3.3.2 抛物线的简单几何性质 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质，及直线与抛物线位置关系、焦点弦性质等核心内容。通过对比椭圆、双曲线性质导入，搭建知识支架，帮助学生建立前后知识联系，系统掌握性质应用。 课件含181张PPT，涵盖思维导图、分层训练（基础到拔高）、例题详解及高考对接。以焦点弦性质探究为例，通过代数法、几何法培养逻辑推理，结合变式题提升数学运算，助力学生用数学思维解决问题，教师可实现一体化教学，提升效率。

高二数学●2024人教A版选择性必修一 第三章 圆锥曲线的方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质 本节掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质，能利用性质解决抛物线相关问题，学会对比椭圆、双曲线性质，提升数形结合与数学运算、逻辑推理素养 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括181张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 图解课标要点 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 抛物线的简单几何性质 标准方程 图形 几何性质 范围 ， , , , 对称性 关于 轴对称 关于 轴对称 顶点 坐标原点 离心率 4 学思用·典例详解 例1-1 已知,为抛物线上一点，则 的最小值为_ __. 【解析】设点，则（注意 的范围）， 所以 . 所以当时，取得最小值，且 . . . 5 知识点2 直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切、相交.（以抛物线 为例说明）#1 位置关系 相离 相切 相交 图示 6 （1）直线的斜率存在时，设直线.将代入 ,消 去并化简，得 . ①当 时，直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，直线与抛物线相交， 只有一个公共点. ②当 时， 判别式 直线与抛物线相交，有两个公共点； 判别式 直线与抛物线相切，有且只有一个公共点； 判别式 直线与抛物线相离，没有公共点.#1.1.1.2.3 7 （2）直线的斜率不存在时，设直线 . 显然，当 时，直线与抛物线相离，无交点； 当 时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当 时，直线与抛物线相交，有两个交点. 8 学思用·典例详解 例2-2 已知抛物线,过点的直线与抛物线 有唯一公共点，则这样 的直线有___条. 3 【解析】当直线平行于轴时，直线与抛物线 有唯一公共点. 当直线与抛物线相切时，显然直线 的斜率存在， 设其斜率为，则切线方程为,与抛物线方程 联立并 消去，得,，则 ,解得 ,即过 点的切线有两条. 综上可知，满足条件的直线有3条. 9 【想一想丨归纳总结】 直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件，讨论直线与抛 物线的位置关系时，要根据直线斜率是否存在,以及直线是否与抛物线对称轴平行或 重合等进行讨论. 10 释疑惑 重难拓展 知识点3 抛物线焦点弦性质的探究及拓展 1 焦点弦的常用性质 图3.3.2-1 如图3.3.2-1，是抛物线过焦点 的一条弦， （焦点弦）直线的倾斜角为 ，设,，过, 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,，为准线与 轴 的交点.对于抛物线的焦点弦，有如下结论： （1）, .（过焦点的直线方程与抛物线方 程联立得到一元二次方程，由根与系数的关系可得）#1.2 . . 11 （2）若位于轴上方，位于轴下方，则， . （3）抛物线的焦点弦长公式：或 . 过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于,两点的线段 ，称为抛物线的通 径，抛物线的通径长为 ，通径是最短的焦点弦.（椭圆的通径也是最短的焦点弦， 双曲线的通径也是双曲线同支上最短的焦点弦） 说明 通径具有反映抛物线开口大小的作用,通径越长,抛物线的开口越大;反之, 通径越短，抛物线的开口越小.#1.4.1 . . 12 （4） . （5）， .（由（2）可得） （6）若弦所在直线的斜率存在，设其为 ，则焦点弦长的斜率式为 .#1.7 13 2 与焦点弦有关的切线性质 图3.3.2-2 如图3.3.2-2，是抛物线 过焦点的一条 弦，分别过,作抛物线的切线，两切线交于点，连接 ,则 有以下结论： （1）点的轨迹是一条直线，即抛物线的准线 . （2）两切线互相垂直，即 . （3） . （4）设,，则点的坐标为 . 14 3 非焦点弦性质 （1）已知直线与抛物线交于,两点，若,则直线 过 定点 ，反之亦成立.（链接教材P138 T6） （2）已知是抛物线上任意一点，点 是抛物线 的对称轴上一点，则 15 4 抛物线几何性质的深挖 图3.3.2-3 如图3.3.2-3所示，设过抛物线焦点 的直 线与抛物线交于，两点，过，两点作准线 的垂线，垂足 分别为，，为与轴的交点.连接, ，由抛物线的定 义可知,，所以 , .又，轴，所以 . 同理 ， 所以 ，即 .（结论1） 设和的中点分别为,，连接, ，则 #2 . . 16 所以,即 .（结论2） 所以，，，四点共圆，且，,, 四点共圆.（结论3） 由于，即到 的距离等于 的一半， 所以以为直径的圆与相切于点 .（结论4） 同理可证以为直径的圆与 轴相切， 以为直径的圆也与 轴相切.（结论5） 连接,,在中，,则 ，即 . （结论6）#4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 过抛物线对称轴上一定点的弦的性质的深挖 我们知道，抛物线的焦点弦 （其中,）有性质 （为定值）,那 么过点的直线与抛物线交于两点, ，是否 也有类似的性质呢？ 设直线的方程为,与 联立,得 ， 所以 （定值）.（结论7） . . . . 18 于是 （定值）.（结论8） （定值）.（结论9） 反过来，若（定值），则直线 是否过定点呢？ 设直线的方程为，与联立得 , 所以，所以，即直线过定点 .（结论10） . . . . . . . . . . . . . . 19 学思用·典例详解 例3-3 (2026·辽宁省抚顺市期末)过抛物线的焦点作直线 交抛物线于 ,两点，若，则 ( ) C A.5 B.6 C.8 D.10 【解析】抛物线的准线为，因为, 两点是过抛物线 焦点的直线与抛物线的交点，所以, 两点到准线的距离分别是 ,，所以 . 20 【想一想丨问题质疑】 四种标准方程形式下的焦点弦长公式分别是什么？ 提示 设是抛物线过焦点的一条弦，其中, ，则四种标准方程 形式下的弦长公式分别为 标准方程 弦长 21 例3-4 抛物线 的通径长为( ) C A.8 B.4 C. D. 【解析】抛物线,即 （注意化为标准方程）, 可得,因此通径长为 . . . 22 例3-5 设直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于,两点,由, 分 别向准线引垂线,,垂足分别为,,设,,为的中点， 为坐标 原点，则 ( ) A A. B. C. D.2 【解析】如图3.3.2-4所示，连接, . 图3.3.2-4 , . 23 由抛物线的定义知 , ， . 同理, , 从而可得 （或由结论1直接可得）. 由直角三角形的性质知 . （由点向作垂线，垂足为，则 为直角三角形，，， ，即该式为 的变形）， . . . . . 24 例3-6 过的直线与抛物线交于， 两 点，已知,则与 的数量关系如何？写出并证明你的结论. 【解析】 . 设直线的方程为 联立直线 与抛物线的方程得， ， 所以, . 25 又 , 所以 , 所以直线,关于 轴对称. 故 . 26 【想一想丨问题质疑】 若（定值）,则直线是否过定点 ？ 提示 如图3.3.2-5所示，若过定点,关于轴对称的弦为，则， 的 横坐标分别与,的横坐标相同，于是，,的横坐标的积为，但直线 不过定 点，同理直线也不过定点 . 图3.3.2-5 27 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 抛物线几何性质的应用 1 求抛物线标准方程 例7 已知抛物线的焦点在轴上，直线过且垂直于轴，与抛物线交于， 两 点，为坐标原点，若 的面积等于4，则抛物线的标准方程为______________ ____________． 或 28 【解析】由题意，可设抛物线的方程为，则焦点为 ,直线 , 所以直线与抛物线的交点的坐标分别为,，所以 ．（通径） 因为 的面积为4， 所以,所以 . 故抛物线的标准方程为或 . . . 29 2 求值 例8 已知圆与抛物线交于， 两点，与抛物线的准线交 于，两点，若四边形是矩形，则 等于( ) C A. B. C. D. 【解析】由对称性可假设点 在第一象限， 易得 ， 由四边形是矩形，可知， . 将点坐标代入，得，解得 . 30 【学会了吗丨变式题】 1.(2026·北京市平谷区第五中学期中)已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为 轴， 且与圆相交的公共弦长为 ，则抛物线的方程为___________________． 或 【解析】由题意设所求抛物线的方程为或 ，抛物 线与圆的交点， ， 由对称性，知， ， 则，即，得 ． 将代入，解得 ． 所以点在抛物线上，点在抛物线 上，求得 ． 故抛物线方程为或 . 31 2.［教材改编P139 T10］(2026·福建省厦门市期末)等边三角形的一个顶点位于原点， 另外两个顶点在抛物线 上，则这个等边三角形的边长为( ) D A.2 B. C.4 D. 图D 3.3.2-1 【解析】设等边三角形的边长为 ，依据抛物线的对称性，可知 等边三角形的另外两个顶点关于 轴对称，如图D 3.3.2-1所示， 故可设另外两个顶点坐标分别是, ， 把顶点坐标代入抛物线方程得,解得或 （舍去）， （【另解】根据点在抛物线上可设 ， ，解得 ） 所以等边三角形的边长为 . 32 题型2 抛物线的焦点弦问题 1 焦点弦长公式及其应用 例9 [教材改编P135例4]抛物线的顶点在原点，以 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为 的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线方程. 图3.3.2-6 【解析】如图3.3.2-6所示，当抛物线开口向右时，可设抛物线方 程为，则直线方程为 . 设直线交抛物线于，两点,过， 两点分别作 准线的垂线，垂足分别为， , 则由抛物线定义得 ,即 ①. 33 由消去得 , 所以 （注意设而不求思想的妙用）. 将其代入①,得 . 故所求的抛物线方程为 . 当抛物线开口向左时，方程设为 ,同理可求得抛物线方程为 . 综上，抛物线方程为或.（事实上，由焦点弦长公式得 , 可得 ,进而可得所求抛物线的方程） . . 34 【学会了吗丨变式题】 3.过抛物线的焦点的直线交抛物线于,两点,若, ,则 __. 【解析】 显然过焦点的直线 的斜率存在且不为0，则可设过抛物线焦点 的直线方程为,, . 由得 ， 35 则, . 由，得 ， 代入，得 ， 解得，,故 . 36 设直线的倾斜角为 ，则由焦点弦长公式得 ,所以 ,所以,由抛物线的对称性，不妨设点 在第一象限，由 得,所以 . 37 2 用几何法解焦点弦相关问题 例10 (2026·河南省焦作市期中)已知抛物线的焦点为，过点 的直线与抛物 线交于，两点，若，则 ___. 6 图3.3.2-7 【解析】如图3.3.2-7，设直线与抛物线准线交于点 ，抛物 线准线与轴交于点，分别过点, 作准线的垂线，垂足分 别为,，由抛物线定义可得 . 由抛物线方程可知,，设 ， 由，得，即 ， 解得，又，得 ，即 ，解得，即 . 38 名师点评 用几何法求解焦点弦相关问题时，主要通过抛物线定义、抛物线性质、相 似三角形、正余弦定理等确定线段长和角度值，结合平面几何知识进行求解. 39 3 用代数法解焦点弦相关问题 图3.3.2-8 例11 [教材改编P136例5]如图3.3.2-8所示，抛物线 的焦点为,经过点的直线交抛物线于， 两点, 点在抛物线的准线上,且轴.证明:直线经过原点 . 40 【解析】因为抛物线的焦点为,且直线 的斜率不为0,所以经 过点的直线的方程可设为 （可避免对斜率不存在的情况进行分类讨 论）, 代入抛物线方程消去得，易知 恒成立. 设,,则, 是该方程的两个根, 所以 . 因为轴,且点在准线 上， 所以点的坐标为 , . . 41 故直线的斜率（【详解】将代入，可得 ，由 抛物线方程及点在抛物线上可知，所以 ，即 ）. 即也是直线的斜率，所以直线经过原点 . 名师点评 本题与教材第136页【例5】没有本质上的区别，都是对抛物线的焦点弦相 关问题的探讨，只是在考查角度上稍作调整. . . 42 代数法解焦点弦问题的技巧 1.巧设直线方程.如直线经过,若设直线方程为 ，则斜率不存在 的情况需单独讨论.所以可将直线方程设为 . 2.巧用结论解决问题.（运用知识点3的相关性质结论做客观题时可节省大量时间） 43 【学会了吗丨变式题】 4.[多选题](2023· 新课标Ⅱ卷)设为坐标原点，直线 过抛物线 的焦点，且与交于，两点，为 的准线，则( ) AC A. B. C.以为直径的圆与相切 D. 为等腰三角形 44 【解析】由题意，易知直线过点 . 对于A，因为直线经过抛物线的焦点，所以易知焦点坐标为，所以 ，即 ，所以A正确. 对于B，不妨设，， , 联立方程得 消去并整理得 ， 45 解得，.所以，， ， 所以由两点间距离公式可得 ，故B错误. ，由抛物线的焦点弦长公式得， ，故B错误. ， ，所以由弦长公式得 ，故B错误. 46 易知直线的倾斜角为 ， 所以 ，故B错误. 对于C，由以上分析易知，的方程为，以 为直径的圆的圆心坐标为 ，半径，所以以为直径的圆与 相切，故C选项正 确.（事实上，由结论4：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切，可知该 选项正确） 对于D，由两点间距离公式可得,, ，故D错误.综上， 选 . 47 4 运用焦点弦求最大（小）值 母题 致经典·结构化试题 例12 (2026·安徽省合肥市开学考试)定长为3的线段的端点，在抛物线 上 移动,则的中点到轴距离的最小值为__,此时 中点的坐标为_ ________. 48 图3.3.2-9 【解析】如图3.3.2-9所示，是抛物线的焦点,过， 两 点作准线的垂线,垂足分别为，,过的中点 作准线的垂线， 垂足为,则 . 连接,,由抛物线的定义知, ， 所以 . 设点的横坐标为,则,所以 ，当且仅 当弦过点时等号成立，此时,点到轴的距离最短，最短距离为 . 设,,则 . 49 当时,易知（焦点弦的常用性质） ， 所以 . 所以,得,即 . 名师点评 在本例中，抛物线的通径长为,定长 ，这表明定长为3的 线段在抛物线上滑动时，可以过抛物线的焦点.若将抛物线方程改为 ，则线 段不可能通过焦点，也就是说等号不可能成立，因此该解法便不可行了. . . 子题 情境转化 已知定长为3的线段的两个端点,在抛物线上滑动，求线段的中点 到 轴的最小距离. 【解析】设,,易知直线的斜率不可能为0，故可设直线 的方程 为.将代入，消去得 ，则 ,,所以点到轴的距离 . 又 , 所以 . 51 于是 .（这里不能直接利用 均值不等式求最小值,因为取等号的条件不具备.若要利用均值不等式,则需变形为 ,当且仅当 时 取等号） 由函数的单调性可知,当且仅当,也就是当轴时 取最小值， . . . . . 52 此类问题的一般结论是：若长为的线段在抛物线 上滑动， 则线段的中点到轴的最短距离 若，则当线段与轴垂直时，中点到 轴的距离最短. 53 题型3 直线和抛物线的位置关系 1 直线与抛物线交点个数问题 例13（1）求过定点，且与抛物线只有一个公共点的直线 的方程. 【解析】当直线 的斜率不存在时，显然不满足题意. 当直线 的斜率存在时， ①若直线与抛物线的对称轴平行（本题易错的地方是忽略直线 平行于抛物线的对 称轴这种情形.），则直线的方程为，此时直线 与抛物线只有一个公共点； . . 54 ②若直线与抛物线的对称轴不平行，设直线的方程为 ， 由消去,得 . 因为抛物线与直线只有一个公共点， 所以,解得 . 故所求直线的方程为或 . 综上所述，所求直线的方程为或 或 . 55 （2）若直线与曲线 恰好有一个公共点，试求实 数 的取值集合. 【解析】因为直线与曲线 恰好有一个公共点， 所以方程组 只有一组实数解， 消去,得 , 即 . 当,即时，方程①是关于的一元一次方程，解得 ， 这时，原方程组有唯一解 56 当,即时，方程①是关于 的一元二次方程. 令 , 解得（舍去）或 . 此时原方程组有唯一解 综上，实数的取值集合是， }. 57 易错警示 在涉及直线与抛物线只有一个交点的问题时，应提防两处陷阱：一是直 线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线只有一个交点，这是由 无法 得到的（事实上，此时消元后对应的“一元二次”方程的“二次”项系数一定为零）； 二是若由 仅得到一条直线，则意味着斜率不存在时对应的直线可能与抛物线相 切（仅有一个交点），应检验斜率不存在时对应的直线是否满足条件. 58 直线与抛物线交点问题的解题思路 1.判断直线与抛物线的交点个数时,一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为 形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程, 则利用判别式判断方程解的个数. 2.直线与抛物线有一个公共点时有两种情形： （1）直线与抛物线的对称轴重合或平行；（2）直线与抛物线相切. 59 【学会了吗丨变式题】 5.(2026·广东省广州市期中)已知抛物线的焦点为，以 和抛物线 的准线上的两点为顶点可以构成边长为 的等边三角形. （1）求 的方程； 【答案】由题意得焦点，准线方程为 ， 以焦点和抛物线的准线上的两点为顶点可以构成边长为 的等边三角形， 所以这个等边三角形的高为 ， 即焦点到准线的距离，解得 ， 所以的方程为 . 60 （2）讨论过点的直线与 的交点个数. 【答案】若直线的斜率存在，设的方程为 . 由方程组可得 . 当时，解得,，此时方程只有一个实数解，即直线与 只有一个 公共点； 当时，方程的根的判别式为 ， 当时，解得或，此时方程有两个相等的实数解，即直线与 只有一 个公共点； 当时，解得或 ，此时方程有两个不等的实数解，即直 线与 有两个公共点； 61 当时，解得或，此时方程没有实数解，即直线与 没有公共点. 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知直线与 没有公共点. 综上，当的方程为或的斜率时，直线与 的交点个 数为0；当的斜率或或时，直线与的交点个数为1；当 的斜率 时，直线与 的交点个数为2. 62 2 弦长问题 例14 ［教材改编P136 T3］设抛物线被直线截得的弦 的长为，则 ___. 2 【解析】由得 . 设, ， 因为，所以, ， 由弦长公式得 ， （【注意】弦 不一定为焦点弦，所以不能用焦点弦长公式） 即，解得或 （舍）. 63 例15 (2026·湖南省石门县第一中学期末)已知抛物线的焦点为，过点 的 直线交抛物线于，两点，为坐标原点,若的面积为,则线段 的长是 ( ) C A.9 B.4 C. D.8 64 给什么 得什么 抛物线方程已知，可得焦点坐标，从而可设出过焦点的直线方程. 的 面积为，可知（点到直线的距离） . 求什么 想什么 要求线段的长，而 为弦长（或焦点弦长），所以可以利用弦长公式 （或焦点弦长公式）求解. 差什么 找什么 1.将直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数的关系得到, ； 2.点到 的距离用点到直线的距离公式求解即可. 65 【解析】 由题意知，焦点坐标为 . 当直线垂直于轴时， ，不符合题设. 当直线不垂直于轴时，设直线的方程为 ，即 . 点到直线的距离 . 由得 ， 设, ,由根与系数的关系得, , , 66 所以由弦长公式得, ,（【另解】由于 为焦点弦，所以 ） 因为的面积为 , 所以，所以 ， 所以 .故选C. . . 67 设直线的倾斜角为 , 则（【规律总结】设过抛物线的焦点弦长为 ,焦点 为,的面积为为坐标原点），所以 ， 所以.，则 . . 68 抛物线弦长的求解思路 当直线的斜率存在且 时，弦长公式为 ;当直线的斜率 时，只有抛物线的 对称轴是轴时弦长存在，弦长公式为;当直线的斜率 不存在时，只 有抛物线的对称轴是轴时弦长存在，弦长公式为 . 注意：焦点弦是特殊的弦，一般利用抛物线的定义转化为焦半径和焦点弦长问题处 理.注意熟记抛物线的四种标准方程对应的焦点弦长公式. 69 【学会了吗丨变式题】 6.(2026·四川省南充高级中学月考)已知抛物线的焦点为，过点 的直线交抛物线于，两点.当直线与轴垂直时， . （1）求抛物线 的方程； 【答案】由题意可知，当直线与轴垂直时，不妨令，的坐标分别为 ， ， ，解得，故抛物线方程为 . 70 （2）连接，（为坐标原点），若，求 的长. 【答案】由（1）知 ， 由题意得直线的斜率不为0，设直线 ， 由得 ， 设， ， 由根与系数的关系得①， ②， 71 由，得，即， ③， 由①②③联立，得 ，所以 . 3 中点弦问题 例16 (2026·浙江省杭州外国语学校期中)过点作抛物线的弦 ，恰被 点所平分，则弦 所在直线的方程为________________. 73 【解析】 由题意知，当垂直于轴时，不满足题意，故弦 所在的直线 的斜率存在， 设该直线的斜率为，, , 则弦所在直线的方程为 由消去，得 ， 则 . 又（为,中点），所以,解得 . 故所求弦所在直线的方程为 . . . 74 由题意知，当垂直于轴时，不满足题意，故弦 所在的直线的斜率存在． 设, ， 则①， ②， 且， ③. ，得 . 将③代入④，得，即，则弦 所在直线的斜率为4. 故所求弦所在直线的方程为 ， 即 . 75 名师点评 抛物线的中点弦公式 已知抛物线，斜率为的直线与抛物线交于,两点，弦 的中点 为 . 设,，则， ，两式相减可得 ， 则，即 .我们称该式为抛物线的中点弦公式. 由此，我们可以快速求解本题. 秒解 因为,所以 ， 故弦所在的直线方程为，即 . . . 76 例17 已知抛物线,过点作一条直线交抛物线于，两点，则弦 的 中点的轨迹方程为_ _______________. 思路一 思路二 77 【解析】 （直接法） 设,,弦的中点为 ,则 . 当直线的斜率不存在，即 轴时， AB的中点为 . 当直线 的斜率存在时， 若,两点重合，则 . 若,两点不重合， （为点差法做准备）. 易知 . . 78 ，得 , 所以,即 , 即且 . 经检验和 也适合上式， 故所求轨迹方程为 . 79 （参数法） 当直线的斜率存在时，设直线 的方程为 , 由得 . 则 （因为点在抛物线内部，且，所以直线和抛物线相交于两点,一定有 ） 设,,的中点为 , 则, . 80 所以= . 则， ， 消去得 . 当直线的斜率不存在，即轴时，的中点为 ，适合上式. 故所求轨迹方程为 . 81 解决中点弦问题的思路 解决中点弦问题的基本方法是点差法、利用根与系数的关系，直线与抛物线的方程 联立时消 有时更简捷，此类问题还要注意斜率不存在的情况，避免漏解.一般地， 已知抛物线上两点,及的中点 ， 则，直线的方程为 . 线段的垂直平分线的方程为 . 82 【学会了吗丨变式题】 7.若抛物线上总存在关于直线对称的两点，，则实数 的取值 范围是 _____________ 【解析】 设，，线段的中点为，则 两式相减得， . 因为，两点关于直线对称，所以,即 ,所以 ,即 . 因为点在直线上，所以,即 ，所以 ，，因为，是抛物线上不同的两点，所以中点 在抛物线的内部 83 （【回顾】点在抛物线内时，），所以 ， 解得 ， 即实数的取值范围是 ． 题型4 与抛物线有关的定值问题 图3.3.2-10 例18 如图3.3.2-10所示，抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标 原点，点，， 均在抛物线上． （1）求抛物线的方程及其准线方程； 【解析】设抛物线的方程为 ， 由点在抛物线上，得，解得 ， 故抛物线的方程是，准线方程是 ． 85 （2）当与的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线 的斜率为定值． 【解析】 （设线法） 因为的斜率存在，故设直线 的方程为 ，即 ， 代入，消去得 . 因为, ， 所以由根与系数的关系得，即 . 因为直线,的倾斜角互补，所以 ， 故设直线的方程为 ， 同理可得 . 86 所以直线的斜率，所以直线 的斜 率为定值. （设点法） 因为与的斜率存在且倾斜角互补，所以 ，即 ． 又， 均在抛物线上， 所以，，从而有 ， 即，得，故直线的斜率 ，为 定值． 88 （设点法） 设点，， ,则 , 因为,的倾斜角互补，所以 , 所以，所以 ， 因为，所以 ， 所以的斜率为定值 . 89 （齐次化法） 平移抛物线，使点 与原点重合（抛物线向左平移1个 单位，向下平移2个单位），则抛物线的方程变为 ， 即 . 设平移后直线的方程为 （直线方程一定要设为此种形式，且无论如 何平移，直线的斜率不变）， 将直线的方程与抛物线方程齐次化联立（曲线方程的一次项乘以 ,整体 配成二次方程）可得 ， 整理得 ， . . . . . . 90 即（构造成关于的二次方程，或） ， 因为直线,的倾斜角互补，所以 ， 所以（根与系数的关系），所以 , 又由直线的方程可知, , 故直线的斜率 . 思路点拨第（1）问可以利用待定系数法解决；第（2）问求解的关键是如何将 与两条直线的倾斜角互补与直线 的斜率联系起来. . . . . 91 解与抛物线有关定值问题的求解思路 （1）解决与抛物线有关的定值问题时，常考虑利用抛物线的定义及一元二次方程根 与系数的关系来解决，过焦点的弦长问题常结合抛物线的定义来解决. （2）在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值问题.解决这类问题的方法很多， 如点差法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化. （3）求解抛物线中的定值问题，还可以选择一个参数来表示问题中的几何量，通过 运算说明与参数无关，进而找到定值，也常用特殊值法找定值. 92 齐次化法处理圆锥曲线中已知斜率和（积）求定点定值问题 齐次化法适用于处理曲线上的点与定点连线有关的斜率运算问题,“齐次”即, 的次数 相等的意思.齐次化法解决此类问题的步骤如下： （1）如果定点在原点，不需要平移；如果不在原点，则先平移图形，将定点平移到 原点处，列出平移后的圆锥曲线方程，注意平移口诀是“左加右减，上减下加”. （“上减下加”是在等式中对 的同侧进行加减，而以往记忆的“上加下减”，是在等式 中对的异侧进行加减.例如，函数 的图象向上平移1个单位,新的图象对应 的函数解析式为,即；抛物线 向上平移 一个单位，变为 ） （2）将平移后的直线方程设为 .（这样齐次化更加方便，相当于“1”的 妙用，但要注意， 不能表示过原点的直线，少量题目需要讨论） . . 93 （3）与平移后的圆锥曲线方程联立，曲线方程的一次项乘以 ,常数项乘以 ,构造齐次式,然后等式两边同时除以 ，得 到 . （4）利用根与系数的关系得出斜率之和或者斜率之积 ，进而 即可得出答案. 注意：如果是过定点问题，还需要将点的坐标还原回原来的坐标系，之前如何平移， 就反平移回去. 94 【学会了吗丨变式题】 图3.3.2-11 8.(2026·湖北省武汉市期末)已知抛物线 经过 点 ． （1）求抛物线 的方程及其相应准线方程. 【答案】抛物线经过点 ，可得 ,即，所以抛物线的方程为 ,准线方程为 . 95 （2）如图3.3.2-11，过点作斜率为，的两条直线分别交抛物线于， 和 ，四点，其中．设线段和的中点分别为，，过点 作 ，垂足为．证明：存在定点，使得线段 的长度为定值． 【答案】 由题意可得，， ， 设直线，直线 . 由可得， . 设，，则 ， ，所以，同理可得 ， 96 所以 . 设，则直线 的方程为 . 又，则直线的方程为 ， 设,由可得 所以 97 整理可得 ， 即，即 . 所以点的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆， 所以存在定点，且点的坐标为，使得线段 的长度为定值1． 98 设点，， , 由题意可得 ， 又因为，的中点为，所以，且，所以 ，且 ， 设点，的中点为,同理可得，且 , 所以由直线方程的两点式得直线的方程为 ，整理得 . 所以直线过定点,因为垂直于（为直角三角形）,所以点 在以 为直径的圆上， 所以存在点为的中点，使得 的长度为定值1. . . . . 99 题型5 与抛物线有关的定点问题 例19 (2026·陕西省神木中学月考)如图3.3.2-12，抛物线的焦点 关于直线的对称点恰在抛物线 的准线上． 图3.3.2-12 100 （1）求抛物线 的方程； 【解析】由题意得，设 ， 则中点为 ， ，关于直线 对称， 点在直线上，即，解得 ， 即 ， 又,则直线的斜率 ， ，解得 ， 抛物线的方程为 . 101 （2）是抛物线上横坐标为的点，过点 作互相垂直的两条直线分别交抛物线 于，两点，证明直线 恒经过某一定点，并求出该定点的坐标． 【解析】 由题意得直线 的斜率一定存在， 则设直线的方程为,且，均不与 重合， 联立得整理得 ， , , 由（1）得 ， ， ， 又由得 ， 即 ， 102 ， ，（因为点,均不与 重合，所以 ,,所以 ，可消元） ， ， ， , 直线的方程为 , 即， 直线恒过定点 ． 103 （齐次化法） 由（1）得 ， 将抛物线整体平移，使点 与坐标原点重合，则抛物线的方程变为 ，即 ， 设平移后直线的方程为 ， 齐次化联立得 ， 整理得 ， 即 . 104 设直线,的斜率分别为, ， ， （根与系数的关系）， 即， , 代入直线方程，得 ， 所以直线经过定点 （【注意】求出定点的坐标并没有结束，应再将定点平移回 原来的坐标系中）， 将其平移回原坐标系中，可知直线恒过点 . . . . . 105 （1） 106 （2） 给什么 得什么 已知抛物线方程和点的横坐标为，求出点坐标，给出直线与 垂直，可知（或者斜率乘积为 ）. 求什么 想什么 要求直线经过定点，那么需要知道直线方程，可设直线 方程为 ，其中有两个未知量, ，消去一个未知量即可求出定点. 差什么 找什么 中含有,两点坐标，将直线 与抛物线方程联立，利用根 与系数的关系，将,两点坐标之间的关系转化为, 之间的关系，然后代 入的表达式中，从而得到只含有一个未知量的直线 的方 程，即可得到直线 经过的定点. 107 解决定点问题常用的三种方法 1.设方程，通过已知条件恰当变形与合理运算，确定方程中系数间的关系，从而确 定定点. 2.引入参数，表示直线上两点坐标，通过得到的坐标，得到直线方程，然后确定定 点坐标. 3.通过特殊值或观察方程判断定点，然后加以证明. 108 【学会了吗丨变式题】 9.在平面直角坐标系中，已知点，（不与重合）是抛物线 上两个动 点，且满足 ． （1）当垂直于轴时，求三角形 的面积. 【答案】当垂直于轴时，由抛物线的对称性知，点，关于 轴对称，不妨令 点在第一象限，而，则直线方程为,由得点 ，从 而得， ， 所以的面积为 . 109 （2）轴上是否存在点使得？若存在，求出点 的坐标；若不存在， 请说明理由． 【答案】 设直线方程为 ， 由得，直线方程为 ， 由得点，，同理可得点 . 假设在轴上存在点，使得，设点 ， 则直线的斜率 ， 110 直线的斜率 . 由得，则有 ， 即 ， 整理得，显然当时，对任意不为0的实数 , 恒成立， 即当时，恒成立， 恒成立， 所以在轴上存在点使得成立，点的坐标为 ． 111 设,, , 点，在抛物线上，, ， 由可知，，即,即 , 化简可得，因为,所以 . 因为，所以直线与直线 倾斜角互补，即斜率互为相反数，所以 , 112 即,即 , 化简可得 . 当，即点,关于轴对称时，轴上任意一点均满足 . 当时，有 . 故在轴上存在点使得 成立. 113 题型6 与抛物线有关的最值问题 例20 [教材改编P146 T12]求抛物线上的点到直线 的最小距离. 【解析】 设 为抛物线上一点， 则点到直线 的距离 . 所以当时，有最小值，最小值为 . 114 图3.3.2-13 如图3.3.2-13，设与直线 平行的抛物 线的切线方程为 , 由 消去得 , 由,得 . 故最小距离为 . 115 例21 已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线,，直线与 交于,两点，直线与交于，两点，则 的最小值为( ) A A.16 B.14 C.12 D.10 116 【解析】 抛物线的焦点为 ， 由题意可知, 的斜率存在且不为0. 不妨设直线的斜率为 ， 则, ， 由消去得 . 117 设,，则 ， 则（焦点弦长公式） . 同理得 , ,当且仅当 , 即 时取等号， 故 的最小值为16. . . 118 设直线的倾斜角为 ，直线的倾斜角为 ，则由焦点弦长公式得 ， ， 因为直线与直线垂直，所以 ， 所以，当且仅当，即或 时取等号. 所以 的最小值为16. 119 与抛物线有关的最值问题的常见题型与解题思路 常见题型是求抛物线上一点到定点的距离的最值、求抛物线上一点到定直线的距离 的最值、求抛物线上一点到动直线的距离的最值. 主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转 化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换， 得到有关距离的含变量的代数式，以目标函数最值的求法解决. 120 【学会了吗丨变式题】 10.(2026·浙江省宁波市期末)已知，，是抛物线 上的三点，且 ，若，则点到直线 的距离的最大值为( ) C A. B.2 C. D.2 【解析】将代入中得，，解得 ，故抛物线的方程 为 . 设,，由题意得,, ， 其中， ， 故 ， 121 即 ， 故，即 . 设直线的方程为 ， 联立抛物线方程得， ， 则,, ， 故，解得 ， 所以直线的方程为，恒过定点 ， 故点到直线的距离的最大值 . 此时，因为，所以，满足 . 122 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 由于抛物线方程比较简单,高考中较少单独考查抛物线的几何性质；直线与抛物线的 位置关系的题目比直线与椭圆、双曲线的题目容易,因此高考题中经常出现;另外,抛 物线与向量、圆等综合命题时，综合性强,难度较大.各种题型都会出现，试题难度中 等或中等偏难. 核心素养：数学运算（求方程、最值等），直观想象（利用图形性质解决问题）， 逻辑推理（定点、定值问题、判断关系等）. 123 考向1 抛物线的焦点弦问题 例22 [多选题](2025· 全国一卷)已知抛物线的焦点为，过 的一条直线交 于，两点，过作直线的垂线，垂足为，过且与直线 垂直的直线 交于点 ，则( ) ACD A. B. C. D. 124 【解析】对于A选项，直线为抛物线的准线,由抛物线的定义，可知 ，A 选项正确. 对于B选项， 当轴时，,,，, ,此时 ，B选项错误. 以焦点弦为直径的圆与准线相切，为直径， 为弦，所以 ，B选项错误. 125 对于C选项， 易知直线的斜率不为0，设直线，, , 由得 ， 则,， ， .C选项正确. 抛物线的焦点弦中通径最短，，则 .C选项正确. ,当且仅当 时等号成立，C选项正确. 126 对于D选项， 当,即轴时，由B知，， . 当时，直线 ， 故可得， ， ， 所以 .综上， . . . 127 图3.3.2-14 由选项B可知 ，如图3.3.2-14，因为 ,所以 .又 ,且等号同时成立，所以 ，故选 项D正确. 128 命题探源 试题借助抛物线的基本元素命制，以直线与抛物线的位置关系为限制 条件，引导考生逐步求出抛物线的基本量.本题取材于教材第135页【例 4】，都是以抛物线的焦点弦为载体，考查相关的知识，其中都涉及求 焦点弦长问题. 提分探源 熟记抛物线中的一些小结论，对于客观题而言，能够提高效率. 129 变式探源 [多选题](2022·新高考全国Ⅱ卷)已知为坐标原点，过抛物线 焦点 的直线与交于,两点，其中在第一象限，点.若 ,则 ( ) ACD A.直线的斜率为2 B. C. D. 130 【解析】 对于A，由题意，得，因为，且 ，所以 ，将其代入抛物线方程，得，所以 ， 所以直线的斜率 ，故A正确. 对于B，由选项A的分析，知直线的方程为2，代入 ，得 ， 解得或，所以，所以 ，所以 ，故B不正确. 131 对于C，由抛物线的定义及选项A，B的分析，得 ， 即 ，故C正确. 对于D，易知,,, ，则由余弦定理的推 论得 ， ,（也可以利用向量的数量积的 正负去判断夹角是锐角、直角还是钝角） 所以 ， ， 所以 ，故D正确． 综上所述，选 ． 132 因为，，且，所以， ，所以 ，故A正确. 由抛物线焦点弦的性质可得，则，则 ， ，， ，故B错误. 由焦点弦的性质可得， ，故C正确. 在中，，，所以 , 根据三角形大边对大角得为锐角，同理在中， ，所以 ,得为锐角，所以 ，故D正确． 故选 ． 133 考向2 直线与抛物线的综合问题 例23 [多选题](2022·新高考全国Ⅰ卷)已知为坐标原点，点 在抛物线 上，过点的直线交于， 两点，则( ) BCD A.的准线为 B.直线与 相切 C. D. 134 图3.3.2-15 【解析】如图3.3.2-15，因为抛物线过点 ，所以 ，解得，所以，且准线为 ， 所以A错误； 由,的坐标易知直线的方程为 ，显然该直线 与轴不垂直，将直线的方程与抛物线 的方程联立并整 理得，, ，所以直线 与 相切，所以B正确； 设,,直线的方程为 ，由 得 ， 135 所以 所以或，，又 ， ， 所以 ，故C正确； 因为， ， 所以 ， 而，故D正确.故选 . 例24 (2023·全国甲卷)已知直线与抛物线交于 ， 两点， ． （1）求 ； 【解析】设,,把代入，得 ， 由根与系数的关系，可得, ， 所以 ， 解得或 （舍去）， 故 . 137 （2）设为的焦点，，为上两点，且，求 面积的最小值． 【解析】由（1）知抛物线，则点 . 因为,所以 ，设， ，则 . 直线的斜率不可能为零，设直线 ， 由可得， ， 所以, ， ，即 . , . 138 所以 . 因为 ， 所以 ， 即 ， 将,, 代入得， ， 所以 ， 所以，且 ， 解得或 . 所以 , 所以面积的最小值为 . 考向3 抛物线与其他曲线的综合 例25 [多选题](2024· 新课标Ⅱ卷)抛物线的准线为，为上动点.过 作 的一条切线，为切点.过作的垂线，垂足为 ．则 ( ) ABD A.与相切 B.当，，三点共线时， C.当时， D.满足的点 有且仅有2个 140 【解析】对于A,由抛物线的方程知,圆心到直线的距离等于 的半 径1，故与 相切，A正确； 对于B，，的半径，当,,三点共线时，，所以 ,因 为与相切于点 ， 所以，所以 ，故B正确； 对于C，当时，,或,,易知与 不垂直， 故C错误； 对于D，记抛物线的焦点为，则,连接,,由抛物线定义可知 ， 因为，所以,所以点在线段 的中垂线上， 141 因为线段的中点坐标为,,所以线段 的中垂线方程为 ，即，即,代入 可得 ，，即 的中垂线和抛物线 有两个交点，所以满足条件的点有且仅有两个，故D正确.故选 . 高考新题型专练 1.[多选题](2026·河北省保定市第三中学月考)已知是抛物线 的焦点，是上的点， 为坐标原点．则( ) ABC A. B. C.以为圆心且过的圆与 的准线相切 D.当 时，的面积为 【解析】因为是抛物线的焦点，所以，即得 ，A 选项正确； 143 图D 3.3.2-2 如图D 3.3.2-2，设在上，所以 ， 所以 （抛物线上的点到焦点的最短距 离为 ），B选项正确； 因为以为圆心且过的圆半径为，等于到 的 准线的距离，所以以为圆心且过的圆与 的准线相切，C选项 正确； 当 时,,由抛物线的对称性，不妨设点 在第 一象限，则直线的斜率为 ，且 ，，所以,解得 或（舍去），所以 的面积为 ，D选项错误.故选 . . . 144 2.新考法 结构不良(2026·湖南省常德市期末)①直线是抛物线 的准线； ②是椭圆 的一个焦点； ③,对于抛物线上的点,的最小值为 . 在以上三个条件中任选一个，填到下面问题中的横线处，并完成解答． 已知抛物线的焦点为 ，满足________． （1）求抛物线 的标准方程； 145 【答案】选条件①:由准线方程为知 , 所以抛物线的方程为 . 选条件②:因为抛物线的焦点坐标为 , 所以由已知得椭圆的一个焦点为,所以 , 又,所以,所以抛物线的方程为 . 选条件③:由题意可知,当,,三点共线且点在线段上时, 取得最小值 ，所以 , 又,,则由两点间距离公式得,解得,所以抛物线 的方 程为 . 146 （2）是抛物线上在第一象限内的一点，直线与交于， 两 点，若的面积为，求 的值． 【答案】把代入方程,可得 ， 设， . 由消去可得 , 则,解得 . 又, , 147 所以 （弦长公式） . 到直线的距离为 , 所以,即 , 解得或 ， 经检验均满足,所以的值为或 . . . 148 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：35分钟 1.过抛物线的焦点作直线交于,两点，若 ， 则 ( ) B A.16 B.12 C.10 D.8 【解析】由抛物线的方程可得,因为，所以 . 149 2.直线交抛物线于，两点，为坐标原点，，则 的值 为( ) D A. B.0 C.1 D.2 【解析】设,，将代入，可得 ， 故,,所以.又 ,所以 ,即，则或,经检验 时，不符合题意，故 . （对于抛物线上两点,,为坐标原点，若,则直线 过定 点 ） 150 3.(2026·湖北省宜昌市期末)设抛物线的准线与轴交于点,若过点的直线 与抛物线有公共点，则直线 的斜率的取值范围是( ) C A.[-, B. C. D. 【解析】由题意知点的坐标为,若直线 的斜率不存在，显然不符合题意,故直 线 的斜率存在. 设直线的斜率为,则直线的方程为,与抛物线方程 联立,得 . 当 时,显然符合题意； 当时,需,即,解得或 . 综上，的取值范围是 . 151 4.(2026·福建省福州市期末)已知抛物线,过点 引抛物线的一条弦，使它 恰在点处被平分，则这条弦所在的直线 的方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】设直线与抛物线相交于，两点，，，则 ， ， 两式相减可得 ， 的中点为， . 当直线的斜率不存在时，明显不符合题意，则直线 的斜率存在， 设直线的斜率为,则 ， 又直线过点 ， 直线的方程为，即 . 152 5.[多选题]已知抛物线的焦点为，， 是抛物线上不同的两 点，则下列结论正确的是( ) BD A.点的坐标为 B.若直线过点，则 C.若，则 的最小值为1 D.若，则线段的中点到轴的距离为 153 【解析】对于A,由抛物线方程知其焦点在轴上,焦点坐标为 ,故A错误. 对于B,由题意知，直线斜率存在,设其方程为,由 得 , ,故B正确. 对于C,若,则直线过焦点,的最小值为抛物线的通径长，即为 ,故C 错误. 对于D,因为,所以,,即线段的中点 的纵坐标为,所以到轴的距离为,故D正确.故选 . 154 6.(2025·北京)已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ___. 6 【解析】因为抛物线的顶点坐标为，焦点坐标为 ，抛物 线的顶点到焦点的距离为3，所以,即 . 155 7.新考法 结构不良 (2026·河北省沧州市期中)在 ， ，轴时， 这三个条件中任选一个，补充在下面的 横线上，并解答． 问题：已知抛物线的焦点为，点在抛物线 上，且___ _____． （1）求抛物线 的标准方程; 【答案】选择条件①， 由抛物线的定义可得， . ，，解得 ， 故抛物线的标准方程为 . 156 选择条件②， ，， ， 点在抛物线 上， ，即,解得 ， 故抛物线的标准方程为 . 选择条件③， 当轴时，，解得 ， 故抛物线的标准方程为 . 157 （2）若直线与抛物线交于，两点，求 的面积． 【答案】设，，由（1）可知 . 由消去并化简整理可得， ， 由根与系数的关系，可得， ， ， . 点到直线的距离 ， 故的面积 . （【另解】若设直线与轴的交点为，则,且将分为 和 两部分，则 ） . . 158 8.[教材改编P139 T9](2026·江苏省常州市段考)已知动点在曲线上运动， 为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线 . （1）求的轨迹方程 ; 【答案】设，，因为是 的中点， 所以,，即, ， 又，代入得．故点的轨迹方程是 ． 159 （2）已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和 ， 且，求证：直线 恒过定点. 【答案】 点的坐标满足方程，即点在 上， 由题意可知直线 的斜率不会为0， 图D 3.3.2-1 设直线的方程为 ，如图D 3.3.2-1，（可避免讨论 斜率不存在的情形） 由消去并整理得 ， 需满足，即 ， . . 160 设，，则， ， 因为， ， 所以 ，得 ， 所以直线，即 ， 所以直线恒过定点 . 161 （齐次化法） 平移抛物线，使点 与原点重合，则抛物线的方程变为 ，即 ， 设平移后直线的方程为 ， 将直线 的方程与抛物线方程齐次化联立可得 ， 整理得 ， 即 ， 因为直线和直线 的斜率之和为1， 所以，所以，则 , 所以直线的方程为，直线恒过定点 . 将其平移回原坐标系中，可知直线恒过定点 . 162 B 综合练丨高考模拟 建议时间：40分钟 9.已知抛物线的焦点为，点在上，且，若点 的坐 标为，且，则 的方程为( ) A A.或 B.或 C.或 D.或 163 【解析】设， 抛物线，， ， ， ， ， ，即 ①， ， 由抛物线的定义可得， ②， ，， ③， 将③代入①可得，，解得 . ,代入②式可得，，即 ， 解得或 ， 抛物线方程为或 .故选A． 164 10.新考法 新定义题 (2026·江西省上饶市期中)已知点,直线 ，若某直 线上存在点，使得点到点的距离比到直线 的距离小1，则称该直线为“最远距离 直线”，则下列结论错误的是( ) A A.点的轨迹是一条线段 B.点的轨迹与直线 没有交点 C.不是“最远距离直线” D. 是“最远距离直线” 165 【解析】由题意可得，点到点的距离比到直线的距离小1，等价于点到点 的 距离等于到直线的距离，故点的轨迹是以为焦点，直线 为准线的抛物线，其方程是 ，故A错误； 点的轨迹方程是，它与直线 没有交点，故B正确； 要满足“最远距离直线”，则必须满足与抛物线有交点，把 代入 ，消去并整理得，因为 ，所 以此方程无解，所以 不是“最远距离直线”，故C正确； 把代入，消去并整理得 ，因为 ，所以此方程有解，所以 是“最远距离 直线”，故D正确. 166 11.[多选题](2026·辽宁省抚顺市模拟)已知为抛物线 上的动点， 为坐标原点，在抛物线上，过抛物线的焦点的直线与抛物线 交于 ，两点， ，则下列说法正确的是( ) ABD A. 的最小值为4 B.若线段的中点为，则弦长 的长度为8 C.若线段的中点为，则三角形的面积为 D.过点作两条直线与抛物线分别交于点，，且满足平分 ，则直 线 的斜率为定值 167 【解析】将代入抛物线方程，得 ， 所以抛物线的方程为,焦点 . 对于A，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为 ，由抛物线的定义知 ， 即，，三点共线时，取得最小值，最小值为 ，故A正确． 对于B，因为为的中点，可令点，的横坐标分别为， ，则 ， ，故B正确． 168 对于C，由直线过焦点与求得直线的方程为，则点 到 直线的距离 ， 则三角形的面积 ，故C错误. 对于D，易知点在抛物线上，且 轴． 设，，易知直线， 的斜率均存在， ，同理 ， 169 因为平分， 轴， 所以，即 ， 即，所以 ， 直线的斜率，为定值，故D正确．故选 ． 170 12.过抛物线的焦点的直线交抛物线 于,两点，点关于 轴对称的点 为点.若以为直径的圆与直线交于点，则当时，直线 的斜率为 ____________. 或 图D 3.3.2-2 【解析】如图D 3.3.2-2，设,,因为点关于 轴对称的点为点，故 ， 因为轴，是圆的直径，所以，故 轴， 则 . 由可得 ， 所以，则 . 171 又，依题意，显然直线 的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，代入抛物线 ， 消去，得 ， 则，且, ， 由解得或 分别代入中，可得或 ， 故直线的斜率为或 . 172 13.(2026·广东省清远市月考)设抛物线,点,,过点的直线 与 交于， 两点. （1）当与轴垂直时，求直线 的方程； 【答案】当直线与轴垂直时，直线的方程为,可得的坐标为或 . 所以直线的方程为或 . 173 （2）证明： . 【答案】 当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以 . 当与轴不垂直时，设的方程为，, ,则 , . 由得,可知, . 174 直线，的斜率之和为 ①. 将,及, 的表达式代入①式分子，可得 . 所以,可知直线,的倾斜角互补，所以 . 综上， . 175 图D 3.3.2-3 （几何法） 设的坐标为, 的坐标为 ,不妨设,,如图D 3.3.2-3，分别过， 作轴的垂线，分别交轴于点，（当与 轴垂直时，认为 , 两点重合）. 设直线的方程为 . 欲证 ， 可证 , 即证，即证，即证 ，整理得 . 由得,所以 , ,所以 . 所以 . 176 C 培优练丨能力提升 14.(2026·云南省曲靖市第一中学期中)设抛物线的焦点为 ,点 ,过的直线交于，两点.当直线垂直于轴时， . （1）求 的方程； 【答案】当 轴时， 有，得 ， 所以抛物线的方程为 . 177 （2）设直线,与的另一个交点分别为,,记直线,的倾斜角分别为 ， .当 取得最大值时，求直线 的方程. 【答案】如图D 3.3.2-4，根据（1）知, . 图D 3.3.2-4 178 当轴时，由抛物线的对称性可知与关于轴对称，所以,关于 轴对 称，所以，此时 . 当的斜率存在时，设,,, , 则直线的方程为 ， 即 , 即 , 所以直线的方程为 . 同理可得，直线的方程为 ， 直线的方程为 , 179 直线的方程为 . 因为在上，所以 . 因为在,上，所以， ， 所以, . 所以 , , 所以直线的方程可化为 ， 所以, , 180 所以 . 当时，，此时 ，所以不符合题意. 当时， ， ， 当且仅当，即 时取等号， 此时 取得最大值且大于0，直线的方程为 . 181 $