专题18.5 分式方程 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学分式方程核心知识点，系统梳理分式方程的定义（分母含未知数）、解法（转化整式方程、去分母、验根）及实际应用（行程、工程、经济利润等），构建从概念理解到解法掌握再到实际应用的递进式学习支架。 该资料亮点在于题型丰富（10类题型含例题与变式），注重易错点（如增根与无解的区别）分析，通过探究式学习（如增根问题探究）培养抽象能力和推理意识，实际应用题助力学生用数学语言表达现实世界，课后检测与复盘笔记帮助查漏补缺，提升应用意识与学习效果。

简一数理 初中专题讲义 专题18.5 分式方程 （新教材人教版） 知识点一、分式方程 2 知识点二、分式方程的解法 2 知识点三、分式方程的实际应用 3 【题型1 分式方程的定义】 3 【题型2 解分式方程（化为一元一次）】 4 【题型3 根据分式方程解的情况求值】 6 【题型4 分式方程无解问题】 8 【题型5 列分式方程】 10 【题型6 分式方程的行程问题】 11 【题型7 分式方程的工程问题】 13 【题型8 分式方程的经济利润问题】 14 【题型9 分式方程的和差倍分问题】 16 【题型10 分式方程的其他问题】 18 【探究式学习】 20 【课后检测】 23 【复盘笔记】 32 知识点一、分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 知识点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 知识点三、分式方程的实际应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 【题型1 分式方程的定义】 【例1】下列方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义判断即可，分式方程定义为分母中含有未知数的方程，据此可得出正确结果． 【详解】解：选项A：的分母是常数，不含未知数，是整式方程，不符合题意； 选项B：的分母为未知数，符合分式方程的定义，符合题意； 选项C：中所有分母都不含未知数，是整式方程，不符合题意； 选项D： 中，分母和都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合题意． 【变式1-1】下列关于x的方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A.是一元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求； B.分母中含有未知数，是分式方程，符合要求； C.分母为常数和，不含未知数，是一元一次整式方程，不符合要求； D.是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求． 【变式1-2】下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A ，分母是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求； 选项B，不是等式，不是方程，不符合要求； 选项C，分母都是常数，是整式方程，不符合要求； 选项D ，是等式，且分母都含有未知数，符合分式方程的定义． 【变式1-3】下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”逐一判断选项． 【详解】解：A选项：分母含未知数t，是分式方程； B选项：分母含未知数x，是分式方程； C选项：分母含未知数x，是分式方程； D选项：所有分母中均不含未知数，不是分式方程； 【题型2 解分式方程（化为一元一次）】 【例2】小明解分式方程的过程如下． 解：去分母，得．① 去括号，得．② 移项、合并同类项，得．③ 系数化为1，得．④ 以上步骤中，开始出错的一步是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【详解】解：∵ ， ∴ 去分母得，步骤①正确. ∵ 去括号得， ∴ 所得结果与步骤②不符，步骤②为首次出错的步骤. 【变式2-1】已知关于的分式方程的增根是，则的值为（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程计算的值． 【详解】解：方程两边同乘，得， ∵分式方程的增根为， ∴将代入整式方程，得， 计算得． 【变式2-2】分式方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 【变式2-3】若关于x的分式方程有增根，则常数k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由分式方程有增根得增根为，将分式方程化为整式方程后代入增根求解的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴最简公分母， 即． 原方程变形为， 去分母得， 将代入得， 解得． 【题型3 根据分式方程解的情况求值】 【例3】若关于x的方程有增根，则m的值是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】原方程去分母得到，将增根代入得到关于m的方程，然后解方程即可求解． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴，即． 方程两边同乘，得． 将代入上式，得，解得． 【变式3-1】定义运算：对于任意实数、、，有．若关于的分式方程有增根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据新定义运算将原方程转化为常规分式方程，再利用增根的性质求解的值． 【详解】解：根据新定义运算，原方程可化为． 整理得． 两边同乘去分母，得． 分式方程有增根， ，即． 将代入整式方程，得． 解得． 【变式3-2】若关于的方程的解为正数，关于的不等式组有解，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】分别求解分式方程与不等式组，结合方程解为正数、分母不为0及不等式组有解的条件，综合得到a的取值范围. 【详解】解：解方程， 整理得， 去分母得， 解得 ∵方程的解为正数，且分母不为0， ∴且， 解得且 解不等式组， 解得， 解得 ∵不等式组有解， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 【变式3-3】关于的分式方程，下列说法正确的是（     ） A．方程的解是 B．当时，方程的解是正数 C．当时，方程的解为负数 D．当时，方程无解 【答案】B 【分析】先解分式方程，结合分式分母不为零的隐含条件，得到方程有解的条件，再逐一判定各选项即可． 【详解】解：对去分母，得， 解得分式方程分母不能为，因此，即，只有时方程才有解； 对各选项逐一判定：A选项：没有说明，当时方程无解，因此A错误； B选项：当时，，且，方程有解且解为正数，因此B正确； C选项：当时，若方程无解，不满足解为负数，因此C错误； D选项：当时，，代入原方程得，等式成立，方程有解，因此D错误． 【题型4 分式方程无解问题】 【例4】若分式方程无解，则a的值是（     ） A．1或0 B．或0 C．或2 D．1或 【答案】D 【分析】先将分式方程转化为整式方程，再从整式方程无解和整式方程有解，但该解让原分式方程的最简公分母为零两种情况讨论． 【详解】解：对于方程， 两边同乘，得， 整理得． 当，即时，整式方程无解，故原分式方程无解． 当时，． ∵原分式方程无解， ∴当时，，即，解得． 综上，的值为或． 【变式4-1】若关于的方程有增根，则的值应为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解分式方程，再得出分式方程的增根，则可得一个关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵关于的方程有增根， ∴，即， ∴， 解得． 【变式4-2】若关于x的分式方程无解，则m的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分式方程无解包含两种情况，一是去分母后的整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，本题先将分式方程化为整式方程，再结合无解的条件计算的值． 【详解】解：方程两边同乘得， 解得， ，是整式方程，始终有解， ∴当或时，原方程分母为零，无解． 令，则，解得； 令，则，解得． ∴或时，原方程无解． 【变式4-3】关于x的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式方程无解包括去分母后的整式方程无解或整式方程的解为增根两种情况，本题去分母后的整式方程有解，故无解说明方程存在增根，增根是使原分式方程的最简公分母为0的未知数的值，先确定增根为，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：，即 方程两边同乘最简公分母，去分母得： 整理得：， 即 ∵原分式方程无解， ∴方程的解为增根，满足分母，即增根为 令 解得． 【题型5 列分式方程】 【例5】张老师去书店购买图书，他先用108元买了一种史学书若干本，又用150元买了一种哲学书若干本．已知所买史学书的单价是哲学书单价的1.2倍，张老师所买史学书比哲学书少2本．设这种哲学书的单价为元，根据题意可列分式方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设哲学书单价为元，则史学书单价为元，根据“史学书比哲学书少2本”列方程即可． 【详解】解：哲学书单价为元，则史学书单价为元．哲学书的购买数量为本，史学书的购买数量为本． ∵史学书比哲学书少2本， ∴． 【变式5-1】津潍高铁2027年通车后，东营正式融入首都“2小时经济圈”．由东营南站到北京南站，高铁线路总长约，自驾线路总长约，预计乘坐高铁比自驾少用．已知高铁列车的平均速度约是自驾平均速度的3倍．设自驾的平均速度为，依题意所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出高铁列车的平均速度，再根据预计乘坐高铁比自驾少用列出方程即可． 【详解】解：设自驾的平均速度为，则高铁列车的平均速度为 由题意，可列方程为． 【变式5-2】一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等．设江水的流速为，根据题意，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需先求出顺流、逆流的实际航速，再根据时间相等的等量关系列方程． 【详解】解：顺流航速为，逆流航速为， ∵顺流航行与逆流航行所用时间相等， ∴可列方程． 【变式5-3】掀起了“人工智能+”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以总工作量为单位，结合两模型的时间关系与合作完工条件列出分式方程即可得出答案． 【详解】解：∵设单独处理需要小时，单独处理时间比少3小时， ∴单独处理需要小时， 将总工作量看作单位1，则的工作效率为，的工作效率为， ∵两模型合作2小时完成全部工作， ∴，整理得． 【题型6 分式方程的行程问题】 【例6】为缅怀革命先烈，传承红色精神，合肥经济技术开发区某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的大蜀山烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设骑车的速度为，则汽车速度为，且， 根据题意得． 【变式6-1】我国古代数学著作《九章算术》中记载“驿马传信”问题，其大意为：今有文书递送，相距900里．慢马送达比限定天数多1天，快马送达比限定天数少3天，已知快马日行路程是慢马的2倍．若所列方程为，则该方程中的未知数表示（     ） A．限定天数 B．快马所需天数 C．慢马所需天数 D．慢马比快马多用天数 【答案】A 【分析】由快、慢马的速度间的关系，结合所列的方程，可得出表示慢马的速度，表示快马的速度，结合快、慢马所需的时间与限定天数之间的关系，可得出未知数表示限定天数． 【详解】解：∵所列方程为， ∴由题意可得，表示慢马的速度，表示快马的速度， ∴表示慢马所用天数，表示快马所用天数， ∴表示限定天数． 【变式6-2】货车要从仓库运送一批新鲜蔬菜到市区，仓库到市区的路程为120千米．如果用普通货车运送，比预定时间晚2小时到达；如果用高速货车运送，比预定时间早1小时到达．已知高速货车的速度是普通货车的2倍．设预定时间为小时，则可列分式方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据预定时间表示出两种货车的行驶时间，结合速度公式得到两车速度，再根据高速货车速度是普通货车速度2倍的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵预定时间为小时，普通货车比预定时间晚小时到达， ∴普通货车的行驶时间为小时，可得普通货车速度为千米/时． ∵高速货车比预定时间早小时到达， ∴高速货车的行驶时间为小时，可得高速货车速度为千米/时． ∵高速货车的速度是普通货车的倍， ∴可列方程． 【变式6-3】近年来，为大力发展交通，城市内建成多条快速通道．小张从家到单位有两条路线可选，路线为全程的普通路线，路线包含快速通道，全程，走路线比路线平均速度提高，时间节省，求走路线和路线的平均速度分别是多少？设走路线的平均速度为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设走路线的平均速度为，可得到路线的平均速度，再根据“走路线比路线时间节省分钟”的等量关系，统一单位后即可列出对应方程． 【详解】解：设走路线的平均速度为，则走路线的平均速度为， 由题意得，． 【题型7 分式方程的工程问题】 【例7】在创建“省文明城市”的活动中，市园林公司加大了对市区主干道两旁种植“景观树”的力度，平均每天比原计划多植5棵，现在植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同，若设现在平均每天植树x棵，则由题意可列出方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以植树时间相等为等量关系，先表示原计划每天植树棵数，再分别表示两种情况的植树时间列方程． 【详解】解：设现在平均每天植树x棵，则原计划平均每天植树棵， 根据题意，列方程为． 【变式7-1】2026年11月峰会将在深圳举行，筹备组需为志愿者分装3000份服务物资包．现计划每天分装x份，可按期完成；实际采用了流水线分装模式，效率提升了，最终提前2天完成了全部分装任务，由题可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找到等量关系，列出分式方程． 【详解】解：计划每天分装份，计划完成时间为天， 实际效率提升，则实际每天分装份，实际完成时间为天， ∵实际提前2天完成， ∴． 【变式7-2】某生产队承接了240亩地的复合种植任务，为了完成任务，引入新型机械种植，实际工作效率比原来提高了，结果提前3天完成任务．设原计划每天种植的面积为x亩地，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以“提前3天完成”为等量关系，分别表示原计划和实际的工作时间即可列方程． 【详解】解：设原计划每天种植的面积为亩，则实际每天种植的面积为亩. 原计划工作时间为天， 实际工作时间为天， 根据题意可得． 【变式7-3】甲、乙两人加工一批零件，甲完成个与乙完成个所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成个．设甲每天完成个零件，根据题意，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设甲每天完成个零件，根据“甲完成个与乙完成个所用的时间相同”列出分式方程即可． 【详解】解：设甲每天完成个零件，则乙每天完成个，由题意，得 ． 【题型8 分式方程的经济利润问题】 【例8】某班准备用42元钱到商场去购买笔记本，经过还价，每本便宜0.5元，结果比价多买了2本，求原价每本多少元？设原价每本元，则可列出方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以还价后比原价多买2本为等量关系，分别表示两种单价下的购买数量列方程 【详解】解：设原价每本元，则还价后每本元，原价购买数量为本，还价后购买数量为本， ∵还价后比原价多买2本， ∴． 【变式8-1】习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“套数总价单价”，结合“第二批购买的套数比第一批少4套”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，第二批八折销售， ∴第二批每套的价格为元， ∴第一批购买的套数为，第二批购买的套数为， 又∵第二批购买的套数比第一批少4套， ∴，因此正确选项为B． 【变式8-2】某校为数学社团在同一商家采购数独九宫格盘，第一次用1400元买了若干套，第二次用1500元购买同款数独九宫格盘，…，求第一次购买了多少套？同学们根据题意，设第一次购买了套，列得方程，则题目省略部分的文字为（     ） A．每套比上次降价5元，多买了10套 B．每套比上次降价5元，少买了10套 C．每套比上次涨价5元，少买了10套 D．每套比上次涨价5元，多买了10套 【答案】A 【分析】根据分式方程各部分的实际意义，分别分析两次购买的数量关系和单价关系，即可推出省略部分的条件． 【详解】解：设第一次购买了套，方程中第二次购买的数量为套， 第二次购买数量比第一次多套，即多买了套， 是第一次购买的单价，是第二次购买的单价，方程为， 第一次单价比第二次单价多元，即第二次每套比第一次降价元， 因此省略部分的文字为“每套比上次降价元，多买了套”． 【变式8-3】某校为落实“每天一节体育课”政策，计划用3600元采购一批篮球，实际购买时，发现篮球单价降低了10%，因此实际比计划多购了6个篮球．设篮球原单价为x元，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用“数量总价单价”，分别表示原计划和实际购买的篮球数量，再根据实际比计划多买6个的等量关系列方程. 【详解】解：∵ 篮球原单价为元，总采购费用为元 ， ∴ 原计划购买篮球的数量为 个 ， ∵ 实际单价降低了， ∴ 实际单价为 元，实际购买篮球的数量为 个， ∵ 实际比计划多购了个篮球， ∴ . 【题型9 分式方程的和差倍分问题】 【例9】有一个“分钱问题”是这样的：一组人平分235元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分550元钱，则第二次每人所得的钱比第一次多3元．设第一次分钱的人数为人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“第二次每人所得比第一次多3元”的等量关系，用含的式子表示两次人均分钱数即可列方程． 【详解】解：因为第一次人平分235元钱，所以第一次每人分得元；又因为第二次人平分550元钱，所以第二次每人分得元， ∵第二次每人所得比第一次多3元， ∴可列方程． 【变式9-1】古代算书中记载了这样一个问题，大意是：现有商人贩布，若每匹布降价3钱，则用48钱买到布的数量，是用48钱按原价购买数量的2倍．问每匹布原价多少钱？若设每匹布原价钱，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量总价单价，分别表示出降价后和按原价购买布的数量，再根据题目给出的倍数关系列出方程即可． 【详解】解：设每匹布原价为钱，则降价后每匹布的价格为钱， 降价后用48钱买到布的数量为，原价用48钱买到布的数量为． 降价后买到布的数量是原价购买数量的倍， 可列方程为． 【变式9-2】某古籍修复中心用桑皮纸与普通宣纸封存古籍和吸附书页的潮气．已知一张桑皮纸的吸湿量是一张普通宣纸吸湿量的3倍少，吸附潮气所需桑皮纸的张数与吸附潮气所需普通宣纸的张数相同．设一张普通宣纸的吸湿量为，根据题意所列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意表示出一张桑皮纸的吸湿量，再利用张数总吸湿量单张吸湿量，结合两种纸张数相等的等量关系，列出方程即可． 【详解】解：∵设一张普通宣纸的吸湿量为， ∴一张桑皮纸的吸湿量为， ∵张数等于总吸湿量除以单张吸湿量，且题目中两种纸的张数相同， ∴吸附潮气的桑皮纸张数为，吸附潮气的普通宣纸张数为， 因此可得方程． 【变式9-3】科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同．设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列分式方程解决实际问题，解题思路是先根据题意表示出一片银杏树叶的平均滞尘量，再根据“片数=总滞尘量÷单片滞尘量”，结合两种树叶的片数相等列出方程． 【详解】解：∵设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，一片银杏树叶一年的平均滞尘量比国槐的2倍少， ∴一片银杏树叶一年的平均滞尘量为． ∵一年滞尘所需的银杏树叶的片数为，一年滞尘所需的国槐树叶的片数为，且两种树叶的片数相同， ∴可列方程：． 【题型10 分式方程的其他问题】 【例10】古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固．工匠们制作了一种特定的榫卯结构，该结构中，一个榫需要的木材比一个卯需要的木材多1千克．已知用35千克木材制作的该种榫的数量与用30千克木材制作该种卯的数量相同．设制作1个这样的榫需要木材千克，根据题意，得（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设制作个榫需要木材千克，则制作个卯需要木材千克，根据用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同，列出方程即可 ． 【详解】解：设制作个榫需要木材千克， ∵一个榫需要的木材比一个卯需要的木材多千克， ∴制作个卯需要木材千克， ∵用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同， ∴列方程为． 【变式10-1】一容器内盛有盐水，其中含盐，通过一系列的实验操作，将该容器内盐水的浓度提高到原来的倍．小丽根据这一情境中的数量关系列出方程，则未知数表示的是（     ） A．加入的水量 B．减少的水量 C．加入的盐量 D．减少的盐量 【答案】B 【分析】根据盐水浓度公式：，分析方程中分子和分母的含义，确定盐的质量和总质量的变化，即可得到的实际意义． 【详解】解：∵原来盐水浓度为，题目要求新浓度为原来的倍，方程左边对应新浓度，观察方程右边，分子仍为，和原来盐的质量相等， ∴盐的质量没有变化，排除C，D； ∵新盐水总质量为，比原总质量减少了，且盐的质量不变， ∴减少的部分为水，即表示减少的水量． 【变式10-2】某AI公司租用云服务器进行模型训练，租用A、B两种型号的GPU实例（图形处理器）．A、B两种实例每小时的租用费用之和为100元，且两种实例的总租赁费用相同，均为12800元．已知“_________”，设A实例每小时的租用费用为元，则可列方程．根据此情境，题中“________”表示的缺失条件可以是（     ） A．A实例每小时的租赁费用是B实例每小时的租赁费用的两倍 B．B实例每小时的租赁费用是A实例每小时的租赁费用的两倍 C．A实例的租赁时间是B实例的租赁时间的两倍 D．B实例的租赁时间是A实例的租赁时间的两倍 【答案】C 【分析】先明确两个分式的实际意义，再根据给出的方程推导数量关系，即可得到缺失条件． 【详解】解：∵设A实例每小时的租赁费用为元，A、B两种实例每小时的租赁费用之和为100元， ∴B实例每小时的租赁费用为元 ∵两种实例的总租赁费用均为12800元， ∴表示A实例的租赁时间，表示B实例的租赁时间 已知方程为，即A实例的租赁时间是B实例租赁时间的两倍， 因此缺失条件为：A实例的租赁时间是B实例的租赁时间的两倍． 【变式10-3】为提升配送效率，某快递公司引入两款无人机开展业务测试.甲款无人机配送150件包裹，与乙款无人机配送120件包裹所用的总时间相同（每件包裹大小、重量一样），已知甲款无人机平均每小时比乙款无人机多配送10件包裹，求甲、乙两款无人机平均每小时各配送多少件包裹，若小明列出的方程为：，则小明设的代表的是（     ） A．甲款无人机配送150件包裹所用的时间 B．乙款无人机配送120件包裹所用的时间 C．甲款无人机平均每小时配送的包裹件数 D．乙款无人机平均每小时配送的包裹件数 【答案】D 【详解】∵公式，题干给出甲配送150件与乙配送120件所用时间相等， 因此方程等式两边分别对应二者的工作时间. ∵已知甲款无人机平均每小时比乙款多配送10件，方程分母分别为和， ∴是甲平均每小时配送的包裹件数，是乙平均每小时配送的包裹件数. 【探究式学习】 1．增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值． 阅读以上材料后，完成下列探究： 探究1：m为何值时，方程有增根． 探究2：m为何值时，方程的根是． 探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程的三个根中两个根之和等于第三个根； 探究4：你发现满足“探究3”条件的的关系是______． 【答案】探究1：-9；探究2：23；探究3：；探究4： 【分析】解分式方程，根据方程有增根求得m的值即可，根据规律即可得出结论．第三问设方程的三根为且，再求得对应的m．即可得出它们之间的关系． 【详解】解：探究1：方程两边都乘， 得 ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 当时，， 故m的值是． 探究2：方程两边都乘， 得 ∵原方程的根为， ， 探究3：由（1）（2）得 ， 方程的三个对应根为且， ∴， =15-8b， 探究4：， ， 整理得， 故答案为． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，分式方程的增根，熟练掌握解分式方程，准确判定方程的增根是解题的关键． 2．根据以下信息，按要求完成下列任务． 社区运动健身器材采购创意探究项目 项目背景 某社区响应国家卫健委的“体重管理年”号召，将举办社区趣味运动会暨“阳光体育，健康生活”健身月活动，为进一步激发社区公民的运动热情，完善社区运动设施，决定采购甲、乙两种健身器材，这两种器材安全耐用、趣味与锻炼效果兼备，能为社区公民的健身运动增添活力，帮助大家养成坚持锻炼的好习惯． 项目要求 运用方程与不等式的数学思想解决采购中的实际问题，确保过程的准确性与规范性． 信息展示 信息1 已知甲种器材的单价是乙种器材单价的倍， 信息2 用600元单独购买甲种器材比单独购买乙种器材要少10件． 信息3 社区计划购买甲、乙两种器材共40件作为奖品与共享器材，但有两个重要的限制条件需要考虑：①投入的经费不能超过1020元；②要使购买的甲种器材数量不少于乙种器材的数量． 问题解决 (1)求购买一件甲种器材和一件乙种器材分别需要多少元？ (2)综合考虑这些条件，运用数学知识，探究社区共有几种可行的采购方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种器材的具体购买数量． (3)在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成件构成，找出总费用最低的采购方案． 【答案】(1)甲种器材的单价为30元，乙种器材的单价为20元； (2)共有3种方案：方案一：购买甲种器材20件，乙种器材20件；方案二：购买甲种器材21件，乙种器材19件；方案三：购买甲种器材22件，乙种器材18件； (3)购买甲种器材20件，乙种器材20件，这个方案总费用最低 【分析】（1）设乙种器材的单价为x元，则甲种器材的单价为1.5x元，根据题意列出分式方程，据此求解即可； （2）设购进甲种器材a件，则购进乙种器材件，根据题意列出不等式组，据此求解即可； （3）通过计算各方案的总费用，找出费用最低的采购方案． 【详解】（1）解：设乙种器材的单价为x元，则甲种器材的单价为1.5x元， 由题意得：， 解得：， 经检验得出：是原方程的根， 则， 答：甲种器材的单价为30元，乙种器材的单价为20元； （2）解：设购进甲种器材a件，则购进乙种器材件， 根据题意得：， 解得：， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴共有3种方案． 方案一：购买甲种器材20件，乙种器材20件； 方案二：购买甲种器材21件，乙种器材19件； 方案三：购买甲种器材22件，乙种器材18件； （3）解：方案一总花费：元； 方案二总花费：元； 方案三总花费：元； ∴方案一总花费最低． 【课后检测】 1．对于非零的两个有理数a，b，规定，若，则x的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新定义将转化为分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ∴x的值为． 2．甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20吨的污水，求两种污水处理器的污水处理效率．设甲种污水处理器的污水处理效率为x吨/小时，依题意列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设甲种污水处理器的污水处理效率为吨/小时，则乙种污水处理器的污水处理效率为吨/小时，根据甲、乙处理污水所用时间相同为等量关系列方程即可； 【详解】解：设甲种污水处理器的污水处理效率为吨/小时， ∵ 乙种污水处理器每小时比甲种多处理20吨污水， ∴ 乙种污水处理器的污水处理效率为吨/小时， ∵ 甲处理25吨污水与乙处理35吨污水所用时间相同， ∴ ． 3．若关于的分式方程有增根，则增根是（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的增根，关键是理解分式方程为什么会有增根．方程中各分母的最简公分母为，令，即求出的值． 【详解】解：原方程中， 因此分式方程的最简公分母为． ∵分式方程有增根， ∴最简公分母的值为0，即， 解得． 4．若m为整数，关于x的不等式组有5个整数解，关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的m的值的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式组的解集，根据解集情况得到，即，解，得到，根据分式方程的解为整数求出的值，结合已知条件得到满足条件的m的值，相加即可． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． 不等式组的解集为． 不等式组有5个整数解， 整数解为， ， 解得． 解分式方程， 两边同乘，得， 整理得， ，其中，且． 分式方程的解为整数，为整数， 是的整数约数， 即，对应的值为． 结合，，且即， 得符合条件的整数为． 所有满足条件的的值的和为． 5．某学校加强用水管理后，平均每月比原来节约用水吨，同样吨水现在可以比原来多用个月．设原来每月用水吨，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原来每月用水吨，现在每月节约用水吨，故现在每月用水吨，根据现在比原来多用个月列方程即可． 【详解】解：原来每月用水吨，现在每月节约用水吨，故现在每月用水吨， 吨水原来的使用时长为个月，现在的使用时长为个月， 现在比原来多用个月， ， 移项得． 6．分式方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过去分母将分式方程化为整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得，解得． 检验：当时，，即是原分式方程的解． 7．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式方程无解的本质是产生增根或去分母后的整式方程无解，本题中整式方程有解，故存在增根，增根会使原分式方程的分母为0，先确定增根的值，再代入去分母后的整式方程即可求出n的值. 【详解】解：若分式方程无解，则方程存在增根， 令原方程分母，得增根， 将原方程两边同乘去分母，得， 整理得 ， ∵ 原方程无解， ∴ 是上述整式方程的根， 将代入得， 得 ， 解得 . 8．解分式方程，去分母后的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 方程两边同乘以去分母，得． 9．小麦同学暑假计划阅读一本1000页的名著小说，因中途生病休息了3天，实际每天需比原计划多读20页，才能按时完成计划，原计划每天阅读多少页？设原计划每天阅读页，则根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别表示出原计划总阅读天数和实际总阅读天数，根据原计划天数比实际天数多3天列方程即可． 【详解】∵设原计划每天阅读页，总页数为页， ∴原计划总阅读天数为天， ∵实际每天比原计划多读页， ∴实际每天阅读页，实际总阅读天数为天， ∵中途休息天，仍需按时完成计划， ∴原计划总天数比实际总天数多天， ∴列方程得． 10．解分式方程，去分母时可在等式两侧同乘（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】找出方程所有分母的最简公分母，去分母时等式两边同乘最简公分母即可． 【详解】解：原分式方程中，各分母分别为和， ∴计算得各分母的最简公分母为， ∴去分母时需要在等式两侧同乘． 11．深圳龙岗大运片区绿色出行普及度高，某新能源电动车专卖店计划采购甲、乙两种型号电动车．已知乙型电动车的单价比甲型的单价多0.2万元，用12万元购进甲型的数量和20万元购进乙型的数量相等．设甲型电动车的单价为万元，由题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件表示出乙型电动车的单价，再根据“数量=总价÷单价”表示两种车型的购进数量，利用购进数量相等的关系列方程． 【详解】解：∵设甲型电动车单价为万元，乙型电动车的单价比甲型多万元， ∴乙型电动车单价为万元， ∵总价除以单价等于购进数量，且题目中12万元购进甲型的数量和20万元购进乙型的数量相等， ∴甲型电动车购进数量为，乙型电动车购进数量为， 因此可列方程． 12．为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部换成感应水龙头．已知该景点设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水______吨． 【答案】2 【分析】设改造后平均每天用水吨，则原来平均每天用水吨，根据“20吨水改造后比原来多用5天”的等量关系列分式方程求解即可； 【详解】解：设该景点在设施改造后平均每天用水吨，则原来平均每天用水吨， 由题意得： 解方程得： ， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义； 答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨； 13．北京至石家庄的铁路长392千米，为适应经济发展，自2001年10月21日起，某客运列车的行车速度每小时比原来增加40千米，使得石家庄至北京的行车时间缩短了1小时．如果设该列车提速前的速度为每小时x千米，那么为求x所列出的方程为______ ． 【答案】 【分析】根据路程、速度、时间的关系，分别表示出提速前后的行车时间，利用时间差为1小时列方程． 【详解】解：设该列车提速前的速度为每小时千米，根据题意，列出方程为 ． 14．分式方程的解是___________． 【答案】 【分析】先去分母将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 15．将分式方程去分母化为整式方程，所得的结果是________． 【答案】 【分析】将方程两边同时乘以最简公分母，即可解答． 【详解】解：方程两边同时乘以去分母，得． 16．解方程：． 【答案】 【详解】解： ， 经检验，是原方程的解． 17．徐州地铁6号线于2025年9月开通后，甲、乙两人从某地同时出发，分别乘坐地铁6号线、72路公交车去徐州东站，路程均为，已知甲、乙的平均速度比是，甲比乙提前到达目的地，求甲所用的时间． 【答案】 甲所用的时间为 【分析】设甲的速度为，乙的速度为，得出方程解方程，最后求出所用时间即可． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为， 由题意得：，解得， 经检验：是原方程的解， ∴， 答：甲所用的时间为． 18．近年来，我国低空经济发展迅速．某外卖订单若采用传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式少．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的倍，求传统方式配送速度是多少？ 【答案】传统方式配送速度为 【分析】以两种配送方式的时间差为等量关系，设未知数列分式方程求解． 【详解】解：设传统方式配送速度为，则无人机配送速度为，根据题意得： ， ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义． 答：传统方式配送速度是． 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 故原分式方程的解为． 20．计算及解方程 (1)计算：． (2)解分式方程：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解： 去分母，得， 解得． 检验：当时，． ∴原分式方程的解为． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 32 页 第 1 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题18.5 分式方程 （新教材人教版） 知识点一、分式方程 2 知识点二、分式方程的解法 2 知识点三、分式方程的实际应用 3 【题型1 分式方程的定义】 3 【题型2 解分式方程（化为一元一次）】 4 【题型3 根据分式方程解的情况求值】 4 【题型4 分式方程无解问题】 5 【题型5 列分式方程】 5 【题型6 分式方程的行程问题】 6 【题型7 分式方程的工程问题】 6 【题型8 分式方程的经济利润问题】 7 【题型9 分式方程的和差倍分问题】 8 【题型10 分式方程的其他问题】 8 【探究式学习】 10 【课后检测】 12 【复盘笔记】 15 知识点一、分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 知识点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 知识点三、分式方程的实际应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 【题型1 分式方程的定义】 【例1】下列方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列关于x的方程中，是分式方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 解分式方程（化为一元一次）】 【例2】小明解分式方程的过程如下． 解：去分母，得．① 去括号，得．② 移项、合并同类项，得．③ 系数化为1，得．④ 以上步骤中，开始出错的一步是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2-1】已知关于的分式方程的增根是，则的值为（   ） A． B． C．16 D．18 【变式2-2】分式方程的解是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】若关于x的分式方程有增根，则常数k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【题型3 根据分式方程解的情况求值】 【例3】若关于x的方程有增根，则m的值是（     ） A． B． C．3 D． 【变式3-1】定义运算：对于任意实数、、，有．若关于的分式方程有增根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】若关于的方程的解为正数，关于的不等式组有解，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【变式3-3】关于的分式方程，下列说法正确的是（     ） A．方程的解是 B．当时，方程的解是正数 C．当时，方程的解为负数 D．当时，方程无解 【题型4 分式方程无解问题】 【例4】若分式方程无解，则a的值是（     ） A．1或0 B．或0 C．或2 D．1或 【变式4-1】若关于的方程有增根，则的值应为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】若关于x的分式方程无解，则m的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式4-3】关于x的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型5 列分式方程】 【例5】张老师去书店购买图书，他先用108元买了一种史学书若干本，又用150元买了一种哲学书若干本．已知所买史学书的单价是哲学书单价的1.2倍，张老师所买史学书比哲学书少2本．设这种哲学书的单价为元，根据题意可列分式方程为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】津潍高铁2027年通车后，东营正式融入首都“2小时经济圈”．由东营南站到北京南站，高铁线路总长约，自驾线路总长约，预计乘坐高铁比自驾少用．已知高铁列车的平均速度约是自驾平均速度的3倍．设自驾的平均速度为，依题意所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等．设江水的流速为，根据题意，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 【变式5-3】掀起了“人工智能+”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型6 分式方程的行程问题】 【例6】为缅怀革命先烈，传承红色精神，合肥经济技术开发区某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的大蜀山烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】我国古代数学著作《九章算术》中记载“驿马传信”问题，其大意为：今有文书递送，相距900里．慢马送达比限定天数多1天，快马送达比限定天数少3天，已知快马日行路程是慢马的2倍．若所列方程为，则该方程中的未知数表示（     ） A．限定天数 B．快马所需天数 C．慢马所需天数 D．慢马比快马多用天数 【变式6-2】货车要从仓库运送一批新鲜蔬菜到市区，仓库到市区的路程为120千米．如果用普通货车运送，比预定时间晚2小时到达；如果用高速货车运送，比预定时间早1小时到达．已知高速货车的速度是普通货车的2倍．设预定时间为小时，则可列分式方程为（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】近年来，为大力发展交通，城市内建成多条快速通道．小张从家到单位有两条路线可选，路线为全程的普通路线，路线包含快速通道，全程，走路线比路线平均速度提高，时间节省，求走路线和路线的平均速度分别是多少？设走路线的平均速度为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【题型7 分式方程的工程问题】 【例7】在创建“省文明城市”的活动中，市园林公司加大了对市区主干道两旁种植“景观树”的力度，平均每天比原计划多植5棵，现在植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同，若设现在平均每天植树x棵，则由题意可列出方程为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】2026年11月峰会将在深圳举行，筹备组需为志愿者分装3000份服务物资包．现计划每天分装x份，可按期完成；实际采用了流水线分装模式，效率提升了，最终提前2天完成了全部分装任务，由题可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】某生产队承接了240亩地的复合种植任务，为了完成任务，引入新型机械种植，实际工作效率比原来提高了，结果提前3天完成任务．设原计划每天种植的面积为x亩地，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】甲、乙两人加工一批零件，甲完成个与乙完成个所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成个．设甲每天完成个零件，根据题意，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型8 分式方程的经济利润问题】 【例8】某班准备用42元钱到商场去购买笔记本，经过还价，每本便宜0.5元，结果比价多买了2本，求原价每本多少元？设原价每本元，则可列出方程为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】某校为数学社团在同一商家采购数独九宫格盘，第一次用1400元买了若干套，第二次用1500元购买同款数独九宫格盘，…，求第一次购买了多少套？同学们根据题意，设第一次购买了套，列得方程，则题目省略部分的文字为（     ） A．每套比上次降价5元，多买了10套 B．每套比上次降价5元，少买了10套 C．每套比上次涨价5元，少买了10套 D．每套比上次涨价5元，多买了10套 【变式8-3】某校为落实“每天一节体育课”政策，计划用3600元采购一批篮球，实际购买时，发现篮球单价降低了10%，因此实际比计划多购了6个篮球．设篮球原单价为x元，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【题型9 分式方程的和差倍分问题】 【例9】有一个“分钱问题”是这样的：一组人平分235元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分550元钱，则第二次每人所得的钱比第一次多3元．设第一次分钱的人数为人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】古代算书中记载了这样一个问题，大意是：现有商人贩布，若每匹布降价3钱，则用48钱买到布的数量，是用48钱按原价购买数量的2倍．问每匹布原价多少钱？若设每匹布原价钱，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】某古籍修复中心用桑皮纸与普通宣纸封存古籍和吸附书页的潮气．已知一张桑皮纸的吸湿量是一张普通宣纸吸湿量的3倍少，吸附潮气所需桑皮纸的张数与吸附潮气所需普通宣纸的张数相同．设一张普通宣纸的吸湿量为，根据题意所列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 【变式9-3】科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同．设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【题型10 分式方程的其他问题】 【例10】古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固．工匠们制作了一种特定的榫卯结构，该结构中，一个榫需要的木材比一个卯需要的木材多1千克．已知用35千克木材制作的该种榫的数量与用30千克木材制作该种卯的数量相同．设制作1个这样的榫需要木材千克，根据题意，得（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】一容器内盛有盐水，其中含盐，通过一系列的实验操作，将该容器内盐水的浓度提高到原来的倍．小丽根据这一情境中的数量关系列出方程，则未知数表示的是（     ） A．加入的水量 B．减少的水量 C．加入的盐量 D．减少的盐量 【变式10-2】某AI公司租用云服务器进行模型训练，租用A、B两种型号的GPU实例（图形处理器）．A、B两种实例每小时的租用费用之和为100元，且两种实例的总租赁费用相同，均为12800元．已知“_________”，设A实例每小时的租用费用为元，则可列方程．根据此情境，题中“________”表示的缺失条件可以是（     ） A．A实例每小时的租赁费用是B实例每小时的租赁费用的两倍 B．B实例每小时的租赁费用是A实例每小时的租赁费用的两倍 C．A实例的租赁时间是B实例的租赁时间的两倍 D．B实例的租赁时间是A实例的租赁时间的两倍 【变式10-3】为提升配送效率，某快递公司引入两款无人机开展业务测试.甲款无人机配送150件包裹，与乙款无人机配送120件包裹所用的总时间相同（每件包裹大小、重量一样），已知甲款无人机平均每小时比乙款无人机多配送10件包裹，求甲、乙两款无人机平均每小时各配送多少件包裹，若小明列出的方程为：，则小明设的代表的是（     ） A．甲款无人机配送150件包裹所用的时间 B．乙款无人机配送120件包裹所用的时间 C．甲款无人机平均每小时配送的包裹件数 D．乙款无人机平均每小时配送的包裹件数 【探究式学习】 1．增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值． 阅读以上材料后，完成下列探究： 探究1：m为何值时，方程有增根． 探究2：m为何值时，方程的根是． 探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程的三个根中两个根之和等于第三个根； 探究4：你发现满足“探究3”条件的的关系是______． 2．根据以下信息，按要求完成下列任务． 社区运动健身器材采购创意探究项目 项目背景 某社区响应国家卫健委的“体重管理年”号召，将举办社区趣味运动会暨“阳光体育，健康生活”健身月活动，为进一步激发社区公民的运动热情，完善社区运动设施，决定采购甲、乙两种健身器材，这两种器材安全耐用、趣味与锻炼效果兼备，能为社区公民的健身运动增添活力，帮助大家养成坚持锻炼的好习惯． 项目要求 运用方程与不等式的数学思想解决采购中的实际问题，确保过程的准确性与规范性． 信息展示 信息1 已知甲种器材的单价是乙种器材单价的倍， 信息2 用600元单独购买甲种器材比单独购买乙种器材要少10件． 信息3 社区计划购买甲、乙两种器材共40件作为奖品与共享器材，但有两个重要的限制条件需要考虑：①投入的经费不能超过1020元；②要使购买的甲种器材数量不少于乙种器材的数量． 问题解决 (1)求购买一件甲种器材和一件乙种器材分别需要多少元？ (2)综合考虑这些条件，运用数学知识，探究社区共有几种可行的采购方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种器材的具体购买数量． (3)在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成件构成，找出总费用最低的采购方案． 【课后检测】 1．对于非零的两个有理数a，b，规定，若，则x的值为（     ） A． B． C． D． 2．甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20吨的污水，求两种污水处理器的污水处理效率．设甲种污水处理器的污水处理效率为x吨/小时，依题意列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．若关于的分式方程有增根，则增根是（     ） A． B． C． D．或 4．若m为整数，关于x的不等式组有5个整数解，关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的m的值的和为（    ） A． B． C． D． 5．某学校加强用水管理后，平均每月比原来节约用水吨，同样吨水现在可以比原来多用个月．设原来每月用水吨，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．分式方程的解是（     ） A． B． C． D． 7．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．解分式方程，去分母后的结果是（     ） A． B． C． D． 9．小麦同学暑假计划阅读一本1000页的名著小说，因中途生病休息了3天，实际每天需比原计划多读20页，才能按时完成计划，原计划每天阅读多少页？设原计划每天阅读页，则根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 10．解分式方程，去分母时可在等式两侧同乘（     ） A．2 B． C． D． 11．深圳龙岗大运片区绿色出行普及度高，某新能源电动车专卖店计划采购甲、乙两种型号电动车．已知乙型电动车的单价比甲型的单价多0.2万元，用12万元购进甲型的数量和20万元购进乙型的数量相等．设甲型电动车的单价为万元，由题意可列方程（    ） A． B． C． D． 12．为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部换成感应水龙头．已知该景点设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水______吨． 13．北京至石家庄的铁路长392千米，为适应经济发展，自2001年10月21日起，某客运列车的行车速度每小时比原来增加40千米，使得石家庄至北京的行车时间缩短了1小时．如果设该列车提速前的速度为每小时x千米，那么为求x所列出的方程为______ ． 14．分式方程的解是___________． 15．将分式方程去分母化为整式方程，所得的结果是________． 16．解方程：． 17．徐州地铁6号线于2025年9月开通后，甲、乙两人从某地同时出发，分别乘坐地铁6号线、72路公交车去徐州东站，路程均为，已知甲、乙的平均速度比是，甲比乙提前到达目的地，求甲所用的时间． 18．近年来，我国低空经济发展迅速．某外卖订单若采用传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式少．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的倍，求传统方式配送速度是多少？ 19．计算： (1)； (2)． 20．计算及解方程 (1)计算：． (2)解分式方程：． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 32 页 第 1 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $