3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时）（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时） 题型一：抛物线的中点弦 1．已知点平分抛物线的一条弦，则这条弦所在直线的方程是 ． 2．已知抛物线，以为中点作的弦，则这条弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（    ） A．12 B． C． D． 5．过点的直线与抛物线相交于两点，若恰为的中点，则线段的长为 . 题型二：抛物线上点到定点的距离最值 1．已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为(    ) A．8 B． C．9 D．3 2．设点为圆上的一动点，点为抛物线上的一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 4．已知抛物线，是抛物线上一点，则点到点距离的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 5．抛物线上任意一点P到点的距离最小值为 . 题型三：抛物线上点到定直线的距离最值 1．抛物线上的点到直线的最短距离是 ． 2．抛物线上一点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．抛物线上一点到直线的距离最短，则该点的坐标是 . 4．若抛物线图像上一点到直线距离的最小值为，则（    ） A． B．8 C．8或 D． 5．抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型一：抛物线的直线过定点问题 1．已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上． (1)求抛物线C的方程； (2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点． 2．已知点，，中恰有两个点在抛物线上． (1)求的标准方程 (2)若点，在上，且，证明：直线过定点． 3．在平面直角坐标系中，抛物线上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5． (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，求证：直线l必过定点． 4．已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． (1)求抛物线Γ的方程； (2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； (3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 5．已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)不过点的直线与交于两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 题型二：抛物线的定值问题 1．设抛物线，F为C的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点． (1)若l的斜率为2，求的值； (2)求证：为定值． 2．已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图． (1)求抛物线的方程及点M的坐标； (2)证明：为定值； 3．抛物线的焦点到准线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过焦点的直线（斜率存在且不为0）交抛物线于两点，线段的中垂线交抛物线的对称轴于点，求. 4．已知抛物线的准线与轴的交点为. （1）求的方程； （2）若过点的直线与抛物线交于，两点.求证：为定值. 5．在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线的距离. (1)求动点的轨迹方程； (2)记动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于两点，，直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值. 题型三：抛物线的应用 1．2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点处.若“金色大伞”的深度为，则“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 2．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（    ）（，，） A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m 3．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 m． 4．图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. (1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； (2)经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值； (3)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？ 1．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 . 2．设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（    ）． A．经过点 B．经过点 C．平行于直线 D．垂直于直线 3．设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 5．已知动圆过定点，且与直线相切，其中． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)设、是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当、变化且，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时） 题型一：抛物线的中点弦 1．已知点平分抛物线的一条弦，则这条弦所在直线的方程是 ． 【答案】 【分析】设弦的两端点为，则有，将两式作差即可算出斜率， 从而得到直线的方程. 【详解】设弦的两端点为 则有 将两式相减得 因为，所以 所以这条弦所在直线的方程是：，即 故答案为： 2．已知抛物线，以为中点作的弦，则这条弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设弦与抛物线的交点为，则，根据弦的中点是，利用点差法求解. 【详解】设弦与抛物线的交点为， 则， 两式相减得：， 所以， 因为弦的中点是， 所以， 则， 所以这条弦所在直线的方程为， 即， 故选：D 3．已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程，两式作差，运用平方差公式和直线的斜率公式，以及中点坐标公式，可得直线的斜率，再由点斜式方程可得所求直线方程． 【详解】由题意得：设，都在抛物线上 ，直线还经过， 所以直线方程为 故选：B 4．过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由以及线段的中点的纵坐标为1，可得直线的斜率，从而得到直线的方程，求出直线的中点的横坐标为，则，由抛物线的弦长公式求解即可 【详解】设，则，则. 因为线段的中点的纵坐标为1，所以，则. 又直线过的焦点，所以直线的方程为， 则线段的中点的横坐标为，则，故. 故选：C 5．过点的直线与抛物线相交于两点，若恰为的中点，则线段的长为 . 【答案】16 【分析】用点差法求出直线斜率，得直线方程，联立方程组，利用韦达定理，由弦长公式计算可得． 【详解】设， 则，两式相减得， ∴， ∵的中点是，∴． ∴直线方程为，即， 由，得， 则， ∴． 故答案为：16 题型二：抛物线上点到定点的距离最值 1．已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为(    ) A．8 B． C．9 D．3 【答案】B 【分析】把点代入抛物线中求出，再设利用两点间距离计算根据二次函数求最值即可. 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线方程为，设， 则， 所以的最小值为. 故选：B. 2．设点为圆上的一动点，点为抛物线上的一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论． 【详解】如下图，设， 则，，当且仅当时取等号，此时， ，因此， 故选：B． 3．已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由两点间距离公式表示出，再由二次函数的最值，即可得到结果. 【详解】依题意，是抛物线上的点，设， 则， 对于函数，当时，， 所以的最小值是， 即的最小值为. 故选：C 4．已知抛物线，是抛物线上一点，则点到点距离的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】设出点坐标后借助两点间的距离公式计算即可得. 【详解】设点坐标为， 则， 由，此时， 即. 故选：C. 5．抛物线上任意一点P到点的距离最小值为 . 【答案】 【分析】设（），则，将代入化简可求出其最小值 【详解】设，则， 因为， 所以 ，当时取得最小值4， 故答案为：4 题型三：抛物线上点到定直线的距离最值 1．抛物线上的点到直线的最短距离是 ． 【答案】 【分析】设出抛物线上的点坐标，利用点到直线的距离公式求解作答. 【详解】设抛物线上的点，则点P到直线的距离： ，当且仅当时取等号， 所以所求最短距离为. 故答案为： 2．抛物线上一点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出与平行且与相切的直线方程，从而与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值，利用点到直线距离公式求出即可. 【详解】设直线 与相切， 联立与得：， 由，得：， 则直线为， 故与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值， 由两平行线间距离公式得：. 故选：A 3．抛物线上一点到直线的距离最短，则该点的坐标是 . 【答案】/ 【分析】设抛物线上任意一点的坐标为，利用二次函数的配方法可求出该抛物线上一点到直线的最小值及其对应的值，进而求出所求点的坐标. 【详解】设抛物线上任意一点的坐标为， 则点到直线的距离为， 当时，取得最小值，此时点的坐标为. 故答案为： 4．若抛物线图像上一点到直线距离的最小值为，则（    ） A． B．8 C．8或 D． 【答案】B 【分析】由题意先判断抛物线与直线的关系，进而求出的取值范围，再利用点到直线距离公式分析求解. 【详解】由得：， 由题意知直线与抛物线无交点， 所以， 设抛物线上任一点为， 则点到直线的距离为： ， 因为，所以， 所以， 所以当时，， 解得：， 故选：B. 5．抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设点坐标，然后利用点到直线距离求解即可. 【详解】因为所求点在抛物线上， 所以设所求点为：， 所以点到直线距离为： ， 当且仅当时，有最小值， 此时， 故选：B. 题型一：抛物线的直线过定点问题 1．已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上． (1)求抛物线C的方程； (2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点． 【答案】(1)y2＝4x (2)证明见解析 【分析】(1)把已知点坐标代入抛物线方程求得参数，即得抛物线方程； (2)设AB：x＝my+t，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得，代入得参数值，从而可得定点坐标． 【详解】（1）P点坐标代入抛物线方程得4＝2p， ∴p＝2， ∴抛物线方程为y2＝4x． （2）证明：设AB：x＝my+t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4t＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t， 所以Δ＞0⇒16m2+16t＞0⇒m2+t＞0， ，同理：， 由题意：， ∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)， ∴y1y2＝4， ∴﹣4t＝4， ∴t＝﹣1， 故直线AB恒过定点(﹣1，0)． 2．已知点，，中恰有两个点在抛物线上． (1)求的标准方程 (2)若点，在上，且，证明：直线过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据点的坐标可得抛物线也关于轴对称，将点代入抛物线方程即可求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立结合韦达定理可得，即可求定点坐标． 【详解】（1）因为点，关于轴对称，抛物线也关于轴对称， 所以点，在上， 将点代入抛物线得，，即， 所以抛物线的方程为：； （2）由题意可知，直线的斜率一定存在，则设直线的方程为， 由消得：， 由韦达定理得， 所以直线，显然恒过定点． 3．在平面直角坐标系中，抛物线上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5． (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，求证：直线l必过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意建立关于的等式，解出即可求得抛物线方程； （2）设出坐标，联立直线与抛物线方程，求得，根据，建立等式求出，即可得出结果. 【详解】（1）由题可知，点P到抛物线准线的距离为5， 因为抛物线的准线方程为，点P的横坐标为4， 所以，解得，所以抛物线的方程为； （2）证明：设，且， 联立消去x可得， 则，且，即， 所以， 由，得，即， 解得（舍）或，故直线l的方程为， 所以直线l必过定点． 4．已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． (1)求抛物线Γ的方程； (2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； (3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 【答案】(1)； (2)8 (3)证明见解析，定点坐标为 【分析】（1）根据焦点坐标为，故，所以抛物线为； （2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案； （3）设出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之积，根据得到方程，求出，得到恒过的定点. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 则，即，所以抛物线为； （2）直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：， 得．，设， 由韦达定理得， 故. （3）由题意可知所在直线斜率不为0，所在直线方程． 联立抛物线Γ和直线的方程：，化简可得：， 则．由韦达定理可得， 又由已知，则． 此时直线恒过点． 5．已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)不过点的直线与交于两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的定义即可求解； （2）设直线的方程为，,，,，利用韦达定理及可得，，，进一步求出的中点坐标，然后求出直线的方程即可求解． 【详解】（1）由题可知，动点的轨迹为焦点在轴，开口朝右的抛物线， ， 曲线的方程为； （2）设直线的方程为，,，,， 直线与抛物线联立：， 消去化简得，则，即， ，，又，即， 又， ，即， 设点为的中点，则， 直线的方程为， 令，则， 故点为定点，坐标为． 题型二：抛物线的定值问题 1．设抛物线，F为C的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点． (1)若l的斜率为2，求的值； (2)求证：为定值． 【答案】(1)5 (2)证明见解析 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，利用焦点弦长公式，即可求解； （2）首先设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，并利用韦达定理表示，即可求解. 【详解】（1）过点，且直线的斜率为2的直线为， 设，， 联立，得，， ； （2）设过点的直线， 联立，得，， 则， . 2．已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图． (1)求抛物线的方程及点M的坐标； (2)证明：为定值； 【答案】(1)，或 (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式结合条件即得； （2）求出抛物线的焦点坐标，设直线的方程为，与抛物线方程联立，用一元二次方程根与系数的关系，结合抛物线定义可证明为定值. 【详解】（1）因为点在抛物线：（）上，点为抛物线的焦点，且， 所以： . 所以抛物线的方程为：， 由 ， 故点坐标为：或. （2）由（1）知：，显然直线的斜率存在，所以设直线方程为：， 由 ， 设，， 则， 由抛物线的定义得：，， 所以： ， 即为定值1. 3．抛物线的焦点到准线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过焦点的直线（斜率存在且不为0）交抛物线于两点，线段的中垂线交抛物线的对称轴于点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义即可得解； （2）不妨取抛物线的方程为，设直线的方程为，、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出，再求出中垂线方程，即可求出点坐标，即可求出，从而得解. 【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以， 根据建系方案的不同，抛物线的标准方程有四种可能， 分别是，，，. （2）在平面直角坐标系中，抛物线的位置并不影响的取值，因此不妨取抛物线的方程为，此时焦点， 根据题意，直线的斜率存在且不为，因此设直线的方程为， 与抛物线联立，得关于的一元二次方程， 则，设、， 则，，， ， 则， 线段的中点坐标为，中垂线方程为， 令，解得，即中垂线与轴交于， 所以，则. 4．已知抛物线的准线与轴的交点为. （1）求的方程； （2）若过点的直线与抛物线交于，两点.求证：为定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据抛物线的准线求参数p，即可写出抛物线方程； （2）设直线为，、，联立抛物线方程，应用韦达定理求，，由，，代入目标式化简，即可证结论. 【详解】（1）由题意，可得，即， ∴抛物线的方程为. （2）证明：设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去x得，则， ∴，，又，. ∴ . ∴为定值. 5．在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线的距离. (1)求动点的轨迹方程； (2)记动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于两点，，直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据抛物线定义及焦准距即得动点的轨迹方程； （2）先设出直线的方程，与抛物线方程联立，消元后整理成一元二次方程，得出韦达定理，再利用斜率定义，得到的表达式，整理成的对称式，代入韦达定理即得定值. 【详解】（1）因动点到点的距离等于点到直线的距离，故可知动点的轨迹是抛物线， 设其方程为，由题意得，故动点的轨迹方程为： （2） 如图，因直线的斜率不能为零（否则直线与抛物线只有一个公共点），又过点， 可设由消去并整理得：， 显然设，则由韦达定理，（*） 则 ， 将（*）代入得：, 故为定值. 题型三：抛物线的应用 1．2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点处.若“金色大伞”的深度为，则“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，再结合抛物线的定义求值即得. 【详解】依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，点 设抛物线的方程为，则，解得， 抛物线的焦点，准线方程为，， 所以“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为. 故选：B 2．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（    ）（，，） A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线方程并将水面宽度坐标化即可求得结果. 【详解】以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的标准方程为（）， 由题意可得，代入得，得，故抛物线的标准方程为， 设（，），则，则， 即可得， 所以截面图中水面宽的长度约为， 故选：D. 3．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 m． 【答案】/3.6 【分析】首先建立直角坐标系，再根据抛物线所过的点求标准方程，进而得到抛物线的焦点到准线的距离. 【详解】以抛物线的最高点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为，， 因为抛物线过点，所以，可得， 所以抛物线的焦点到准线的距离为． 故答案为： 4．图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，设拱桥所在抛物线的方程为，根据抛物线过点，求出的值，即可得到抛物线方程，再令，求出的值，即可得解. 【详解】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系， 可设拱桥所在抛物线的方程为， 又抛物线过点，则，解得， 则抛物线的方程为，当时，， 故当水面宽度为米时，拱顶与水面之间的距离为米. 故选：D 5．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. (1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； (2)经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值； (3)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？ 【答案】(1) (2) (3)4.0米 【分析】（1）设该抛物线的方程为，代入点可得答案； （2）直线与抛物线联立求出、可得答案； （3）设车辆高为h，代入抛物线方程可得答案. 【详解】（1）如图所示. 依题意，设该抛物线的方程为， 因为点在抛物线上，所以，， 所以该抛物线的方程为； （2），焦点，，设，，则， 由解得，，， 所以， 则； （3）设车辆高为h，则，故， 代入抛物线方程，得，解得， 所以通过隧道的车辆限制高度为4.0米. 1．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 . 【答案】 【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果. 【详解】抛物线： ()的焦点, ∵P为上一点，与轴垂直， 所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为, 不妨设, 因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧， 又， 因为，所以 , ， 所以的准线方程为 故答案为：. 2．设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（    ）． A．经过点 B．经过点 C．平行于直线 D．垂直于直线 【答案】B 【分析】依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解. 【详解】如图所示： ． 因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点. 故选：B. 3．设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点做轴，令，则，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离求解即可. 【详解】如图所示过点做轴，令， 因为是抛物线的焦点，与轴正向的夹角为， 所以由抛物线的性质得，解得， 所以， 故选：B 4．（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【答案】AC 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC. 5．已知动圆过定点，且与直线相切，其中． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)设、是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当、变化且，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）设动圆圆心为，则，由此能导出所求动圆圆心的轨迹的方程． （2）设，，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由得，由此能求出直线过定点坐标． 【详解】（1）解：设动圆圆心为，依题意可得， 整理得， 所求动圆圆心的轨迹的方程是. （2）证明：设，，由题意得（否则，且，， 所以直线的斜率存在，设其方程为 ， 显然，．即，， 把代入得， 由韦达定理知，，①， 由得 把①代入上式，整理化简得，， 此时，直线的方程可表示为：，即， 令，解得， 直线恒过定点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $