18.3 分式的加法与减法 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

18.3分式的加法与减法 学习目标导航 1、掌握法则：理解并掌握同分母与异分母分式的加减法法则，能熟练进行分式的加减运算。 2、混合运算：能进行分式的加、减、乘、除混合运算，严格遵守“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序。 3、灵活应用：在复杂的混合运算中，能灵活运用因式分解、通分等技巧简化计算过程。 洞悉◆教材知识 知识点01 分式的加减法运算 1. 分式的加减法运算法则： ①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．． ②异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 2. 具体步骤： 第一步：通分：将异分母分式转化为同分母分式。 第二步：加减：分母不变，分子相加减。 第三步：合并：分子去括号，然后合并同类项。 第四步：约分：分子分母进行约分，把结果化成最简分式。 分式的加减运算中，若出现有一部分是整式，则通常把整式部分看成一个整体。 知识点02 分式的混合运算 1. 分式的混合运算： 先算乘方，再算乘除，最后算加减；若有括号，则先算括号里面的；同级运算，按从左到右的顺序进行计算。 核心题型◆归纳 题型01 分式的加减运算 题型02 分式的混合运算 题型03 求分式运算中的未知部分 题型04 分式的化简求值 题型05 根据分式的运算结果为整式求值 题型06 利用分式的运算解决实际问题 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 分式的加减运算 【典例1】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2； （2）． 【解答】解：（1）原式 ＝2； （2）原式 【变式1】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）﹣x． 【解答】解：（1）原式 ； （2） ＝（x﹣y）﹣（2x﹣y） ＝﹣x． 题型02 分式的混合运算 【典例1】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）y； （2）． 【解答】解：（1）原式•• y； （2）原式• • • ． 【变式1】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 题型03 求分式运算中的未知部分 【典例1】【新考向】如图是某同学关于分式的运算过程，其中“”部分不小心被擦掉了，则被擦去的部分是（　　） （） ＝4+x A．x B．x+2 C．x﹣2 D．4﹣x2 【答案】B 【解答】解：根据题意得被擦去的部分为2+x． 故选：B． 【变式1】已知A为整式，计算的结果为，则A＝（　　） A．x2﹣y2 B．xy+y2 C．x2 D．x 【答案】D 【解答】解：∵， ∴， ∴A＝x． 故选：D． 题型04 分式的化简求值 【典例1】先化简，再求值：，其中a＝3． 【答案】，2． 【解答】解： • • ， 当a＝3时，原式2． 【变式1】先化简，再求值：，从﹣1、﹣2、﹣3中选一个合适的a代入求值． 【答案】；当a＝﹣1时，原式． 【解答】解： ； ∵a≠﹣2且a≠﹣3， ∴当a＝﹣1时，原式． 题型05 根据分式的运算结果为整式求值 【典例1】若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（　　） A．x﹣y B．x+y C．3x2 D． 【答案】C 【解答】解：“□”中的式子为x﹣y时， ，不是整式， 故A选项不合题意； “□”中的式子为x+y时， ，不是整式， 故B选项不合题意； “□”中的式子为3x2时， 3x+3y，是整式， 故C选项符合题意； “□”中的式子为时， ，不是整式， 故D选项符合题意． 故选：C． 【变式1】若 的运算结果为整式，则“〇”中的式子可能为（　　） A．a﹣b B．a+b C．ab D．a2﹣b2 【答案】C 【解答】解：A．（）•，是分式，不是整式，故本选项不符合题意； B．（）•，是分式，不是整式，故本选项不符合题意； C．（）•，是整式，故本选项符合题意； D．（）•，是分式，不是整式，故本选项不符合题意； 故选：C． 题型06 利用分式的运算解决实际问题 【典例1】小明家和小刚家到图书馆的路程都是3km，小明走的是平路，骑车的速度是2v（km/h）．小刚需要走1km的上坡路和2km的下坡路，在上坡路的骑车速度是v（km/h），在下坡路的骑车速度是3v（km/h）．如果他们同时出发，　小明　 先到图书馆． 【答案】小明． 【解答】解：∵小明走的是平路，骑车速度是2vkm/h， ∴他到达学校所需的时间是3÷2v， ∵小刚需要走1km上坡路和2km的下坡路，上坡路的骑车速度是vkm/h，下坡路的骑车速度是3vkm/h， ∴小刚到达学校所需的时间1÷v+2÷3v， ∵， ∴小明先到图书馆． 故答案为：小明． 【变式1】（1）已知b＞a＞0，分式的分子分母都加上1，说明所得分式的值是增大了还是减少了？ （2）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克，（m，n是正数，且m≠n）；甲每次购买800千克；乙每次用去800元，而不管购买多少饲料． ①甲、乙所购饲料的平均单价是多少元？ ②谁的购买方式平均单价较低？ 【答案】（1）说明所得分式的值是增大了； （2）①元/千克；元/千克； ②乙所购饲料的平均单价低． 【解答】解：（1） ， ∵b＞a＞0， ∴b2+b＞0，a﹣b＜0， ∴0， ∴说明所得分式的值是增大了； （2）①甲所购饲料的平均单价是：（元/千克）； 乙所购饲料的平均单价是：（元/千克）； ② ， ∵m，n是正数，且m≠n， ∴0， ∴， ∴乙所购饲料的平均单价低． ABC分层训练 1．计算 的结果等于（　　） A．2 B．x C．x+1 D． 【答案】A 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查了同分母分式的加法．利用分母不变，把分子相加，计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2．化简的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，直接根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 3．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查分式加减乘除混合运算，熟练掌握该知识点是解题关键．根据分式加减乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： 故选：B． 4．试卷上一个正确的式子被小明同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分⋆处的代数式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的除法计算可得答案． 【详解】解：由， 得， 即， ∴， 故选：B． 5．化简的结果是_________． 【答案】2 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查了同分母分式的减法运算规则．熟练掌握同分母分式的减法运算规则是解题的关键． 因为这两个分式的分母相同，根据同分母分式的减法法则，分母不变，分子相减，得到，观察分子可以提取公因式2，即，最后化简得． 【详解】解： ， 故答案为：2． 6．计算：____． 【答案】 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查分式的加减，先将分母化为相同的，再根据同分母分式的加减法法则（分母不变，分子相加减）进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．化简：___________． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查分式的混合运算，先计算括号内的分式的减法，再将除法转化为乘法，结合因式分解和分式的性质化简原式即可． 【详解】 ． 故答案为：． 8．若，且，则的值为______． 【答案】2 【知识点】分式化简求值、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的通分与化简、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先化简式子，然后根据条件式计算即可． 【详解】解： ， ∵，且， ∴， ∴原式 ． 故答案为：2 ． 9．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查分式的加减运算，注意符号变化． （1）先通分，再加减，最后约分； （2）先通分，再加减，最后约分； （3）先因式分解，再通分，然后加减，最后通过因式分解约分． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 10．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的化简求值、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先对分式化简，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 11．化简的结果是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题主要考查了同分母分式加减法，熟练掌握同分母分式加减法法则是解题的关键． 根据同分母分式的加减法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 12．计算的结果为（　　） A．1 B． C．-1 D． 【答案】B 【知识点】同分母分式加减法 【分析】此题主要考查了分式的加减运算．首先进行通分运算，进而计算得出答案． 【详解】解： ． 故选：B． 13．已知，表示整式，则是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的减法运算，根据分式的减法运算法则计算即可，掌握分式的减法运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 14．已知为整数，且为正整数，则所有符合条件的的值的和为（    ） A．12 B．10 C．6 D．4 【答案】B 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算和化简，乘法公式等知识点，解题的关键是熟练掌握公式法因式分解和分式的约分． 利用分式混合运算法则对原式进行化简，根据要求知道分子是分母的正整数倍，得出符合题意的的值． 【详解】解： ∵为正整数，且为整数， ∴或， ∴的取值为6，4， 则所有符合条件的的值的和为， 故选：B． 15．计算的结果是______． 【答案】/ 【知识点】运用完全平方公式进行运算、同分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的同分母加减法，先整理原式得，再运算减法，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 16．计算：______. 【答案】 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的减法．先通分再约分即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 17．化简：________． 【答案】/ 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内计算，再计算除法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 18．已知，则______． 【答案】/0.8 【知识点】分式化简求值、分式加减乘除混合运算 【分析】先根据题意得出，再代入代数式进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解：， ， 原式 故答案为： 19．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】异分母分式加减法、整式与分式相加减 【分析】本题考查分式的化简，异分母化简时要注意通分，上下要同时乘以同一个代数式． （1）先通分，再加减合并； （2）先因式分解，再约分，最后加减； （3）先因式分解，再通分，最后加减合并． 【详解】（1） （2） （3） 20．， (1)化简分式； (2)在范围内任选一个适当的整数求A的值． 【答案】(1) (2)当时，；当时，． 【知识点】分式有意义的条件、分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式有意义的条件、代数式求值等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）直接运用分式的混合运算法则求解即可； （2）选择使分式有意义且在范围内的一个x的值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴当或2或时，分式无意义， ∴当时，或当时，． 21．数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若，则；若，则；若，则． (1)若，试比较与的大小，并说明理由； (2)某水果店用相同重量的包装盒包装了两款苹果礼盒，售价如表： 连盒重量 售价 甲款礼盒 50元 乙款礼盒 100元 请判断哪款礼盒的苹果单价更合算？并说明理由． 【答案】(1) (2)乙款礼盒的苹果单价更合算，理由见解析 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式加减的实际应用 【分析】本题考查了不等式： （1）用“作差法”来比较两个式子的大小即可； （2）分别计算甲和乙的单价再用“作差法”比较即可． 【详解】（1）解： （2）乙款礼盒的苹果单价更合算． 设包装盒的重量为 甲款礼盒的苹果单价：（元/千克） 乙款礼盒的苹果单价：（元/千克） 即： 答：乙款礼盒的苹果单价更合算． 22．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝________； (3)应用：先化简，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？ 【答案】(1)①③④ (2) (3)， 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，逐一进行判断即可； （2）根据新定义，进行计算即可； （3）除法变乘法，约分化简后，进行加减运算，再根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：；故①是和谐分式； 不能化成一个整式与一个分子为常数的分式；故②不是和谐分式； ；故③是和谐分式； ；故④是和谐分式； 故答案为：①③④ （2）； 故答案为：； （3）原式 ； ∵， ∴当时，分式的值为整数， ∴， ∵时，分式无意义， ∴当时，分式的值为整数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.3分式的加法与减法 学习目标导航 1、掌握法则：理解并掌握同分母与异分母分式的加减法法则，能熟练进行分式的加减运算。 2、混合运算：能进行分式的加、减、乘、除混合运算，严格遵守“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序。 3、灵活应用：在复杂的混合运算中，能灵活运用因式分解、通分等技巧简化计算过程。 洞悉◆教材知识 知识点01 分式的加减法运算 1. 分式的加减法运算法则： ①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．． ②异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 2. 具体步骤： 第一步：通分：将异分母分式转化为同分母分式。 第二步：加减：分母不变，分子相加减。 第三步：合并：分子去括号，然后合并同类项。 第四步：约分：分子分母进行约分，把结果化成最简分式。 分式的加减运算中，若出现有一部分是整式，则通常把整式部分看成一个整体。 知识点02 分式的混合运算 1. 分式的混合运算： 先算乘方，再算乘除，最后算加减；若有括号，则先算括号里面的；同级运算，按从左到右的顺序进行计算。 核心题型◆归纳 题型01 分式的加减运算 题型02 分式的混合运算 题型03 求分式运算中的未知部分 题型04 分式的化简求值 题型05 根据分式的运算结果为整式求值 题型06 利用分式的运算解决实际问题 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 分式的加减运算 【典例1】计算： （1）； （2）． 【变式1】计算： （1）； （2）． 题型02 分式的混合运算 【典例1】计算： （1）； （2）． 【变式1】计算： （1）； （2）． 题型03 求分式运算中的未知部分 【典例1】【新考向】如图是某同学关于分式的运算过程，其中“”部分不小心被擦掉了，则被擦去的部分是（　　） （） ＝4+x A．x B．x+2 C．x﹣2 D．4﹣x2 【变式1】已知A为整式，计算的结果为，则A＝（　　） A．x2﹣y2 B．xy+y2 C．x2 D．x 题型04 分式的化简求值 【典例1】先化简，再求值：，其中a＝3． 【变式1】先化简，再求值：，从﹣1、﹣2、﹣3中选一个合适的a代入求值． 题型05 根据分式的运算结果为整式求值 【典例1】若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（　　） A．x﹣y B．x+y C．3x2 D． 【变式1】若 的运算结果为整式，则“〇”中的式子可能为（　　） A．a﹣b B．a+b C．ab D．a2﹣b2 题型06 利用分式的运算解决实际问题 【典例1】小明家和小刚家到图书馆的路程都是3km，小明走的是平路，骑车的速度是2v（km/h）．小刚需要走1km的上坡路和2km的下坡路，在上坡路的骑车速度是v（km/h），在下坡路的骑车速度是3v（km/h）．如果他们同时出发，　 　 先到图书馆． 【变式1】（1）已知b＞a＞0，分式的分子分母都加上1，说明所得分式的值是增大了还是减少了？ （2）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克，（m，n是正数，且m≠n）；甲每次购买800千克；乙每次用去800元，而不管购买多少饲料． ①甲、乙所购饲料的平均单价是多少元？ ②谁的购买方式平均单价较低？ ABC分层训练 1．计算 的结果等于（　　） A．2 B．x C．x+1 D． 2．化简的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 4．试卷上一个正确的式子被小明同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分⋆处的代数式为（ ） A． B． C． D． 5．化简的结果是_________． 6．计算：____． 7．化简：___________． 8．若，且，则的值为______． 9．计算： (1)； (2)； (3)． 10．先化简，再求值：，其中． 11．化简的结果是（   ） A．0 B．1 C． D． 12．计算的结果为（　　） A．1 B． C．-1 D． 13．已知，表示整式，则是（　　） A． B． C． D． 14．已知为整数，且为正整数，则所有符合条件的的值的和为（    ） A．12 B．10 C．6 D．4 15．计算的结果是______． 16．计算：______. 17．化简：________． 18．已知，则______． 19．计算： (1)； (2)； (3)． 20．， (1)化简分式； (2)在范围内任选一个适当的整数求A的值． 21．数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若，则；若，则；若，则． (1)若，试比较与的大小，并说明理由； (2)某水果店用相同重量的包装盒包装了两款苹果礼盒，售价如表： 连盒重量 售价 甲款礼盒 50元 乙款礼盒 100元 请判断哪款礼盒的苹果单价更合算？并说明理由． 22．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝________； (3)应用：先化简，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $