3.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦抛物线与直线关系，涵盖位置关系判定、相交弦长及焦点弦结论等核心知识点。以彗星轨道变化为情境导入，衔接抛物线几何性质，搭建从理论到应用的学习支架。 资料通过问题驱动与分层练习，结合例题变式深化理解，引导学生用数学眼光观察现实情境，用数学思维推理位置关系，提升数学语言表达与应用能力，助力自主学习与逻辑思维发展。

第三章　圆锥曲线的方程 3.3抛物线 3.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 抛物线与直线关系 学习目标 1、通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想。2、抛物线的简单应用。 问题 抛物线轨道的彗星在宇宙中运动，如果彗星受到其他天体的引力扰动，运动轨迹变为一条直线。这条直线与抛物线轨道会产生哪些位置关系？怎样判断直线与抛物线有没有公共交点？ 1、 直线与抛物线的位置关系 知识梳理 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： ①相交： ； ②相切： ； ③相离： . 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1） ，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2） .设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交， . 【例1】设直线，抛物线，当为何值时，与相切 ？相交？相离？ 【变式1-1】直线与抛物线的位置关系为（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【例2】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________. 二、直线与抛物线相交弦长问题 知识梳理 一般弦长：设为抛物线的弦，，， 弦长公式： . 【例3】已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.若＝3，求|AB|. 【变式3-1】已知抛物线的焦点为上有一点到焦点的距离为3，过焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 三、抛物线焦点弦的常用结论 知识梳理 设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则 (1) (2) (3) (4)；(5)； (6)； (7)以为直径的圆与准线相切，以为直径的圆与轴相切 【例4】已知过抛物线的焦点的直线与交于两点，若，则点的横坐标为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式4-1】（多选）已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，，过两点分别作抛物线的切线，交于点.下列说法正确的是（    ） A． B．（为坐标原点）的面积为 C． D．点的纵坐标为-1 【变式4-2】已知点为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 巩固加练 1.直线与抛物线有且只有一个公共点，则，满足的条件是（ ） A． B．， C．， D．或 2.设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3.过点与抛物线只有一个公共点的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 4.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F和抛物线上一点M(2，2)的直线l交抛物线于另一点N，则|NF|∶|FM|等于(　　) A.1∶2 B.1∶3 C.1∶ D.1∶ 5.（多选）已知直线与抛物线相切，则（ ） A． B． C． D． 6.（多选）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，为抛物线上一个动点，，则（   ） A．的坐标为 B．的最小值为2 C．若，则过与抛物线相切的直线的方程为 D．的最小值为3 7.已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交于两点． (1)求线段的长度； (2)若是上两点，是坐标原点，直线的斜率之积等于，求证：直线过定点． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章　圆锥曲线的方程 3.3抛物线 3.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 抛物线与直线关系 学习目标 1、通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想。2、抛物线的简单应用。 问题 抛物线轨道的彗星在宇宙中运动，如果彗星受到其他天体的引力扰动，运动轨迹变为一条直线。这条直线与抛物线轨道会产生哪些位置关系？怎样判断直线与抛物线有没有公共交点？ 参考答案 直线与抛物线有三种位置关系：相交（两个公共点）、相切（一个公共点）、只有一个交点但不相切（直线平行于抛物线对称轴）、无公共点。 1、 直线与抛物线的位置关系 知识梳理 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： ①相交：有两个公共点或一个公共点； ②相切：有一个公共点； ③相离：没有公共点. 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在.设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. 【例1】设直线，抛物线，当为何值时，与相切 ？相交？相离？ 【答案】当时，与相切；当时，与相交； 当时，与相离. 【解析】联立方程，得 消去并整理，得. 当时，方程为一元二次方程. 所以. 当，即时，与相切； 当，即且时，与相交； 当，即时，与相离. 当时，直线的方程为，显然与抛物线交于点. 综上所述，当时，与相切；当时，与相交； 当时，与相离. 【变式1-1】直线与抛物线的位置关系为（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【解析】直线过定点，∵，∴在抛物线内部， ∴直线与抛物线相交，故选：A 【例2】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________. 【答案】. 【解析】　如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线为4x＋3y＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立得消去y整理得3x2－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－，故切线方程为4x＋3y－＝0，抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d＝＝. 二、直线与抛物线相交弦长问题 知识梳理 一般弦长：设为抛物线的弦，，， 弦长公式：（为直线的斜率，且）. 【例3】已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.若＝3，求|AB|. 【答案】 【解析】设直线l的方程为：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2). 由＝3可得y1＝－3y2.由可得y2－2y＋2t＝0，其中Δ＝4－8t>0， 所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝. 所以A(3，3)，B，故|AB|＝. 【变式3-1】已知抛物线的焦点为上有一点到焦点的距离为3，过焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由抛物线定义可得，因此所以抛物线的方程为，焦点的坐标为 （2）设直线的方程为，与联立，消元可得， ，设，则， 所以；解得. 所以原点到直线的距离为，所以 三、抛物线焦点弦的常用结论 知识梳理 设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则 (1) (2) (3) (4)；(5)； (6)； (7)以为直径的圆与准线相切，以为直径的圆与轴相切 【例4】已知过抛物线的焦点的直线与交于两点，若，则点的横坐标为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由题意，焦点，设直线， 联立可得，设， 则， 因为，即，所以，即， 所以，解得，则. 所以，点的横坐标为4. 【变式4-1】（多选）已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，，过两点分别作抛物线的切线，交于点.下列说法正确的是（    ） A． B．（为坐标原点）的面积为 C． D．点的纵坐标为-1 【答案】AB 【解析】 由题意，抛物线的焦点为，所以直线的方程为， 直线方程与抛物线方程联立，整理得， 设，所以 由，得，则 所以，开方可得或， 设点在，因为，所以， 则点在，因为，所以， 所以，所以，故A正确； 由，得，故B正确； 因为， 所以， 故C错误； 由选项A可知，直线，因为所以可变形为， 同理，直线，因为，所以可变形为， 两式相减可得，即， 因为且，所以. 所以点的纵坐标为2.故D错误. 【变式4-2】已知点为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【解析】抛物线的焦点， 过的斜率为0的直线为，直线与抛物线有且只有一个交点， 与条件矛盾，故直线的斜率不为0，故可设直线的方程为， 联立方程组，得， 方程的判别式， 设，则，，所以， 由抛物线的性质得， . 当且仅当时，等号成立， 故选：C. 巩固加练 1.直线与抛物线有且只有一个公共点，则，满足的条件是（ ） A． B．， C．， D．或 【答案】D 【解析】当时，直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意； 当时，由可得：， 若直线与抛物线有且只有一个公共点， 则，整理可得：，所以， 综上所述：或，故选：D. 2.设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 3.过点与抛物线只有一个公共点的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【解析】由已知，可得①当直线过点且与轴平行时，方程为，与抛物线只有一个公共点；②当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线只有一个公共点； ③当直线斜率存在时，设直线方程为，由可得，， ，解得，故直线方程.所以存在3条直线，，满足过点与抛物线只有一个公共点. 故选：C. 4.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F和抛物线上一点M(2，2)的直线l交抛物线于另一点N，则|NF|∶|FM|等于(　　) A.1∶2 B.1∶3 C.1∶ D.1∶ 【答案】A 【解析】抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1，0)，∵直线l过点F和点M(2，2)，∴直线l的方程为y＝2(x－1).由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，∴点N的横坐标为.∵抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∴|NF|＝，|MF|＝3，∴|NF|∶|MF|＝1∶2，故选A. 5.（多选）已知直线与抛物线相切，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】联立可得，由题意可得，解得.故选：BC. 6.（多选）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，为抛物线上一个动点，，则（   ） A．的坐标为 B．的最小值为2 C．若，则过与抛物线相切的直线的方程为 D．的最小值为3 【答案】ACD 【解析】对于A，由抛物线性质得的坐标为，故A正确， 对于B，当的斜率不存在时，可得的方程为，联立方程组，解得，，得到，，则，得到的最小值不可能为2，故B错误， 对于C，若，设切线方程为不为，联立方程组，可得，此时，解得，则，即，故C正确， 对于D，如图，作出符合题意的图形，作垂直于准线，由抛物线定义可得，当且仅当三点共线时取等，此时，可得，则的最小值为3，故D正确. 故选：ACD 7.已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交于两点． (1)求线段的长度； (2)若是上两点，是坐标原点，直线的斜率之积等于，求证：直线过定点． 【答案】(1)8 (2)证明见解析 【解析】（1）由题意得，所以的方程为， 设，， 联立方程，得， 所以，， 由抛物线的定义，得.   （2）易知直线的斜率不为，设直线，，， 联立方程，所以， 所以，，， 因为直线的斜率之积等于，即，即， 又，， 所以，即， 所以，解得， 所以直线过定点．   第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $