18.4 整数指数幂 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦整数指数幂，含负整数指数幂定义、运算性质及绝对值小于1的数的科学记数法。通过回顾正整数指数幂、0指数幂及较大数科学记数法导入，搭建新旧知识支架，引导学生自然衔接。 特色是问题驱动与实例应用结合，从分式约分和性质推广让学生自主探究负整数指数幂定义，培养推理意识，用碳纳米管直径计算等实例落实应用意识，精简运算性质提升抽象能力，助力学生知识迁移，为教师提供清晰教学路径与实践素材。

18.4 整数指数幂 第1课时 负整数指数幂 课题 整数指数幂 课型 新授课 教学内容 教材第158-161页的内容 教学目标 1. 理解负整数指数幂的定义：a－n＝（a≠0，n是正整数）. 2. 掌握整数指数幂的运算性质. 教学重难点 教学重点：负整数指数幂的定义，整数指数幂的运算性质. 教学难点：整数指数幂的运算性质的探索. 教学活动 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入新课 我们知道，当n是正整数时，n个 正整数指数幂有以下运算性质： （1） （m，n是正整数）； （2） （m，n是正整数）； （3） （n是正整数）； （4） （a≠0，m，n是正整数，m>n）； （5） （n是正整数）. 其中，第（5）个性质就是分式的乘方法则. 此外，我们还学习过0指数幂，即当a≠0时，a0=1. 2.发现探究，学习新知 【问题1】am中指数m可以是负整数吗?如果可以，那么负整数指数幂am表示什么? 【师生活动】教师引导学生进行探索，学生填空： 由分式的约分可知，当a≠0时， = .① 另一方面，如果把正整数指数幂的运算性质(4)（a≠0，m，n是正整数，m>n）中的条件m>n去掉，即假设这个性质对于像的情形也能使用，则有= = .② 由①②两式，我们想到如果规定(a≠0)，就能使这条性质也适用于像这样的情形. 【追问】为使适用于m≤n的情况，你能将上述这一条结论进一步推广吗？ 【学生活动】学生通过讨论得出：如果，那么就适用于m≤n的情况. 【教师活动】教师给出下列数学中的规定：一般地，当n是正整数时，.这就是说，是的倒数. 【追问】引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到全体整数.你现在能说出当m分别是正整数、0、负整数时,am各表示什么意思吗？ 【学生活动】学生分组讨论，得出结论：当m>0时，am表示m个a相乘； 设a≠0，则am=1（m=0）；. 【教师活动】教师强调：引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到到全体整数. 【问题2】引入负整数指数和0指数后，（m，n是正整数）这条性质能否推广到m，n是任意整数的情形？ 【师生活动】教师引导学生从特殊情况入手进行研究： ，即； ，即； ，即. 【教师活动】教师归纳：一般地，这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用. 【追问】类似地，请用负整数指数幂或0指数幂对于其他四个正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用. 【学生活动】学生仿照上述探究过程自行验证. 【教师活动】教师总结：事实上，随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，前面提到的运算性质也推广到整数指数幂. 【问题3】我们知道，由前面的探究我们还可以知道，由此你能得到什么结论呢？ 【学生活动】学生根据等量代换可以得到：，即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法． 【教师活动】教师进一步引导：特别地，，所以，即商的乘方可以转化为积的乘方. 这样，整数指数幂的运算性质可以归结为: （1） （m，n是整数）； （2） （m，n是整数）； （3） （n是整数）. 3.学以致用，应用新知 【例】计算： （1）a－2÷a5； （2）（）－2； （3）（a－1b2）3； （4）a－2b2·（a2b－2）－3. 解：（1）a－2÷a5＝a－2－5＝a－7＝. （2）（）－2＝＝＝. （3）（a－1b2）3＝（a－1）3（b2）3＝a－3b6＝. （4）a－2b2·（a2b－2）－3＝a－2b2·（a2）－3（b－2）－3＝a－2b2·a－6b6＝a－8b8＝. 4.随堂训练，巩固新知 （1） 计算：（）－2＋（2－π）0＝ . 答案：10 （2）已知：10m＝5，10n＝4.求102m－3n的值. 解：102m－3n＝102m·10－3n＝＝＝. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.负整数指数幂与正整数指数幂的关系是什么？ 3.请叙述整数指数幂的运算性质？ 6.布置作业 教材P161练习1,2，教材P163习题18.4第1-7题，教材P172复习题18第3（2），7题. 回顾梳理正整数指数幂的运算性质，为进一步研究负整数指数幂做好铺垫，引起学生的兴趣. 对特例的研究得到，通过具体实例进行探索，让学生更好理解负整数指数幂的定义. 从特殊到一般，确定负整数指数幂的定义，让学生体会数学研究的规律方法. 对前面的的探究做出总结，使学生形成体系，为接下来探究整数指数幂的性质做好准备. 根据负整数指数幂的定义，将指数幂的除法和分式的乘法进行变形，使整数指数幂的性质更为精简. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括整数指数幂的运算. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 负整数指数幂 1.负整数指数幂： 当n是正整数时，.这就是说， 是的倒数. 2.整数指数幂的性质：（m，n是任意整数）. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 第2课时 用科学记数法表示绝对值小于1的数 课题 用科学记数法表示绝对值小于1的数 课型 新授课 教学内容 教材第161-162页的内容 教学目标 1. 能用科学记数法表示绝对值小于1的数. 2. 会进行包含用科学记数法表示的数的简单运算. 教学重难点 教学重点：用科学记数法表示小于1的正数. 教学难点：用科学记数法表示的数的简单计算. 教学活动 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入新课 我们已经知道，一些较大的数适合用科学记数法表示.例如，光速约为3×108m/s，太阳半径约为6.96×105 km，2024年世界人口数约为6.9×109等. 【问题1】前面的例子中108，105，109都是正整数指数幂，上节课我们学习了负整数指数幂，填空： 10-8= = 0.000 000 01 ， 10-5= = 0.000 01 ， 10-9= = 0.000 000 001 . 2.发现探究，学习新知 【追问】前面的负整数指数幂10-n对应小数中小数点后到1前面的0的个数是多少？ 【学生活动】学生经观察回答：n-1. 【追问】请根据上述结论填空： 0.000 01=10（ -5 ），0.001=10（ -3 ）； 0.000 025 7=（ 2.57 ）×0.000 01=（ 2.57 ）×10（ -5 ）， 0.000 000 025 7=（ 2.57 ）×0.000 000 01=（ 2.57 ）×10（-8）. 【师生活动】学生填空，教师指出： 一般地，小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式，其中 l≤a<10，n是正整数.这种形式更便于比较数的大小和运算，例如2.57×10-5显然大于2.57×10-8，前者是后者的103倍. 【追问】对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是多少？如果有m个0呢？ 【学生活动】学生根据上一问得出结论：如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是-9；如果有m个0，那么10的指数是-（n+1）. 3.学以致用，应用新知 【例】碳纳米管是一种前沿纳米材料，有很多神奇的特性.它是由呈六边形排列的碳原子构成的单层或多层的同轴圆管，其直径一般为2~20 nm.通常一根头发丝的直径大约为70 µm，一根头发丝的直径大约是碳纳米管直径的多少倍？ 解：70 µm＝7×10－6 m，2 nm＝2×10－9 m，20 nm＝20×10－9 m. （70×10－6）÷（2×10－9）＝3.5×104. （70×10－6）÷（20×10－9）＝3.5×103. 因此，一根头发丝的直径是碳纳米管直径的3.5×103~3.5×104倍. 4.随堂训练，巩固新知 （1）用科学记数法表示下列各数： ①0.000 011； ②0.002 ；③0.000 000 789； ④0. 000 010 1. 解：①1.1×10－5. ②2×10－3. ③7.89×10－7. ④1.01×10－5. （2）某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164 cm2，0.00000164用科学记数法可表示为（　　） A.1.64×10-5 B. 1.64×10-6 C.16.4×10-7 D. 0.164×10-5 答案：B （3）月球体积约为2.2×1010立方米，月球体积是地球体积的2×10－2倍，求地球的体积约为多少立方米． 解：(2.2×1010)÷(2×10－2)＝1.1×1012(立方米)． 因此，地球的体积约为1.1×1012立方米． 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.小于1的正小数的小数点后至第一个非0数字前0的个数与用科学记数法表示这个数时10的指数之间有什么关系？ 6.布置作业 教材P162练习1,2，教材P162习题18.4第4,5,8题. 通过较大的数的科学计数法表示引入课题，建立前后知识的联系，激发学生的好奇心和求知欲. 初步探究探究10的指数与小数点后0的个数之间的关系.进而一步步探究小于1的正数用科学记数法表示的方法规律. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括用科学记数法表示绝对值小于1的数，用科学记数法表示的数的运算. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 用科学记数法表示绝对值小于1的数 小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式，其中 l≤a<10，n是正整数. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $