1)求证：； (2)若，则的最小值为_____． 若，则的最大值为_____． (3)的最小值为_____． 的最小值为_____． (4)有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值． 【探究式学习】 1．综合与实践 【实践主题】探究比例的性质． 数学活动课上，老师提出了如下问题：找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立（即a，b，c，d成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，试猜想各组中的两个分式之间的关系，并证明． ①和；②和；③和（）． 【探究问题】小明同学就和进行了探究． （1）写出一组能使分式成立的数：_______，_____，_______，_______； （2）在（1）的条件下，计算：___________，___________； （3）猜想：和之间的关系； （4）证明（3）中的猜想． 2．【探究思考】 （1）探究一：观察分式的变形过程和结果，． 填空：若x为小于10的正整数，则当_______时，分式的值最大． （2）探究二：观察分式的变形过程和结果， ． 模仿以上分式的变形过程和结果求出分式的变形结果． 【问题解决】（3）当时，求分式的最小值． 【课后检测】 1．分式运算的结果为，则处的运算符号是（     ） A． B． C． D． 2．如果a，b，c，d是正数，且满足， ，那么的值为（     ） A．1 B． C．0 D．4 3．已知分式（a，b为常数）满足如下表格，根据表格信息，下列结论中错误的是（     ） x的取值 2 c d 分式的值 无意义 0 正整数 A． B． C． D．d可以取4个值 4．甲、乙两人绕同一段环湖步道匀速跑步，甲从起点跑到终点的速度为，沿原路折返的速度为，（，，）；乙全程以固定速度匀速跑完往返全程．设甲、乙两人往返全程总用时分别为、，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D．与无法比较 5．已知：，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．若，则表示的值的点落在区间（     ） A． B． C． D． 7．若，则的值为（     ） A．10 B．7 C． D． 8．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．小明骑自行车从家到学校的路程共，其中有的上坡路，的下坡路．若小明走上坡路的速度是，走下坡路的速度是，则他放学回家所用的时间比上学所用的时间多（     ）． A． B． C． D． 10．计算：（     ） A． B． C． D． 11．计算：_____． 12．化简：_______． 13．已知，则的值为_____． 14．某人用语音转文字的速度是手动录入文字速度的3倍，设他手动录入的速度为字，那么他语音录入字比手动录入少用_______．（结果化成最简形式） 15．若，则的值为__________． 16．先化简，再求值：，其中． 17．计算： (1)； (2)． 18．小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的分析． 先化简，再求值：，其中． 解：原式① ②． 当时，原式． 编辑 我的解答正确吗？ 19．已知：，． (1)化简； (2)若，试比较、的大小关系． 20．【问题的提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或者代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓的“作差法”，就是通过作差、变形，并利用差的符号确定两个数或者代数式的大小，即要比较代数式M，N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则． 【问题的解决】已知，，试比较M与N的大小关系． 解：又 ，即 【类比应用】 (1)问题1：试比较图中两个长方形的面积与的大小关系； (2)问题2：当时，试利用“作差法”比较与的大小； (3)问题3：小强、小明、小红三位同学分别拿了三条长度分别为a，b，c的绳子．其中，，，．小红思考了下说道：“我拿的绳子是最长的．”请问小红的说法正确吗？请说明 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 36 页 第 1 页 共 36 页 学科网（北京）股份有限公司 $