3.2.2 双曲线的简单几何性质（第2课时）（导学案）数学人教A版2019选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的简单几何性质（第2课时） 导学案 （1）掌握双曲线的简单几何性质并进行简单应用． （2）掌握直线被双曲线截取的弦长公式及中点弦方程. （3）掌握直接法求动点的轨迹方程. （4）会判断直线与双曲线的位置关系，并解决实际问题. 视频导入：观看视频，感受双曲线的应用之美. 教师：PPT展示复习的内容，并要求学生自主完成填空. 双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 (－c，0)，(_____，0) (0，－c)，(0，c) 焦距 ________ 范围 _______ ，y∈R _______ ，x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称 顶点 (－a，0)，(a，0) (0，_____)，(0，a) 轴长 实轴长＝________，虚轴长＝________ 离心率 e＝____ > 1 渐近线 ____________________ y＝±x 等轴双曲线 定义 ____ 和____ 等长的双曲线叫做等轴双曲线 方程形式 x2－y2＝λ(λ≠0)，λ>0时，焦点在____轴上； λ<0时，焦点在____轴上 性质 ①离心率：e＝________ ②渐近线方程：________________ 例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（图3.2-10（1））．它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25 m，高为55 m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m)． 预设：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3.2-10(2)所示的直角坐标系，使小圆的直径在轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径，都平行于轴，且，． 设双曲线的方程为，点的坐标为，则点的坐标为， 因为直径是实轴，所以，又，两点都在双曲线上，所以 由方程②得（负值舍去）．代入方程①得 ， 化简得 ③ 解方程③得 （负值舍去） 因此所求双曲线得方程为． 方法总结：双曲线有关的简单实际应用问题 (1) 根据题意建立适当的平面直角坐标系，设双曲线的标准方程； (2) 结合双曲线的定义，及相关几何条件，求出a,b,c的值 (3) 写出双曲线的标准方程，及根据题意求出相关的量 (4) 将所求的量，“翻译”成实际问题的解答 牛刀小试： 练1：某电厂冷却塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所形成的曲面.如图所示，已知它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为，选择适当的平面直角坐标系. 求此双曲线的方程. 预设：以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 设双曲线的方程为， 由题意知，所以， ，， 所以，， 所以，解得，所以双曲线的 方程为. 例5 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹． 预设：设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是点的集合 ． 由此得 ． 将上式两边平方，并化简得 ． 即 ． 所以，点的轨迹是焦点在轴上，实轴长为6，虚轴长为的双曲线（如下图）． 方法总结：直接法求轨迹方程 判断方法：若求动点轨迹的题干中有一个明显的等式关系，可优先考虑直接法 （1） 设动点：比如设动点P(x,y) （2） 等式：找到题干中的一个“等式关系” （3） 符号化：将第二步中的“等式关系”进行数学符号化处理，表示成关于x,y的式子. （4） 标准化：将以上式子等价变形，变为标准形式的方程 （5） 下结论：将不满足题意的点剔除掉，并写出方程或图形 牛刀小试： 练2：在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线. 求曲线的方程，并说明曲线C是什么图形. 预设：由题设得，即， 整理得，所以曲线的方程为， 曲线C为焦点在x轴上，焦距为10，实轴长为8的双曲线. 思考：将例5与椭圆一节中得例6比较，你有什么发现？ 预设：若动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是， 则当时，动点的轨迹是椭圆，当时，动点的轨迹是双曲线．这就是椭圆和双曲线的第二定义． 例6 如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求． 预设：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为，，所以直线的方程为 ① 由，消去，得． 解方程得，． 将，的值分别代入①得，，， 于是，，两点的坐标分别为，． 所以． 思考：是否有不把x1,x2具体的值计算出来，就能求出弦长的方法呢？ 弦长公式： 学生：尝试着用以上弦长公式求弦长 预设：由例6可知，消元后得一元二次方程为：． 由韦达定理得，． 所以， 或者： 解方程得，． 牛刀小试： 练3：过点斜率为的直线与双曲线：相较于两点，求. 预设：过点且斜率为的直线方程为：，即， 联立，消去可得：， 所以，， 所以. 方法总结：双曲线中有关弦长问题的解决方法与椭圆中类似．解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围． 题型一：求共焦点的双曲线方程 例题 与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 预设： 因为椭圆，焦点在x轴上，且， 又因为所为双曲线与双曲线共渐近线， 所以设所求双曲线，即 则，解得. 所以所求双曲线为. 故选：B 题型二：求双曲线的中点弦方程 例题 已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ． 预设：设，，因为中点为， 所以，， 又， ，两式相减，得 ， 即，整理得， 直线l的斜率为，直线l的方程为， 化简得，经检验满足题意. 故答案为：. 方法总结：点差法求中点弦方程 已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，求直线l的方程 设，，因为中点为，所以，， 又， ，两式相减，得， 即，整理得， 直线l的斜率为，直线l的方程为. 题型三：直接法求轨迹方程 例题 在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和P到直线l：的距离之比是常数．求动点P的轨迹方程； 预设：由题意可知，， 化简得，于是，动点的轨迹方程为． 题型四：求弦长 例题 已知双曲线C：，直线l：交双曲线C于A，B两点，求弦长|AB|. 预设：令，， 把代入，消去y得， ， . 题型五：直线与双曲线的位置关系问题 例题 已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点； 预设：（1）联立，消整理得，（*） 因为直线l与双曲线C有两个公共点， 所以，整理得 解得： 或或. （2） 当即时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程（*） 化为，故方程（*）有唯一实数解，即直线与双曲线相交， 有且只有一个公共点，满足题意． 当时，因为直线l与双曲线C仅有一个公共点， 则，解得；综上，或. （3）因为直线l与C没有公共点，所以，解得： 或. 方法总结：利用直线与双曲线的交点个数求参数范围： 当只有一个交点时：（1）直线与双曲线相切，联立方程，一元二次方程 （2）所求直线与渐近线平行 当有两个交点时：直线与双曲线相交，联立方程，一元二次方程 当没有交点时：直线与双曲线相离，联立方程，一元二次方程 题型六：双曲线的简单应用 例题 江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（     ） A．米 B．米 C．米 D．30米 预设：设双曲线方程为，如图建立直角坐标系. 水面上升5米后，设水面宽为CD，设D，其中. 又由题可得，代入双曲线方程可得： ，则D. 将D点坐标代入双曲线方程可得：，则D. 又由对称性可得，则水面上升5米，则水面宽为30米. 故选：D 1．（22-23高二上·辽宁营口·期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 预设：椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为. 设双曲线的方程为， 故，解得， 故双曲线的标准方程为. 故选:A. 2．（24-25高二上·重庆·期末）与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 预设：因为椭圆，焦点在x轴上，且， 又因为所为双曲线与双曲线共渐近线， 所以设所求双曲线，即 则，解得. 所以所求双曲线为. 故选：B 3．（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 预设：设双曲线上的点，线段的中点为，则， 则，且， 两式相减，得，即， 则直线斜率，直线的方程为：， 由，消去，得，解得， . 故选：B 4．（高二上·河北保定·期中）已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求. 预设：（1）解：设，则的斜率分别为，， 由已知得， 化简得， 即曲线C的方程为， 曲线是一个双曲线，除去左右顶点. （2）联立消去整理得， 设，，则， . 5．（24-25高三上·北京·期末）直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 . 预设：直线过定点，直线与双曲线图象如图所示， 又双曲线的两条渐近线为， 因为直线与双曲线的右支只有一个公共点， 所以由图可知，， 故答案为： 6．（高二上·北京·期末）如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽.若水面下降，则水面宽是（    ）(结果精确到)(参考数值：，，) A． B． C． D． 预设：如图：建系， 因为拱桥是等轴双曲线，则设双曲线方程，， 又因为，，则， 将代入双曲线方程，可得，解得，即， 当水面下降，纵坐标，代入双曲线方程可得， . 故选：B 1．弦长公式 已知直线与双曲线交于两点，则 答案： 2．直线与双曲线位置关系的判断 已知直线，双曲线，由可得①， （1）当 时，①仅有一个解，此时直线与双曲线有一个交点； （2）当，若①对应的判别式为， 当时，①有两个不同的实数解，此时直线与双曲线有 个交点； 当时，①有两个相同的实数解，此时直线与双曲线有 个交点； 当时，①无解，此时直线与双曲线 交点； 答案： 2 1 0 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 双曲线的简单几何性质（第2课时） 导学案 （1）掌握双曲线的简单几何性质并进行简单应用． （2）掌握直线被双曲线截取的弦长公式及中点弦方程. （3）掌握直接法求动点的轨迹方程. （4）会判断直线与双曲线的位置关系，并解决实际问题. 视频导入：观看视频，感受双曲线的应用之美. 教师：PPT展示复习的内容，并要求学生自主完成填空. 双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 (－c，0)，(_____，0) (0，－c)，(0，c) 焦距 ________ 范围 _______ ，y∈R _______ ，x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称 顶点 (－a，0)，(a，0) (0，_____)，(0，a) 轴长 实轴长＝________，虚轴长＝________ 离心率 e＝____ > 1 渐近线 ____________________ y＝±x 等轴双曲线 定义 ____ 和____ 等长的双曲线叫做等轴双曲线 方程形式 x2－y2＝λ(λ≠0)，λ>0时，焦点在____轴上； λ<0时，焦点在____轴上 性质 ①离心率：e＝________ ②渐近线方程：________________ 例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（图3.2-10（1））．它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25 m，高为55 m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m)． 方法总结：双曲线有关的简单实际应用问题 (1) 根据题意建立适当的平面直角坐标系，设双曲线的 ； (2) 结合双曲线的定义，及相关几何条件，求出 的值 (3) 写出双曲线的标准方程，及根据题意求出相关的量 (4) 将所求的量，“ ”成实际问题的解答 牛刀小试： 练1：某电厂冷却塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所形成的曲面.如图所示，已知它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为，选择适当的平面直角坐标系. 求此双曲线的方程. 例5 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹． 方法总结： 求轨迹方程 判断方法：若求动点轨迹的题干中有一个明显的等式关系，可优先考虑直接法 （1） ：比如设动点P(x,y) （2） ：找到题干中的一个“等式关系” （3） ：将第二步中的“等式关系”进行数学符号化处理，表示成关于x,y的式子. （4） ：将以上式子等价变形，变为标准形式的方程 （5） ：将不满足题意的点剔除掉，并写出方程或图形 牛刀小试： 练2：在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线. 求曲线的方程，并说明曲线C是什么图形. 思考：将例5与椭圆一节中得例6比较，你有什么发现？ 例6 如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求． 思考：是否有不把x1,x2具体的值计算出来，就能求出弦长的方法呢？ 学生：尝试着用以上弦长公式求弦长 牛刀小试： 练3：过点斜率为的直线与双曲线：相较于两点，求. 方法总结：双曲线中有关弦长问题的解决方法与椭圆中类似．解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围． 题型一：求共焦点的双曲线方程 例题 与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：求双曲线的中点弦方程 例题 已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ． 方法总结：点差法求中点弦方程 已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，求直线l的方程 设，，因为中点为，所以，， 又， ，两式相减，得， 即，整理得， 直线l的斜率为，直线l的方程为. 题型三：直接法求轨迹方程 例题 在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和P到直线l：的距离之比是常数．求动点P的轨迹方程； 题型四：求弦长 例题 已知双曲线C：，直线l：交双曲线C于A，B两点，求弦长|AB|. 题型五：直线与双曲线的位置关系问题 例题 已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点； 方法总结：利用直线与双曲线的交点个数求参数范围： 当只有一个交点时：（1）直线与双曲线相切，联立方程，一元二次方程 （2）所求直线与渐近线平行 当有两个交点时：直线与双曲线相交，联立方程，一元二次方程 当没有交点时：直线与双曲线相离，联立方程，一元二次方程 题型六：双曲线的简单应用 例题 江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（     ） A．米 B．米 C．米 D．30米 1．（22-23高二上·辽宁营口·期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 预设：设双曲线上的点，线段的中点为，则， 则，且， 两式相减，得，即， 则直线斜率，直线的方程为：， 由，消去，得，解得， . 故选：B 4．（高二上·河北保定·期中）已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求. 5．（24-25高三上·北京·期末）直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 . 6．（高二上·北京·期末）如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽.若水面下降，则水面宽是（    ）(结果精确到)(参考数值：，，) A． B． C． D． 1．弦长公式 已知直线与双曲线交于两点，则 2．直线与双曲线位置关系的判断 已知直线，双曲线，由可得①， （1）当 时，①仅有一个解，此时直线与双曲线有一个交点； （2）当，若①对应的判别式为， 当时，①有两个不同的实数解，此时直线与双曲线有 个交点； 当时，①有两个相同的实数解，此时直线与双曲线有 个交点； 当时，①无解，此时直线与双曲线 交点； 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $