1.4.1 充分条件与必要条件 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“例题引导-基础达标-能力提升”三层设计，以充分条件与必要条件概念为核心，构建从单一判断到集合综合应用的巩固路径，培养数学推理能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|概念辨析与基础应用|通过5道典型例题，结合几何、代数情境引导概念理解，奠定推理基础| |A组基础达标|核心知识点全面覆盖|选择、填空、解答题结合，聚焦充分/必要条件判断及简单集合应用，强化基础| |B组能力提升|综合应用与拓展延伸|以含参数集合、不等式为载体，考查条件关系的逆向推理，提升逻辑思维与问题解决能力|

1.4.1 充分条件与必要条件 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】判断下列各题中，p是否是q的充分条件： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)在中，，. 【例2】下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ (1)若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形两条对角线相等； (2)若是直角三角形，则是等腰三角形； (3)若，则； (4)若关于的方程（）有唯一解，则. 【例3】已知集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围. 【例4】已知集合或，，， (1)已知，求实数的取值范围； (2)已知命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围. 【A组基础达标】 一、单选题 1．下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 2．在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 3．设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 4．已知，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 5．设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 6．设p：，q：，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 二、多选题 7．下列命题中，p是q的充分条件的是（　　） A．若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直 B．若，则 C．若，则 D．若，为无理数，则为无理数 8．已知命题，要使为的必要条件，则的取值可以为（    ） A． B．0 C．4 D．5 三、填空题 9．设是实数，若是的必要条件，则的取值范围是____________ 10．是的_____条件（填“充分”或“必要”） 四、解答题 11．已知全集， ，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围． 12．已知全集，集合，非空集合.若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【B组能力提升】 一、单选题 1．已知a，，则“”的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（  ） A．或B．或C． D． 二、填空题 3．若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是___________. 4．已知条件，条件q：，且p是q的必要条件，则m的取值集合是__________. 三、解答题 5．已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围. 6．已知集合，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1 充分条件与必要条件 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】判断下列各题中，p是否是q的充分条件： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)在中，，. 【答案】(1)p是q的充分条件 (2)p不是q的充分条件 (3)p是q的充分条件 (4)p不是q的充分条件 (5)p是q的充分条件 【详解】（1）有理数集是实数集的子集，若是有理数，则一定是实数，成立， 因此是的充分条件. （2）举反例：取，，满足，不满足， 即成立时不一定成立，不成立，因此不是的充分条件. （3）若，两边同时乘正数，必然有，成立，因此是的充分条件. （4）由可得或，存在满足但不满足， 即成立时不一定成立，不成立，因此不是的充分条件. （5）根据三角形的“大角对大边”性质，在同一个三角形中，若内角， 则所对的边一定大于所对的边，成立，因此是的充分条件. 【例2】下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ (1)若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形两条对角线相等； (2)若是直角三角形，则是等腰三角形； (3)若，则； (4)若关于的方程（）有唯一解，则. 【答案】(1)是的必要条件 (2)不是的必要条件 (3)是的必要条件 (4)不是的必要条件 【分析】根据必要条件的定义判断即可. 【详解】（1）：一个四边形是等腰梯形；：这个四边形两条对角线相等. 由等腰梯形的性质可知，等腰梯形的对角线相等，所以，故是的必要条件. （2）：是直角三角形；：是等腰三角形. 如三边长为3，4，5的三角形为直角三角形，但不是等腰三角形， 所以，故不是的必要条件. （3）：；：. 由，得且，所以，即，故是的必要条件. （4）：关于的方程（）有唯一解；：. 如有唯一解，但，所以，故不是的必要条件. 【例3】已知集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集结果得到，求出，检验后满足要求； （2）得到为的子集，分和两种情况，得到不等式，求出实数a的取值范围. 【详解】（1），， ， 故，解得， 此时，满足， 故 （2）“”是“”的充分条件， 故为的子集， 若，此时，解得， 若，此时，解得， 综上，实数a的取值范围是. 【例4】已知集合或，，， (1)已知，求实数的取值范围； (2)已知命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集的定义即可求解； （2）由题意可得，根据参数的取值分类讨论即可求解. 【详解】（1），或， 因，故， 即实数的取值范围为. （2）由于是的必要条件，所以， 因， ① 当时，，此时，符合题意； ② 当时，，由，可得，解得， ③ 当时，，由，可得，解得， 综上所述：， 即实数的取值范围为. 【A组基础达标】 一、单选题 1．下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 【答案】D 【分析】根据充分条件的定义，结合方程的根、不等式的性质、一元二次方程的根、三角形的边角关系逐项判断即可. 【详解】对于A，若则或，则， 所以不是的充分条件，故A不符合； 对于B，若，则且或且，则， 所以不是的充分条件，故B不符合； 对于C，若关于的方程有两个实数解， 则，解得且， 则，所以不是不充分条件，故C不符合； 对于D，在中，可得， 则，所以是的充分条件，故D符合. 故选：D. 2．在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 【答案】B 【分析】由必要条件的概念逐个判断即可. 【详解】对于A：四边形是矩形是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于C：四边形四条边相等即为菱形，是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于D:由“四边形是平行四边形”得不到四边形的对角线垂直，故四边形的对角线垂直不是“四边形是平行四边形”的必要条件，错误； 对于B：若四边形是平行四边形，则四边形的对角线互相平分，即“四边形的对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件. 故选：B． 3．设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 【答案】C 【分析】求出方程的解，利用充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】由可得或， 命题不一定推出命题，命题不是命题的充分条件； 命题可推出命题，命题是命题的必要条件， 是的必要不充分条件． 故选：C. 4．已知，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】D 【详解】对于A，若，满足，而， 则“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，若，满足，而， 则“”不是“”的必要条件，故B错误； 对于C，由，当时，， 则“”不是“”的充分条件，故C错误； 对于D，由，则且，即， 所以“”是“”的必要条件，故D正确. 5．设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于两个集合来说，根据充分条件是找子集，必要条件是找集合，即可得到答案. 【详解】若集合是集合的必要条件，则， 所以在选项中使得成立的一个必要条件只有， 故选：A 6．设p：，q：，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用必要条件的定义求解即得. 【详解】由q是p的必要条件，得， 所以. 故选：A 二、多选题 7．（多选）下列命题中，p是q的充分条件的是（　　） A．若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直 B．若，则 C．若，则 D．若，为无理数，则为无理数 【答案】AC 【分析】根据充分条件的定义进行判断. 【详解】对A：因为菱形的对角线互相垂直，所以“：四边形为菱形”是“：这个四边形的对角线互相垂直”的充分条件； 对B：因为或，所以“：”不是“：”的充分条件； 对C：因为，所以“：”是 “：”的充分条件； 对D：当，，则，为无理数，但为有理数，所以“：，为无理数”不是“：为无理数”的充分条件. 故选：AC 8．已知命题，要使为的必要条件，则的取值可以为（    ） A． B．0 C．4 D．5 【答案】AB 【分析】根据为的必要条件，求出，判断各选项即可. 【详解】由为的必要条件，可得， . 故选：AB. 三、填空题 9．设是实数，若是的必要条件，则的取值范围是____________ 【答案】 【分析】根据必要条件的定义直接求解即可. 【详解】若是的必要条件， 则， 故可得. 故答案为： 10．是的_____条件（填“充分”或“必要”） 【答案】充分 【分析】根据不等式对应的集合的包含关系,即可判断出答案. 【详解】由于集合是的真子集， 故是的充分条件, 故答案为: 充分 四、解答题 11．已知全集， ，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集的定义运算； （2）由已知得，再由集合的包含关系求解参数的取值范围即可. 【详解】（1）若，则， 因为，所以； （2）因为“”是“”的充分条件，所以， 所以， 即实数m的取值范围是． 12．已知全集，集合，非空集合.若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据条件得，从而有，即可求解. 【详解】因为“”是“”的必要条件，则，又是非空集合， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 【B组能力提升】 一、单选题 1．已知a，，则“”的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用否定ACD选项，进而得答案. 【详解】解：对于A选项，当时，，此时，故不是的必要条件，故错误； 对于B选项，当时，成立，反之，不成立，故是的必要条件，故正确； 对于C选项，当时，，但此时，故不是的必要条件，故错误； 对于D选项，当时，，但此时，故故不是的必要条件，故错误. 故选：B 2．已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（  ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，根据子集关系列式解得参数范围即可. 【详解】由题意得， 所以，且等号不能同时成立，解得. 故选：D. 二、填空题 3．若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据含绝对值不等式的解法，求解不等式的解集，结合充分条件，列出关系式，即可求解. 【详解】由不等式， 当时，不等式的解集为空集，显然不成立； 当时，不等式，可得， 要使得不等式的一个充分条件为，则满足， 所以，即 ∴实数a的取值范围是. 故答案为：. 4．已知条件，条件q：，且p是q的必要条件，则m的取值集合是__________. 【答案】 【分析】条件，条件，根据p是q的必要条件，可得．因此，或，．分类讨论即可得出． 【详解】解：条件， 条件， 是的必要条件，． ，或，． 当m=0时，满足题意． 当时，若，则，解得． 若，则，解得． 综上可得：的取值集合是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了方程的解法、集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、解答题 5．已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据交集结果列式即可求解； （2）根据题意得到，列式即可求解. 【详解】（1）若，则或， 所以或， 故实数的取值范围或. （2）因为成立的一个必要条件是， 所以， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 6．已知集合，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时，或，则， 又因为，故. （2）因为，集合或，且， 所以，解得，故实数的取值范围是. （3）因为是的充分条件，则，所以或，解得或， 因此实数的取值范围是或. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $