第14章 全等三角形 压轴题专题训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦几何图形动态变换与综合证明，通过分层设问构建从基础证明到拓展猜想的逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直角三角形与垂线综合|1（3问）|垂线线段关系证明与猜想|从垂线构造全等推导线段关系，体现图形位置变化对结论的影响| |三角形中点与角平分线综合|1（3问）|中点、角平分线综合证明与计算|结合中点性质与角平分线判定，构建证明与计算的逻辑关联| |正方形与动态三角形综合|1（2问）|动态点位置及数量关系探究|以正方形性质为基础，探究动态点位置与图形关系的演变|

1. 如图，和中，，，，连接、． （ 1 ）如图，求证：． 图 （ 2 ）如图，、交于点，用含的式子表示． 图 （ 3 ）如图，过作于点，求式子 的值． 图 （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 1 ）∵ ∴在 ， 和 ， 中， ， ∴ ∴ （ 2 ）过点 ≌ ， ． 作 于 ， 于 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ， ， ， 平分 ， ， ． （ 3 ）由（ ）知， 在 ， 和 ， 中， ∴ ∴ 可证 ∴ ∴ ≌ （ ）， ， ≌ ， （ ）， ． 【知识点】多解或多种判定混合 2. 如图，在中，是直角，，、分别是、的平分线， 、相交于点． 图 （ 1 ）直接写出的度数． （ 2 ）请你判断并写出与之间的数量关系． （ 3 ）如图，在中，如果不是直角，而（）中的其它条件不变，试判断线段、 与之间的数量关系并说明理由． 图 （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 1 ）由题意， ， ， ∴ ， ∵ 、 分别是 、 的平分线， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． （ 2 ）如图，在 上截取 ，连接 ， ∵ 平分 ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ， 由（ ）知 ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 在 和 中， ∵ 平分 ， ∴ ， 在 和 中， ∴ ≌ （ ）， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． （ 3 ）如图，由题意， ， 平分 ， ，在 中， ， 在 ∴ ∵ ∴ ∴在在 中， ， ， ， ， ， 上截取一点 和 ，使 中， ，连接 ， ， ∴ ∴ 又∵ ∴ 在 ≌ （ ）， ， ， ， ， 和 中， ， ∴ ∴ 又∵ ∴ 故选段 ≌ （ ）， ， ， ， ， ， 满足的数量关系式： ． 【知识点】多解或多种判定混合 3. 如图，在五边形中，，．连接，，且， ． 图 （ 1 ）求证：． （ 2 ）如图，若，为边上的中线，求证：． 图 （ 3 ）如图，在( )的条件下，，，则五边形的面积为 ． 图 （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 3 ） （ 1 ）易证 ≌ ∴ （ 2 ）延长 由 交 ． 于 ， ： ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ， ， ， ， ， 边上中线， ， , 为 ∴ ≌ ∴ ∴ ≌ ( ， ( ， )， )， ， ∴ ， ， ∴ ． （ 3 ）由 知 ， ， 总 ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 $ 1. 如图，和中，，，，连接、． （ 1 ）如图，求证：． 图 （ 2 ）如图，、交于点，用含的式子表示． 图 （ 3 ）如图，过作于点，求式子 的值． 图 2. 如图，在中，是直角，，、分别是、的平分线， 、相交于点． 图 （ 1 ）直接写出的度数． （ 2 ）请你判断并写出与之间的数量关系． （ 3 ）如图，在中，如果不是直角，而（）中的其它条件不变，试判断线段、 与之间的数量关系并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 图 3. 如图，在五边形中，，．连接，，且， ． 图 （ 1 ）求证：． （ 2 ）如图，若，为边上的中线，求证：． 图 （ 3 ）如图，在( )的条件下，，，则五边形的面积为 ． 图 $ 1. 如图，已知：中，， ，分别过，向经过点的直线作垂线，垂足为，． （ 1 ）当与斜边不相交时，请证明(如图)． 图 （ 2 ）如图，当与斜边这样相交时，其他条件不变，证明：． 图 （ 3 ）如图，当与斜边这样相交时，猜想、、之间的关系，不必证明． 图 （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 3 ） ． （ 1 ） ， ， ， ， ， 在 和 ， 中， 1 学科网（北京）股份有限公司 ≌ ， ， ， ． （ 2 ） ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ≌ ， ， ， ， ． （ 3 ） ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ≌ ， ， ， ， ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】AAS 【能力】推理论证能力 2. 如图，在 中， ， ，为边的中点，过点 作 交 的延 长线于点， 平分 交 于点， 为 边上一点，连接，且 ． （ 1 ）证明：． （ 2 ）判断点在上的位置，并说明理由． （ 3 ）在的条件下，若，求的长． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）点 是 的中点，理由见解析． （ 3 ） ． （ 1 ）∵ ， ， 平分 ， ∴ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ． （ 2 ）点 是 的中点；理由如下：连接 ，如图所示： 在 与 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． （ 3 ）如图，延长 交 于 ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 平分， ，平分 ， ， ， ， ， 在 与中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ≌ ，即 ，平分 ， ≌， ， ． ， ， ， 3. 如图，在中，为锐角，点为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．【知识点】多解或多种判定混合 （ 1 ）如果，， 当点在线段上时（与点不重合），如图，线段、所在直线的位置关系为 ，线段、的数量关系为 ．1 当点在线段的延长线上时，如图，①中的结论是否仍然成立，并说明理由．2 （ 2 ）如果，是锐角，点在线段上，当满足什么条件时， （点、不重合），并说明理由． （ 1 ）1 2 （ 2 ）当 垂直 ; 当点 在 的延长线上时①的结论仍成立． 时， ． （ 1 ）1 正方形 ∵ ∴ 又∵ 中， ， ， ， ， ∴ ∴ ∴ 当点 ≌ ， ， ， ，即 ． 2 在 的延长线上时①的结论仍成立． 由正方形 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ 得 ， ， ． ， ， ， ≌ ， ， ． ， ， ∴ ∴ ∴即 ， ， ． （ 2 ）当 ． 时， （如图）． 理由：过点 则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ 作 交 的延长线于点 ， ， ， ， ， ， ， ∴ ≌ ∴ （同角的余角相等）， ， ， ， ，即 ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 $ 1. 如图，已知：中，， ，分别过，向经过点的直线作垂线，垂足为，． （ 1 ）当与斜边不相交时，请证明(如图)． 图 （ 2 ）如图，当与斜边这样相交时，其他条件不变，证明：． 图 （ 3 ）如图，当与斜边这样相交时，猜想、、之间的关系，不必证明． 图 2. 如图，在中， ，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，为边上一点，连接，且． （ 1 ）证明：． （ 2 ）判断点在上的位置，并说明理由． （ 3 ）在的条件下，若，求的长． 3. 1 学科网（北京）股份有限公司 如图，在 中， 为锐角，点为射线 上一点，连接 ，以 为一边且在 的右 侧作正方形 ． （ 1 ）如果，， 当点在线段上时（与点不重合），如图，线段、所在直线的位置关系为 ，线段、的数量关系为 ．1 2 当点在线段的延长线上时，如图，①中的结论是否仍然成立，并说明理由． （ 2 ）如果，是锐角，点在线段上，当满足什么条件时， （点、不重合），并说明理由． $