3.3.1 抛物线及其标准方程课后同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习以抛物线标准方程为核心，通过基础辨析、性质综合到实际应用的三层设计，构建"概念理解-几何推理-模型应用"的巩固路径，培养数学抽象、几何直观与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|抛物线定义、焦点准线|单选1-5题聚焦标准方程辨析，如过定点直线与抛物线交点问题，强化概念理解| |能力提升|直线与抛物线位置关系、几何性质综合|多选8-10题结合焦点弦、切线性质，填空11-12题渗透数形结合，提升推理能力| |综合应用|实际情境建模、探究性问题|解答14题隧道截面建模，15题切线与圆综合探究，体现数学建模与创新意识|

3.3.1 抛物线及其标准方程课后同步练习 1．（2026高三·全国·专题练习）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上异于原点的一点，点在轴正半轴上，且，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为B，过抛物线上一点A作准线l的垂线，垂足为H，若为线段的中垂线，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．（25-26高二下·四川德阳·期末）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点Al，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若，则＝（   ） A． B．2 C． D． 5．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知抛物线C：（）的焦点为F，直线与抛物线C交于点A，B，，x轴上一点P满足，则p的值为（    ） A． B．1 C． D．2 6．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）已知抛物线的焦点是，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过，两点作直线的垂线，垂足分别为，．若，则直线斜率（    ） A． B． C． D． 7．（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线．点在抛物线上，其中．过点作抛物线的切线，该切线与轴交于点．若，其中为坐标原点，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2026高二·全国·专题练习）（多选）已知抛物线，的焦点分别为，，则（    ） A． B．与有两个交点 C．的准线方程为 D．点到的准线的距离为4 9．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点为，过的一条直线交于两点，过作直线的垂线，垂足为，则（ ） A．的坐标为 B． C． D． 10．（25-26高二下·甘肃白银·期末）（多选）已知，分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，抛物线与M交于A，B两点，顺次连接所得封闭图形的周长为，则（    ） A． B．C的准线方程为 C． D．图形的面积为 11．（2026高三·全国·专题练习）已知点在抛物线上，直线与抛物线交于点，，且，则原点到直线的距离的最大值是______． 12．（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为F，AB是过焦点F的弦．且AB的倾斜角为，则的面积为__________． 13．（2026·湖南张家界·模拟预测）已知抛物线具有光学性质：由抛物线的焦点射出的光线，经过抛物线反射后，会沿平行于抛物线对称轴的方向射出.过抛物线上一点作其切线交准线于点，，垂足为，抛物线的焦点为，射线交于点，若，则________，________ 14．（25-26高二上·上海虹口·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米． (1)以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； (2)若行车道总宽度为米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？ 15．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线，直线与抛物线相切，切点为．过点作直线的垂线，点在直线上（异于点），以点为圆心，为半径作圆与抛物线交于，两点． (1)求直线的方程； (2)已知直线与相交，记直线的斜率为，直线的斜率为，则 ①判断直线的斜率是否为定值，并说明理由． ②判断是否为定值，并说明理由． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.1 抛物线及其标准方程课后同步练习 1．（2026高三·全国·专题练习）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】先判断点与抛物线的位置，再分类讨论直线的情况. 【详解】将代入，解得，因此点在抛物线上， 当直线与抛物线相切时，即过点抛物线的切线； 当直线与抛物线的对称轴平行时，此直线与抛物线也只有一个公共点， 又因过点，所以这条直线为； 综上过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有2条. 2．（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上异于原点的一点，点在轴正半轴上，且，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用的垂直平分线得到点的坐标，根据面积公式即可求解. 【详解】 如图所示，由点在轴正半轴上且，可知点， 由于抛物线的焦点为，则点， 所以， 则直线的斜率为，线段的中点为， 所以的垂直平分线方程为，即， 因为，所以点与点都在直线上， 所以，所以，因此， 又因为点是抛物线上异于原点的一点， 联立得，所以，所以， 所以四边形的面积为，故B正确． 3．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为B，过抛物线上一点A作准线l的垂线，垂足为H，若为线段的中垂线，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】结合题意与中垂线性质得到，并且联立方程得到，再结合两点间距离公式建立方程，求出，进而求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，设，，， 若为线段的中垂线，则，而，， 则，而在抛物线上，得到，解得， 得到，解得，则，得到， 而，由两点间距离公式得，解得，故C正确. 4．（25-26高二下·四川德阳·期末）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点Al，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若，则＝（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形相似及抛物线定义求解. 【详解】抛物线C：的焦点，准线为， 设准线与轴交于点， ∵，由与相似得：， ∵，∴. 5．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知抛物线C：（）的焦点为F，直线与抛物线C交于点A，B，，x轴上一点P满足，则p的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】设，联立得到，由得到，又由题可知点P在线段垂直平分线上，设线段中点为，则，进而得到点，再求出，结合两点距离公式可得，再由求出． 【详解】设， ，， ，， 即， 又，则点P在线段垂直平分线上，设线段中点为， ，， 则直线的方程为， ， 又， 所以，即， 整理得， ，解得， 代入得，解得． 6．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）已知抛物线的焦点是，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过，两点作直线的垂线，垂足分别为，．若，则直线斜率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线的方程为，，，作垂直轴，垂足为，作垂直轴，垂足为，利用几何关系得，从而得，进而求出点坐标，即可求解. 【详解】根据题意可得直线斜率一定存在，设直线的方程为，，，, 因为，由抛物线的定义知，① 作垂直轴，垂足为，作垂直轴，垂足为，则， 从而，得到，所以②，由①②解得， 因为在抛物线上，所以，解得， 则． 7．（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线．点在抛物线上，其中．过点作抛物线的切线，该切线与轴交于点．若，其中为坐标原点，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】联立方程组，利用判别式法得到切线方程，再表示出三角形面积，最后求解参数即可. 【详解】如图，设过点的抛物线切线斜率为， 则切线方程为， 联立，消元可得， 因该直线与抛物线相切，则，化简得， 解得，即切线方程为， 令，得，即，于是， 又，则，解得． 8．（2026高二·全国·专题练习）（多选）已知抛物线，的焦点分别为，，则（    ） A． B．与有两个交点 C．的准线方程为 D．点到的准线的距离为4 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合抛物线的几何性质，以及联立方程组的解的个数，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由抛物线，可得，所以， 所以的焦点坐标为，准线方程为，所以C错误； 又由抛物线，可得，所以， 所以的焦点坐标为，准线方程为， 可得，所以A正确； 联立方程组，解得或， 所以抛物线和有两个公共点，交点坐标分别为，所以B正确； 由且抛物线准线方程为，可得点到的准线的距离为，所以D正确. 9．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点为，过的一条直线交于两点，过作直线的垂线，垂足为，则（ ） A．的坐标为 B． C． D． 【答案】BC 【分析】由抛物线方程易得焦点坐标，判断A；由抛物线定义判断B；设直线，与抛物线方程联立得韦达定理，利用弦长公式以及数量积的坐标表示判断C，D. 【详解】由可知抛物线的焦准距，则，则焦点的坐标为， 准线为，由抛物线定义可知，故A错误，B正确； 显然直线的斜率不为0，可设，，， 联立方程，消去x可得， 则，，， 则，, 故，当且仅当时，等号成立，故C正确； 又因为，， 则，所以不成立，故D错误. 10．（25-26高二下·甘肃白银·期末）（多选）已知，分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，抛物线与M交于A，B两点，顺次连接所得封闭图形的周长为，则（    ） A． B．C的准线方程为 C． D．图形的面积为 【答案】AC 【分析】根据图形的周长得，由离心率计算得，进而判断A，再由计算，得抛物线的方程，即可得抛物线的准线方程，即可判断B，由椭圆的方程与抛物线的方程联立解出点的坐标，即可判断CD. 【详解】由题意得：图形的周长为，所以， 又，所以，所以，故A正确； 由，所以，所以抛物线， 所以抛物线的准线方程为：，故B错误； 所以椭圆， 由，化简得，解得或（舍去）， 当时，，解得， 所以，所以，故C正确， 图形的面积为，故D错误. 11．（2026高三·全国·专题练习）已知点在抛物线上，直线与抛物线交于点，，且，则原点到直线的距离的最大值是______． 【答案】 【分析】设直线与抛物线联立，结合的向量点积为0的条件，可推导出直线恒过定点，原点到直线的距离最大值即为原点到定点的线段长度. 【详解】设，，由得， 即 ， 因不与重合，约去非零因子，得. 设直线，代入得， 由韦达定理，，代入上式得， 因此直线，恒过定点. 原点到直线的距离满足：过定点的直线中，原点到直线的距离不超过原点到的线段长， 即，当且仅当时取等号. 故原点到直线的距离的最大值为. 12．（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为F，AB是过焦点F的弦．且AB的倾斜角为，则的面积为__________． 【答案】4 【分析】首先求出直线方程，再与抛物线联立，利用韦达定理求出的面积. 【详解】抛物线方程为：，焦点为，AB的倾斜角为， 所以所在的直线方程为：，联立消去整理得：， 由韦达定理得：，， 点到直线：的距离为：， 所以的面积为：. 13．（2026·湖南张家界·模拟预测）已知抛物线具有光学性质：由抛物线的焦点射出的光线，经过抛物线反射后，会沿平行于抛物线对称轴的方向射出.过抛物线上一点作其切线交准线于点，，垂足为，抛物线的焦点为，射线交于点，若，则________，________ 【答案】 或 / 【分析】由抛物线的光学性质结合条件求出，再结合抛物线的性质求得，即可求. 【详解】由抛物线的光学性质知平分， 由，可得， 又因，所以，所以， 由可得，，故， 又由，可得，设准线交轴于点， 因,则得,故 所以在中，. 14．（25-26高二上·上海虹口·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米． (1)以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； (2)若行车道总宽度为米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据抛物线顶点在原点且开口向下设出标准方程，利用隧道截面尺寸确定抛物线上一点的坐标，代入求解即可； （2）根据行车道宽度确定车辆边缘的横坐标，代入抛物线方程求出隧道顶部对应点的纵坐标，结合安全高度差即可计算车辆限制高度. 【详解】（1）由题意知，抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，且开口向下，故设抛物线的方程为， 由图可知，隧道截面总宽度为米，总高度为米，长方形部分高度为米，则抛物线部分的高度为米. 因为抛物线关于轴对称，所以点的横坐标为， 又因为点在轴下方米处，所以点的纵坐标为，即. 将点代入方程，得，解得， 所以该抛物线的方程为. 又因为隧道宽度为米，所以的取值范围是， 故该抛物线的方程为. （2）因为行车道总宽度为米，且关于轴对称， 所以车辆最外侧边缘的横坐标为或. 不妨取，代入抛物线方程，得，解得. 此时，隧道顶部在处距离地面的高度为米. 设通过隧道的车辆限制高度为米， 根据题意， 要求行驶车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米， 即，即，解得. 故通过隧道的车辆限制高度为米. 15．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线，直线与抛物线相切，切点为．过点作直线的垂线，点在直线上（异于点），以点为圆心，为半径作圆与抛物线交于，两点． (1)求直线的方程； (2)已知直线与相交，记直线的斜率为，直线的斜率为，则 ①判断直线的斜率是否为定值，并说明理由． ②判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)①设直线的方程为，直线与直线交于点，设，， 则， ， ， 联立， 得， ； ， 联立，得， 代入上式得：， ， 则有， （舍去）， 所以直线的斜率为定值． ②依题意，， 则， 由①知直线的方程为与抛物线的方程联立得， 所以，代入上式得， 故为定值． 【分析】（1）先把点代入抛物线方程求出，再设过点的直线方程，此直线方程和抛物线联立方程组，利用相切得到判别式为零求出切线方程. （2）①依题意，直线的斜率存在，故设直线的方程为，直线与直线交于点，设，，通过联立方程组，结合判别式和韦达定理求出直线的斜率为定值．②求出，，计算即可得到结论. 【详解】（1）将点代入抛物线方程，得，解得， 所以抛物线的方程为． 设直线的方程为，与抛物线的方程联立得， 所以，即，得， 所以直线的方程为. （2）（i）略 （ii）略 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