3.3.2 抛物线的简单几何性质（第1课时） （教学课件）数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质及应用，通过太阳能聚光板设计、抛物线拱桥等现实情境导入，结合阿波罗尼奥斯历史背景，回顾标准方程等旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以情境导入培养数学眼光，类比椭圆双曲线探究性质发展数学思维，题型训练涵盖焦点弦、切线等并结合真题强化运算。小结系统梳理知识，学生能提升抽象与运算能力，教师可高效开展教学。

第三章 圆锥曲线的方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质 （第1课时） ·选择性必修第一册· 学习目标 了解抛物线的简单几何性质,培养数学抽象的核心素养．（重点） 能利用性质解决与抛物线有关的问题.（难点） 能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题,培养数学运算的核心素养. 目录 CATALOG 01.抛物线标准方程的几何性质 03.应用新知 02.焦点坐标与准线方程的推导与应用 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 3.3.2 抛物线的简单几何性质 （第1课时） 01 抛物线的简单 几何性质 导入新知1：太阳能发电——抛物面聚光板尺寸设计 某太阳能发电站采用抛物面聚光板，其截面为抛物线，开口向右，顶点在原点。已知聚光板的口径（垂直于对称轴的宽度）为 4 m，深度（顶点到口径所在平面的距离）为 1 m。 问题1：聚光板的截面抛物线在水平方向和竖直方向的最大延伸范围分别是什么？与椭圆的有界性相比，抛物线在坐标取值上有什么特点？ 问题2：聚光板的对称轴在哪里？顶点对应聚光板的哪个位置？如果从抛物线上一点向对称轴作垂线，垂足的位置有什么规律？ 导入新知2：桥梁工程——抛物线拱桥的受力分析 某城市新建一座抛物线拱桥，桥拱的截面为抛物线，开口向下，顶点在桥面最高点。 已知拱桥的跨度为 40 m，拱高为 10 m。 问题1：以拱顶为原点建立坐标系，拱桥的抛物线方程是什么？拱桥在水平方向和竖直方向的延伸范围分别是多少？ 问题2：拱桥的对称轴在哪里？拱顶对应抛物线的什么位置？如果从拱桥上任一点向对称轴作垂线，垂足的位置有什么几何意义？ 情景导入，引入新知 阿波罗尼奥斯 古希腊数学家，被称为 “圆锥曲线之父”. 在他的著作《圆锥曲线论》中， 首次通过 “圆锥截线” 系统定义了抛物线. 首位系统剖析抛物线几何性质的数学家. 范围，对称性、顶点、离心率等 回顾复习，引入新知 抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程 回顾复习，引入新知 抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程 探究新知 类比 探究新知 结论 抛物线的简单几何性质一：范围 探究新知 类比 探究新知 结论 抛物线的简单几何性质二：对称性 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 比较抛物线的开口大小 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 抛物线的焦半径公式、直线与抛物线交点相关问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 抛物线的对称性的应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 抛物线的范围 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 抛物线的焦半径公式、抛物线的对称性的应用 02 焦点坐标与准线方程的推导与应用 3.3.2 抛物线的简单几何性质 （第1课时） 探究新知 类比 探究新知 结论 抛物线的简单几何性质三：顶点 探究新知 类比 探究新知 抛物线与椭圆、双曲线性质的差异 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 抛物线的焦半径公式、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 抛物线的焦半径公式、三角形面积公式及其应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 与抛物线焦点弦有关的几何性质 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 抛物线中的三角形或四边形面积问题 03 应用新知 3.3.2 抛物线的简单几何性质 （第1课时） 应用新知 例3 解析 深度思考：为什么抛物线关于x轴对称，且过点，标准方程可 设为？ 探究新知 方法 待定系数法求抛物线标准方程的五个步骤： 确定抛物线焦点的位置； 一定焦点 设出抛物线的标准方程； 二设方程 根据题意建立关于参数p的方程； 三列方程 解方程求参数p的值； 四解方程 写出所求抛物线标准方程. 五下结论 应用新知 思考： 应用新知 例4 要求： 解析 应用新知 还有没有其他方法解答例4 结合抛物线的定义，将过焦点的弦长问题，进行等价转化 法二 思考 探究新知 结论 抛物线的焦点弦长公式 应用新知 思考： 04 题型强化训练 3.3.2 抛物线的简单几何性质 （第1课时） 重要题型专练 题型一 根据抛物线的几何性质求标准方程 例题 解析 重要题型专练 题型二 直线与抛物线的位置关系求参数范围 例题 解析 重要题型专练 题型三 抛物线切线方程 例题 解析 重要题型专练 题型三 抛物线切线方程 例题 解析 重要题型专练 题型四 求抛物线焦点弦长和普通弦长 例题 解析 重要题型专练 题型四 求抛物线焦点弦长和普通弦长 例题 解析 重要题型专练 题型五 抛物线切点弦方程 例题 法一 重要题型专练 题型五 抛物线切点弦方程 例题 法二 重要题型专练 题型五 抛物线切点弦方程 例题 法二 05 真题感知 3.3.2 抛物线的简单几何性质 （第1课时） 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 3.3.2 抛物线的简单几何性质 （第1课时） 课堂小结 双曲线的简单几何性质 4个几何性质 重要题型 ①范围 ②对称性 ③顶点 ④离心率 根据抛物线的几何性质求标准方程 直线与抛物线的位置关系求参数范围 抛物线切线方程 求抛物线焦点弦长和普通弦长 抛物线切点弦方程 作业 作业1：完成教材：第136页 练习1,2,3,4. 作业2：配套辅导资料对应的《抛物线的简单几何性质 第1课时》.  3.3.2 抛物线的简单几何性质 （第1课时） 课后作业答案 练习（第136页） 课后作业答案 练习（第136页） 课后作业答案 练习（第136页） 课后作业答案 练习（第136页） 2．在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中的x系数的关系： 抛物线如图，x的系数的绝对值越大，抛物线的开口越大． 课后作业答案 练习（第136页） 课后作业答案 练习（第136页） ·选择性必修第一册· 本课结束 感谢您的聆听 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 _____________ ________ ________ ______________ ________ _________ 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 _____________ ________ ________ ______________ ________ _________ 图形 标准方程 横坐标x范围 横坐标y范围 _________ ________ __________ ________ _________ ________ __________ ________ 图形 标准方程 焦点位置 抛物线的轴 _________ ________ __________ ________ _________ ________ __________ ________ 1.（2026·湖北·二模）在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 【详解】由抛物线的性质，得抛物线中，越大， 抛物线开口越大，所以抛物线中， 开口最大的为. 故选：D 2.（25-26高二下·四川凉山·期末）已知抛物线 ： 的焦点为 ，抛物线上一点 到焦点 的距离为3，则 （ 为坐标原点）的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 【详解】由题意知，，且，可得， 将代入抛物线方程得：，所以. 故选：B 3.（25-26高二下·河南周口·期末）已知抛物线C： （ ）的焦点为 ，直线 ： 与抛物线 在第一象限的交点为 ．若 ，则抛物线 的方程为（     ） A． B． C． D． 【详解】联立，得或（舍），则， 则，得，则抛物线的方程为. 故选：C. 4.（2026·河北邢台·二模）已知抛物线 与圆 有且仅有一个公共点，则实数 （    ） A． B．0 C． D．1 【详解】由题意得圆，则圆心，半径为， 其中为的焦点.设与圆的公共点为，则. 由题知上满足条件的点有且只有一个，由抛物线C和圆F均关于x轴对称， 故两曲线公共点在x轴上，即为原点， 则与原点重合，所以，即，解得.故选：B 5.（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知点 为抛物线 上一动点，则 的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 【详解】因为点为抛物线上一动点，所以， 即,所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，此时，.故选：B 6.（2026·北京房山·一模）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线交于 两点，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】抛物线的焦点，设，由， 得，解得，因此轴，由对称性得， 所以.故选：A 图形 标准方程 求顶点坐标 顶点坐标 令___ ，___ ________ 令___ ，___ 令___ ，___ 令___ ，___ 椭圆 双曲线 抛物线 范围 封闭 无限伸展 但有渐近线 无限伸展 没有渐近线 对称性 对称中心为原点 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴 两条对称轴 一条对称轴 顶点 4个 2个 1个 离心率 0< e <1 e >1 e＝1 决定形状的因素 e决定扁平程度 e决定“张口”大小 p决定“张口”大小 7.（26-27高三上·北京海淀·开学考试）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线 交于 两点，若 两点的横坐标之和为6，则 （    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【详解】设点，由题意可得. 所以.故选：C 8.（25-26高二下·四川凉山·期末）已知抛物线 ： 的焦点为 ，抛物线上一点 到焦点 的距离为3，则 （ 为坐标原点）的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 【详解】由题意知，，且，可得， 将代入抛物线方程得：， 所以.故选：B 9.（25-26高二下·四川德阳·期末）已知抛物线C： 的焦点为F，准线为l，点A l，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若 ，则 ＝（   ） A． B．2 C． D． 【详解】抛物线C：的焦点，准线为， 设准线与轴交于点，∵，由与相似得：，∵，∴. 故选：D 10.（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线 上异于原点 的一点，点 在 轴正半轴上，且 ， ，则四边形 的面积是（    ） A． B． C． D． 【详解】如图所示，由点在轴正半轴上且，可知点，由于抛物线的焦点为，则点，所以，则直线的斜率为，线段的中点为，所以的垂直平分线方程为，即，因为，所以点与点都在直线上，所以，所以，因此，又因为点是抛物线上异于原点的一点，联立得， 所以，所以， 所以四边形的面积为，故B正确． 图形 标准方程 焦点弦长公式 _______________ _______________ _______________ _______________ 1.（2026·北京房山·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 抛物线的焦点，设，由，得，解得，因此轴，由对称性得，所以. 2.（2026·山东济南·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，设的准线与轴的交点为，点在上且满足，则的面积为___________ 如图，作垂直于准线，由抛物线定义可知， 因为，所以，, 所以，代入抛物线解析式得，所以. 3.（2026·浙江金华·三模）已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于M、N两点，点M在第一象限，若，则直线l的斜率为______． 如图，过点M，N作抛物线准线的垂线，垂足分别为A，B，过N作于P， 显然四边形是矩形，因直线过抛物线的焦点，交抛物线于， 由抛物线定义知，，而， 则，， 设直线的倾斜角为，在，，则， ． 4.（2026·广东·一模）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线的图象上，则这个正三角形的边长为（   ） A． B．3 C． D．6 设正三角形的边长为，由抛物线的对称性及题意可得，其另外两个顶点的坐标为，又另外两个顶点在抛物线上，所以，得，所以这个正三角形的边长为6. 故选：D $