1.4.1 充分条件与必要条件 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用递进，适配新授课知识巩固与能力提升，培养数学抽象、推理及创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯基础|命题判断、充分/必要条件识别等单一知识点|以选择、填空为主，如判断命题真假，强化抽象能力与推理意识| |提能力|知识综合应用，如条件与结论关系分析|结合实数、方程等背景，如条件选择填空，提升运算能力与逻辑思维| |迎挑战|复杂情境探究，如集合与充分必要条件综合|含多选与探究题，如参数范围求解，发展创新意识与理性精神|

人教A版必修第一册同步练习 216个知识点 · 312道经典例题 ·216个题型集训 第一章　集合与常用逻辑用语 §1.4.1 充分条件与必要条件 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（25-26高一上·广西·期末）下列语句能作为命题是（    ） A．3比5大 B．太阳和月亮 C．高二年级的学生 D． 【答案】A 【解析】根据命题定义逐个判断. 【详解】根据命题定义：能判断真假的陈述句，A正确，B、C不是陈述句，D不能判断真假. 故选：A. 2．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段检测）下列命题中，p是q的充分条件的是（    ） A．， B．，且 C．， D．， 【答案】A 【解析】利用充分性的概念逐一判断即可. 【详解】解：A：，故p是q的充分条件； B：且，故p不是q的充分条件； C：或，故p不是q的充分条件； D：当时，若，则不能推出，故p不是q的充分条件. 故选：A. 3．（25-26高二上·河北·期中）（多选）若不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】不等式解集为，由题知，进而得，再结合各选项即可得答案. 【详解】解：设不等式的解集为，所以 不等式成立的充分条件是， 则，所以，即：. 所以实数的取值范围为的真子集均可. 故A，B，C均正确. 故选：ABC 4．（25-26高二上·河南·期中）下列说法正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当时，方程有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．“时，”是真命题 【答案】D 【分析】将A中的命题写成“若p，则q”的形式可判断选项A是错误的；根据命题的定义可判断选项B是错误的；根据菱形的定义可判断选项C是错误的；根据命题的定义可判断D. 【详解】命题“直角相等”，写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A是错误的； 语句“当时，方程有实根”是陈述句，而且可以判断真假，所以选项B是错误的； 选项C是错误的，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”； 选项D，当时，方程成立，所以是真命题. 故选：D 5．（2025高一上·全国·专题练习）（多选）下列命题中，是的充分条件的是（   ） A．：是无理数，：是无理数 B．：四边形为等腰梯形，：四边形对角线相等 C． D． 【答案】BC 【分析】根据充分条件的定义，并结合举反例，判断选项可得答案. 【详解】A中，例如：是无理数，是有理数，所以不是的充分条件； B中，因为等腰梯形的对角线相等，所以是的充分条件； C中，，所以是的充分条件； D中，当时，，但，所以不是的充分条件． 故选：BC. 6．（25-26高一·全国·单元测试）(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（    ） A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D．若ab＝0，则a＝0 【答案】BCD 【分析】根据必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】A：x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，不符合题意； B：当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有，显然能推出a＜2，符合题意； C：因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意； D：显然由a＝0推出ab＝0，所以符合题意， 故选：BCD 7．（24-25高二上·安徽·期末）设是两个实数，命题“中至少有一个数大于1”的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用赋值法，取不同的x与y代入，可排除A、C、D. 【详解】对于A，当时，满足，但命题不成立； 对于C，D，当时，满足，，但命题不成立. 故选：B. 8．（25-26高一上·福建·阶段检测）下列说法正确的是_________.（只填序号） ①“”是“”的充分条件； ②“”是“且”的充分条件； ③“”是“”的充分条件， 【答案】①③ 【分析】根据充分条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】①中，若，则成立，即充分性成立；所以①正确； ②中，由，可得或，所以若，则且不成立，所以②不正确； ③中，若，则成立，所以③正确. 故答案为：①③ 9．（25-26高二上·江苏徐州·阶段检测）已知：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】是的充分条件得到，列不等式组得解. 【详解】由，∴，即 ∴. 故答案为： 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若是p的一个必要条件，则使恒成立的实数b的取值范围是________. 【答案】 【解析】由必要条件求出的取值范围，再由恒成立得的取值范围． 【详解】∵， ∴，所以解得 又使恒成立，因此，故实数b的取值范围是. 故答案为：． 11．（25-26高一上·广东·课后作业）判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)与是全等三角形； (3)； (4)； (5)6是方程的解； (6)方程有实数解． 【答案】(1)是命题，且是假命题 (2)不是命题 (3)不是命题 (4)不是命题 (5)是命题，且是真命题 (6)是命题，且是假命题 【分析】根据命题的概念、命题的真假判断即可. 【详解】（1）任何负数都小于零，故该语句是命题，且是假命题． （2）两个三角形为全等三角形是有条件的，本小题无法判断真假，故不是命题． （3）因为是未知数，无法判断是否大于零，所以不是命题． （4）空集是任何非空集合的真子集，集合是否为非空集合无法判断，故不是命题． （5）6是所给方程的解，故该语句是命题，且是真命题． （6）由于给定方程的判别式， 可知给定方程无实根，故该语句是命题，且为假命题. 提能力 综合用 · 善迁移 12．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 【答案】D 【分析】根据充分条件的定义，结合方程的根、不等式的性质、一元二次方程的根、三角形的边角关系逐项判断即可. 【详解】对于A，若则或，则， 所以不是的充分条件，故A不符合； 对于B，若，则且或且，则， 所以不是不充分条件，故B不符合； 对于C，若关于的方程有两个实数解， 则，解得且， 则，所以不是不充分条件，故C不符合； 对于D，在中，可得， 则，所以是的充分条件，故D符合. 故选：D. 13．（25-26高一上·湖南·阶段检测）若a，b都是实数，试从①；②；③中分别选出适合下列条件者，用序号填空． （ⅰ）a，b都为0的必要条件是________； （ⅱ）使a，b都不为0的充分条件是________． 【答案】 ①② ③ 【分析】①即为或，即a，b中至少有一个为0；②，即a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③由知a与b同号，即a，b都不为0.再根据充分条件和必要条件的定义即可作答 【详解】①即为或，即a，b中至少有一个为0； ②，即a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负； ③由知a与b同号，即a，b都不为0. 综上可知，“a，b都为0”能推出①②，③能推出“a，b都不为0”， 所以a，b都为0的必要条件是①②，使a，b都不为0的充分条件是③. 故答案为：①②；③ 14．（25-26高一上·山西太原·阶段检测）已知条件或和条件或，求使是的充分条件但不是必要条件的最小正整数． 【答案】 【分析】根据充分条件但不是必要条件列式，可解得结果. 【详解】∵是的充分条件但不是必要条件， ∴，且等号不同时取到， 解得， ∴满足条件的最小正整数为1． 迎挑战 拓思维 · 求突破 15．（25-26高一上·海南·阶段检测）（多选）给出下列四个选项，其中能成为的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质确定推出关系即可得到结果. 【详解】对于A，若，则，，充分性成立，A正确； 对于B，若，则当时，，充分性不成立，B错误； 对于C，若，则，或，充分性不成立，C错误； 对于D，若，则，充分性成立，D正确. 故选：AD. 16．（24-25高一上·河北·期中）已知集合，或． (1)是否存在实数，使得是成立的充分条件？ (2)是否存在实数，使得是成立的必要条件？ 【答案】(1)存在 (2)不存在 【分析】（1）根据集合之间关系的判定，即可求解； （2）根据集合之间关系的判定，即可求解. 【详解】（1）欲使是成立的充分条件，则只要或，则只要即，故存在实数时使是成立的充分条件； （2）欲使是成立的必要条件，则只要或，则这是不可能的，故不存在实数，使是成立的必要条件． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版必修第一册同步练习 216个知识点 · 312道经典例题 ·216个题型集训 第一章　集合与常用逻辑用语 §1.4.1 充分条件与必要条件 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（25-26高一上·广西·期末）下列语句能作为命题是（    ） A．3比5大 B．太阳和月亮 C．高二年级的学生 D． 2．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段检测）下列命题中，p是q的充分条件的是（    ） A．， B．，且 C．， D．， 3．（25-26高二上·河北·期中）（多选）若不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围可以是（  ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河南·期中）下列说法正确的是（    ） A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当时，方程有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．“时，”是真命题 5．（2025高一上·全国·专题练习）（多选）下列命题中，是的充分条件的是（   ） A．：是无理数，：是无理数 B．：四边形为等腰梯形，：四边形对角线相等 C． D． 6．（25-26高一·全国·单元测试）(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（    ） A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D．若ab＝0，则a＝0 7．（24-25高二上·安徽·期末）设是两个实数，命题“中至少有一个数大于1”的充分条件是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·福建·阶段检测）下列说法正确的是_________.（只填序号） ①“”是“”的充分条件； ②“”是“且”的充分条件； ③“”是“”的充分条件， 9．（25-26高二上·江苏徐州·阶段检测）已知：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是______. 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若是p的一个必要条件，则使恒成立的实数b的取值范围是________. 11．（25-26高一上·广东·课后作业）判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)与是全等三角形； (3)； (4)； (5)6是方程的解； (6)方程有实数解． 提能力 综合用 · 善迁移 12．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 13．（25-26高一上·湖南·阶段检测）若a，b都是实数，试从①；②；③中分别选出适合下列条件者，用序号填空． （ⅰ）a，b都为0的必要条件是________； （ⅱ）使a，b都不为0的充分条件是________． 14．（25-26高一上·山西太原·阶段检测）已知条件或和条件或，求使是的充分条件但不是必要条件的最小正整数． 迎挑战 拓思维 · 求突破 15．（25-26高一上·海南·阶段检测）（多选）给出下列四个选项，其中能成为的充分条件是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一上·河北·期中）已知集合，或． (1)是否存在实数，使得是成立的充分条件？ (2)是否存在实数，使得是成立的必要条件？ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $