2.7单元整理与复习（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学北师大版

本讲义系统梳理北师大版四年级上册“线与角”单元核心知识，从直线、射线、线段的认识起步，逐步延伸到相交垂直、平移平行的判定，再到角的分类、度量及综合计算，构建由基础到应用的知识支架。 资料以“例题解析+分层练习”为特色，例题中“数端点、看直弯”等方法培养几何直观（数学眼光），角度计算综合题强化推理意识（数学思维），生活情境题（如墨斗弹线）提升应用意识（数学语言）。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，巩固知识。

单元整理与复习 | 北师大版四年级上册数学 | 线与角全单元 单元整理与复习 线与角全单元 · 北师大版四年级上册 · 同步讲义 姓名＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿　评价＿＿＿＿＿＿ 目 录 　CONTENTS　● ● ● ▍ 例题解析 　线的认识：直线、射线与线段　例题 · 针对练习 5 题 2 　相交与垂直：画垂线与垂线段　例题 · 针对练习 6 题 3 　平移与平行：平行线的判定　例题 · 针对练习 2 题 5 　旋转与角：角的分类　例题 · 针对练习 2 题 7 　角的度量：读数与画角方法　例题 · 针对练习 5 题 8 　角度计算综合：平角链与拼角　例题 · 针对练习 4 题 10 ▍ 综合与答案 　分层练习　基础巩固 · 能力提升 · 思维拓展 11 　参考答案　逐题详解 15 全卷 6 个题型 · 42 道题 · 参考答案含详细解析 线的认识：直线、射线与线段 例题 直线有( )，射线有( )，线段有( )。（填序号） 【答案】 ① ②⑦ ④⑤ 【分析】直线：是直的，没有端点，可以向两端无限延伸；射线：是直的，只有1个端点，另一端可以无限延伸；线段：是直的，有2个端点，长度是固定的；据此判断即可。 【详解】①是直的，没有端点，向两端无限延伸，因此它是直线； ②和⑦都只有1个端点、整体是直的，它们是射线。 ④和⑤都有2个端点、整体是直的，它们是线段。 ③和⑥是弯曲的线，不属于这三类直的线。 【思路分析】 数端点、看直弯：直线没有端点，射线 1 个端点，线段 2 个端点； ① 向两端无限延伸是直线，②⑦ 只向一边延伸是射线，④⑤ 有两个端点是线段，③⑥ 是曲线。 【规范解答】 直线①；射线②⑦；线段④⑤ 跟着老师学一学　● ● ● 线段“两头堵”、射线“一头跑”、直线“两头跑”——先数端点，再看是不是直的，分类就不会乱。 针对练习 1．过两点，能画（　　）条直线。A．0　B．1　C．2　D．无数 2．天天画了一条1厘米长的线段，下列符合要求的是（    ）。 A． B． C． D． 3．下图中一共有（　　）条射线，组成了（　　）个角，其中有（　　）个钝角。 4．墨斗被认为是“百作艺匠祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线迹的重要工具。如图，墨斗能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，利用的是（　　）。 5．把一根木条固定在墙上至少需要（　　）颗钢钉。A．1　B．2　C．3 相交与垂直：画垂线与垂线段 例题 下面画垂线的方法中，错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用三角尺画垂线的核心要求：三角尺的一条直角边必须与已知直线重合，沿另一条直角边画出的线才与已知直线垂直。 明确用量角器画垂线的核心要求：量角器的0刻度线要与已知直线重合，所画直线对应90°刻度线的位置即可。 逐一核对每个选项的操作是否符合上述两种画垂线方法的规范，判断操作是否能保证画出的线与已知线夹角为90°。 【详解】A．用左边的三角形与已知直线对齐，另一个三角形的一直角边和已知直线对齐的边重合，沿这个三角形的另一直角边画直线，就是已知直线的垂线；因此能保证画出垂线；方法正确。 B．三角板没有把直角边和已知直线对齐，没法保证画出的线和已知直线垂直；方法错误。 C．量角器把底边和已知直线重合，对准90°刻度线，能画出垂线；方法正确。 D．把三角板的一条直角边和已知直线完全重合，沿着另一条直角边画线，是正确画垂线的方法。方法正确。 【思路分析】 画垂线的关键是“边对边”：三角尺（或量角器）的一条直角边要与已知直线重合； A、C、D 都做到了重合，B 中三角尺的直角边没有与已知直线对齐，画出的线不垂直。 【规范解答】 B 跟着老师学一学　● ● ● 画垂线口诀——边对边、沿边画：谁和已知直线重合，谁画出的线才垂直。没对齐就画，垂足就“歪”了。 针对练习 6．两条直线相交，形成四个角，其中一个是钝角，那么与它相邻的一定是（    ）。 A．钝角 B．直角 C．锐角 D．平角 7．把一张正方形纸沿对角顶点分别对折一次，两条折痕互相（　　）。 8．如图，同一平面内，与线段CD互相垂直的线段有（　　）条。 9．两条平行线之间可以画（　　）条垂直的线段。A．1　B．2　C．3　D．无数 10．一个长方形，相对的两条边互相（　　），相邻的两条边互相（　　）。 11．在“A、W、X、E、Q、H”这六个字母中，既有互相平行的线段，又含有互相垂直的线段的字母有（　　）个。 平移与平行：平行线的判定 例题 根据下图回答问题。 (1)线段( )与线段( )互相垂直。 (2)线段( )与线段( )互相平行。 【答案】(1) AB BC (2) AB DC 【分析】两条线段相交成直角就互相垂直，图里B点和C点都标了直角符号，说明AB和BC相交成直角、BC和CD也相交成直角，任选一组填写都正确。 同一平面内不相交的两条线段互相平行，图里的AB和CD都垂直于BC，不会相交，所以它们互相平行。 【详解】（1）线段AB与线段BC互相垂直；线段DC与线段BC互相垂直。 （2）线段AB与线段DC互相平行。 【思路分析】 相交成直角的两条线段互相垂直：图上 B、C 处标了直角符号，AB⊥BC（DC⊥BC 也可以）； 同一平面内不相交的两条线段互相平行：AB 和 DC 都垂直于 BC，不会相交，AB∥DC。 【规范解答】 (1)AB；BC　(2)AB；DC 跟着老师学一学　● ● ● 判断平行先看“会不会撞上”：垂直符号是图上的路标——都垂直于同一条线的两条线，互相平行。 针对练习 12．右图是航模社团使用无人机拍摄的校内道路图。图中（　　）和（　　）互相垂直，（　　）和（　　）互相平行。 13．华华家木梯少了一根横梁，哥哥用木条把木梯修理后如下图，你觉得哥哥修理得怎么样？说说你的想法。 旋转与角：角的分类 例题 　一位同学做广播体操的过程中，她一侧的手臂和身体形成的角度变化情况为（　　）角→（　　）角→（　　）角→（　　）角。 【思路分析】 手臂贴在身侧，与身体成锐角；侧平举时成直角； 继续向上抬，大于直角是钝角；举到头顶成一条直线时是平角。 【规范解答】 锐；直；钝；平 跟着老师学一学　● ● ● 角是一条射线绕端点旋转出来的：转得越多，角越大——锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角。 针对练习 14．冬奥会上一位滑雪运动员做了一个“空中翻转1080°”的动作，是指该运动员在空中翻转（　　）圈。 15．把一个钝角分成两个角，其中一个是直角，则另一个是（　　）角；三个同样大的角刚好组成一个平角，每个角是（　　）°，都是（　　）角。 角的度量：读数与画角方法 例题 两个小朋友一起用量角器量∠1的大小，( )读的度数对。 【答案】淘气 【分析】量角器的使用规则：角的顶点要和量角器中心重合，角的一条边要和量角器的0刻度线对齐，角的另一条边要和量角器对应的度数， 先看角的一条边对齐的是量角器的哪圈0刻度线，确定读数要对应看外圈还是内圈的刻度。找到∠1的另一条边对应的刻度，就是角的度数。 【详解】∠1的顶点要和量角器中心重合，它的一条边与外圈的0刻度线对齐，它的另一条边对应外圈的刻度为150°，所以∠1是150°，因此淘气读的度数对。 【思路分析】 读数先认 0° 线：角的一条边与哪一圈的 0° 刻度线对齐，就读哪一圈的刻度； ∠1 的一条边与外圈 0° 线对齐，另一条边指外圈 150°，读 150° 才对。 【规范解答】 淘气 跟着老师学一学　● ● ● 量角读数不着急，先找 0° 在哪一圈；内外圈刻度像双胞胎，和永远是 180°。 针对练习 16．度量一个角，角的顶点对准量角器的中心，角的一条边对着量角器上180°刻度线，另一条边对着60°刻度线，这个角可能是（　　）°，也可能是（　　）°。 17．下图中（　　）点可以表示105°；图中 B 点表示的是（　　）的度数。（填“锐角”“直角”“钝角”“平角”或“周角”） 18．“奋进”小组的同学想画一个105°的角，他们想到了以下四种方法，正确的有（　　）种。 19．典典从风筝之都购买了一个风筝，他用量角器测量风筝上的一个角时，误把内圈度数读成了外圈度数，量出的角是105°，这个角实际是（　　）°。 20．典典周日早上要去参加舞蹈表演，上午9时10分从家里出发，此时钟面上时针和分针所形成的夹角（如图）大约是（　　）。 角度计算综合：平角链与拼角 例题 如下图，已知∠1＝30°，∠2＝( )°，∠3＝( )°，∠4＝( )°。 【答案】 150 30 150 【分析】平角是180°的角；由题图可知，∠1与∠2组成平角，所以∠2＝180°－∠1；∠1与∠4组成平角，所以∠4＝180°－∠1；∠3与∠2组成平角，所以∠3＝180°－∠2；据此解答。 【详解】∠2＝180°－∠1 ＝180°－30° ＝150° ∠4＝180°－∠1 ＝180°－30° ＝150° ∠3＝180°－∠2 ＝180°－150° ＝30° 【思路分析】 ∠1 与 ∠2、∠1 与 ∠4 都拼在一条直线上，组成平角 180°； ∠2＝180°−30°＝150°，∠4＝150°；∠3 与 ∠2 拼成平角：∠3＝180°−150°＝30°。 【规范解答】 150；30；150 跟着老师学一学　● ● ● 平角链计算只靠一招：拼在一条直线上的角合起来是 180°，知道几个就能求出剩下的。 针对练习 21．下面度数的角中，能用一副三角板画出来的是（　　）。A．35°　B．175°　C．75°　D．100° 22．把一副三角板拼在一起（如图），则∠1＝（　　）°，∠2＝（　　）°。 23．如图所示，古代把太阳运行的轨迹称为“黄道”，并把它24等分，每15°为一个节气。图中（　　）节气与立春形成的小夹角正好等于105°。 24．汽车有一双360°的“眼睛”。如图，司机通过前方能观察到的最大角度约是180°；通过左方和右方，司机分别能观察到的最大角度约是40°。通过车内后视镜，司机能观察到的角度大约是多少度？ 分层练习 ★ 基础巩固 → ★★ 能力提升 → ★★★ 思维拓展 　★　基础巩固　● ● ● 25．按要求画图。(1)如图，以点A为顶点，AB为一条边，在AB上方用量角器画出40°的角；以点B为顶点，AB为一条边，在AB上方画出80°的角，并使两条射线相交于点C。(2)量一量，∠C的度数是（　　）。 26．图中与线段AB互相平行的有（　　）条，与线段BC互相垂直的有（　　）条。 27．在同一个平面中，互相平行的直线a与直线b之间的距离是2厘米，互相平行的直线b与直线c之间的距离是5厘米，直线a与直线c之间的距离是多少厘米？ 28．如图，一把由7根竹签均匀分布组成的纸扇完全打开后，形成了126°的角，每相邻两根竹签之间所形成的角的度数是（　　）°。 　★★　能力提升　● ● ● 29．应用上面的发现（四边形的四个角的度数和是360°）算一算，下图中的∠5＝（　　）°。 30．在跳水比赛中，某运动员做了一个“向前后翻腾两周半屈体”的动作，这名运动员一共转了（　　）°。 31．如图，共端点A的射线a与d、b与e、c与f分别互相垂直，∠(a,b)＝30°，∠(e,f)＝45°，那么射线c与射线d的夹角是（　　）°。 32．你是一名城市规划师，下图是“未来街区”的规划草图。(1)为缓解交通压力，需规划一条过点B与主干道AC平行的地下隧道，请在图中画出隧道的位置。(2)为方便A区居民快速到达中央绿化带BC，需修建一条最短的人行步道，请画出步道的位置。 　★★★　思维拓展　● ● ● 33．如图，∠1＝∠2＝∠3，图中所有锐角的度数和是200°，∠1＝（　　）°。 34．我国古代数学家墨子对平行给出了这样的定义：“平，同高也”。结合本单元所学知识，说说这句话的意思。 35．钟面上，分针从“12”走到“4”，转过的角度是多少度？时针从“3”走到“6”，转过的角度是多少度？ 36．把一个周角平均分成6份，每份是多少度？比一个平角小60°的角是多少度？它是什么角？ 参考答案 题型01 · 线的认识：直线、射线与线段 · 针对练习 1．B 经过两点只能画 1 条直线（两点确定一条直线）； 过一点可以画无数条直线，但过两点只有 1 条。 2．【答案】A 【分析】直线：是直的，没有端点，可以向两端无限延伸； 射线：是直的，只有1个端点，另一端可以无限延伸； 线段：是直的，有2个端点，长度是固定的；据此逐项判断即可。 【详解】 A．有2个端点、整体是直的，它是线段；符合题意。 B．    弯曲的线，不属于这三类直的线；不符合题意。 C．    是直的，没有端点，向两端无限延伸，因此它是直线；不符合题意。 D．只有1个端点、整体是直的，它是射线；不符合题意。 综上可知，只有A选项是是线段，因此A选项可以表示天天画的一条1厘米长的线段。 3．4；6；2 从同一个端点出发的射线有 4 条； 每两条射线都组成 1 个角，4 条射线共组成 4×3÷2＝6 个角； 其中大于 90° 而小于 180° 的钝角有 2 个。 4．D（两点确定一条直线） 墨斗固定两个点，两点之间只能弹出一条笔直的墨线； 利用的数学原理是“两点确定一条直线”。 （A、B 说的是线段长短的性质，C 的说法本身不对，都不合题意。） 5．B 一颗钉子只是一个点，木条还能绕着它转； 钉两颗钉子就确定了两个点，两点确定一条直线，木条就固定了。 题型02 · 相交与垂直：画垂线与垂线段 · 针对练习 6．【答案】C 【分析】两条直线相交，形成的相邻两个角组成一个平角，是180°。一个角是钝角，是大于90°小于180°的角，则另一个角小于90°，是一个锐角。 【详解】由分析得出：两条直线相交，形成四个角，其中一个是钝角，那么与它相邻的一定是锐角。 故答案为：C 7．垂直 两条折痕都经过正方形的中心，一条沿对角线方向，另一条与它相交成直角； 所以两条折痕互相垂直（交点就是正方形的中心）。 8．4（DA、DE、CB、CF） 垂直的两条线段必须相交成直角，先找与 CD 相交成直角的线段； 上面一排：DA、CB 都与 CD 垂直；下面一排：DE、CF 也与 CD 垂直； 一共 4 条：DA、DE、CB、CF（不与 CD 相交的线段不算垂直）。 9．D 在两条平行线之间，任取一点都能向另一条线画垂线段； 这样的点有无数个，所以能画无数条垂直的线段，而且它们的长度都相等。 10．平行；垂直 长方形对边永不相交，互相平行； 长方形四个角都是直角，相邻两条边相交成直角，互相垂直。 11．2（E、H） E：三横互相平行，长横与三竖互相垂直——既有平行又有垂直； H：两横互相平行，两竖与横互相垂直——既有平行又有垂直； A、W、X 只有斜线相交，没有互相平行的线段；Q 只有曲线和一条斜线。所以共 2 个。 题型03 · 平移与平行：平行线的判定 · 针对练习 12．明德路⊥诚信路；诚信路∥乐育路 明德路与诚信路相交成直角，互相垂直； 诚信路与乐育路方向相同、永不相交，互相平行； （找平行看方向，找垂直看直角。） 13．修得不好：AB 与其他横梁不平行 木梯的横梁都应该互相平行，这样梯级才均匀、受力才稳； 新钉的横梁 AB 与下面的横梁不平行（两头距离不一样），梯子会歪； 应该用平移的方法，把 AB 钉得与下面的横梁平行。 题型04 · 旋转与角：角的分类 · 针对练习 14．3 转一整圈是 1 周角，等于 360°； 1080°÷360°＝3，所以翻转了 3 圈。 15．锐；60；锐 钝角大于 90°，减去一个直角 90°，剩下的小于 90°，是锐角； 平角是 180°，180°÷3＝60°，每个角 60°； 60° 小于 90°，都是锐角。 题型05 · 角的度量：读数与画角方法 · 针对练习 16．120；60 角的一条边对着的 180° 刻度线，恰好是另一圈的 0° 线； 若 60° 与它读同一圈：两刻度相减 180°−60°＝120°； 若 60° 读的是另一圈：换算到同一圈是 120°，夹角 180°−120°＝60°； 所以这个角可能是 120°，也可能是 60°。 17．A；平角 0° 到 360° 平均分成 12 大格，每格 30°；A 点在 90° 再往右 1 格，是 105°； B 点正好在 180° 处，180° 的角是平角。 18．2 ① 用量角器画 105°——正确； ② 圆形纸对折 3 次展开，得到 360°÷8＝45° 的份，画不出 105°——错误； ③ 用三角板 45° 角和 60° 角拼在一起：45°+60°＝105°——正确； ④ 用三角板 90° 角和 45° 角拼：90°+45°＝135°，不是 105°——错误； 正确的有 2 种。 19．75 同一条刻度线上，内圈读数＋外圈读数＝180°； 读成外圈 105°，实际应读内圈：180°−105°＝75°； 这个角实际是 75°。 20．C（150°） 9:10 时，分针指向 2，时针刚过 9； 从 9 到 2 之间有 5 个大格，每格 30°，时针又偏过一点，夹角略小于 150°，约 145°； 最接近 150°，选 C。 题型06 · 角度计算综合：平角链与拼角 · 针对练习 21．C 一副三角板上的角：45°、45°、90° 和 30°、60°、90°； 用三角板画角，度数都是这些角的和：75°＝30°＋45°，可以画出； 35°、175°、100° 都不是这些角的和（三角板能画出的角都是 15° 的倍数）。 22．75；135 ∠1 与三角板的 45° 角、60° 角拼成平角：∠1＝180°−45°−60°＝75°； ∠2 与三角板的 45° 角拼成平角：∠2＝180°−45°＝135°。 23．C（小满或霜降） 每个节气间隔 360°÷24＝15°，105° 里正好有 105°÷15°＝7 格； 从立春逆时针数 7 格到小满，顺时针数 7 格到霜降； 所以与立春夹角 105° 的是小满或霜降，选 C。 24．100° 一周角 360°，被分成了前方、左方、右方和车内后视镜四部分； 360°−180°−40°−40°＝100°； 司机通过车内后视镜能观察到的角度大约是 100°。 ★ 基础巩固 25．60°（画法不唯一） (1) 量角器中心对准 A（B），0°线与 AB 重合，在上方 40°（80°）处点点、连线，两条射线交于 C； (2) 用量角器量 ∠C：中心对 C、0°线对一条边，量得约 60°； （到了下学期还会知道：三角形三个角的和是 180°，180°−40°−80°＝60°，正好对上。） 26．3；2 与 AB 平行（方向相同、永不相交）：DC、内部小正方形的上边和下边，共 3 条； 与 BC 垂直（与 BC 相交成直角）：AB、DC，共 2 条； （四年级口径：垂直必须相交，图中的斜线不与 BC 相交，不算垂直。） 27．3 厘米或 7 厘米 直线 c 可能在 a 的另一侧：2+5＝7（厘米）； 直线 c 也可能与 a 在 b 的同侧：5−2＝3（厘米）； 所以直线 a 与 c 之间的距离是 3 厘米或 7 厘米（要分两种情况讨论）。 28．21 7 根竹签之间只有 7−1＝6 个间隔； 126°÷6＝21°，每相邻两根竹签的夹角是 21°。 ★★ 能力提升 29．137 四边形四个角的度数和是 360°； ∠5＝360°−125°−52°−46°＝137°。 30．900 转一整圈是 360°，两周半就是 2.5 圈； 360°×2.5＝900°，一共转了 900°。 31．15 c⊥f，设 f 为 0°，则 c 在 90°；∠(e,f)=45°，e 在 45°； b⊥e：b 在 45°+90°=135°；∠(a,b)=30°：a 在 135°+30°=165°； a⊥d：d 在 165°−90°=75°； 射线 c（90°）与射线 d（75°）的夹角：90°−75°＝15°。 32．画法见解析 (1) 过 B 画 AC 的平行线：把三角尺的一条边与 AC 重合，用直尺靠紧另一条边，平移三角尺到 B，沿边画直线； (2) 过 A 向 BC 画垂线段：用三角尺的一条直角边与 BC 重合，另一条直角边过 A 画线，交 BC 于垂足； 垂线段最短，所以最短的人行步道就是 A 到 BC 的垂线段。 ★★★ 思维拓展 33．20 图中 4 条射线共组成 6 个角，每个角都小于 90°，都是锐角； 设 ∠1＝x：3 个单角共 3x，2 个两角组合共 4x，1 个三角组合共 3x，合起来 10x； 10x＝200°，x＝20°，所以 ∠1＝20°。 34．平行线之间距离处处相等 “同高”就是说两条直线之间的距离（垂直线段的长）处处一样； 在两条平行线之间画垂直线段，无论画在哪里，长度都相等； 这正是“平行线之间距离处处相等”，墨子用一句话说出了平行的本质。 35．120°；90° 钟面一圈 360°，12 个大格，每格 30°：分针从 12 到 4 走 4 格，30°×4＝120°； 时针从 3 到 6 走 3 格，30°×3＝90°。 36．60°；120°；钝角 周角 360°：360°÷6＝60°；平角 180°：180°−60°＝120°； 90°＜120°＜180°，它是钝角。 — — 学科网（北京）股份有限公司 $