3.3.2 抛物线的简单几何性质第1课时 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“抛物线及其标准方程”，涵盖标准方程、几何性质、焦半径公式及焦点弦问题。通过天文现象对比椭圆、双曲线轨道特征，引导学生思考抛物线几何特征，搭建前后知识联系的学习支架。 以情境导入激发探究欲，用表格系统梳理不同标准方程的几何性质，例题与变式题分层递进。注重培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维分析问题，提升逻辑推理与知识应用能力，适合自主学习与教学效果评估。

第三章　圆锥曲线的方程 3.3抛物线 3.3.1抛物线及其标准方程 学习目标 1、通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想。2、抛物线的简单应用。 问题 椭圆轨道的行星会周期性回归，双曲线轨道的彗星一去不返，处于临界状态的抛物线轨道彗星，掠过近日点后同样不会折返。 结合抛物线的图形思考：抛物线有哪些几何特征？为什么它不存在对称的 “远日点”？ 一、抛物线的简单几何性质 知识梳理 标准方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 【例1】对抛物线，下列描述正确的是（ ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【变式1-1】下列抛物线中，开口最小的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知抛物线y=2ax2(a>0)的焦点到准线的距离为1,则a=(　　) A.2 B.1 C. D. 2、 抛物线的焦半径公式 知识梳理 设抛物线上一点的坐标为，焦点为. （1）抛物线，. （2）抛物线，. （3）抛物线，. （4）抛物线，. 【例2】抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为________. 【变式2-1】已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线上的两点，且|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到轴的距离为(　　) A. B.1 C. D. 3、 抛物线焦点弦问题 知识梳理 是抛物线过焦点的一条弦，设，， 【例3】已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，则（ ） A．1 B．3 C．6 D．8 【变式3-1】如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　) A.5 B.6 C. D. 巩固加练 1.抛物线的对称轴是直线（ ） A． B． C． D． 2.已知直线和直线：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是(　　) A. B.2 C. D.3 3.直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ） A．6 B．8 C．2 D．4 4.设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角为(　　) A. B. C.或 D.或 5.（多选）平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线．则（ ） A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称 C．当点在曲线上时， D．当点在曲线上时，点到直线的距离 6.设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为________. 7.已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线交于A，两点，线段中点的纵坐标为，求。 8.设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4. (1)求直线AB的斜率； (2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章　圆锥曲线的方程 3.3抛物线 3.3.1抛物线及其标准方程 学习目标 1、通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想。2、抛物线的简单应用。 问题 椭圆轨道的行星会周期性回归，双曲线轨道的彗星一去不返，处于临界状态的抛物线轨道彗星，掠过近日点后同样不会折返。 结合抛物线的图形思考：抛物线有哪些几何特征？为什么它不存在对称的 “远日点”？ 参考答案 椭圆、双曲线都有对称中心，具备两个分支或者闭合环路；抛物线没有对称中心，只有单一开口。正是这种独特的几何结构，决定了抛物线轨道上的彗星经过近日点后持续向外飞行，永远不会折返。 一、抛物线的简单几何性质 知识梳理 标准方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 【例1】对抛物线，下列描述正确的是（ ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【解析】由题知，该抛物线的标准方程为，则该抛物线开口向上，焦点坐标为.故选：A 【变式1-1】下列抛物线中，开口最小的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】P和开口正相关。故选A. 【变式1-2】已知抛物线y=2ax2(a>0)的焦点到准线的距离为1,则a=(　　) A.2 B.1 C. D. 【答案】D 【解析】 抛物线方程可化为x2=y(a>0),由抛物线的焦点到准线的距离为1,可得=1,解得a= 2、 抛物线的焦半径公式 知识梳理 设抛物线上一点的坐标为，焦点为. （1）抛物线，. （2）抛物线，. （3）抛物线，. （4）抛物线，. 【例2】抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为________. 【答案】2 【解析】设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，得x1＝3，y1＝±2.故满足条件的点的个数为2. 【变式2-1】已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线上的两点，且|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到轴的距离为(　　) A. B.1 C. D. 【答案】C 【解析】如图所示，设抛物线的准线为，AB的中点为M，作AA1⊥于点A1，BB1⊥于点B1，MM1⊥于点M1，由抛物线的方程知p＝，由抛物线定义知|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，所以点M到y轴 的距离为|MM1|－＝(|AA1|＋|BB1|)－＝×3－＝，故选C. 3、 抛物线焦点弦问题 知识梳理 是抛物线过焦点的一条弦，设，， 【例3】已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，则（ ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】D 【解析】由题意可知，所以直线与的方程为，联立直线方程和抛物线方程，可得，设则， 所以.故选：D 【变式3-1】如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　) A.5 B.6 C. D. 【答案】C 【解析】如图，设与x轴交于点M，过点A作AD⊥交于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2，所以A(3，2)，又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝.故选C. 巩固加练 1.抛物线的对称轴是直线（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为抛物线：，所以其关于轴对称，即对称轴为直线．故选：D． 2.已知直线和直线：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是(　　) A. B.2 C. D.3 【答案】B 【解析】由题可知：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1，0)，则动点P到的距离等于|PF|，则动点P到直线和直线的距离之和的最小值，即焦点F到直线：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2. 3.直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ） A．6 B．8 C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为抛物线的焦点坐标为，又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以．故选：B 4.设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角为(　　) A. B. C.或 D.或 【答案】C 【解析】如图，作AH⊥l于H，则|AH|＝|FA|＝3，作FE⊥AH于E，则|AE|＝3－＝，在Rt△AEF中，cos∠EAF＝＝，∴∠EAF＝，即直线FA的倾斜角为，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为. 5.（多选）平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线．则（ ） A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称 C．当点在曲线上时， D．当点在曲线上时，点到直线的距离 【答案】AB 【解析】由抛物线定义，知曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为，故A正确； 若点在曲线上，则点也在曲线上，故曲线关于轴对称，故B正确； 由知，故C错误； 点到直线的距离，所以D错误故选：AB 6.设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为________. 【答案】3 【解析】依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，所以x1＋x2＋x3＝3×＝，则||＋||＋||＝＋＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3. 7.已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线交于A，两点，线段中点的纵坐标为，求。 【答案】8 【解析】记AB中点为，设，则， 显然，所以由点差法得， 由题知，，所以， 易得直AB方程为， 则，即， 所以 8.设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4. (1)求直线AB的斜率； (2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程. 【答案】(1)1；(2)x－y＋7＝0 【解析】　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4. 于是直线AB的斜率k＝＝＝1. (2)由y＝，得y′＝. 设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1). 设直线AB的方程为y＝x＋m， 故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|. 将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0. 当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2. 从而|AB|＝|x1－x2|＝4. 由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)， 解得m＝7. 所以直线AB的方程为x－y＋7＝0. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $