18.5 分式方程 (知识梳理+题型归纳+分层演练）讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

18.5分式方程 学习目标导航 1、理解概念：了解分式方程的概念，能准确区分分式方程与整式方程。 2、掌握解法：掌握解可化为一元一次方程的分式方程的基本步骤（去分母、解整式方程、检验），深刻理解“检验”的必要性，并能识别增根。 3、建模应用：能针对行程、工程等具体问题列出分式方程，并运用“审、设、列、解、验、答”的步骤解决实际问题，体会数学建模思想。 洞悉◆教材知识 知识点01 分式方程的概念 1. 分式方程的概念： 分母中含有 未知数 的方程叫做分式方程。 注意只需要判断原方程即可，不能化简之后判断。 知识点02 解分式方程一般步骤 知识点03 列分式方程解应用题 2. 列分式方程解应用题的基本步骤： ①审：仔细审题，审清题意，找出题目中已知量与未知量的 等量关系 。 ②设：设出未知数。 ③列：列出分式方程。 ④解：解分式方程。 ⑤验：检验求出的解是不是分式方程的解，也要检验这个解是否符合实际问题。 ⑥答：写出答案。 知识点04 实际应用中的常见的基本数量关系 （1）行程问题：路程=速度×时间； （2）工程问题：工作总量=工作效率×工作时间； （3）利润问题：利润=售价-进价，利润率 核心题型◆归纳 题型01 判断分式方程 题型02 解分式方程 题型03 根据分式方程的解求值或求范围 题型04 分式方程的增根与无解 题型05 从实际问题中抽象出分式方程 题型06 列分式方程解实际问题 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 判断分式方程 【典例1】下列各式中，是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A．是一元一次方程，不符合题意； B．是分式方程，符合题意； C．是二元一次方程，不符合题意； D．是代数式，不符合题意． 故选：B． 【变式1】下列关于x的方程中，不是分式方程的是（　　） A．x3 B． C． D．2 【答案】B 【解答】解：根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，A、C、D选项中都符合分式方程的定义， 故选：B． 【变式2】下列方程：①1；②，③，④5，是分式方程的有（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【解答】解：①的方程分母中不含未知数，故不是分式方程； ②③④的方程分母中含未知数x，所以是分式方程． 故选：D． 题型02 解分式方程 【典例1】解分式方程时，去分母正确的是（　　） A．1﹣2（x﹣3）＝1+x B．1﹣2（x﹣3）＝﹣1+x C．1﹣2（x﹣3）＝﹣1﹣x D．﹣1+2（3﹣x）＝1+x 【答案】B 【解答】解：分式方程整理得：， 去分母得：1﹣2（x﹣3）＝x﹣1． 故选：B． 【变式1】解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）x＝﹣1； （2）x＝2． 【解答】解：（1）， 方程两边同时乘（x+3）（x﹣3），得4x＝x﹣3， 解得：x＝﹣1， 检验：把x＝﹣1代入（x+3）（x﹣3）≠0， ∴分式方程的解为x＝﹣1； （2）， 方程两边同时乘（2x﹣3），得6﹣x＝4（2x﹣3）， 去括号，得6﹣x＝8x﹣12， 解得：x＝2， 检验：把x＝2代入2x﹣3≠0， ∴分式方程的解为x＝2． 【变式2】解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）x＝1； （2）无解． 【解答】解：（1）， 去分母得：3﹣2x＝﹣x﹣2（x﹣2）， 去括号得：3﹣2x＝﹣x﹣2x+4， 移项合并同类项得：x＝1， 检验：把x＝1代入x﹣2得：1﹣2＝﹣1≠0， ∴x＝1是原方程的解； （2）， 去分母得：7（x﹣1）﹣6x＝﹣3（x+1）， 去括号得：7x﹣7﹣6x＝﹣3x﹣3， 移项合并同类项得：4x＝4， 系数化为1得：x＝1， 检验：把x＝1代入x（x+1）（x﹣1）得：1×（1+1）×（1﹣1）＝0， ∴x＝1是原方程的增根， ∴原方程无解． 题型03 根据分式方程的解求值或求范围 【典例1】已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【答案】C 【解答】解：∵关于x的方程的解是x＝1， ∴， 解得a＝﹣1， 经检验a＝﹣1是方程的解． 故选：C． 【变式1】已知x＝1是分式方程的解，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 【答案】D 【解答】解：把x＝1代入分式方程得：， 去分母得：8a+12＝3a﹣3， 解得：a＝﹣3， ∵a﹣1＝﹣4≠0， ∴a的值为﹣3． 故选：D． 【变式2】已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m≤4且m≠3 C．m≤0 D．m≤0且m≠﹣1 【答案】B 【解答】解：方程的两边同时乘x﹣1， 得，1﹣m+2＝x﹣1， 解得x＝4﹣m， ∵方程的解为非负数， ∴4﹣m≥0， ∴m≤4， ∵x≠1， ∴4﹣m≠1， ∴m≠3， ∴m的取值范围是m≤4且m≠3， 故选：B． 题型04 分式方程的增根与无解 【典例1】若关于x的分式方程无解，则a的值是（　　） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【答案】D 【解答】解：原方程去分母可得： 3﹣ax＝2（3﹣x）， 3﹣ax＝6﹣2x， （a﹣2）x＝﹣3， 根据题意，原分式方程无解， ①当a﹣2＝0时，即a＝2时，整式方程无解，所以原分式方程无解，符合题意； ②当原分式方程最简公分母x﹣3＝0时，即x＝3，是原分式方程的增根，也符合题意， 此时，3（a﹣2）＝﹣3， 解得a＝1； ∴a的值是1或2， 故选：D． 【变式1】若关于x的方程无解，则m的值为（　　） A．3 B． C．3或 D．﹣1或 【答案】D 【解答】解：∵无解， ∴去分母得：3﹣2x﹣2﹣mx＝﹣x+3，解得（m+1）x＝﹣2， ∵当m+1＝0时，即m＝﹣1，方程无解； ∵由分式方程无解，得x﹣3＝0，解得：x＝3， ∴把x＝3代入整式方程得：3﹣6﹣2﹣3m＝0，解得：， ∴方程无解则m的值为﹣1或． 故选：D． 【变式2】若关于x的分式方程有解，则m的值为（　　） A．m≠4且m≠﹣6 B．m≠﹣4且m≠﹣6 C．m≠1且m≠﹣4且m≠6 D．m≠1且m≠4且m≠6 【答案】C 【解答】解：去分母得：2（x+2）+mx＝3（x﹣2） 整理得，（m﹣1）x＝﹣10， ∵分式方程 有解， ∴m﹣1≠0且x﹣2≠0且x+2≠0， ∴m≠1且且， ∴m≠1且m≠﹣4且m≠6， 故选：C． 题型05 从实际问题中抽象出分式方程 【典例1】小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了6km，小亮骑行时间比小红少用了4min．设小红的骑行速度为xkm/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设小红的骑行速度为xkm/h，则小亮的骑行速度是1.2xkm/h， 根据两人各自骑行了6km，小亮的骑行时间+4min＝小红的骑行时间列得方程为， 故选：A． 【变式1】《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得： 2， 故选：A． 【变式2】DeepSeek掀起了“人工智能+”的热测，某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成．设R2单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设R2单独处理需要x小时，则R1单独处理数据的时间（x+2）小时， 依题意得：． 故选：B． 题型06 列分式方程解实际问题 【典例1】2022年北京冬奥会物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱，各种冰墩墩的玩偶，挂件等饰品应运而生．某学校决定购买A，B两种型号的冰墩墩饰品作为“校园读书节”活动奖品，已知A种比B种每件多20元，预算资金为1600元． （1）其中700元购买A种商品，其余资金购买B种商品，且购买B种的数量是A种的3倍．求A，B两种饰品的单价． （2）购买当日，正逢“五一”大促销，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：在不超过预算资金的前提下，准备购买A，B两种饰品共120件；问最多购买A种饰品多少件？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设B种饰品的单价为x元，则A种饰品的单价为（x+20）元， 依题意得：3， 解得：x＝15， 经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意， ∴x+20＝15+20＝35． 答：A种饰品的单价为35元，B种饰品的单价为15元． （2）设购买A种饰品m件，则购买B种饰品（120﹣m）件， 依题意得：35×0.8m+15×0.8（120﹣m）≤1600， 解得：m≤10， ∴m的最大值为10． 答：最多购买A种饰品10件． 【变式1】正所谓“道路通达，百业兴旺”，某村决定对村里的部分道路进行整改，将工程交由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天比乙工程队多修0.4km，如果甲工程队修6.4km所用的天数是乙工程队修9.6km所用天数的一半． （1）求甲，乙两个工程队每天各修路多少km？ （2）现计划再修建长度为24km的道路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为2.4万元，乙队每天所需费用为1.5万元，求在总费用不超过33.6万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设乙工程队每天修路xkm，则甲工程队每天修路（x+0.4）km， 根据题意得：， 解得：x＝1.2， 经检验，x＝1.2是所列方程的解，且符合题意， ∴x+0.4＝1.2+0.4＝1.6． 答：甲工程队每天修路1.6km，乙工程队每天修路1.2km； （2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工天， 根据题意得：2.41.5m≤33.6， 解得：m≥8， ∴m的最小值为8． 答：至少安排乙工程队施工8天． 【变式2】中华民族的传统节日一端午节将至，甲、乙两家公司为员工购买咸粽和甜粽两种口味的粽子礼盒作为节日福利． （1）已知一盒咸粽比一盒甜粽贵30元，甲公司工会统计得出，喜爱咸粽的员工人数是喜爱甜粽的员工人数的2倍，甲公司的采购根据员工的口味喜好分别花费9100元、3500元购买咸粽和甜粽，求一盒咸粽和一盒甜粽的价格各为多少元？ （2）乙公司由于订购较晚，在（1）的基础上，一盒咸粽和一盒甜粽的价格分别上涨20%、10%，乙公司预算不超过10180元为80名员工购买粽子礼盒，则乙公司最多购买多少盒咸粽？ 【答案】（1）一盒咸粽的价格是130元，一盒甜粽的价格是100元； （2）乙公司最多购买30盒咸粽． 【解答】解：（1）设一盒甜粽的价格是x元，则一盒咸粽的价格是（x+30）元， 根据题意得：2， 解得：x＝100， 经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意， ∴x+30＝100+30＝130（元）． 答：一盒咸粽的价格是130元，一盒甜粽的价格是100元； （2）设乙公司购买y盒咸粽，则购买（80﹣y）盒甜粽， 根据题意得：130×（1+20%）y+100×（1+10%）（80﹣y）≤10180， 解得：y≤30， ∴y的最大值为30． 答：乙公司最多购买30盒咸粽． ABC分层训练 1．在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：A、是整式方程，故此选项不符合题意； B、是整式方程，故此选项不符合题意； C、是分式方程，故此选项符合题意； D、不是分式方程，故此选项不符合题意； 故选：C 2．将关于x的分式方程去分母后所得整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题主要考查了解分式方程，将分式方程两边同时乘以即可得解． 【详解】解： 分式方程两边同时乘以得，． 故选：B． 3．关于x的方程  去分母转化为整式方程后产生增根，则m的值是（   ） A． B．4 C．或 D．或4 【答案】C 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查分式方程的解法和增根的定义，根据分式方程的解法，化简成整式方程，再根据增根的定义算出增根代入整式方程，即可求得答案； 【详解】解：， 方程两边同时乘以， ， ， ， 令时，是方程的增根； ∴或 故答案选：C． 4．关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（    ）． A． B．且 C．且 D．且 【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解分式方程和解不等式，分式的解不能为增根是解答本题的易错点．根据分式方程，求得x，根据解为正数，可得，注意求解不等式即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 由题意可得：且， 即，且， 解得且. 故选：D 5．汉十高铁全长约400千米，动车运行后的平均速度是原来火车的倍，这样由十堰到武汉的行驶时间缩短了3小时．设原来火车的平均速度为千米/时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是根据路程、速度和时间的关系，分别表示出两种交通工具的行驶时间，再依据时间差列出方程． 根据路程除以速度等于时间，分别求出原来火车行驶全程的时间和动车行驶全程的时间；由于动车行驶时间比原来火车缩短了3小时，即原来火车的行驶时间减去3小时等于动车的行驶时间，据此列出方程． 【详解】解：设原来火车的平均速度为x千米/时，则动车运行后的平均速度为2.5x千米/时．原来火车行驶汉十高铁全长400千米所需的时间为小时． 动车行驶汉十高铁全长400千米所需的时间为小时． 因为动车行驶时间比原来火车缩短了3小时，所以原来火车的行驶时间减去3小时等于动车的行驶时间，即． 故选：D． 6．2024年12月20日济广高速全线通车，小明的爸爸开车从泰安到东平，若走原来的泰东路，行程80千米，而走新扩建成的济广高速，路程不但缩短了20千米，驾车时间也省了40分钟．若小明的爸爸在高速上驾车的速度比在普通道路上驾车的速度快，则小明的爸爸在普通道路上的速度是（   ） A．50千米/时 B．60千米/时 C．65千米/时 D．70千米/时 【答案】B 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设小明的爸爸在普通道路上的速度是，则，40分钟，根据驾车时间也省了40分钟建立方程求解． 【详解】解：设小明的爸爸在普通道路上的速度是，则，40分钟 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴小明的爸爸在普通道路上的速度是60千米/时， 故选：B． 7．有下列方程：①；②；③；④．其中属于分式方程的是______．（请填写序号） 【答案】②③ 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查分式方程的判断，根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进行判断即可． 【详解】解：①是整式方程；②是分式方程；③是分式方程；④是整式方程； 故符合题意的是②③； 故答案为：②③ 8．方程的解为__________． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查解分式方程，将方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以，原方程的解为． 故答案为：． 9．某校组织七年级和八年级的学生到距离学校3千米的党史纪念馆参观学习，七年级学生步行从学校出发，10分钟后，八年级学生也步行从学校出发，八年级学生的步行速度是七年级学生的倍，两个年级学生恰好同时到达该纪念馆．设七年级学生步行的速度为x米/分，则可列方程为_______． 【答案】（或） 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 表示出八年级学生步行的速度，然后根据两个年级学生恰好同时到达该纪念馆列方程即可． 【详解】解： 七年级学生步行的速度为x米/分，则八年级学生步行的速度为米/分， 根据题意列方程为． 故答案为：． 10．施工队要铺设一段全长3000米的管道，因在中考期间需停工3天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求实际每天施工多少米？ 设实际每天施工x米，则x满足的分式方程为________． 【答案】 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查分式方程的应用，找到等量关系是解决问题的关键．原来计划每天施工米，根据工作时间工作总量工作效率结合实际比原计划少用3天，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：实际每天施工米，原来计划每天施工米， 依题意得：． 故答案为：． 11．解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键 （1）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检验即可求解 （2）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检验即可求解． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 解得， 经检验，是原方程的根， 则分式方程的解为； （2）解：， 去分母，得 去括号，得 解得 经检验，是原方程的增根 所以，原分式方程无解． 12．节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，又可以用电做动力行驶某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电作动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶每千米用油费用比用电费用多0.5元，求汽车行驶中每千米用电费用是多少元？ 【答案】0.3元 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，熟练掌握列分式方程解应用题的步骤是解题的关键． 设每千米用电费用为元，得出每千米用油费用，再根据甲、乙两地距离不变，利用完全用油和完全用电的费用与各自每千米费用的关系列分式方程求解． 【详解】解：设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则汽车行驶中每千米用油费用是元， 依题意得：， 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：汽车行驶中每千米用电费用是元． 13．已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可． 【详解】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程； 故选：C． 14．若是方程的根，则m的值为（    ）． A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义是解题关键．将代入分式方程，解方程即可得． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 解得， 故选：B． 15．若关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0． 分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， ∵方程的解为负数， ∴， ∴． ∵且， ∴且， ∴且． 故选B． 16．甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地， ，求汽车实际行驶的速度？若设汽车原计划行驶的速度为． 由题意可列方程：． 则“ ”表示的条件是（     ） A．速度比原计划增加20%，结果提前1小时到达． B．速度比原计划增加20%，结果晚1小时到达． C．速度比原计划减少20%，结果提前1小时到达． D．速度比原计划减少20%，结果晚1小时到达． 【答案】A 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题主要考查分式的实际运用，理解题目中的数量关系，分式方程表示的含义，掌握分式方程解实际问题的方法是解题的关键．根据设汽车原计划行驶的速度为x km/h．可得表示实际的速度，由此可得，表示的含义，由此即可求解． 【详解】解：设汽车原计划行驶的速度为x km/h．可得表示实际的速度，， ∴表示的是在实际使用的时间， ∴表示原计划需要的时间， 表示结果提前1小时到达. 故“ ”表示的条件是速度比原计划增加20%，结果提前1小时到达A符合题意， 故选：． 17．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．设走路线一的平均车速为千米/小时，那么根据题意得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程，注意单位变换． 【详解】解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时，走路线二时的平均速度为千米/小时， 故选D． 18．已知与的互为相反数，则 __________． 【答案】/ 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据相反数的定义可得，解方程并检验即可得到答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得， 检验，当得时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 19．定义新运算“”：，如果，那么的值为____． 【答案】1或3 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查了分式方程的应用，新定义运算，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握解分式方程．根据题意利用分类讨论分两种情况，当或时，列出分式方程进行解答即可． 【详解】解：由题意得：当时， ， 解得：， 检验，是原分式方程的解， 当时，， 解得：， 检验，是原分式方程的解， 故答案为：1或3． 20．中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗，某商场在中秋节来临之际购进、两种汾阳月饼共1500个，已知购进种月饼和种月饼的费用分别为2000元和3000元，且种月饼的单价比种月饼单价多1元，求、两种月饼的单价各是多少？设种月饼单价为元，根据题意，列方程是______． 【答案】 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查了根据实际问题列分式方程，理解题意，分析等量关系并列出方程是关键．由题意得B种月饼单价为元，根据等量关系：两种月饼共购进1500个，列出方程即可． 【详解】解：由种月饼单价为元，则B种月饼单价为元， 由题意得：； 故答案为：． 21．为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了间教室，总投资追加了万元．根据题意，实际每间教室的改造费用为_____万元． 【答案】 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系．设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元，根据“实际每间建设费用增加了，并比原计划多建设了5间教室，总投资追加了40万元”列出方程求解即可． 【详解】解：设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， （万元）； 答：实际每间教室的建设费用是万元； 故答案为：． 22．关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)2或1 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数： （1）先将分式方程化为整式方程，求出解后代入检验即可； （2）先解方程，用含k的式子表示出x，，若该方程无解，则或，分别求解即可． 【详解】（1）解：时，关于的方程为， 化为整式方程，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 解得， 当时，， 因此该方程的解为； （2）解：， 等号两边同时乘以，得：， 解得， 若该方程无解，有两种情况： ，解得； ，即，解得，经检验符合， 综上可知，的值为2或1． 23．某项工程需要在规定的时间内完成，若甲队单独做正好可以如期完成，若乙队单独做，将会延期三天完成．现由甲乙两队合作两天，余下的工程由乙队单独做，恰好也如期完成． (1)问规定的工期是多少天？ (2)若先由甲乙两队合作两天，余下的工程再由甲队单独做三天能如期完成吗？为什么？ 【答案】(1)规定的工期为天 (2)能完成，理由见解析 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． （1）设规定的工期为天，则乙完成需要天，根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解； （2）由（1）可得，甲完成需要天，乙完成需要天，再根据题意列式计算即可得解． 【详解】（1）解：设规定的工期为天，则乙完成需要天， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴规定的工期为天； （2）解：能完成，理由如下： 由（1）可得，甲完成需要天，乙完成需要天， ， 故先由甲乙两队合作两天，余下的工程再由甲队单独做三天能如期完成． 24．已知关于的分式方程． (1)当分式方程有增根时，求的值． (2)当分式方程的解为正数时，求的取值范围． (3)当分式方程有整数解，且时，直接写出所有满足条件的整数的和． 【答案】(1) (2)且 (3) 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了分式方程的相关知识，正确理解分式方程的增根是关键； （1）先解分式方程求出方程的根，再把增根代入即可求解； （2）根据题意可得：且，再代入方程的解，求解不等式即可； （3）先根据得到x的范围，进而得到方程的整数解，即可得出m的值，再求和即可． 【详解】（1）解：分式方程去分母得：， 整理可得：， 当分式方程有增根时，即， 则， 解得：； （2）解：根据题意可得：且， 即，且， 解得：且； （3）解：当时， ∵， ∴， 当分式方程有整数解时，， 由于当分式方程有增根时，即，故需要舍去， 当时，， 当时，， 经检验，都符合题意， ∴它们的和是． 25．某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积： 油价：8元/ 续航里程： 每千米行驶费用：元 新能源车 电池容量： 电价：1元/ 续航里程： 每千米行驶费用：______元 已知燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． (1)根据表格中的数据，新能源车每千米行驶的费用为______；（用含m的代数式表示） (2)请分别求出这两款车的每千米行驶费用； (3)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7600元，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用年行驶费用年其他费用）？ 【答案】(1) (2)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元 (3)当每年行驶里程超过时，买新能源车的年费用更低 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的行程问题、解分式方程（化为一元一次） 【分析】（1）根据表格信息解答即可； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，求出m，再将m的值代入和中，即可求出这两款车的每千米行驶费用； （3）设每年行驶里程为，列出不等式，然后求解即可． 本题考查了列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 【详解】（1）解：由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为（元）， 故答案为：元； （2）解：∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ∴， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴（元）， （元）， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； （3）解：设每年行驶里程为， 由题意，得：， 解得． 故当每年行驶里程超过时，买新能源车的年费用更低． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.5分式方程 学习目标导航 1、理解概念：了解分式方程的概念，能准确区分分式方程与整式方程。 2、掌握解法：掌握解可化为一元一次方程的分式方程的基本步骤（去分母、解整式方程、检验），深刻理解“检验”的必要性，并能识别增根。 3、建模应用：能针对行程、工程等具体问题列出分式方程，并运用“审、设、列、解、验、答”的步骤解决实际问题，体会数学建模思想。 洞悉◆教材知识 知识点01 分式方程的概念 1. 分式方程的概念： 分母中含有 未知数 的方程叫做分式方程。 注意只需要判断原方程即可，不能化简之后判断。 知识点02 解分式方程一般步骤 知识点03 列分式方程解应用题 2. 列分式方程解应用题的基本步骤： ①审：仔细审题，审清题意，找出题目中已知量与未知量的 等量关系 。 ②设：设出未知数。 ③列：列出分式方程。 ④解：解分式方程。 ⑤验：检验求出的解是不是分式方程的解，也要检验这个解是否符合实际问题。 ⑥答：写出答案。 知识点04 实际应用中的常见的基本数量关系 （1）行程问题：路程=速度×时间； （2）工程问题：工作总量=工作效率×工作时间； （3）利润问题：利润=售价-进价，利润率 核心题型◆归纳 题型01 判断分式方程 题型02 解分式方程 题型03 根据分式方程的解求值或求范围 题型04 分式方程的增根与无解 题型05 从实际问题中抽象出分式方程 题型06 列分式方程解实际问题 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 判断分式方程 【典例1】下列各式中，是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列关于x的方程中，不是分式方程的是（　　） A．x3 B． C． D．2 【变式2】下列方程：①1；②，③，④5，是分式方程的有（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 题型02 解分式方程 【典例1】解分式方程时，去分母正确的是（　　） A．1﹣2（x﹣3）＝1+x B．1﹣2（x﹣3）＝﹣1+x C．1﹣2（x﹣3）＝﹣1﹣x D．﹣1+2（3﹣x）＝1+x 【变式1】解分式方程： （1）； （2）． 【变式2】解分式方程： （1）； （2）． 题型03 根据分式方程的解求值或求范围 【典例1】已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【变式1】已知x＝1是分式方程的解，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 【变式2】已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m≤4且m≠3 C．m≤0 D．m≤0且m≠﹣1 题型04 分式方程的增根与无解 【典例1】若关于x的分式方程无解，则a的值是（　　） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【变式1】若关于x的方程无解，则m的值为（　　） A．3 B． C．3或 D．﹣1或 【变式2】若关于x的分式方程有解，则m的值为（　　） A．m≠4且m≠﹣6 B．m≠﹣4且m≠﹣6 C．m≠1且m≠﹣4且m≠6 D．m≠1且m≠4且m≠6 题型05 从实际问题中抽象出分式方程 【典例1】小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了6km，小亮骑行时间比小红少用了4min．设小红的骑行速度为xkm/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式1】《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2】DeepSeek掀起了“人工智能+”的热测，某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成．设R2单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 题型06 列分式方程解实际问题 【典例1】2022年北京冬奥会物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱，各种冰墩墩的玩偶，挂件等饰品应运而生．某学校决定购买A，B两种型号的冰墩墩饰品作为“校园读书节”活动奖品，已知A种比B种每件多20元，预算资金为1600元． （1）其中700元购买A种商品，其余资金购买B种商品，且购买B种的数量是A种的3倍．求A，B两种饰品的单价． （2）购买当日，正逢“五一”大促销，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：在不超过预算资金的前提下，准备购买A，B两种饰品共120件；问最多购买A种饰品多少件？ 【变式1】正所谓“道路通达，百业兴旺”，某村决定对村里的部分道路进行整改，将工程交由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天比乙工程队多修0.4km，如果甲工程队修6.4km所用的天数是乙工程队修9.6km所用天数的一半． （1）求甲，乙两个工程队每天各修路多少km？ （2）现计划再修建长度为24km的道路，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为2.4万元，乙队每天所需费用为1.5万元，求在总费用不超过33.6万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？ 【变式2】中华民族的传统节日一端午节将至，甲、乙两家公司为员工购买咸粽和甜粽两种口味的粽子礼盒作为节日福利． （1）已知一盒咸粽比一盒甜粽贵30元，甲公司工会统计得出，喜爱咸粽的员工人数是喜爱甜粽的员工人数的2倍，甲公司的采购根据员工的口味喜好分别花费9100元、3500元购买咸粽和甜粽，求一盒咸粽和一盒甜粽的价格各为多少元？ （2）乙公司由于订购较晚，在（1）的基础上，一盒咸粽和一盒甜粽的价格分别上涨20%、10%，乙公司预算不超过10180元为80名员工购买粽子礼盒，则乙公司最多购买多少盒咸粽？ ABC分层训练 1．在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 2．将关于x的分式方程去分母后所得整式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．关于x的方程  去分母转化为整式方程后产生增根，则m的值是（   ） A． B．4 C．或 D．或4 4．关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（    ）． A． B．且 C．且 D．且 5．汉十高铁全长约400千米，动车运行后的平均速度是原来火车的倍，这样由十堰到武汉的行驶时间缩短了3小时．设原来火车的平均速度为千米/时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 6．2024年12月20日济广高速全线通车，小明的爸爸开车从泰安到东平，若走原来的泰东路，行程80千米，而走新扩建成的济广高速，路程不但缩短了20千米，驾车时间也省了40分钟．若小明的爸爸在高速上驾车的速度比在普通道路上驾车的速度快，则小明的爸爸在普通道路上的速度是（   ） A．50千米/时 B．60千米/时 C．65千米/时 D．70千米/时 7．有下列方程：①；②；③；④．其中属于分式方程的是______．（请填写序号） 8．方程的解为__________． 9．某校组织七年级和八年级的学生到距离学校3千米的党史纪念馆参观学习，七年级学生步行从学校出发，10分钟后，八年级学生也步行从学校出发，八年级学生的步行速度是七年级学生的倍，两个年级学生恰好同时到达该纪念馆．设七年级学生步行的速度为x米/分，则可列方程为_______． 10．施工队要铺设一段全长3000米的管道，因在中考期间需停工3天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求实际每天施工多少米？ 设实际每天施工x米，则x满足的分式方程为________． 11．解分式方程： (1) (2) 12．节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，又可以用电做动力行驶某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电作动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶每千米用油费用比用电费用多0.5元，求汽车行驶中每千米用电费用是多少元？ 13．已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 14．若是方程的根，则m的值为（    ）． A．1 B． C．3 D． 15．若关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 16．甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地， ，求汽车实际行驶的速度？若设汽车原计划行驶的速度为． 由题意可列方程：． 则“ ”表示的条件是（     ） A．速度比原计划增加20%，结果提前1小时到达． B．速度比原计划增加20%，结果晚1小时到达． C．速度比原计划减少20%，结果提前1小时到达． D．速度比原计划减少20%，结果晚1小时到达． 17．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．设走路线一的平均车速为千米/小时，那么根据题意得（    ） A． B． C． D． 18．已知与的互为相反数，则 __________． 19．定义新运算“”：，如果，那么的值为____． 20．中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗，某商场在中秋节来临之际购进、两种汾阳月饼共1500个，已知购进种月饼和种月饼的费用分别为2000元和3000元，且种月饼的单价比种月饼单价多1元，求、两种月饼的单价各是多少？设种月饼单价为元，根据题意，列方程是______． 21．为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了间教室，总投资追加了万元．根据题意，实际每间教室的改造费用为_____万元． 22．关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程无解，求的值． 23．某项工程需要在规定的时间内完成，若甲队单独做正好可以如期完成，若乙队单独做，将会延期三天完成．现由甲乙两队合作两天，余下的工程由乙队单独做，恰好也如期完成． (1)问规定的工期是多少天？ (2)若先由甲乙两队合作两天，余下的工程再由甲队单独做三天能如期完成吗？为什么？ 24．已知关于的分式方程． (1)当分式方程有增根时，求的值． (2)当分式方程的解为正数时，求的取值范围． (3)当分式方程有整数解，且时，直接写出所有满足条件的整数的和． 25．某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积： 油价：8元/ 续航里程： 每千米行驶费用：元 新能源车 电池容量： 电价：1元/ 续航里程： 每千米行驶费用：______元 已知燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． (1)根据表格中的数据，新能源车每千米行驶的费用为______；（用含m的代数式表示） (2)请分别求出这两款车的每千米行驶费用； (3)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7600元，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用年行驶费用年其他费用）？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $