3.3.2 抛物线的简单几何性质（第1课时）（分层作业） 数学人教A版 选择性必修第一册

**基本信息** 该同步练以三级梯度分层设计，覆盖抛物线定义理解至综合应用，通过基础巩固、公式应用到动态探究的路径，培养数学思维与几何直观，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|定义理解、开口方向判断|以选择题型考定义应用，如点到焦点距离问题，夯实概念认知| |提升层|直线与抛物线交点、弦长计算、标准方程求解|结合坐标运算，如弦长公式应用，强化数学运算能力| |综合层|中点弦、焦半径公式及动态几何问题|设置参数范围、最值探究题，如焦点弦中点轨迹，发展逻辑推理与模型意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 分层作业 3.3.2 抛物线的简单几何性质 目录 A组 巩固过关 题型01抛物线定义的理解. 题型02判断抛物线的开口方向… 题型03直线与抛物线交点相关问题 题型04判断直线与抛物线的位置关系. 题型05求直线与抛物线相交所得弦的弦长… 题型06抛物线的中点弦.… 题型07抛物线的焦半径公式… 题型08根据抛物线上的点求标准方程… B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 1/10 上好每一堂课 (第1课时) 2 。。。。。,。,。eee。。, 2 4 5 .7 9 11 15 17 19 19 19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A组 巩固过关 颗型01 题型01抛物线定义的理解 1.(2024-山东聊城二模)点P在抛物线”=8 上，若点P到点 2,0) 的距离为6，则点P到'轴的距离为 () A.4 B.5 C.6 D.7 2.(23-24高三上河北保定阶段检测)已知抛物线 C:x2=2py(p>0) 的焦点为F,P8)是C上一点 且P到F的距离与P到C的对称轴的距离之差为2，则P=() 1 A.2 B.1 C.2或4 D.4或36 3(2026陕西三模)设抛物线C,广=8的焦点为F,斜率不为1的直线'过点442），过点F作直线 PF+PH 的垂线，垂足为H,P是抛物线C上的一个动点，则 的最小值为() 3 A.2 B.2 C.6-V2 D.5-V2 颗型02 题型02判断抛物线的开口方向 y2,x2 4(25:26高=上天津西青阶段检测在同-一坐标系中，方程口+方-引与+=0（▣>b>0)的曲线大 致是() 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA 5.(2024-山东聊城二模)点P在抛物线=8x上，若点P到点20 的距离为6，则点P到'轴的距离 为() A.4 B.5 C.6 D.7 6(2324高=上广东湛江期中)已知因C的圆心为物线”=+2x+3的顶点，且C经过点6），则 圆C的方程为() A.（6-)'+0+2}2=20 B,c+1+0-2y2=20 c.(x-0'+0y+22=16 D.x+)+0-22=16 题型03 题型03直线与抛物线交点相关问题 7(2026安微宿州模拟预测)已知F是抛物线C:广=2pr(p>0 的焦点，直线与抛物线C相交于 d M,N两点，满足 MFN=2 3，,记线段MN的中点A到抛物线C的准线的距离为d,则AF的最大值为 () 3/10 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 82V5 C.3 D.4 2=2py(p>0) y=kx+m(m>0) 8.(2026高三·全国·专题练习)已知抛物线 ,直线 交抛物线于A、B两点， 2k(k≠0) 点A、B到y轴的距离的差为 则P的值为() A.1 B.2 C.4 D.与k和的值有关 9(2526高二上云南文山阶段检测)设0为坐标原点，直线=4与抛物线C。广=2>0)交于D, E两点，若OD⊥OE,则C的焦点坐标为() c.(1,0) D.(2,0) 题型04 题型04判断直线与抛物线的位置关系 2,4) y2=8x 10.(2026高三全国专题练习)过点 作直线与抛物线 只有一个公共点，这样的直线有() A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 (2,4) 2=8x 11.(2026高三全国专题练习)过点 作直线与抛物线 只有一个公共点，这样的直线有() A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 12.(2526高二下-上海期中)过点-1,0)且与抛物线广=4r仅有一个公共点的直线有条。 颗型05 题型05求直线与抛物线相交所得弦的弦长 13.(25-26高二下安徽芜湖期末)已知抛物线C:y=2pr(p>0)的焦点为R,直线 y三k2与 物线C交于点4，B,M=3,x轴上一点P满足P4=P8=5 ,则p的值为() 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B.1 C.2 D.2 C:y2=2px(p>0) 14.(2026贵州遵义模拟预测)已知直线过抛物 的焦点F,且直线与抛物线C交 于4,8两点，若直线的方程为”=K-2,则4() A.16 B.8 C.12 D.4 15.(2026陕西西安模拟预测)己知直线过抛物线 C:y=x 的焦点F,与抛物线C交于A,B 两点，且线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为() 3 5 A.2 B.2 C.2 D.3 题型06 题型06抛物线的中点弦 C:y2=4 A,B 16.(26-27高三上湖南长沙开学考试)过抛物线 4“的焦点F作直线'与C相交于4，B两点，点P 在y轴上，PA⊥PB,M为线段AB的中点，O为坐标原点，则∠OPM的取值范围是() 元元 A.62 B.42 c.32 D.6'3 17.(2627高三上交徽开学考试)己知在抛物线C:”=2px(p>0)上存在两个不同的点M,N关于直 线：)=3x-2对称，则N MN 的最大值是 C:y=4x 18.(2627高三上湖南长沙开学考试)过抛物线 的焦点F作直线'与C相交于48两点，点P 在y轴上，PA⊥PB,M为线段AB的中点，O为坐标原点，则∠OPM的取值范围是() πT π A.6'2 B.4'2 。.6 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型07 题型07抛物线的焦半径公式 C:y2=4 19.(26-27高三上·北京海淀·开学考试)已知抛物线 4“的焦点为F,过点尸的直线与抛物线C交于 点，若B A,B 点的横坐标之和为6，则1 () A.4 B.6 C.8 D.10 C:y2=2px(p>0) 20.(26-27高三上浙江开学考试)已知抛物线 的焦点为F,准线1与x轴的交点为B, 过抛物线上一点A作雅线1的重线，垂足为H,若F为线段B的中重线，且4=45，则P=（) A.1 B.2 C.4 D.8 21.(26-27高三上·福建泉州开学考试)记抛物 C:x=2pmp>0)的焦点为F,过F的直线与C交于1， B两点，与C的准线交于点D,若BD=2丽，且=3， ，则P 颗型08 题型08根据抛物线上的点求标准方程 22.(2026高三下新疆竞赛)已知为坐标原点，曲线 :-y=2与面线9r=2 交于点 M,V,若 △OMW P(3,0) 的外接圆经过点 则曲线2的方程为 23.(25-26商二上云南文山阶段检测)设0为坐标原点，直线*=4与抛物线C：广=2px(p>0 交于D, E两点，若OD1OE,则C的焦点坐标为() B.2 c.(1,0) D.(2,0) P(1,2) 24.(2627高三·全国一轮复习)已知 线C:y=2px(p>0)上一点，直线与抛物线C交于A。 为抛物线 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B两点，点P不在直线I上，且直线PA与PB的倾斜角互补，则直线I的斜率为 B组 能力进阶 y2.x2 1(2526商二上天津西青阶段检测)在同一坐标系中，方程云+方 与x+b=0(a>b>0)的曲线大 致是() 2(2526高二下广西崇左期末)设圆0：×+y=4p,(p>0与曲线 y2=2px 交于A,B,CD BD= 四点，若四边形ABCD为正方形，则 () 4 8 8.4 2V2 D 3.(23-24高二上山东烟台期末)抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一 32 点反射后，反射光线平行于抛物线的轴已知从抛物线少=4x的焦点F发出的入射光线过点2'3， 则经 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为() A.y=-1 B.y=2 C.y=3 D.y=4 C:y2=8x 4.(25-26高二上四川广安·阶段检测)己知抛物线 的焦点是F,过点F的直线与抛物线C交于 A,B两点，分别过A,B两点作直线x=-2的垂线，垂足分别为E,H.若 AE =2 BH 则直线斜率 k=() A.2V2 B +2 c.2V2 02 5.(25-26高二下·河南驻马店期末)已知抛物线 C:y2=2px(p>0) 的焦点为F,过F的直线与抛物线C交 于48丙点，者44)，则 6(2526商二下广东州期末)设抛物线B:尸=2m,不经过焦点F的直线与抛物线交于4,8两点， 与》轴交于点C,已知点4的坐标为 (8,8) BF 8),且△BCF与△MCF的面积之比是I:4,则B为() A.2 B.3 C.4 D.5 C组 思维拔高 1(2526商=下广左期末)设0.+=4p.(P>0与自我=2交于4，日，C, BD2() 四点，若四边形4BCD为正方形， 4 8 84 C.45 0.35 8/10 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2,y2 2(2026安徽芜湖二模)有公共焦点F的抛物线”=2pr(p>0)与椭圆+万=1(a>b>0 相交于M,N MF//FN 两点，且 则椭圆的离心率为() √5-1 2-1 2 A.2 B.2 C.V2-1 D.2 y=kx+m(m>0) 3.(2026高三全国专题练习)已知抛物线 2=2py(p>0) ,直线 交抛物线于A、B两点， 点A、B到y轴的距离的差为 k(k≠0 ,则卫的值为() A.1 B.2 C.4 D.与k和m的值有关 4（25-26高=下河南洛阳期末)已知抛物线C:”=12 的焦点为F,过F的直线1与C交于A,B两点， 与圆-3)+2=4 交于M,N两点若点A,M在第一象限，则 AM +3 BN 的最小值为() A.63+4 B.33+4 10 0.7 拓展 链接高考 2=2px(p>0) 1.(2026安徽安庆·三模)已知抛物线 的顶点为O,焦点为F,过点F的直线交抛物线于 4B两点，若M=2到B ,则sin∠OAF= 2.(2026贵州毕节三模)已知点P是抛物线C:x=4y上一动点，过点P作圆+0-4=4的切线，切 点分别为M,N,则Cos∠MPN的最小值为() 9/10 品学科网·上好课 A号 B. www.zxxk.com c D. 2-3 10/10 上好每一堂课 分层作业 3.3.2 抛物线的简单几何性质（第1课时） 目 录 2 题型01 抛物线定义的理解 2 题型02 判断抛物线的开口方向 4 题型03直线与抛物线交点相关问题 5 题型04判断直线与抛物线的位置关系 7 题型05求直线与抛物线相交所得弦的弦长 9 题型06抛物线的中点弦 11 题型07抛物线的焦半径公式 15 题型08根据抛物线上的点求标准方程 17 19 19 19 题型01 抛物线定义的理解题型01 1.（2024·山东聊城·二模）点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】抛物线开口向右，准线方程为， 点到焦点的距离为6，则点到准线的距离为6， 点在y轴右边，所以点到y轴的距离为4． 故选：A． 2.（23-24高三上·河北保定·阶段检测）已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 【答案】D 【详解】因为是上一点， 所以，所以， 由抛物线的定义可得到的距离为， 点到的对称轴的距离为， 则，解得或. 故选：D. 3.（2026·陕西·三模）设抛物线：的焦点为，斜率不为1的直线过点，过点作直线的垂线，垂足为，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为. 直线过定点，且，即. 根据直角三角形的性质可得直角顶点的轨迹是以线段为直径的圆（除外）， 圆心为中点，半径. 根据抛物线的定义可得抛物线上任意动点到焦点的距离等于到准线的距离， 即（为到直线的距离）. . 根据几何性质，对固定的，的最小值是到上述圆心的距离减去半径； 所以， 又的最小值是圆心到准线的距离，圆心到准线的距离为， 因此的最小值为. 题型02 判断抛物线的开口方向题型02 4.（25-26高二上·天津西青·阶段检测）在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，方程表示焦点在轴上的椭圆， 得，因，故该方程表示焦点在轴上开口向左的抛物线. 故选：D. 5.．（2024·山东聊城·二模）点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】抛物线开口向右，准线方程为， 点到焦点的距离为6，则点到准线的距离为6， 点在y轴右边，所以点到y轴的距离为4． 故选：A． 6.（23-24高二上·广东湛江·期中）已知圆的圆心为抛物线的顶点，且圆经过点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为抛物线的顶点坐标为， 所以圆的圆心坐标为， 又圆经过点，所以圆的半径， 所以圆的方程为 故选：B 题型03直线与抛物线交点相关问题题型03 7.（2026·安徽宿州·模拟预测）已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】设，过点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，点到抛物线的准线的距离为， 因为， ， 所以， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故. 所以的最大值为. 8.（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线，直线交抛物线于A、B两点，点A、B到y轴的距离的差为，则p的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．与k和m的值有关 【答案】A 【详解】联立抛物线与直线， 代入消去得， 设，， 由韦达定理得，， 由，得，即、一正一负， 不妨设，点、到轴的距离分别为，， 距离之差为，解得. 9.（25-26高二上·云南文山·阶段检测）设为坐标原点，直线与抛物线：交于，两点，若，则的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得或， 不妨设， 因为， 所以， 即， 解得， 又因为抛物线的焦点坐标为，即. 题型04判断直线与抛物线的位置关系题型04 10.（2026高三·全国·专题练习）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【详解】将代入，解得，因此点在抛物线上， 当直线与抛物线相切时，即过点抛物线的切线； 当直线与抛物线的对称轴平行时，此直线与抛物线也只有一个公共点， 又因过点，所以这条直线为； 综上过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有2条. 11.（2026高三·全国·专题练习）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【详解】将代入，解得，因此点在抛物线上， 当直线与抛物线相切时，即过点抛物线的切线； 当直线与抛物线的对称轴平行时，此直线与抛物线也只有一个公共点， 又因过点，所以这条直线为； 综上过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有2条. 12.（25-26高二下·上海·期中）过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有______条. 【答案】 【详解】过点且斜率不存在的直线，与抛物线无交点， 因此，直线斜率存在时，设直线，与联立， 得：， 当直线与抛物线只有一个公共点， 当时，，得：， 则直线方程为或与抛物线相切， 即此时与抛物线有且只有一个公共点； 当时，直线方程为， 轴与抛物线只有一个公共点， 则共三条直线与抛物线有且只有一个公共点. 题型05求直线与抛物线相交所得弦的弦长题型05 13.（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知抛物线C：（）的焦点为F，直线与抛物线C交于点A，B，，x轴上一点P满足，则p的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】设， ，， ，， 即， 又，则点P在线段垂直平分线上，设线段中点为， ，， 则直线的方程为， ， 又， 所以，即， 整理得， ，解得， 代入得，解得． 14.（2026·贵州遵义·模拟预测）已知直线过抛物线 的焦点，且直线与抛物线交于，两点，若直线的方程为，则 (   ) A．16 B．8 C．12 D．4 【答案】A 【详解】抛物线的焦点坐标为. 直线过点，将代入直线方程得， 解得，抛物线方程化为. 联立，消去得， 展开整理，. 设，，由一元二次方程根与系数关系得. 抛物线焦点弦长公式， 代入数值. 15.（2026·陕西西安·模拟预测）已知直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于 ， 两点，且线段 中点的横坐标为 ，则弦 的长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】抛物线方程为 ，焦点坐标为 ，准线方程为 ， 设 ，由中点坐标公式得： ，因此 ， 根据抛物线的定义得， 故弦长. 题型06抛物线的中点弦题型06 16.（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）过抛物线的焦点作直线与相交于两点，点在轴上，，为线段的中点，为坐标原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由抛物线可知, 设直线，，，，中点， 联立得，故，， 进而， ， 因此，， 又由得，即， 即，代入化简得， 解得，因此， 故， 令，则， 代入得，该函数在上单调递增， 故当，即时，取最小值，对应， 当时，，对应， 因此的取值范围是． 17.（26-27高三上·安徽·开学考试）已知在抛物线：上存在两个不同的点，关于直线：对称，则的最大值是_________． 【答案】/ 【详解】由题意知，，则. 设直线：，，，中点. 联立，整理得. ， 因为，所以①. 所以，，所以. 因为中点在上， 则，即，所以. 又在上，则， 所以，整理得②. 将②代入①中，得，整理得，解得. . 因为在内，所以当时，取得最大值， 此时. 18.（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）过抛物线的焦点作直线与相交于两点，点在轴上，，为线段的中点，为坐标原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由抛物线可知, 设直线，，，，中点， 联立得，故，， 进而， ， 因此，， 又由得，即， 即，代入化简得， 解得，因此， 故， 令，则， 代入得，该函数在上单调递增， 故当，即时，取最小值，对应， 当时，，对应， 因此的取值范围是． 题型07抛物线的焦半径公式题型07 19.（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若两点的横坐标之和为6，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】设点，由题意可得. 所以. 20.（26-27高三上·浙江·开学考试）已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为B，过抛物线上一点A作准线l的垂线，垂足为H，若为线段的中垂线，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】如图，作出符合题意的图形，设，，， 若为线段的中垂线，则，而，， 则，而在抛物线上，得到，解得， 得到，解得，则，得到， 而，由两点间距离公式得，解得，故C正确. 21.（26-27高三上·福建泉州·开学考试）记抛物线的焦点为，过的直线与C交于，两点，与C的准线交于点，若，且，则_________． 【答案】 【详解】 抛物线的焦点为，准线方程为， 分别过点、作准线的垂线，垂足为、， 根据抛物线定义得，， 设，则， 由得，且四点共线， 故， 因为，故， 则，所以， 由于，约去化简得，解得，即， 此时，故为线段的中点， 设准线与轴交点是，所以是的中位线， 则，即. 题型08根据抛物线上的点求标准方程题型08 22.（2026高三下·新疆·竞赛）已知为坐标原点，曲线与曲线交于点，若的外接圆经过点，则曲线的方程为__________. 【答案】 【详解】如图，设点，，为与轴的交点，则， 因为O、M、P、N四点共圆， 由相交弦定理得，解得， 所以， 代入曲线得，解得（舍去）或. 故曲线的方程为. 23.（25-26高二上·云南文山·阶段检测）设为坐标原点，直线与抛物线：交于，两点，若，则的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得或， 不妨设， 因为， 所以， 即， 解得， 又因为抛物线的焦点坐标为，即. 24.（26-27高三·全国·一轮复习）已知为抛物线上一点，直线与抛物线交于，两点，点不在直线上，且直线与的倾斜角互补，则直线的斜率为________. 【答案】 【详解】因为是抛物线上一点，所以，得， 所以抛物线方程为，设，的坐标分别为，， 易知直线、直线、直线的斜率存在， 则，， 由题意，可得， 所以， 所以直线的斜率为定值. 1.（25-26高二上·天津西青·阶段检测）在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征、抛物线方程的四种形式与位置特征、判断抛物线的开口方向 【分析】由，判断椭圆焦点在轴上，将化成标准方程，即可判断焦点位置和开口方向，得出结论. 【详解】由，方程表示焦点在轴上的椭圆， 得，因，故该方程表示焦点在轴上开口向左的抛物线. 故选：D. 2.（25-26高二下·广西崇左·期末）设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、根据抛物线的对称性求相关的参数 【分析】根据圆与曲线的对称性，及四个交点的坐标特征求出的值，进而根据为圆的直径即可求解． 【详解】由圆：，与曲线都关于轴，轴对称，且它们的交点为，，，， 又四边形为正方形，则不妨设，，，，其中， 所以，解得， 又为圆的直径，所以．    3.（23-24高二上·山东烟台·期末）抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据抛物线的对称性求相关的参数 【分析】先求解抛物线的焦点坐标，再求解从抛物线的焦点发出的入射光线过点的直线方程，然后求解直线与抛物线的交点，得到反射光线所在直线方程即可. 【详解】抛物线的焦点，从抛物线的焦点发出的入射光线上， 且过点的直线方程：， 联立，可得，解得或， 结合已知条件可知反射光线所在直线方程为：. 故选：D. 4.（25-26高二上·四川广安·阶段检测）已知抛物线的焦点是，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过，两点作直线的垂线，垂足分别为，．若，则直线斜率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设直线的方程为，，，作垂直轴，垂足为，作垂直轴，垂足为，利用几何关系得，从而得，进而求出点坐标，即可求解. 【详解】根据题意可得直线斜率一定存在，设直线的方程为，，，, 因为，由抛物线的定义知，① 作垂直轴，垂足为，作垂直轴，垂足为，则， 从而，得到，所以②，由①②解得， 因为在抛物线上，所以，解得， 则． 5.（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，若，则___________ 【答案】 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】通过点确定抛物线方程，从而确定直线方程，二者联立即可求得点的横坐标，最后利用过焦点的弦长公式即可求解. 【详解】根据题意，点在抛物线上，则有，解得， 因此抛物线方程为，焦点，    如图所示，直线过焦点且与抛物线交于，则直线的斜率为，方程为， 联立，解得和，由于，所以， 根据过焦点的弦长公式，. 6.（25-26高二下·广东惠州·期末）设抛物线：，不经过焦点的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】作出图形，结合图形得出求出的值，即可求出的值. 【详解】由题知点在抛物线上，故，即. 所以抛物线的方程为，焦点为，准线方程为， 如图，，， 所以， 又由点知，故， 所以. 1.（25-26高二下·广西崇左·期末）设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据抛物线的对称性求相关的参数、由标准方程确定圆心和半径 【分析】根据圆与曲线的对称性，及四个交点的坐标特征求出的值，进而根据为圆的直径即可求解． 【详解】由圆：，与曲线都关于轴，轴对称，且它们的交点为，，，， 又四边形为正方形，则不妨设，，，，其中， 所以，解得， 又为圆的直径，所以．    2.（2026·安徽芜湖·二模）有公共焦点的抛物线与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、椭圆的对称性、抛物线的对称性的应用、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意得出的位置关系，利用已知条件求出相应的点，代入方程中建立关于的方程，解齐次方程，再由椭圆的离心率范围求解即可. 【详解】因为为抛物线与椭圆的公共焦点，且抛物线与椭圆相交于两点， 由抛物线和椭圆对称性以及可知，轴， 设点在第一象限，如图所示： 令，此时有， 又抛物线的焦点为，所以， 所以抛物线方程为， 因为点在抛物线上，所以，所以， 即点，又点在椭圆上， 所以， 又，所以，所以 即，又，所以， 令 ，则，解得（舍去）或， 即， 又，所以. 3.（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线，直线交抛物线于A、B两点，点A、B到y轴的距离的差为，则p的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．与k和m的值有关 【答案】A 【知识点】抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】将 “点到轴的距离之差” 转化为横坐标的代数关系，结合根与系数的关系建立等式求解参数.点到轴距离为横坐标的绝对值，由两根乘积符号判断两交点横坐标一正一负，化简距离差后代入韦达定理即可求出. 【详解】联立抛物线与直线， 代入消去得， 设，， 由韦达定理得，， 由，得，即、一正一负， 不妨设，点、到轴的距离分别为，， 距离之差为，解得. 4.（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知抛物线C：的焦点为，过的直线l与C交于A，B两点，与圆交于M，N两点.若点A，M在第一象限，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得，，再求得，再结合抛物线的焦半径公式，用表示，结合基本不等式可求其最小值. 【详解】如图： 因为，可设直线：，代入，整理得. 设，，则，. 所以， 所以. 又. 因为，所以，当且仅当即时取等号. 即. 1.（2026·安徽安庆·三模）已知抛物线的顶点为，焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若，则______． 【答案】/ 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】通过设点、设直线联立方程求解坐标，再利用向量夹角公式求三角函数值． 【详解】 ，设，， 由抛物线的焦半径公式得，， 因为，所以，即， 由题意知，直线的斜率不为，设直线的方程为， 由，得， ，根据韦达定理有， 又因为，所以， 由，得， 因为抛物线关于轴对称，所以不妨设点在第一象限， 则，所以，， 所以， 所以． 2.（2026·贵州毕节·三模）已知点P是抛物线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．. B． C． D． 【答案】C 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、二倍角的余弦公式、抛物线的范围 【分析】由圆的方程求出圆心的坐标和半径，由切线性质可得，由此可得，，设，根据两点距离公式结合二次函数性质求的最小值，由此可得结论． 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，为圆的切线，切点分别为， 所以，，，， 所以， 所以，， 设，则， 当时，，此时最大， 又，函数在上单调递增， 所以当时，即时，最大， 此时最大，最小， 则． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $