3.3.2 （第1课时）抛物线的简单几何性质 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质1导学案 姓名：___________________ 班级：___________________ 【学习目标】 课程标准 学科素养 1.掌握抛物线的几何性质．(重点) 2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点) 3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点) 1、直观想象 2、数学运算 3、逻辑推理 【自主学习】 1．抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 性质 焦点 准线 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 顶点 离心率 e＝ 2.焦点弦 直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝ . 【经典例题】 题型一 根据抛物线的性质求方程 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 (1)定位置:根据抛物线的几何性质等条件确定焦点的位置或开口方向. (2)设方程:根据确定的焦点位置或开口方向设出相应的方程,若不能确定,则要分情况讨论. (3)列方程:利用准线、焦点等条件列出关于p的方程,确定p的值. (4)写出方程:将求出的p值代入设出的方程中,确定抛物线方程. 例1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，求它的标准方程． [跟踪训练]1(1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为________． (2).已知抛物线y2=mx(m≠0)的准线与直线x=1的距离为3,求抛物线的方程. 题型二 抛物线的焦点弦问题 抛物线焦点弦问题的解法 (1)由于抛物线的焦点弦过焦点,因此与焦点弦有关的问题要结合抛物线的定义求解. (2)解决与焦点弦有关的问题时,一般先把过焦点的直线方程与抛物线方程联立,再结合根与系数的关系求解. (3)焦点弦长:设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2即可. 例2　斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段的长． [跟踪训练]2(1) 过抛物线y2=8x的焦点F作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=7,则线段AB的长为 _____________ (2)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过焦点F且倾斜角为60°的直线与抛物线相交于A,B两点,若|AB|=8,求抛物线的方程. 题型三 抛物线的性质及应用 例3 求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离． 【跟踪训练】3.已知点A(-3,0),B(3,0),动点P在抛物线y2=2x上移动,则·的最小值等于 . 【课后作业】 1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）关于x轴对称，并且经过点； （2）关于y轴对称，准线经过点； （3）准线在y轴的右侧，顶点到准线的距离是4； （4）焦点F在y轴负半轴上，经过横坐标为16的点P，且FP平行于准线． 2. 已知点A在抛物线y2=2px上,横坐标为8.若点A到焦点的距离为9,则p的值为(　　) A. B.1 C.2 D.4 3. 若抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p等于(　　) A.1 B.2 C.4 D.6 4．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为(　　) A．(4，±2)　 B．(±4，2) C．(±2,4) D．(2，±4) 5．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y 6．若抛物线y2＝2x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　) A．　　　　 B． C． D． 7．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是(　　) A．(2，±2) B．(1，±2) C．(1,2) D．(2,2) 8．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________. 9.垂直于x轴的直线交抛物线于A，B两点，且，则直线AB的方程为___________________ 10.抛物线y=x2上到直线2x-y=4距离最近的点的坐标是 . 11. 过点作斜率为1的直线l，交抛物线于A，B两点，求|AB|． 12.已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程． 13如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程． 10 学科网（北京）股份有限公司 $