第18.5课《分式方程》讲义 2026—2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦分式方程核心知识点，从识别分母含未知数的方程入手，通过去分母转化为整式方程，结合增根检验，衔接实际问题建模。以课前旧知诊断为支架，分课时探究概念、转化方法及应用，构建完整知识脉络。 资料以运算能力、模型观念和推理能力为素养导向，设计分课时可观察成果和双重检验机制。如录入问题建模培养应用意识，增根原因分析深化推理，课中助教师精准教学，课后分层巩固与检测帮助学生查漏补缺。

人教版数学八年级上册（2025秋版）｜第十八章 分式方程 第18.5课《分式方程》讲义 2026—2027学年｜人教版数学八年级上册（2025秋版）｜新授课讲义｜建议课时：2课时 内容定位　认识分母中含未知数的方程，掌握把分式方程转化为整式方程并检验增根的方法；通过文字录入问题经历审题、设元、列式、求解和实际意义检验。 一、学习目标与素养指向 1. 能识别分式方程，写出原方程各分母不为0的限制条件。 1. 能确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程。 1. 能说明产生增根的原因，并把候选解代回原分母或原方程进行检验。 1. 能从实际问题中建立分式方程，写明单位和数量关系，并进行代数检验与实际意义检验。 素养指向　运算能力、模型观念、推理能力与应用意识。 二、课时安排与可观察成果 课时 核心任务 可观察的学习成果 第1课时 分式方程 分母中含有未知数的方程叫作分式方程。判别时看方程中是否有分母含未知数。 第2课时 基本思路 通过去分母把分式方程转化为整式方程。去分母时方程两边的每一项都要乘最简公分母。 三、课前衔接与诊断 1. 怎样判断一个方程是不是分式方程？ 1. 方程两边同乘一个整式时，为什么要乘每一项？ 1. 什么取值会使分式无意义？ 诊断用途　这些问题只用于唤醒本节所需旧知。订正时说明错误属于概念、条件、符号、运算还是对应关系。 四、分课时核心探究 第1课时｜分式方程、去分母与检验 探究问题　怎样判断一个方程是分式方程？怎样把它转化为已经会解的整式方程？ 形成过程　分母中含有未知数的方程叫作分式方程。解题先令所有原分母不为0，写出限制条件；再分解分母、确定最简公分母，方程两边的每一项都乘最简公分母。去分母后得到整式方程，按已有方法求候选解。 规范结论　分式方程的基本思想是转化：分式方程→整式方程。去分母利用等式性质，不是把各分式分别随意约分。 条件与边界　方程中有分数不一定是分式方程，关键看分母中是否含未知数。去分母时常数项也要乘最简公分母，括号不能省略。 即时任务　解=，先写x≠±1，再逐项同乘(x-1)(x+1)，检查两边是否有漏乘项。 第1课时深化｜增根的产生与规范检验 探究问题　为什么去分母后整式方程的解不一定是原分式方程的解？什么样的候选解叫增根？ 形成过程　去分母时乘了含未知数的最简公分母。当候选解使这个公分母为0时，原来乘法变形所需的非零条件不成立，候选解不能代入原方程。若它是去分母后整式方程的解，却使原方程至少一个分母为0，就称为原方程的增根。 规范结论　检验至少包含两步：把候选解代入原分母，排除使分母为0的值；对剩余值可代入原方程比较左右两边。增根不是原方程的解。 条件与边界　不能说“原方程多了一个解”；应说“去分母所得整式方程产生了一个无效候选解”。若所有候选解都是增根，原方程无解。 即时任务　分析=：去分母得x=1，但x=1使原分母为0，因此是增根，原方程无解。 第2课时｜列分式方程解决实际问题 探究问题　实际问题中什么时候会出现未知量在分母的位置？怎样把文字关系翻译成分式方程？ 形成过程　当未知量表示速度、工作效率或单位量时，由“时间＝总量÷速度”“工作时间＝工作总量÷工作效率”等关系会得到含未知数分母的式子。先设元并写单位，再用表格或等量关系表示各对象的总量、单位量和时间，最后根据时间差、总时间或其他相等关系列方程。 规范结论　建模步骤为：审题—设未知量并写单位—表示相关量—找等量关系—列分式方程—求候选解—代数检验—实际意义检验—作答。 条件与边界　实际量通常要求为正，但“负数不符合实际”与“增根”不是同一概念。增根专指使原分母为0的无效候选解；其他不符合情境的解应说明违反了哪一实际条件。 即时任务　在1800字录入问题中设乙的录入速度为每分钟x字，甲的录入速度为每分钟3x字，用两人用时相差20分钟列方程，并核对时间、速度和单位。 第2课时深化｜模型假设与双重检验 探究问题　方程求出正数且分母不为0，是否就一定是正确的实际答案？ 形成过程　还要检验模型中的假设是否与题意一致，例如速度或效率在过程中保持不变、两人完成的总量相同、时间单位已经统一。把解代回数量关系，计算各对象的实际时间或完成量，检查差值和总量是否满足原题。 规范结论　双重检验包括代数检验和实际检验。代数检验保证是原方程的解；实际检验保证单位、正值、数量关系和问题情境均成立。 条件与边界　模型是现实的简化。若速度变化、存在准备时间或工作相互影响，原分式模型可能不适用，应在结论中说明限制。 即时任务　为例题答案写出完整作答句，包含对象、数值和单位；不得只写“x=60”。 五、结构辨析与方法深化 1. 先辨认方程类型　判断是否为分式方程，要看分母中是否含有未知数；方程中出现普通分数并不能说明它是分式方程。确定类型后再选择去分母的转化方法。 2. 最简公分母控制全程　先分解各分母并确定最简公分母，再让方程两边每一项都乘它。常数项和括号内各项也不能漏乘；约去分母后应立即检查是否得到正确的整式方程。 3. 检验不是可省步骤　去分母时乘了可能为0的式子，所以整式方程的解只是候选解。先代入原分母排除使其为0的值，再代入原方程核对左右两边；若候选解被排除，应明确写“原方程无解”或保留其他有效解。 4. 实际问题的两层检验　列方程前写清未知量、单位和等量关系；求解后既要检验是否为原分式方程的解，也要检查数值是否为正、单位是否统一、速度或效率等模型假设是否符合题意。 六、教材结论、成立条件与使用范围 1. 分式方程　分母中含有未知数的方程叫作分式方程。判别时看方程中是否有分母含未知数。 2. 基本思路　通过去分母把分式方程转化为整式方程。去分母时方程两边的每一项都要乘最简公分母。 3. 增根与检验　去分母后所得整式方程的解，若使原分式方程中至少一个分母为0，就不是原方程的解，称为原方程的增根。解分式方程必须检验。 4. 应用题流程　审题—设元并写单位—用总量、速度、时间等数量关系列方程—求候选解—检验分母与实际意义—作答。 七、方法模型与规范路径 方法模型 适用情形 规范步骤与检查 识别与限制 准备解分式方程 找含未知数的分母，令它们不为0。 去分母 分母可分解 求最简公分母，方程两边每一项同乘，括号完整。 候选解检验 得到整式方程的解 先检查原分母，再代入原方程；增根舍去。 实际建模 速度、效率等问题 设元写单位—列数量关系—解方程—代数和实际双检验—作答。 本节检查重点　候选解先检查原分母，再代入原方程；应用题还要核对单位、正值和数量关系。 八、重点与高频考点 ★重点　去分母不是约分，而是方程两边的每一项同乘最简公分母。 ★高频　解出整式方程后必须检验；使原分母为0的候选解是增根，应舍去。 ★高频　实际问题除检验分母外，还要检查速度、时间、效率等量是否为正且符合题意。 ★易错　没有分母含未知数的方程，即使含分数，也不一定是分式方程。 九、易错辨析 辨析1　错误观点或解法：去分母后整式方程的解就是原方程的解。原因与纠正：错误。还必须检验是否使原分母为0。 辨析2　错误观点或解法：增根是原方程多出来的一个解。原因与纠正：错误。增根不是原方程的解，只是去分母后整式方程的无效候选解。 辨析3　错误观点或解法：检验只需代入去分母后的整式方程。原因与纠正：错误。应检查原方程，至少检查原分母是否为0。 辨析4　错误观点或解法：应用题求得正数就一定符合题意。原因与纠正：错误。还要核对单位、数量关系和题设中的全部条件。 十、经典例题与规范解答 经典例题｜解分式方程 题目　解方程：=。 分析　先写x≠1、-1；两边同乘(x-1)(x+1)，再检验。 解　原方程要求x≠1且x≠-1。两边同乘(x-1)(x+1)，得2(x+1)=3(x-1)，即2x+2=3x-3，解得x=5。把x=5代入原分母，均不为0，且原方程两边均为，所以x=5是原方程的解。 经典例题｜实际问题 题目　甲、乙录入同一份1800字的文稿。甲每分钟录入的字数是乙的3倍，甲比乙少用20分钟。求甲、乙每分钟各录入多少字。 分析　设乙每分钟录入x字，则甲为3x字；由“总字数=速度×时间”分别表示两人的时间，时间差为20分钟。 解　设乙每分钟录入x字，x>0，则甲每分钟录入3x字。由题意， - = 20。两边同乘3x，得5400-1800=60x，解得x=60。检验：x=60使各分母不为0；乙用时1800÷60=30分钟，甲用时1800÷180=10分钟，相差20分钟，符合题意。因此乙每分钟录入60字，甲每分钟录入180字。 例题复核　候选解先检查原分母，再代入原方程；应用题还要核对单位、正值和数量关系。 十一、变式训练与方法迁移 变式1　解方程：+1=。 参考解答　x≠0。两边同乘x，得1+x=3，所以x=2；检验成立。 变式2　方程=去分母后得x=1，说明原方程的解。 参考解答　x=1使原分母为0，是增根，所以原方程无解。 课堂效果检测（3—5分钟） 1. 方程=2的限制条件是________。 1. 解分式方程后必须进行________。 1. 方程=去分母所得候选解为x=1，该候选解是________。 1. 解方程+1=，得x=________。 检测答案　1. x≠0；2. 检验；3. 增根；4. 2。 本课小结 分式方程的本质特征是分母中含未知数，基本思想是转化为整式方程。 规范流程：写限制—确定最简公分母—去分母—解整式方程—检验—作答。 增根不是原方程的解；应用问题还必须进行单位和实际意义检验。 自我检查：能否准确说出本节结论的条件、规范表达、典型用途和一种检验方法？ 课后分层巩固（建议8—10分钟） 1. 解方程：=1。 1. 解方程：=。 1. 甲、乙录入同一份1200字的文稿，甲的录入速度是乙的2倍，甲比乙少用10分钟。求两人的录入速度。 参考答案　1. x=5；2. 去分母得x=1，但x=1使原分母为0，所以原方程无解；3. 设乙每分钟录入x字， - = 10，解得x=60。乙每分钟60字，甲每分钟120字。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $