3.2.2 双曲线的简单几何性质（第2课时）（分层作业）数学人教A版 选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学双曲线几何性质同步练，分层设计从基础概念到综合应用，梯度合理，适配新授课知识巩固，培养数学推理与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|a,b,c关系/渐近线/离心率|选择为主，巩固概念（如求渐近线方程）| |提升|标准方程求解（过点/共渐近线/离心率/等轴）|结合具体点与特殊双曲线，培养应用能力| |综合|位置关系/焦点三角形|多性质综合，发展推理与几何直观（如焦点三角形面积计算）|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 3.2.2 双曲线的简单几何性质（第2课时） 目录 A组 巩固过关 2 题型01根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程根据a、b、c求双曲线标准方程…. 2 题型02求双曲线的离心率或离心率的取值范围 .3 题型03根据双曲线过的点求标准方程 .4 题型04求共线的双曲线的标准方程 .6 题型05求共离心率的双曲线的标准方程… .7 题型06等轴双曲线… 8 题型07讨论双曲线与直线的位置关系… .10 题型08利用定义解决双曲线中焦点三角形问题， .…13 B组 能力进阶 .16 C组 思维拔高 .16 拓展 链接高考 .16 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A组 巩固过关 题型01 题型01根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程根据a、b、c求双曲线标准方程 C:2 x2 10 1(2026福建二模)已知双曲线C:。存=1a>0,b>0) 的离心率为3，则C的渐近线方程为() A.y= B.y=±3x -X 3 D.y=tv3x C:2x2 10 2(2026福建二模)已知双曲线C:。下-1a>0,6>0)， 的离心率为3，则C的渐近线方程为() A.= B.y=±3x CPs⑤ D.y=t/3x mx2-y2=3 5,0) 3.(25-26高三下·广西南宁·阶段检测)己知双曲线 的一个焦点坐标是 ，则该双曲线的 渐近线方程为() A少3 B y=t2V3 3 C.=+v6 D.+v6 颗型02 题型02求双曲线的离心率或离心率的取值范围 x2 y2 4(26-27高三上浙江开学考试)双曲线24=2”(m∈R)的离心率为（) √5 6 A.2 B.2 C.2 D.5 5.(26-27高三上北京开学考试)在下列双曲线中，离心率最大的是() 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =1 B. x2 y2 =1 56 号1 x2 y2 √5 6(25-26高二下贵州遵义阶段检测)已知双曲线。=l(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为3，则 双曲线的离心率为() 2V3 A.2 B.3 c.25 D.3 颗型03 题型03根据双曲线过的点求标准方程 7(2026河北邪台二校)已知酯线Γ是中心在坐标原点，对称销为坐标销的等销双由线，点很v5)在Γ上。 则「的实轴长为() A.2 8.25 C.4 D.4V 8.(25-26高二上河北石家庄阶段检测)经过点 (3,-2) 并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准 方程为() x2 y2 =1 x2 y2 A.44 855=1 x2 y2 C.66 0.77=1 x2 9(24-25高二上广东期末)己知双曲线c过点(3,6)，且与双曲线3广=1有相同的渐近线，则C的方 程为() x2 y2 A9391 x2y=1 y2 x2 C.399 =1 D.3399 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04 题型04求共渐近线的双曲线的标准方程 N:y2 =1 10.(25-26高三上重庆·阶段检测)已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线43 有共同的 渐近线，且点 P(2,1) 在双曲线M上，则双曲线M的方程为() x2 y2 .6 c君号 3x2_y-1 D.8-2 y2 x2 11.(2025辽宁鞍山一模)与双曲线4-2 =1有相同渐近线的双曲线方程为() x2 y2 A.x2-y2=1 B.x2-2y2=2 C.48 =1 2y=1 D.42 12.(2025江苏淮安模拟预测)双曲线C,与双曲线c:4广=1的渐近线相同，且过点（么，2），则双曲 C 线 的方程为() y2 A.4-2=1 82、2 寸s1 x2 y2 C.22 =1 D.x23 颗型05 题型05求共离心率的双曲线的标准方程 x2 y2 1B.(24-25高三上-潮北期中)已知双曲线。厅=1(a>0,b>0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程 为() A.y=±2x B.y=±2 4/10 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 C D.y 14(2021高二上四川乐山期中)已知双曲线C:-广 3 :。尔=1a>0,6>0)的离心率为，且与椭圆 号有公共焦点，则一的方程为 x2 y2 高二下·云南德宏期末)已知双曲线22=1的一条渐近线方程为少=，x,则 () v10 5 A.2 B.5 C.2 D.2W2 题型06 题型06等轴双曲线 0,2) 16.(25-26高二上·贵州毕节期末)已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为 ,则双曲线的方 程是() A.2-2=4 B.2-x2=2 C. x2-y2=4 0.r2-y2=2 2,1) 17.(24-25高二上：四川宜宾期中)已知等轴双曲线过点 ,则该双曲线方程为() A.-y2=1 x2+y2=5 c.r-2=3 0.y-x2=3 18.(24-25高二上山东青岛期中)等轴双曲线C的一个焦点为(2,0)，则它的实轴长为() 4 V3 B.2 C.4 0.22 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型07 题型07讨论双曲线与直线的位置关系 x2 y 19.(26-27高三·全国一轮复习)过点(0,1)作与双曲线36=1仅有一个公共点的直线，这样的直线有 () A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 x2 y2 20.(25-26高二下四川泸州期末)（多选题）双曲线C:京京=1a>0,b>0)的左，右焦点分别为R,乃： P是C上一点，且 ,上轴，直线平分 ∠FPF,O 是坐标原点.下列结论正确的有(） 6 A.若PF=5PF引，则C的离心率为 B,若F01,垂足为0，则lo0-=号 C.1与C有唯一公共点 D.1与x轴的交点在直线x= 21(2026陕西宝鸡模拟预测D已知双曲线C:。-。>0,b>0的离心率为，2，左、右焦点分别为 ,5,过且领斜角为的直线与双曲线C的左、右两支分别交于以，W两点，T为的中点.若直线 F、 M,N MN 0= 为线段 的垂直平分线，则 颗型08 题型08利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 C. 22(24-25商三上江苏镇江阶段检测)双曲线C:方-严=1 的右焦点F,过原点O的直线与C相交于P, 6/10 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Q两点，若PF⊥QF,则△PF的面积为() A J B.1 C.2 D.2 x2 y2 23. (2026江苏南京模拟预测)己知双曲线云一6=1(a心0，b>0)的左、右焦点分别为五和B,右 3V5 顶点为A,过点A作斜率为7的直线1，点M在直线1上，若∠MF=120°，△M为等腰三角形， 则双曲线的渐近线方程为() A.y=±V3x B.少t⑤ C.y=+22x D.y② 一 2 x2 y2 24.(25-26高二上~上海虹口期中)己知点p为双曲线。F=1a>0,6>0)右支上一点，点F,5分别 为双曲线的左右焦点，点I是△PFE的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有 SAIP6 -SAIPE=2 -SAIFF: 则双曲线的离心率是 B组 能力进阶 1（2526育二下湖南期末)已知焦点在'轴上的双曲线C的新近线方程是，=士vVx ,则C的离心率为 () A.2 8.2 D.2V2 2(24-25高二上广东佛山期末)已知双曲线的一条渐近线方程是’=2 x,虚轴的一个端点坐标为 0,2) 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则双曲线的标准方程为() A.22 x =1 B. 4y2=1 xy2 1 2y=1 4 C.416 D.164 c少2 √13 =1 3.(25-26高三上广东深圳期末)已知双曲线4m的离心率为2，则C的渐近线方程为() 2 A.y=±x 4 3 8.y=±3 c.y=±gx D.y=±x 4 4(526商三下安散准北阶假检测)世知照回G号+=口>0)的点与风准线G号-号=1的顶六 C 重合，则椭圆的离心率为() 3 3V10 2W14 A.10 B.10 C.7 D.3 5.(24-25高二上江苏徐州期中)以椭圆 + 6+)=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为 () x2 y2 =1 79 B.79 y2 x2 =1 ℃.916 =1 D.916 6(2526高二上广西桂林期中)若双曲线少- =1的虚轴长为2、万，则该双曲线的渐近线方程为 m () A.y=±V7x 8.Ps⑦ C.y=±7x D.y=与 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ● C组 思维拔高 1.(24-25高二上：黑龙江期中)己知双曲线C的一条渐近线方程为y=2x,实轴长为4，则C的方程为 () x2 y2 x2 y2 =1 =1 A.416 B.1664 c y2 =1或4-=1 =1或164 x2 y2 2(25-26高二上江苏无锡期末)双曲线。存=1(a>0,6>0)的焦距长为8，且渐近线方程为y=±5x, 则双曲线方程为() x2 y2 A4121 x2 y2 C.1648 1 0.举后1 3(2425高二上天津西青期未)已知双曲线C:二-片 :京尔=a>0,6>0)的焦距4N5,实轴长为4，则曲线C 的渐近线为() A.y=t2r B =+V5x c.y=2 0. 4.(25-26高三下·重庆沙坪坝阶段检测)如图1，这是古代的一个青花竹石芭蕉纹玉壶春瓶，忽略花瓶 的厚度，该花瓶的轴截面的上半部分对应的曲线是双曲线（焦距为16.4cm)的一部分，且该花瓶的颈部最 窄处的直径为8.2cm,则该双曲线的离心率为() 9/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.2 C.3 D.4 拓展 链接高考 4,(2026江苏南京一模)已知双曲线C:。-=1a>0,b>0的渐近线方程为=±5r,且实轴长为2 则焦距为() A.3 B.2 c.25 D.4 x2 y2 2.(2026山西昌梁：二模)）已知椭圆，+31与双曲线，62=1(a>0,b>0)共焦点，椭圆与双曲线右支 交于M,N两点，若直线MN过右焦点F,则双曲线的离心率为（） A.5 &6 C.2 D.3 10/10 分层作业 3.2.2 双曲线的简单几何性质（第2课时） 目 录 2 题型01 根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 根据a、b、c求双曲线标准方程 2 题型02求双曲线的离心率或离心率的取值范围 3 题型03根据双曲线过的点求标准方程 4 题型04求共渐近线的双曲线的标准方程 6 题型05求共离心率的双曲线的标准方程 7 题型06等轴双曲线 8 题型07讨论双曲线与直线的位置关系 10 题型08利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 13 16 16 16 题型01 根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 根据a、b、c求双曲线标准方程题型01 1.（2026·福建·二模）已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，即， 因为双曲线的渐近线方程为 所以C的渐近线方程为. 2.（2026·福建·二模）已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，即， 因为双曲线的渐近线方程为 所以C的渐近线方程为. 3.（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知双曲线的一个焦点坐标是，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将转化为标准形式， 显然，由，所以，解得. 所以双曲线标准方程为. 所以该双曲线的渐近线方程为. 题型02求双曲线的离心率或离心率的取值范围题型02 4.（26-27高三上·浙江·开学考试）双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】双曲线即为，则，， 可得，则， 又因为双曲线离心率，则． 5.（26-27高三上·北京·开学考试）在下列双曲线中，离心率最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，离心率为； 对于B，离心率为； 对于C，离心率为； 对于D，离心率为； 因为， 所以离心率最大的是A． 6.（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【详解】根据双曲线渐近线的方程满足，所以. 所以双曲线的离心率为 题型03根据双曲线过的点求标准方程题型03 7.（2026·河北邢台·二模）已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】因为曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线， 所以可设其方程为， 因为点在上，所以，即， 所以曲线的方程为，则， 所以的实轴长为. 8.（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为， 因为该双曲线过点， 所以，即， 故选：B 9.（24-25高二上·广东·期末）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线， 所以设双曲线方程为，将代入，可得，则， 所求双曲线的标准方程是． 题型04求共渐近线的双曲线的标准方程题型04 10.（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设双曲线的方程为， 将点代入得，得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 11.（2025·辽宁鞍山·一模）与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意有的渐近线为，因为的渐近线为，故A错误； 由的渐近线为，故B错误，由的渐近线为，故C正确； 由的渐近线为，故D错误， 故选：C. 12.（2025·江苏淮安·模拟预测）双曲线与双曲线：的渐近线相同，且过点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设双曲线的方程为，， 代入点，则， 则方程为，即. 故选：B. 题型05求共离心率的双曲线的标准方程题型05 13.（24-25高三上·湖北·期中）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知，，解得， 又双曲线的焦点在轴上，所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 14.（20-21高二上·四川乐山·期中）已知双曲线的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为________． 【答案】 【详解】由椭圆方程，可得焦点为 设双曲线的半焦距为，则，因双曲线的离心率为，则 故，所以， 所以双曲线的标准方程为： 故答案为： 15.（25-26高二下·云南德宏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因双曲线的一条渐近线方程为，则. 题型06等轴双曲线题型06 16.（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线方程为，即. 故选：B 17.（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等轴双曲线的方程为， 将点的坐标代入等轴双曲线的方程可得， 因此，该双曲线的方程为. 故选：C. 18.（24-25高二上·山东青岛·期中）等轴双曲线C的一个焦点为，则它的实轴长为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【详解】由题意，设等轴双曲线方程为：， 注意到双曲线的焦点在轴上，则， 双曲线方程可化为， 由焦点可知，，则， 于是实半轴为，于是实轴长是. 故选：D 题型07讨论双曲线与直线的位置关系题型07 19.（26-27高三·全国·一轮复习）过点作与双曲线仅有一个公共点的直线，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【详解】解：双曲线方程为，点在双曲线的两支之间（代入得，无实数解，说明轴与双曲线无交点） 过该点作直线与双曲线仅有一个公共点的情况如下： 双曲线的渐近线方程为 过点 作平行于这两条渐近线的直线，即 和 这两条直线分别与双曲线的一支交于一点，共有2条 由于点在双曲线两支之间，过该点可以向双曲线的两支各作一条切线，共有2条 综上，满足条件的直线共有 4 条． 故选：D. 20.（25-26高二下·四川泸州·期末）（多选题）双曲线的左，右焦点分别为，是上一点，且轴，直线平分，是坐标原点．下列结论正确的有（   ） A．若，则的离心率为 B．若，垂足为，则 C．与有唯一公共点 D．与轴的交点在直线上 【答案】ACD 【详解】不妨设点在第一象限，与轴的交点为， 因为轴，则，， 因为，即， 则，解得， 可得，即，故D正确； 因为，直线的方程为，即， 联立方程，消去y可得，解得， 所以直线与双曲线有唯一公共点，故C正确； 对于选项A：若，即，可得， 所以双曲线的离心率为，故A正确； 对于选项B：设，则，且为的中点， 因为， 且为的中点，所以，故B错误. 21.（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，为的中点．若直线为线段的垂直平分线，则______． 【答案】或 【详解】因为双曲线的离心率，所以，， 设过点，倾斜角为的直线为，由题意知显然不为0， 设，， 联立，得， 由条件可知，，解得：， ，则， 又，所以， 解得：，所以或 题型08利用定义解决双曲线中焦点三角形问题题型08 22.（24-25高三上·江苏镇江·阶段检测）双曲线的右焦点，过原点的直线与相交于P，Q两点，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】双曲线的对称性、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据直角三角形的性质可得，由双曲线的定义及对称性可得，由此可求，进而可得的面积． 【详解】因为双曲线，所以，设左焦点为， 由题意可知，关于原点对称，所以， 由双曲线的对称性可得， 由双曲线的定义可得， 所以，可得， 又， 所以， 所以的面积为． 故选：B． 23. （2026·江苏南京·模拟预测）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，右顶点为A，过点A作斜率为的直线l，点M在直线l上，若∠MF1F2＝120°，△MF1F2为等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】双曲线左焦点，右焦点，右顶点，， 直线的方程为， 因为为等腰三角形， 为钝角， 因此等腰三角形中只能是， 直线的倾斜角为，斜率为， 设，，， 即，在直线上，代入直线方程， 整理得 . . 所以双曲线的渐近线方程为. 24.（25-26高二上·上海虹口·期中）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 【答案】 / 【详解】设的内切圆半径为, 根据双曲线的定义，点在双曲线右支上，故，双曲线的焦距, 由三角形面积公式可得 ，，, 代入题设条件， 得 ，得 ,由于，两边约去得， 故双曲线的离心率. 1.（25-26高二下·湖南·期末）已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【详解】∵ 焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为， 因焦点在轴上的双曲线渐近线为（其中为实半轴长，为虚半轴长）， 则 ，即，则， ∴ 双曲线的离心率. 2.（24-25高二上·广东佛山·期末）已知双曲线的一条渐近线方程是，虚轴的一个端点坐标为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据双曲线的几何性质可得. 【详解】由题意可设双曲线的方程为， 由题意，，故，故双曲线的方程为， 故选：A 3.（25-26高三上·广东深圳·期末）已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】利用离心率先求，进而得双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意得，所以，解得， 所以双曲线的渐近线为， 故选：B. 4.（25-26高三下·安徽淮北·阶段检测）已知椭圆的焦点与双曲线的顶点重合，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求双曲线的顶点坐标、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【详解】双曲线的顶点为， 依题意，椭圆的焦点为， 则椭圆的半焦距为，半短轴长为， 因，则椭圆的离心率为． 5.（24-25高二上·江苏徐州·期中）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线的顶点坐标、求椭圆的顶点坐标、求椭圆的焦点、焦距 【分析】由椭圆方程可得其顶点与焦点，结合双曲线标准方程，可得答案. 【详解】由椭圆，则左右顶点分别为与， 由，则左右焦点分别为与， 设双曲线方程为，则，，解得， 所以可得. 故选：B. 6.（25-26高二上·广西桂林·期中）若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据条件求出，再求渐近线方程. 【详解】由题意可得，，得， 则该双曲线的渐近线方程为. 故选：B 1.（24-25高二上·黑龙江·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据双曲线的焦点位置设出方程，由渐近线方程及实轴长列出的方程，求解即可． 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，方程为， ∵渐近线方程为，实轴长为4， ∴且，解得， ∴的方程为． 当双曲线的焦点在轴上时，方程为， ∵渐近线方程为，实轴长为4， ∴且，解得， ∴的方程为． 综上，的方程为或． 故选：C． 2.（25-26高二上·江苏无锡·期末）双曲线的焦距长为8，且渐近线方程为，则双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求双曲线的焦距、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由焦距长和渐近线方程列方程组求解得到的值，即可得到双曲线方程. 【详解】因为焦距长为8，所以，即. 而渐近线方程为，所以， 又因为，即， 所以， 所以双曲线方程为. 故选：A. 3.（24-25高二上·天津西青·期末）已知双曲线的焦距，实轴长为4，则曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由双曲线的焦距与实轴长，可得的值，从而计算的值，利用渐近线方程，可得答案. 【详解】由题意可得，则， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 4.（25-26高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）如图 1， 这是古代的一个青花竹石芭蕉纹玉壶春瓶， 忽略花瓶的厚度， 该花瓶的轴截面的上半部分对应的曲线是双曲线(焦距为)的一部分，且该花瓶的颈部最窄处的直径为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求双曲线的实轴、虚轴、求双曲线的焦距、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【详解】由题意，该双曲线的焦距为，实轴长， 则， 所以该双曲线的离心率为. 1.（2026·江苏南京·一模）已知双曲线的渐近线方程为，且实轴长为2，则焦距为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【知识点】求双曲线的焦距、已知方程求双曲线的渐近线 【详解】由题意可知，得， 因双曲线的渐近线方程为， 即 ​，代入得， 所以（为半焦距），即， 故焦距为. 2.（2026·山西吕梁·二模）已知椭圆与双曲线共焦点，椭圆与双曲线右支交于两点，若直线过右焦点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【知识点】双曲线的对称性、求椭圆的焦点、焦距、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、椭圆的对称性 【详解】由双曲线和椭圆的对称性可得垂直于轴，故为椭圆和双曲线的通径. 设，由椭圆可得， 在椭圆方程中令，则， 在双曲线方程中令，则， 由题意且，故即， 故或（舍），故. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $