3.3.2　抛物线的简单几何性质 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线的简单几何性质及直线与抛物线的位置关系，通过回顾椭圆、双曲线几何性质引入，搭建从圆锥曲线共性到抛物线特性的学习支架，明确理解性质、解决问题、掌握位置关系的学习目标。 其亮点在于以表格对比不同标准方程抛物线的范围、焦点等性质，结合AI思考辨析和分层训练，培养数学眼光中的几何直观与抽象能力。通过例3—2向量关系结合韦达定理推理，体现数学思维的推理能力，规律方法总结助力数学语言表达，帮助学生提升综合解题能力，为教师提供系统教学资源与分层教学思路。

第三章　圆锥曲线的方程 3.3.2　抛物线的简单几何性质 学 习 目 标 1.理解抛物线的简单几何性质. 2.能运用抛物线的几何性质解决相关问题. 3.掌握直线与抛物线的位置关系,并会用方程思想解决此类问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目 录 索 引 基础落实·必备知识全过关 知识点1　抛物线的简单几何性质 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 图形         范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 对称轴 x轴 　 　  　 　  　 　  x轴 y轴 y轴 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 焦点 F 　　 　  　　 　  　　 　  顶点 　　　　  准线 x= 　　　   　　 　  　 　　  离心率 　　   开口方向 向右 向　 　  向　　   向　 　  原点(0,0) e=1 左 上 下 AI·思考辨析 在抛物线y2=2px(p>0)中,过焦点作垂直于对称轴的弦,其长度是多少? 提示 2p.设弦为AB,抛物线焦点为F,|AB|=|AF|+|BF|=2p. 体验新知 1.对于抛物线y=4x2,下列描述正确的是(　　) A.开口向上,焦点为(0,1) B 2.(北师大版教材习题)在同一平面直角坐标系中画出下列抛物线: (1)y2=x;(2)y2=2x;(3)y2=4x. 通过观察这些图形,说明抛物线开口的大小与方程中x的系数有怎样的关系. 解 如图,通过观察这些图形,抛物线方程中x的系数的绝对值越大,抛物线开口越大. 3.(人教B版教材例题)已知抛物线的对称轴为x轴,顶点是坐标原点且开口向左,又抛物线经过点M(-4,2),求这个抛物线的标准方程. 知识点2　直线与抛物线的位置关系及应用 设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0. (1)若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. AI·思考辨析 1.直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与抛物线一定相切吗? 2.直线x=0是抛物线y2=2px的切线吗? 提示 不一定.当直线与抛物线的对称轴平行(或重合)时,直线与抛物线只有一个公共点,但不相切. 提示 是. 体验新知 (北师大版教材例题)已知直线l经过点A(0,1),且与抛物线C:y2=x有唯一的公共点,求直线l的方程. 解 如图, (1)当直线l的斜率不存在时, 直线l:x=0(y轴)与抛物线C相切于原点,符合条件. (2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+1. ①当k2=0时,直线l的方程为y=1,此时,方程组有唯一的实数解,符合条件; ②当k2≠0时,方程(*)有唯一的实数解的充要条件是Δ=(2k-1)2-4k2=0. 重难探究·能力素养速提升 能力提升点一　抛物线几何性质的应用 【例1】 已知抛物线y2=8x. (1)求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围; (2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长. 思路分析 (1)利用抛物线的对应性质求解; (2)利用抛物线的对称性及重心的性质求解. 解 (1)抛物线y2=8x的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围分别为(0,0),(2,0),直线x=-2,x轴,[0,+∞). (2)如图所示.由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,设垂足为点M. 因为焦点F是△OAB的重心, 变式训练1　(1)等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=2x上,则这个等边三角形的边长为(　　) A.2 B.2 C.4 D.4 D 解析 设等边三角形的边长为2a,a>0,由图可知等边三角形的另外两个顶点关于x轴对称,可设另外两个顶点坐标分别是A(a,a),B(a,-a),把顶点坐标代入抛物线方程得a2=2a,得a=2,所以等边三角形的边长为4.故选D. (2)(2026上海浦东高二模拟)设M(x,y)为抛物线y2=4x上任意一点,若x+2y+m的最小值为1,则实数m的值为　　　　　.  5 解析 因为M(x,y)为抛物线y2=4x上任意一点, 所以x=,y∈R,所以x+2y+m=+2y+m=(y+4)2+m-4, 所以当y=-4时,x+2y+m取得最小值m-4,依题意可得m-4=1,所以m=5. 能力提升点二　直线与抛物线位置关系的应用 角度1 抛物线的弦长和中点弦问题 【例2】 已知抛物线C:y2=6x,过点P(2,1)的直线l交抛物线于A,B两点,且弦AB被点P平分. (1)求直线l的方程; (2)求弦AB的长度. 变式训练2 已知点P(2,1),若抛物线y2=4x的一条弦AB恰好是以P为中点,则弦AB所在直线的方程是　　　　　　　. 2x-y-3=0 ★角度2 抛物线的焦点弦问题 【例3—1】 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且斜率为2的直线l交抛物线C于A,B两点,若|AB|=5,则p=(　　) A. B.1 C. D.2 D 解析 由题意知,F(,0),设l:y=2(x-),A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去y得4x2-6px+p2=0,所以x1+x2=p. 由抛物线的定义知 |AB|=|AF|+|BF|=(x1+)+(x2+)=x1+x2+p=p+p=p. 而|AB|=5,故p=5,解得p=2. 故选D. 【例3—2】 抛物线C:y=x2,过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,若3,则直线AB的倾斜角为(　　) A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° C 解析 (方法1)由题意可知F(0,1),不妨设l:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立直线与抛物线方程得x2-4kx-4=0,x1+x2=4k,x1x2=-4. 又=(-x1,1-y1),=(x2,y2-1),而3, 所以-3x1=x2,代入x1x2=-4得3=4, 故 所以直线的倾斜角为30°或150°.故选C. (方法2)如图,作出抛物线的准线l, 则|AM|=|AF|,|BF|=|BN|, 过点A作AC⊥BN,设|AF|=m,则|BC|=2m,|AB|=4m, 则∠BAC=30°,故直线AB的倾斜角为30°. 同理,如图, 易知直线AB的倾斜角为150°.故选C. 变式训练3 ★(1)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A(4,n)(n>0)为抛物线C上一点,且|AF|=5,直线AF交抛物线C于另一点B,记坐标原点为O,则=(　　) A.5 B.-4 C.3 D.-3 D 解析 由抛物线的定义,可得|AF|=4+=5,则p=2,p2=4, 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则=x1x2+y1y2=-p2=-p2=-3.故选D. ★(2)直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则|AB|=(　　) A.4 B. C.8 D. C 解析 (方法1)设点A(x1,y1),B(x2,y2), ∵|AF|=3|BF|,∴|y1|=3|y2|,∴|y1y2|=3=p2=9,∴=3,x2=.∴=27,x1=. ∴|AB|=(x1+)+(x2+)=8.故选C. (方法2)抛物线y2=6x的焦点坐标为(,0),准线方程为x=-, 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则=6x1,=6x2. ∵|AF|=3|BF|,∴x1+=3(x2+),∴x1=3x2+3. ∵|y1|=3|y2|,∴x1=9x2.∴x1=,x2=.∴|AB|=(x1+)+(x2+)=8.故选C. (3)[2024上海宝山高三校考期末]过抛物线x2=4y的焦点且倾斜角为 的直线被抛物线截得的弦长为　　　　　.  8 解析 抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,直线l的倾斜角为 , 则直线l的方程为y=-x+1,代入x2=4y得y2-6y+1=0,设直线l与抛物线交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,则y1+y2=6,则|MN|=|MF|+|NF|=y1+y2+2=8. 能力提升点三　直线与抛物线的综合问题 【例4】 (2026广东高三期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到直线y=x的距离为. (1)求抛物线C的准线方程; (2)若直线l经过点M(8,0),且与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,证明: OA⊥OB. (1)解 由题可知F,则其到直线x-y=0的距离为, 又p>0,所以p=4,所以抛物线的准线方程为x=-=-2. (2)证明 由(1)得抛物线的标准方程为y2=8x. 由题可知,直线l斜率不为0,所以设直线l:x=my+8, 设A(x1,y1),B(x2,y2),联立⇒y2-8my-64=0, 所以y1+y2=8m,y1y2=-64,x1x2==64, 所以=x1x2+y1y2=0, 所以OA⊥OB. 变式训练4 已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB,求证:直线AB过定点. 证明 设直线的方程为x=my+n, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=-2pn. ∵x1=my1+n,x2=my1+n, ∴x1x2=m2y1y2+mn(y1+y2)+n2. ∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,即-2pn·(m2+1)+mn·2pm+n2=0,解得n=2p. 故直线AB过定点(2p,0). 本节要点归纳 1.知识清单: (1)抛物线的几何性质及应用; (2)抛物线中点弦问题,焦点弦问题,弦长问题; (3)直线和抛物线的综合问题. 2.方法归纳:直接法、定义法、待定系数法. 3.常见误区:(1)求抛物线方程时焦点的位置易判断失误;(2)忘记检验Δ>0. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 1.(2026河北高二期中)已知直线l:y=kx+1和抛物线C:y2=4x,则“k=1”是“直线l与抛物线C恰有一个公共点”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 A 1 2 3 4 5 解析 当k=1时,将y=x+1代入抛物线C的方程y2=4x,整理得x2-2x+1=0,此时Δ=(-2)2-4×1×1=4-4=0,即直线l:y=x+1与抛物线C恰有一个公共点. 将直线l:y=kx+1代入抛物线C的方程y2=4x,整理得k2x2+(2k-4)x+1=0,当k≠0时,令Δ=(2k-4)2-4×k2×1=4k2-16k+16-4k2=-16k+16=0,解得k=1. 当k=0时,直线方程y=1,此时直线与抛物线恰有一个公共点. 综上可知,当直线l与抛物线C恰有一个公共点时,k=1或k=0,故“k=1”是“直线l与抛物线C恰有一个公共点”的充分不必要条件.故选A. 1 2 3 4 5 2.已知点P在抛物线y2=4x上,则点P到点(4,0)的距离的最小值为(　　) A.2 B.2 C.2 D.4 C 解析 记点M(4,0),P(x0,y0),则=4x0, 所以|MP|2=(x0-4)2+-8x0+16+4x0=(x0-2)2+12, 因为x0≥0,所以|MP|2≥12⇒|MP|≥2,当且仅当x0=2时,|MP|取最小值2. 故点P到点(4,0)的距离的最小值为2. 故选C. 1 2 3 4 5 3.(多选题)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程可以为(　　) A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y CD 解析 设抛物线方程为x2=2py或x2=-2py(p>0),2p=8,p=4. ∴抛物线方程为x2=8y或x2=-8y. 1 2 3 4 5 4.已知抛物线C的方程为y2=8x,F为抛物线C的焦点,倾斜角为45°的直线l过点F交抛物线C于A,B两点,则线段AB的长为　　　　. 16 1 2 3 4 5.已知抛物线y2=6x,过点P(4,1)引抛物线的一条弦P1P2,使它恰好被点P平分,求这条弦所在的直线方程及|P1P2|. 5 解 由题意知弦所在直线斜率存在. 设P1(x1,y1),P2(x2,y2). 1 2 3 4 5 本 课 结 束 x= y=- y= F F F B.开口向上,焦点为(0,) C.开口向右,焦点为(1,0) D.开口向右,焦点为(0,) 解析 y=4x2化为标准方程为x2=,2p=, 故抛物线的焦点在y轴上,开口向上,焦点坐标为(0,).故选B. 解 根据已知条件可设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0), 因为点M(-4,2)在抛物线上,所以(2)2=-2p×(-4),因此2p=3. 从而可知所求方程为y2=-3x. 由方程组消去y并整理,得k2x2+(2k-1)x+1=0. (*) 解得k=.此时,方程组有唯一的实数解,符合条件. 综上,满足题意的直线l有三条:x=0,y=1,y=x+1. 所以|OF|=|OM|. 因为F(2,0),所以|OM|=|OF|=3,所以M(3,0). 故设A(3,m)(m>0),代入y2=8x得m2=24, 所以m=2或m=-2(舍去). 所以A(3,2),B(3,-2),|OA|=|OB|=, 所以△OAB的周长为2+4. 解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1≠x2,y1+y2=2, 由可得(y1-y2)(y1+y2)=6(x1-x2), 所以直线l的斜率kl==3, 得直线l的方程为y-1=3(x-2),即3x-y-5=0. (2)联立得y2-2y-10=0,得y1+y2=2,y1y2=-10, 所以|AB|=|y1-y2|=. 解析 当x=2时,|y|=2>1,则点P在抛物线内部(含焦点的部分). 设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1≠x2,y1+y2=2, 由可得=4x1-4x2, 则=2,即直线AB的斜率kAB=2, 故直线AB的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0. 由得y2-2pmy-2pn=0. 解析 抛物线C的方程为y2=8x,F为抛物线C的焦点, 则直线l的方程为y=x-2,联立化简整理可得x2-12x+4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12,故|AB|=x1+x2+p=12+4=16. ∵P1,P2在抛物线上,∴=6x1,=6x2. 两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2). ∵y1+y2=2,∴弦所在的直线斜率k==3. ∴直线的方程为y-1=3(x-4),即3x-y-11=0. 联立y2=6x与3x-y-11=0,消去x,得y2-2y-22=0,∴y1+y2=2,y1y2=-22, ∴|P1P2|=. $