3.2.2双曲线简单几何性质导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2　双曲线的简单几何性质 【学习目标】 1．了解双曲线的范围、对称轴、顶点、实轴、虚轴、渐近线等概念。 2．类比椭圆几何性质的研究方法，自主研究并获得双曲线的几何性质。在经历探究双曲线的几何性质的过程中，体会由数论形的一般方法. 【学习重难点】重点：双曲线的几何性质 难点：双曲线的渐进线；代数角度研究几何的思想和方法. 【知识梳理】 类比椭圆几何性质的研究，研究双曲线的几何性质 1. 双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性 质 图形 焦点 ______________ _______________ 焦距 _______________ 范围 或 ，yR 或 ，xR 对称性 对称轴： ；对称中心： 顶点 _________________ _________________ 轴 实轴：线段 ，长：； 虚轴：线段 ，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1,+) 渐近线 y＝±x y＝±x 2. 等轴双曲线 实轴和虚轴 的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是 ，离心率为e＝. 说明：(1)由＝1＋知，当|x|无限增大时，|y|也随之无限增大，所以双曲线是不封闭的曲线． (2)双曲线的顶点只有两个，即实轴的两个端点，虚轴的两个端点并不在双曲线上．另外，实轴长不一定大于虚轴长，这要和椭圆中长轴长和短轴长区别开来． (3)e＝＝＝，决定双曲线的开口大小，越大，双曲线的开口就越大，所以越大，e越大，双曲线开口越大；越小，e越小，双曲线的开口就越小． (4)焦点到渐近线的距离为b. (5)双曲线上的点到焦点的距离最小值：同侧时最小值为c－a，异侧时最小值为c＋a. 【概念辨析】 （1）求双曲线的焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，实轴和虚轴的长分别为 ， ，焦距为 . 渐近线方程为 ，离心率为 . （1），；，；4；；6【解析】，所以，所以，，，所以双曲线的实轴、虚轴的长，焦距，顶点，，，，焦点的坐标，． （2）（多选题）关于双曲线与双曲线，下列说法正确的有（ ） A．它们有相同的渐近线 B．它们有相同的顶点 C．它们的离心率不相等 D．它们的焦距相等 【解析】双曲线的渐近线为，双曲线的渐近线方程为，故A错误； 双曲线的顶点坐标为，双曲线的顶点坐标为，故B错误； 双曲线的离心率，双曲线的离心率，，故C正确； 双曲线的焦距2c=10，双曲线的焦距2c=10，故D正确.故选CD． 3.已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【解析】 由双曲线焦点在轴上，可设渐近线方程为，因为双曲线离心率为，且，所以，解得，即，所以渐近线方程为.故选B. 【典例分析】 例1、分别求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为； (2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)． 解：(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又＝，∴a＝5，b＝＝12，故其标准方程为－＝1. (2)法一　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x， 若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝①. ∵A(2，－3)在双曲线上， ∴－＝1②. 联立①②，无解． 若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝③. ∵A(2，－3)在双曲线上， ∴－＝1④. 联立③④，解得a2＝8，b2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. 法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上， ∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. 变式、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 【解析】由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1.故选C. 例2、已知双曲线－＝1(a>b>0)两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为(　 ) A．2 B. C. D．－ 解析：选C　∵双曲线－＝1(a>b>0)的渐近线方程为y＝±x，∴由双曲线－＝1(a>b>0)两条渐近线的夹角为，可得＝tan＝.∴双曲线的离心率为e＝＝＝. 变式、双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于点P，若PF2⊥x轴，则双曲线的离心率为(　 ) A.－1 B. C.±1 D.＋1 解析：选D　由题意得|F1F2|＝|PF2|，－＝1(a>0，b>0)中，令x＝c得－＝1，解得y＝±，故|PF2|＝，因为|F1F2|＝2c，所以＝2c，结合b2＝c2－a2可得c2－2ac－a2＝0，方程两边同时除以a2，得e2－2e－1＝0，解得e＝1±，负值舍去，故离心率为＋1. 【当堂训练】 1．已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为________． 解析：易得双曲线C的渐近线方程为y＝± x，又知C的一条渐近线方程为y＝－x，则＝，解得m＝3.故C的方程为－y2＝1.所以C的焦距为4. 答案：4 2.已知双曲线，则当变化时，下列关于双曲线的说法正确的是（ ） A． 顶点坐标不变 B．焦距不变 C．离心率不变 D．渐近线不变 【解析】 ①若，则双曲线的标准方程为，顶点坐标为，焦距为，离心率为，渐近线方程为；②若，则双曲线的标准方程为，顶点坐标为，焦距为，离心率为，渐近线方程为.因此，不论怎么变化，双曲线的渐近线不变.故选D. 3．已知双曲线的渐近线与圆x2＋y2－10y＋21＝0相离，则该双曲线的离心率范围是 . 【解析】由双曲线－＝1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2，则圆心到渐近线的距离为d＝＝，则>2，可得e＝ <，又e>1，所以1<e <， 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2　双曲线的简单几何性质 【学习目标】 1．了解双曲线的范围、对称轴、顶点、实轴、虚轴、渐近线等概念。 2．类比椭圆几何性质的研究方法，自主研究并获得双曲线的几何性质。在经历探究双曲线的几何性质的过程中，体会由数论形的一般方法. 【学习重难点】重点：双曲线的几何性质.难点：双曲线的渐进线；代数角度研究几何的思想和方法. 【知识梳理】 类比椭圆几何性质的研究，研究双曲线的几何性质 1.双曲线的几何性质 标准方程 性 质 图形 焦点 ______________ ______________ 焦距 _______________ 范围 或 ， 或 ， 对称性 对称轴： ；对称中心： 顶点 _________________ _________________ 轴 实轴：线段 ，长：； 虚轴：线段 ，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 渐近线 2.等轴双曲线 实轴和虚轴 的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是 ，离心率为. 说明：(1)由知，当无限增大时，也随之无限增大，所以双曲线是不封闭的曲线． (2)双曲线的顶点只有两个，即实轴的两个端点，虚轴的两个端点并不在双曲线上．另外，实轴长不一定大于虚轴长，这要和椭圆中长轴长和短轴长区别开来． (3) ，决定双曲线的开口大小，越大，双曲线的开口就越大，所以越大，越大，双曲线开口越大；越小，越小，双曲线的开口就越小． (4)焦点到渐近线的距离为. (5)双曲线上的点到焦点的距离最小值：同侧时最小值为，异侧时最小值为. 【概念辨析】 （1）求双曲线的焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，实轴和虚轴的长分别为 ， ，焦距为 ,渐近线方程为 ，离心率为 . （2）（多选题）关于双曲线与双曲线，下列说法正确的有（ ） A．它们有相同的渐近线 B．它们有相同的顶点 C．它们的离心率不相等 D．它们的焦距相等 3.已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【典例分析】 例1、分别求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)一个焦点为，且离心率为； (2)渐近线方程为，且经过点． 变式、已知双曲线的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．设到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 . 例2、已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为 . 变式、双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若轴，则双曲线的离心率为(　 ) A. B. C. D. 【当堂训练】 1．已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为________． 2.已知双曲线，则当变化时，下列关于双曲线的说法正确的是（ ） A． 顶点坐标不变 B．焦距不变 C．离心率不变 D．渐近线不变 3．已知双曲线的渐近线与圆相离，则该双曲线的离心率范围是 . 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $