3.2.2 双曲线的简单几何性质（第1课时）（导学案）数学人教A版2019选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的简单几何性质（第1课时） 导学案 （1）掌握双曲线的简单几何性质． （2）理解双曲线的渐近线及离心率的意义． （3）根据几何条件求出双曲线的方程，培养数学运算的核心素养． 思考：为什么当a，b的值变化时，双曲线的开口大小，线段A1A2、DM长度等都会发生变化？双曲线与绿色直线会相交吗？ 自主完成填空： 课前活动：类比椭圆的几何性质的研究，你认为应该研究双曲线 ①的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 类比：类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，你可以发现双曲线上点的横坐标和纵坐标的范围分别是什么？ 要求：请尝试着利用双曲线方程证明你的结论. 归纳总结，得出双曲线的第一个几何性质： ：双曲线位于直线 及其左侧和直线 及其右侧的区域． 牛刀小试 练1：在双曲线中，的取值范围是 ． 练2：若集合，则 类比：类比研究椭圆对称性的方法，得到什么结论？ 归纳总结，得出双曲线的第二个几何性质： ： 双曲线关于 、 和 都是对称的． 牛刀小试 练3：已知点在双曲线上，则（     ） A．点不在双曲线上 B．点不在双曲线上 C．点在双曲线上 D．以上均无法确定 练4：若三个点，，中恰有两个点在双曲线上，则 . 类比：类比求椭圆顶点的方法，尝试求双曲线的顶点. 两个重要概念： 线段叫做双曲线的 ，它的长等于 ，叫做双曲线的 ； 线段叫做双曲线的 ，它的长等于 ， 叫做双曲线的虚半轴长． 归纳总结，得出双曲线的第三个几何性质： ，焦点在x轴： ，焦点在y轴： 牛刀小试 练5：双曲线的顶点坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 练6：以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（     ） A． B． C． D． 探究：利用信息技术画出双曲线和两条直线．在双曲线的右支上取一点，测量点的横坐标以及它到直线的距离．沿曲线向右上方拖动点，观察和的大小关系，你发现了什么？ 思考：经过两点，作轴的平行线，经过两点，作轴的平行线，四条直线围成一个矩形，求矩形的两条对角线所在直线的方程. 渐近线定义：一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的 ．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 归纳总结，得出双曲线的第四个几何性质： ，双曲线的渐近线方程为，即 ；双曲线的渐近线方程为，即 ． 牛刀小试 练7：双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 练8：已知双曲线C：，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 教师：下面学习双曲线的简单几何性质五：离心率，回顾椭圆离心率的定义，得出双曲线离心率的定义. 教师：肯定同学们的预猜，类比椭圆的离心率范围：，推导双曲线的离心率的范围. 思考：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？ 追问：用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗？它与用离心率刻画“张口”大小有什么区别和联系？ 牛刀小试 练9：双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 练10：已知曲线，则的离心率为（    ） A． B． C． D．2 等轴双曲线：在双曲线中，如果，那么方程变为 ，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于 ．这时，四条直线 围成一个正方形，渐近线方程为 ，他们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角．实轴和虚轴等长的双曲线叫做 ． 易知，等轴双曲线的离心率都为. 归纳总结，学生类比焦点在x轴上双曲线几何性质，焦点在y轴上的双曲线的简单几何性质，完成下表 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 x≤-a，x≥a，y∈R 顶点 (±a，0) (0，______) 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 实轴长＝_____，虚轴长＝_____ 焦点 (±c，0) (0，±c) 对称性 对称轴：x轴与y轴，对称中心：原点 对称轴：______，对称中心：____ 渐近线 离心率 e＝ e＝________ 例4 求双曲线的实半轴长和虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程．． 题型一：根据双曲线的方程求a,b,c值及相关量 题型二：求双曲线的渐近线，及由渐近线求参数值 例题 （1）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 . （2）直线是双曲线的一条渐近线，则（     ） A．1 B．4 C．16 D．18 题型三：根据几何条件求双曲线的标准方程 例题 （1）实轴长为，离心率为，求双曲线的标准方程. 方法总结：待定系数法 待定系数法求a,b,c的值：根据题意建立关于 的方程组，解方程即可求得双曲线的标准方程. (2) 中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－)． 方法总结：巧设等轴双曲线方程为 ：根据题意建立关于λ的方程组，解方程即可求得双曲线的方程，再将方程标准化处理. 题型四：根据双曲线的有界性求范围或最值 例题2 点是双曲线上一动点，过作圆的两条切线，切点为，，则的最小值为 . 题型五：求双曲线的离心率或离心率的范围 例题3 已知双曲线，点M在C上，过点M作C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 方法总结：求离心率的方法： 方法①： ：根据题意求出的值，然后利用公式即可求解； 方法②： ，根据题意建立关于或，的齐次方程式，然后构造离心率的方程，从而得解。 求离心率范围的方法： ，根据题意建立关于或，的齐次不等式，然后构造离心率的，从而得解。 1．（24-25高二下·贵州遵义·期末）已知双曲线，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖北武汉·期末） 已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（24-25高二下·安徽安庆·期末） 已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 4．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末） 已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·上海闵行·期末）双曲线Γ：的左、右焦点分别为、，点P在Γ上，且，，则Γ的离心率为 ． 6．（24-25高二下·河南安阳·期末）双曲线的离心率为2，且双曲线与圆：有且仅有两个交点，则双曲线的标准方程为 .（写出一个即可） 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 x≤-a，x≥a，y∈R 顶点 (±a，0) (0，______) 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 实轴长＝_____，虚轴长＝_____ 焦点 (±c，0) (0，±c) 对称性 对称轴：x轴与y轴，对称中心：原点 对称轴：______，对称中心：____ 渐近线 离心率 e＝ e＝________ 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 双曲线的简单几何性质（第1课时） 导学案 （1）掌握双曲线的简单几何性质． （2）理解双曲线的渐近线及离心率的意义． （3）根据几何条件求出双曲线的方程，培养数学运算的核心素养． 思考：为什么当a，b的值变化时，双曲线的开口大小，线段A1A2、DM长度等都会发生变化？双曲线与绿色直线会相交吗？ 自主完成填空： 课前活动：类比椭圆的几何性质的研究，你认为应该研究双曲线 ①的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 提示：范围，对称性、顶点、离心率等 类比：类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，你可以发现双曲线上点的横坐标和纵坐标的范围分别是什么？ 预设：范围是，或，纵坐标的范围是. 要求：请尝试着利用双曲线方程证明你的结论. 预设：由方程①可得 ， 于是，双曲线上点的坐标都适合不等式，即，． 所以或，． 归纳总结，得出双曲线的第一个几何性质：范围：双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域． 牛刀小试 练1：在双曲线中，的取值范围是 ． 解析：由双曲线，可得：，所以，则， 故的取值范围是， 练2：若集合，则 解析：因为，，所以或，即或 类比：类比研究椭圆对称性的方法，得到什么结论？ 预设：容易得到，双曲线关于轴、轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． 归纳总结，得出双曲线的第二个几何性质：对称性：双曲线关于轴、轴和原点都是对称的． 牛刀小试 练3：已知点在双曲线上，则（     ） A．点不在双曲线上 B．点不在双曲线上 C．点在双曲线上 D．以上均无法确定 解析：因为双曲线关于横轴、纵轴、原点对称， 而点关于横轴、纵轴、原点对称的点分别为、、， 所以只有选项C正确，故选：C 练4：若三个点，，中恰有两个点在双曲线上，则 . 解析：由题，三个点，，中恰有两个点在双曲线上， 因为双曲线的图象关于原点对称，所以点和在双曲线上， 可得，解得. 故答案为：. 类比：类比求椭圆顶点的方法，尝试求双曲线的顶点. 预设：在方程①中，令，得，因此双曲线和轴有两个交点，；令，得，这个方程没有实数解，说明双曲线和轴没有公共点，但我们也把，两点画在轴上. 两个重要概念： 线段叫做双曲线的实轴，它的长等于，叫做双曲线的实半轴长； 线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于，叫做双曲线的虚半轴长． 归纳总结，得出双曲线的第三个几何性质：顶点，焦点在x轴：，焦点在y轴：. 牛刀小试 练5：双曲线的顶点坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 解析：由双曲线方程可知双曲线焦点在轴上，，所以双曲线的顶点坐标为，. 故选：B. 练6：以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（     ） A． B． C． D． 解析：双曲线化为标准方程得，焦点坐标为，顶点为， 则所求椭圆的焦点在轴上，设所求椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则，所以，所以所求椭圆的方程为. 故选：D. 探究：利用信息技术画出双曲线和两条直线．在双曲线的右支上取一点，测量点的横坐标以及它到直线的距离．沿曲线向右上方拖动点，观察和的大小关系，你发现了什么？ 预设：发现点的横坐标越来越大，越来越小，但是始终不等于0． 思考：经过两点，作轴的平行线，经过两点，作轴的平行线，四条直线围成一个矩形，求矩形的两条对角线所在直线的方程. 预设：矩形的两条对角线所在直线的方程是．可以发现，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永不相交. 渐近线定义：一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． \归纳总结，得出双曲线的第四个几何性质：渐进线，双曲线的渐近线方程为，即；双曲线的渐近线方程为，即． 牛刀小试 练7：双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 解析：由双曲线方程可知，且焦点在x轴上， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 练8：已知双曲线C：，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 解析：由题可得双曲线的标准方程为：，所以，， 则双曲线的渐近线方程为：；故选：C 教师：下面学习双曲线的简单几何性质五：离心率，回顾椭圆离心率的定义，得出双曲线离心率的定义. 双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率. 教师：肯定同学们的预猜，类比椭圆的离心率范围：，推导双曲线的离心率的范围. 根据的大小关系：可得出， 思考：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？ 预设：双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小． 追问：用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗？它与用离心率刻画“张口”大小有什么区别和联系？ 预设：双曲线离心率 离心率越大，的值越大，渐近线的斜率越大， 双曲线的“张口”越大. 牛刀小试 练9：双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 解析：由题意可知，，故离心率. 故选：B. 练10：已知曲线，则的离心率为（    ） A． B． C． D．2 解析：由题可得曲线，所以曲线为焦点在x轴上的双曲线，且， 所以曲线的离心率为. 故选：C 等轴双曲线：在双曲线中，如果，那么方程变为，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于．这时，四条直线，围成一个正方形，渐近线方程为，他们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． 易知，等轴双曲线的离心率都为. 归纳总结，学生类比焦点在x轴上双曲线几何性质，焦点在y轴上的双曲线的简单几何性质，完成下表 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 x≤-a，x≥a，y∈R 顶点 (±a，0) (0，______) 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 实轴长＝_____，虚轴长＝_____ 焦点 (±c，0) (0，±c) 对称性 对称轴：x轴与y轴，对称中心：原点 对称轴：______，对称中心：____ 渐近线 离心率 e＝ e＝________ 预设： 例4 求双曲线的实半轴长和虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程．． 预设：把双曲线的方程化为标准方程． 由此可知，实半轴长，虚半轴长；， 焦点坐标是，；离心率；渐近线方程为． 题型一：根据双曲线的方程求a,b,c值及相关量 预设： 题型二：求双曲线的渐近线，及由渐近线求参数值 例题 （1）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 . 预设：因为双曲线的离心率为，所以， 两边平方得，所以，所以，解得， 又双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为. （2）直线是双曲线的一条渐近线，则（     ） A．1 B．4 C．16 D．18 预设：令双曲线方程等号右侧的1变为0，可得双曲线的渐近线方程为， 又直线是双曲线的一条渐近线，所以，解得． 故选：D. 题型三：根据几何条件求双曲线的标准方程 例题 （1）实轴长为，离心率为，求双曲线的标准方程. 预设：（1）设双曲线的标准方程为或， 由题意知，且，∴，，， ∴标准方程为或. 方法总结：待定系数法 待定系数法求a,b,c的值：根据题意建立关于a,b,c的方程组，解方程即可求得双曲线的标准方程. (2) 中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－)． 预设：由2a＝2b得a＝b，所以 e＝，所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点P(4，－ )，所以 16－10＝λ，即λ＝6. 所以 双曲线方程为x2－y2＝6. 所以 双曲线的标准方程为. 方法总结：巧设等轴双曲线方程为x2−y2=λ(λ≠0)：根据题意建立关于λ的方程组，解方程即可求得双曲线的方程，再将方程标准化处理. 题型四：根据双曲线的有界性求范围或最值 例题2 点是双曲线上一动点，过作圆的两条切线，切点为，，则的最小值为 . 预设：由题知：设，，则， 由于是直角三角形，且，所以当取得最小值时， 取得最小值， 则 ，当时，等号成立， 故. 题型五：求双曲线的离心率或离心率的范围 例题3 已知双曲线，点M在C上，过点M作C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 预设：设点，则，即， 又两条渐近线方程为，即， 故有， 所以 故选：B. 方法总结：求离心率的方法： 方法①：定义法：根据题意求出的值，然后利用公式即可求解； 方法②：齐次式法，根据题意建立关于或，的齐次方程式，然后构造离心率的方程，从而得解。 求离心率范围的方法： 齐次式法，根据题意建立关于或，的齐次不等式，然后构造离心率的，从而得解。 1．（24-25高二下·贵州遵义·期末）已知双曲线，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 预设：双曲线，则它的渐近线方程为.故选：A 2．（24-25高二下·湖北武汉·期末） 已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（    ） A．1 B．2 C． D． 预设：由题意得：，，， 联立可解得：，即实轴长为 故选：C. 3．（24-25高二下·安徽安庆·期末） 已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 预设：因为双曲线的渐近线方程为，所以， ，所以双曲线的离心率为2. 故选：D. 4．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末） 已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（     ） A． B． C． D． 预设：由题意可知：实轴长为，虚轴长为，故，解得， 故双曲线方程为，故选：C 5．（24-25高二下·上海闵行·期末）双曲线Γ：的左、右焦点分别为、，点P在Γ上，且，，则Γ的离心率为 ． 预设：由于，，所以，设， 则，所以. 故答案为： 6．（24-25高二下·河南安阳·期末）双曲线的离心率为2，且双曲线与圆：有且仅有两个交点，则双曲线的标准方程为 .（写出一个即可） 预设：当双曲线的焦点在轴上时，，因为离心率，所以，则， 所以双曲线的标准方程为. 同理，当双曲线的焦点在轴上时，，，所以双曲线的标准方程为. 故答案为：（或） 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 x≤-a，x≥a，y∈R 顶点 (±a，0) (0，______) 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 实轴长＝_____，虚轴长＝_____ 焦点 (±c，0) (0，±c) 对称性 对称轴：x轴与y轴，对称中心：原点 对称轴：______，对称中心：____ 渐近线 离心率 e＝ e＝________ 预设： 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $